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高中数学必修4平面向量知识点与典型例题总结(理).

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-19 12:08
tags:高中数学必修四知识点总结

高中数学人教a选修1-1-高中数学选修2-1第三章课本答案详解

2020年9月19日发(作者:凌广)



平面向量
【基本概念与公式】 【任何时候写向量时都要带箭头】
1.向量:既有大小又有方向的量。记作:AB 或a 。
2.向量的模:向量的大小(或长度,记作:||AB 或||a 。
3.单位向量:长度为1的向量。若e 是单位向量,则||1e =。
4.零向量:长度为0的向量。记作:0。【0方向是任意的,且与任意向量平行】
5.平行向量(共线向量:方向相同或相反的向量。
6.相等向量:长度和方向都相同的向量。
7.相反向量:长度相等,方向相反的向量。AB BA =-。
8.三角形法则:
AB BC AC +=;AB BC CD DE AE +++=;AB AC CB -=(指向被减数
9.平行四边形法则:
以,a b 为临边的平行四边形的两条对角线分别为a b +,a b -。
10.共线定理:a b a b λ=?。当0λ>时,a b 与同向;当0λ<时,a b 与反向。
11.基底:任意不共线的两个向量称为一组基底。
12.向量的模:若(,a x y =,则2||a x y =+22||a a =,2||(a b a b +=+
13.数量积与夹角公式:||||cos a b a b θ?=?; cos ||||a b
a b θ?=?
14.平行与垂直:1221a b a b x y x y λ?=?=;121200a b a b x x y y ⊥??=?+=



题型1.基本概念判断正误:
(1共线向量就是在同一条直线上的向量。
(2若两个向量不相等,则它们的终点不可能是同一点。
(3与已知向量共线的单位向量是唯一的。
(4四边形ABCD 是平行四边形的条件是AB CD =。
(5若AB CD =,则A 、B 、C 、D 四点构成平行四边形。
(6因为向量就是有向线段,所以数轴是向量。
(7若a 与b 共线, b 与c 共线,则a 与c 共线。
(8若ma mb =,则a b =。
(9若ma na =,则m n =。
(10若a 与b 不共线,则a 与b 都不是零向量。
(11若||||a b a b ?=?,则a b 。
(12若||||a b a b +=-,则a b ⊥。
题型2.向量的加减运算
1.设a 表示“向东走8km ”, b 表示“向北走6km ”,则||a b += 。
2.化简((AB MB BO BC OM ++++= 。
3.已知||5OA =,||3OB =,则||AB 的最大值和最小值分别为 、 。
4.已知AC AB AD 为与的和向量,且,AC a BD b ==,则AB = ,AD = 。
5.已知点C 在线段AB 上,且3



5AC AB =,则AC = BC ,AB = BC 。
题型3.向量的数乘运算
1.计算:(13(2(a b a b +-+= (22(2533(232a b c a b c +---+-=
2.已知(1,4,(3,8a b =-=-,则1
32a b -= 。
题型4.作图法球向量的和
已知向量,a b ,如下图,请做出向量132a b +和3
22a b -。 a
b
题型5.根据图形由已知向量求未知向量
1.已知在ABC ?中,D 是BC 的中点,请用向量AB AC ,表示AD 。
2.在平行四边形ABCD 中,已知,AC a BD b ==,求AB AD 和。
题型6.向量的坐标运算
1.已知(4,5AB =,(2,3A ,则点B 的坐标是 。
2.已知(3,5PQ =--,(3,7P ,则点Q 的坐标是 。
3.若物体受三个力1(1,2F =,2(2,3F =-,3(1,4F =--,则合力的坐标为 。
4.已知(3,4a =-,(5,2b =,求a b +,a b -,32a b -。
5.已知(1,2,(3,2A B ,向量(2,32a x x y =+--与AB 相等,求,x y 的值。
6.已知(2,3AB =,(,BC m n =,(1,4CD =-,则DA = 。



7.已知O 是坐标原点,(2,1,(4,8A B --,且30AB BC +=,求OC 的坐标。
题型7.判断两个向量能否作为一组基底
1.已知12,e e 是平面内的一组基底,判断下列每组向量是否能构成一组基底:
A.1212e e e e +-和
B.1221326e e e e --和4
C.122133e e e e +-和
D.221e e e -和
2.已知(3,4a =,能与a 构成基底的是( A.34(,55 B.43(,55 C.34(,55-- D.4(1,3
-- 题型8.结合三角函数求向量坐标
1.已知O 是坐标原点,点A 在第二象限,||2OA =,150xOA ∠=,求OA 的坐标。
2.已知O 是原点,点A 在第一象限,||43OA =60xOA ∠=,求OA 的坐标。
题型9.求数量积
1.已知||3,||4a b ==,且a 与b 的夹角为60,求(1a b ?,(2(a a b ?+,
(31(2
a b b -?,(4(2(3a b a b -?+。
2.已知(2,6,(8,10a b =-=-,求(1||,||a b ,
(2a b ?,(3(2a a b ?+,(4(2(3a b a b -?+。
题型10.求向量的夹角
1.已知||8,||3a b ==,12a b ?=,求a 与b 的夹角。



2.已知(3,1,(23,2a b ==-,求a 与b 的夹角。
3.已知(1,0A ,(0,1B ,(2,5C ,求cos BAC ∠。
题型11.求向量的模
1.已知||3,||4a b ==,且a 与b 的夹角为60,求(1||a b +,(2|23|a b -。
2.已知(2,6,(8,10a b =-=-,求(1||,||a b ,(5||a b +,(61
||2a b -。
3.已知||1||2a b ==,,|32|3a b -=,求|3|a b +。
题型12.求单位向量 【与a 平行的单位向量:||a
e a =±】
1.与(12,5a =平行的单位向量是 。
2.与1
(1,2m =-平行的单位向量是 。 题型13.向量的平行与垂直
1.已知(6,2a =,(3,b m =-,当m 为何值时,(1a b ?(2a b ⊥?
2.已知(1,2a =,(3,2b =-,(1k 为何值时,向量ka b +与3a b -垂直? (2k 为何值时,向量
ka b +与3a b -平行?
3.已知a 是非零向量,a b a c ?=?,且b c ≠,求证:(a b c ⊥-。
题型14.三点共线问题
1.已知(0,2A -,(2,2B ,(3,4C ,求证:,,A B C 三点共线。
2.设2(5,28,3(2AB a b BC a b CD a b =+=-+=-,求证:A B D 、、三点共线。



3.已知2,56,72AB a b BC a b CD a b =+=-+=-,则一定共线的三点是 。
4.已知(1,3A -,(8,1B -,若点(21,2C a a -+在直线AB 上,求a 的值。
5.已知四个点的坐标(0,0O ,(3,4A ,(1,2B -,(1,1C ,是否存在常数t ,使O A t O B O
C +=成立?
题型15.判断多边形的形状
1.若3AB e =,5CD e =-,且||||AD BC =,则四边形的形状是 。
2.已知(1,0A ,(4,3B ,(2,4C ,(0,2D ,证明四边形ABCD 是梯形。
3.已知(2,1A -,(6,3B -,(0,5C ,求证:ABC ?是直角三角形。
4.在平面直角坐标系内,(1,8,(4,1,(1,3OA OB OC =-=-=,求证:ABC ?是等腰直角
三角形。
题型16.平面向量的综合应用
1.已知(1,0a =,(2,1b =,当k 为何值时,向量ka b -与3a b +平行?
2.已知(3,5a =,且a b ⊥,||2b =,求b 的坐标。
3.已知a b 与同向,(1,2b =,则10a b ?=,求a 的坐标。
3.已知(1,2a =,(3,1b =,(5,4c =,则c = a + b 。
4.已知(5,10a =,(3,4b =--,(5,0c =,请将用向量,a b 表示向量c 。
5.已知(,3a m =,(2,1b =-,(1若a 与b 的夹角为钝角,求m 的范围;
(2若a 与b 的夹角为锐角,求m 的范围。 6.已知(6,2a =,(3,b m =-,当m 为何值
时,(1a 与b 的夹角为钝角?(2a 与b 的夹角为锐角?



7.已知梯形ABCD 的顶点坐标分别为(1,2A -,(3,4B ,(2,1D ,且AB DC ,2AB CD
=,求点C 的坐标。
8.已知平行四边形 ABCD 的三个顶点的坐标分别为 A(2,1 ,B(?1,3 ,C (3,
4 , 求第四个顶点 D 的坐标。 9.一航船以 5kmh 的速度向垂直于对岸方向行驶,
航船实际航行方向与水流方向成 30 角,求 水流速度与船的实际速度。 10.已知
?ABC 三个顶点的坐标分别为 A(3, 4 , B(0, 0 , C (c, 0 , (1)若 AB ? AC ?
0 ,求 c 的值; (2)若 c ? 5 ,求 sin A 的值。 【备用】 1.已知 | a |? 3,| b |? 4,|
a ? b |? 5 ,求 | a ? b | 和向量 a, b 的夹角。 2.已知 x ? a ? b , y ? 2a ? b ,
且 | a |?| b |? 1 , a ? b ,求 x, y 的夹角的余弦。 1.已知 a ? (1,3, b ? (?2,
?1 ,则 (3a ? 2b ? (2a ? 5b ?。 4.已知两向量 a ? (3, 4, b ? (2, ?1 ,求当 a
? xb与a ? b 垂直时的 x 的值。 5.已知两向量 a ? (1,3, b ? (2, ?, a与b 的夹
角 ? 为锐角,求 ? 的范围。 变式:若 a ? (?, 2, b ? (?3,5 , a与b 的夹角 ?
为钝角,求 ? 的取值范围。 选择、填空题的特殊方法: 1.代入验证法 例:已知向
量 a ? (1,1, b ? (1, ?1, c ? (?1, ?,则2 c ? ( 1 3 A. ? a ? b 2 2 1 3 B. ? a ?
b 2 2 3 1 C. a ? b 2 2 3 1 D. ? a ? b 2 2 ) 变式:已知 a ? (1, 2, b ? (?1,3, c ?
(?1, 2 ,请用 a, b 表示 c 。 2.排除法 例:已知 M 是 ?ABC 的重心,则下列向量
与 AB 共线的是( A. AM ? MB ? BC B. 3 AM ? AC C. AB ? BC ? AC ) D.
AM ? BM ? CM 6
广东省近八年高考试题-平面向量(理科) 1.(2007年高考广东卷第10小题 若
向量 a 、 b 满足| a |=| b |=1, a 与 b 的夹角为 120? ,则 a a ? a b ? 2.(2008 年高
考广东卷第 3 小题 3.已知平面向量 a =(1,2) , b =(-2,m) ,且 a ∥b ,则
2 a + 3 b =( A. (-5,-10) B. (-4,-8) 4.(2009 年高考广东卷第 3 小题
(x,1 ) ,b= 已知平面向量 a= , 则向量 a ? b =( (-x, x 2) . ) C. (-3,
-6) D. (-2,-4) ) A 平行于 x 轴 C.平行于 y 轴 B.平行于第一、三象限的角
平分线 D.平行于第二、四象限的角平分线 ? ? ? ? ? ? c =(3,x满足条件 (8 a
- b · c =30, b= 5. (2010 年高考广东卷第 5 小题若向量 a = (1,1) , (2,5) ,
则x= ( A.6 B.5 C.4 D.3 6.(2011 年高考广东卷第 3 小题已知向量 a ? (1, 2, b



? (1,0, c ? (3, 4 .若 ? 为实数, (a ? ?b c, 则? ? ( B. 1 2 A. 1 4 C.1 D. 2
7.(2012 年高考广东卷第 3 小题 8.若向量 BA ? (2,3 , CA ? (4,7 ,则 BC ?
( A. (?2, ?4 B. (3, 4 C. (6,10 ) D. (?6, ?10 9.(2012 年高考广东卷第 8 小
题对任意两个非零的平面向量 ? , ?,定义 ? ? ? ? ??.若平面 ? ?? ?
?? ?n ?向量 a, b 满足 a ? b ? 0 , a 与 b 的夹角 ? ? ? 0, ?,且 ? ?和
? ?都在集合 ? | n ? Z ?中,则 ? 4? ?2 ? b a? A. 1 2 B. 1 C. 3 2
D. 5 2 7
10.(2014 广东省高考数学理科 12)已知向量 a ? ?1,0, ?1?则下列向量中 ,
与 a 成 60 ? 夹角的是 A. (-1,1,0) B.(1,-1,0) C.(0,-1,1) D.(-1,0,1) 8

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