高中数学必修 公式总结

高中必修4、5公式定理及常见规律
1.三角函数
1.1终边相同的角
⑴
?
与
k
?
?
?< br>(k?Z)
表示终边相同的角度;
⑵终边相同的角不一定相等,但相等的角终边一定相同;
⑶而
?
与
k
?
?
?
(k?Z)
表示终边共线的角.
?{
?
|
?
?
?
?2k
?
,k?Z}
或者
S?{
?
|
?
?
?
?k?360
?
,k ?Z}

⑷终边相同的角的集合表示:
S
1.2特殊位置的角的集合的表示
位置
在
角的集合
x
轴正半轴上
x
轴负半轴上
在
{
?
|
?
?2k
?
,k?Z}

{
?
|
?
?2k
?
?
?
,k?Z }

{
?
|
?
?k
?
,k?Z}

在
x
轴上
在
y
轴上
{
?
|< br>?
?k
?
?
?
2
,k?Z}

在第一象限
{
?
|2k
?
?
?
?2k< br>?
?
{
?
|2k
?
?
?
2
,
k?Z
}

在第二象限
?
2
?
??
2
k
?
?
?
,
k?Z
}

3
?
,
k?Z
}

2
在第三象限
{
?
|2k
?
?
?
?
?
?2k
?
?
{
?
|2k
?
?
在第四象限
3?
?
?
?
2
k
?
?
?
2,< br>k?Z
}

2
1.3孤独之与角度制互化
1rad
（弧度）
?
1.4扇形有关公式
⑴弧长公式:
l
180
?
度
?53.7

?
?|
?
|R
;
⑵扇形面积公式:
S
扇 形
11
?lR?|
?
|R
2
(
注
想象成三角形面积计算公式)
22
1.5任意角的三角函数定义
以角?
的顶点为坐标原点,始边为
x
轴正半轴建立直角坐标系,在角
?
的终边上任取一个异于原点的点
P(x,y)
,点
P
到原点的距

离记为
r
,则
sin
?
?
yxy
,cos
?
?,tan
?
?
rrx
.
1.6三角函数的同角关系
⑴商数关系:
sin
?
?
?tan
?
, 其中
?
??2k
?
,k?Z
.
cos
?
2
sin
2
?
?
cos
2
?
?
1
;
⑵平方和关系:
1.7三角函数的诱导公式
诱导公式（一）
sin(
?
诱导公式（二）
sin(
?
诱导公式（三）
si n(
?
?2k
?
)?sin
?
;
cos(
?
?2k
?
)?cos
?
;
tan(
?
?2k
?
)?tan
?
;
?
?
)??sin
?
;
cos(
?
?
?
)??cos
?
;
tan(
?
?
?
)?tan
?
;
?
?
)?sin
?
;
cos(
?
?
?
)??cos
?
;
tan(
?
?
?
)??tan
?
;
cos(?
?
)?cos
?
;
tan(?
?
)??tan
?
; 诱导公式（四）
sin(?
?
)??sin
?
; < br>诱导公式（五）
sin(
诱导公式（六）
sin(
?
?
?
?
)?cos
?
;
cos(?
?
)??sin
?
;
22
?
?
)?cos
?
;
cos(?
?
)??sin
?
;
22
?
?
1.8特殊的三角函数值
角度
弧度
0
?

0
sin
?

cos
?

0
30
?

?

6
1

2
3

2
1
45
?

?

4
2

2
2

2
1
tan
?

0
3

3
60
?

90
?

120
?

135
?

150
?

180
?

270
?

360
?

2
?
3
?
5
?
3
?
??
?


2
?

3462
32
1
33
2

1 0 -1 0

2
22
2
11
3
2
-
0 -1 0 1
- -
22
2
2
3
-1 0 0
3
-
3
-
3
1.9三角函数的图象与性质
函数
y?sinx

y?cosx

y?tanx

图像
x



定义域
值域

R

R

??
?
?xx?R,且x?k
?
?,k?Z
?

2
??
?
?1,1
?

?
?1,1
?

R

周期性
奇偶性
2
?

2
?

?

奇函数 奇函数 偶函数
单
调
性
??
?
↗
?
2k
?
?,2k
?
?
?
22
?
??
?
3
?
?
↘
?
2k
?
?,2k
?
?
?
22
?
??
?
2k
?
,2k
?
?
?
?
↘
?
2k
?
?
?
,2k
?
?
↗
(k
?
?
??
??
?
k
?
? ,k
?
?
?
↗
22
??
(
k
?
,0)

2
无
对称中心
对称轴
2.三角恒等变换
2.1三角函数呵、差公式（要记住）
C
?
?
?
?
?
?cos
?
cos
?
?sin
?
sin
?
?
C
?
?
?
?
?
?
； < br>S
?
?
?
?
?
?sin
?
cos< br>?
?cos
?
sin
?
(S
?
?
?
?
?
)

S
?
?
?
?
?
?sin
?
cos
?
?cos
?
sin
?
(S
?
?
?
?
?
)
；
T?
?
?
?
?
?
tan
?
?tan?
(T
?
?
?
?
?
)
；
T< br>?
?
?
?
?
?
tan
?
?tan< br>?
(T
?
?
?
?
?
)

1 ?tan
?
tan
?
1?tan
?
tan
?
2.2三角函数二倍角公式（要记住）
sin2
?
?2sin
?
cos
?
,
?
S
2
?
?
；
cos2
?
?cos
2
?
?sin
2
?
,
?
C
2
?
?
；
tan2
?
?< br>2tan
?
,
?
T
2
?
?

2
1?tan
?
2.3三角函数降幂公式（要记住）


sin
?
cos
?
?
2.4三角函数半角公式（要记住）

(k
?
,0)

?
2
,0)

x?k
?
?
?
2

x?k
?

11?cos2
?
sin2
?
;
sin
2
?
?
22
；
cos
2
?
?
1?cos2
?
2


sin
?
2
??
1?cos
?
2
;
cos
?
2
??
1?cos
?
2
;
sin
2
?
2
?
1?cos2
?
2
;
cos
2
?
2
?
1?cos2
?
2

;
1?cos
?
?2sin
2
?
2
；
1?cos
?
?2cos
2
?
2
;
t an
?
2
??
1?cos
?
sin
?
1? cos
?
??
1?cos
?
1?cos
?
sin< br>?
2.5辅助角公式(也称化一公式)（会用）
??
ab
?
?a
2
?b
2
sin(
?
?
?
)

asin
?
?bcos
?
?a
2
?b
2< br>?
?
sin
?
?cos
?
?
2
?< br>2
a
2
?b
2
?
a?b
?
注 其中辅助角
?
与点
(a,b)
在同一象限,且
tan
?
?
b
;特殊情况:
a
sin
?
?cos
?
?2sin(
?
?)
,
sin
?
?3cos< br>?
?2sin(
?
?)

43
2.6三角函数求值常见公式变形（会用）

??

⑴
tan
?
?tan
??tan(a?
?
)(1?tan
?
tan
?
)

tan
?
?tan
?
?tan(a?
?
)(1 ?tan
?
tan
?
)
1?tan
?
?
?
?
?tan
?
?
?
?

1?tan
?
?
4
?
?
?
sin
?
?cos
?
?
2
⑵
⑶
1?sin2
?

2.7三角变换的一般方法
⑴角的变换:包括角的分解和角的组合,如
?
? (
?
?
?
)?
?
,
?
?
?
2
?
??
????
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
,?
?
??( ?
?
),
?
?2?
2
??
2242
??< br>4

2
?
?
?
?
?
?
?< br>?
?
?
?
?
?
等.
⑵三角函数名、次的变换:切化弦与升幂、降幂公式;
⑶常值代换:如“1”的活用.
sin
2
?
?
cos
2
?
?
1,tan 45
?
?
1
等.
2.8三角函数化简、求值或证明的解题原则
基本原则:由繁到简、减名化角
．．．．．．．．．
函数种类最少、项数最少、函数 次数最低、能求值的求出值、尽量使分母不含三角函数、尽量使分母不含根式.
3.解三角形
3.1正余弦定理
abc
???2
R
,（其中
R
为三角形ABC外接圆的半径）
sinAsinBsinC
a?bsinA?sinB
变式:
? ,
a
:
b
:
c
?sin
A
:sin
B
sin
C

a?bsinA?sinB
⑴正弦定理:
⑵余弦定理:
?
a
2
?b
2
?c
2
?2bccosA
?
222?
b?a?c?2accosB
变形公式:
?
c
2
?a
2
?b
2
?2abcosC
?
?
b
2
?c
2
?a
2
?
cosA?
2bc?
a
2
?c
2
?b
2
?
?
c osB?
2ac
?
?
a
2
?b
2
?c2
?
cosC?
2ab
?

⑶余弦定理的常见结论:< br>C?
60
?
?c
2
?a
2
?b
2< br>?ab
;
C?
120
?
?c
2
?a
2
?b
2
?ab

⑷判断三角形形状:正三角形、等腰三角形、直角 三角形、等腰直角三角形,判断形状时,将已知条件转化为边边关系,或将已知条件转化为
角角关系.若
c
为最大边,
a
2
?b
2
?c
2
??ABC
为锐角三角形;
a
2
?b
2
?c
2
??ABC
是直角三角形;

a
2
?b
2< br>?c
2
??ABC
为钝角三角形;
注

?ABC
中,若
sin2A?sin2B
,可以得出
2A?2B
或
2 A?2B?
?
;而
cos2A?cos2B
,可以得出
2A?2B< br>,即
A?B

3.2三角形面积公式
S< br>?ABC
?
1111
a?h
,
S
?ABC
?
ab
sin
C
?
ac
sin
B
?
bc
sin
A
、C
2222
3.3三角形中常见规律
⑴ 三角形中的射影定理:在
?ABC
中,
b?a?cosA?c?cosC
;
⑵在
?ABC
中,角
A
、
B
、
C
成等差数列
?
B?60
?
;
?ABC
为正三角形
?
角
A
、
B
、
C
成等差数列,边
a
、
b
、
c
成等比数列.
3.4三角形中的边角关系
⑴角 的关系:
A
?
B
?
C
?
180
?
?
?

⑵边的关系:
a?b?c.a?b?c

⑶边角关系:大边对大角、大角对大边
4.平面向量
4.1向量共线与垂直的坐标 表示
——设
a?
?
x
1
,y
1
?
,b?
?
x
2
,y
2
?
,
①则
a
?
??
?
b
?
a?b?x
1
x
2
?y
1
y
2
?0
;
?
?
??
②则
ab
?
?
x
1
y
2
?x
2< br>y
1
?0
;
?a?
?
b

??4.2非零向量
a
、
b
的夹角
?
的计算公式
??
??
cos
?
?
5.数列
a?b
| a|?|b|
??
?
x
1
x
2
?y
1y
2
x?y?x?y
2
1
2
1
2
2< br>2
2

5.1数列通项
a
n
与前
n
项和
S
n

?
S
1
,n?1

a
n
?
?
S?S,n?2
n?1
?
n


5.2等差数列

⑴定义法:即证明
a
n?1
等差数列
?a
n
?d
(
d是常数
,
n?N
*
)
;
判定方法
⑵通项公式法:
a
n
?
kn
?
b(k,b是常数)
;
?a
n
?a
n?2
(
n?N
*
)
;

⑶中项公式法: 即证明
2
a
n?1

⑷前
n
项和公式法:
S
n
⑴a
n
?An
2
?Bn
(
A
,
B是常数
)

?
a
1
?(
n
?1)
d?
dn
?
a
1
?
d
?
kn
?
b
;
?
a
m
?(
n
?
m
)
d
;变形
d?
通项公式
⑵
a
n
⑴
d
增减性
?0?
递增;
⑵
d?0?
递减;
⑶
d?0?
常数列
a
n
?a
m
n?m

?
a
1?A?B
n(a
1
?a
n
)
n(n?1)d
2
?
d
?
2
S
n
??na
1
?d? n?
?
a
1
?
?
n?An?Bn
?
?.
2222
d?2A
??
?
前
n
项和 ⑴当
a
1
?
a
n
?0
?
0,
d?
0
时,
S
n
有最大值;通过解
?
可得
S
n
取最大值时
n
的取值范围;
?
a
n?1?0
?
a
n
?0
⑵当
a
1
?
0,
d?
0
时,
S
n
有最小值;通过解
?
可得
S
n
取最小值时
n
的取值范围
a?0
?
n?1
等差中项
A
为
a
、b
的等差中项
?2A?a?b
;
2
a
n
?a< br>n?1
?a
n?1
(
n?
2)

⑴
{
a
n
}
为等差数列
?
⑵
{
a
n
}
为等差数列
?
⑶
{
a
n
}
为等 差数列,若
a
n
?kn?b
可用一次函数来研究
a
n
;
S
n
?An
2
?Bn
可用二次函数来研究
S
n
;
m?n?p?q
,则
a
m
?a
n< br>?a
p
?a
q
;
?2p
,则
a
m
?a
n
?2a
p
;
?S
m
,S
3m
?S
2m
,?
仍为等差数列.
性质
⑷
{< br>a
n
}
为等差数列,若
m?n
⑸
{
a
n
}
为等差数列,则
S
m
,S
2m
⑹
{
a
n
}
为等差数列,则
{a
a
n
}
是等比数列;

5.3等比数列

⑴定义法:即证明
等比数列
a
n?1
?q
(
q是 常数
,
n?N
*
)
;
a
n
⑵通项公式法 :
a
n
?a
1
q
n?1
?cq
n
(
v
,
均是不为
0
的常数，n?N
*
)
;
2
判定方法
⑶中项公式法: 即证明
a
n?1
?a
n
?a
n?2
(
a
n
?a
n?1
?a< br>n?2
?
0,
n?N
*
)
;

⑷前
n
项和公式法:
S
n
?
a
1
n
a a
q?
1
?kq
n
?k(k?
1
是常数
,
q?
0,
q?
1)

q?1q?1q?1
⑴
a
n
?a
1
q
n?1
?kq
n
;
?a
m
q
n?m

?
a
1
?0
或
?
a
1
?0
时, 数列{
a
}是递增数列;
n
?
q?1
0?q?1
?
?
通项公式
⑵
a
n
⑴当
?
增减性
⑵当
?
a
1
?0
或
?
1
时, 数列{
a
n
}是递减数列;
?
q?1
?
0?q?1
?
⑶当
q?1
时, 数列{
a
n
}是常数列;
⑷当
q?0
时, 数列{
a
n
}是摆动数列.
?
a?0
?
na
1
,q?1
?
.
前
n
项和
S
n
?
?
a
1
?a
n
q
a
1
(1?q
n
)
?
1?q
?
1?q
,q?1
?
等比中项
2
?an?1
?a
n?1
(
n?
2)

G
为
a
、
b
的等差中项
?G
2
?a?b
;a
n
⑴
{
a
n
}
为等比数列
?
⑵
{
a
n
}
为等比数列,且
q
a
n?kq
n
可用指数函数来研究
a
n
;
?1
?S
n
?b?q
n
?c,b?c?0
;
性质
⑶
{
a
n
}
为等比数列,若
m?n ?p?q
,则
a
m
?a
n
?a
p
?aq
;
?2p
,则
a
m
?a
n
?a< br>2
p
;
⑷
{
a
n
}
为等比数列,若
m?n

⑸
{
a
n
}
为等比数列,则S
m
,S
2m
⑹
{
a
n
}
为 等比数列,则
{log
a
?S
m
,S
3m
?S2m
,?
仍为等比数列.
a
n
}
是等差数列;
6.不等式
6.1一元二次不等式
ax?bx?c?
0(
a?0)
的解集
2






















一元
二次
不等
式的
解集
2
判别式
??
b
2
?
4ac

??0

??0

??0

二次函数
y? ax
2
?bx?c
(
a?0
)
的图像
有两个不相等的实根
一元二次方程
x
1
、x
2
?
有两个相等的实根
ax?bx?c?0
(
a?0
)
?b?b2
?4ac
2a
x
1
?x
2

x
1
?x
2
?-
b

2a
没有实数根
不等于
-
ax
2
?bx?c?0
?
a?0
?

b
的所有实
2a
数
?
xx?x或x?x
?

21
全体实数
（实数集
R
）
?
b
?

?
xx?R且x??
?
2a??
ax
2
?bx?c?0
?
a?0
?

?
xx
1
?x?x
2
?

空集
?
空集
?

6.2
?
x?a
??
x?b
?
?0
型和
x?a
?0
型不等式的解 法

x?b
⑴
?
x?a
??
x?b
??0
型不等式的解法：

?
x?a
??
x?b
?
?0
x?a?0
或
?
x?a?0
;?
x?a
??
x?b
?
?0
?
?
x? a?0
或
?
x?a?0
.
?
?
????
?
x?b?0
?
x?b?0
?
x?b?0
?
x?b ?0
这样，就将一个医院二次不等式问题归化为一个一元一次不等式组问题.
⑵
x?a
?0
型不等式的解法
x?b

x?a
x?a
?0
与
?
x?a
??
x?b
?
?0
同解;
?0
与
?
x?a
??x?b
?
?0
同解.
x?bx?b
6.3基本不等式
ab?
a?b
(
a?
0,
b?
0)

2

不等式
重要不等式
基本不等式
内容 等号成立条件
a
2
?b
2
?
2
a b
(
a
,
b?R
)

a?b
时,取
?

a?b
时,取
?

ab?
a?b
(
a?
0,
b?
0)

2
6.4极值定理——
“一正二定三项等,和定积最大,积定和最小.”
已知
x
、
y
都是正数:
p
,则当
x?y
时,
x?y
有最小值
2p
; ⑴若
xy
是定值⑵若
x?
1
y
是定值
s
,则当
x?y
时,
xy
有最大值
s
2
.
4
6.5不等式与线性规划
线性规划问题的解题方法与步骤
⑴设未知数,列出约束条件,建立目标函数;
⑵画出可行域（或不等式组所表示的平面区域）;
⑶作平行线,使直线与可行域有交点;
⑷求出最优解,并作答.