【精品】高中数学 必修4_任意角的三角函数_讲义 知识点讲解+巩固练习(含答案)基础

任意角的三角函数
【学习目标】
1.理解任意角的三角函数(正弦、余弦、 正切)的定义，能由三角函数的定义求其定义域、
函数值的符号.
2.理解单位圆、正弦线、余弦线、正切线的概念及意义.
3．会应用三角函数的定义解决相关问题．
【要点梳理】
要点一：三角函数定义
设
?
是一个任意角,它的终边与半径是
r
的圆交于点
P(x ,y)
,则
r?x
2
?y
2
，那么:
y
y
做
?
的正弦,记做
sin
?
,即
sin
?
?
；
r
r
xx
(2) 叫做
?
的余弦 ,记做
cos
?
,即
cos
?
?
；
rr
y
y
(3)叫做
?
的正切,记做
tan
?
,即
tan
?
?(x?0)
.
x
x
(1)
要点诠释：
（1）三角函数的值与点
P
在终边上的位置无关，仅与角的大小有关.我们只需计算点到
原点的距离
r?x
2< br>?y
2
,那么
sin
?
?
y
x
2< br>?y
2
,
cos
?
?
x
x
2
?y
2
,
tan
?
?
y
．
x
（2）三角函数符号是一个整体，离开
?
的sin、cos、tan等是没有意义的，它们表示 的
是一个比值，而不是sin、cos、tan与
?
的积．
要点二：三角函数在各象限的符号
三角函数在各象限的符号：
y
+
+
o
x
-
-
正弦、余割
-+
o
x
-+
余弦、正割
y
-
+
o
x
+-
正切、 余切
y

在记忆上述三角函数值在各象限的符号时，有以下口诀：一全正，二正弦，三正切，四
余弦．
要点诠释：
口诀的含义是在第一象限各三角函数值为正；在第二象限正弦值为正，在第三象限 正切

值为正，在第四象限余弦值为正．
要点三：单位圆中的三角函数线 圆心在原点，半径等于1的圆为单位圆．设角
?
的顶点在圆心O，始边与
x
轴正半轴重合，
终边交单位圆于P，过P作PM垂直
x
轴于M，作PN垂直
y
轴于点N.以A为原点建立
y
?
轴与
y
轴同向，与
?
的终边(或其反向延长线)相交于点
T
(或
T
?
)，则 有向线段0M、0N、AT(或
AT
?
)
分别叫作
?
的余弦 线、正弦线、正切线，统称为三角函数线.有向线段：既有大小又有方向的
线段.
要点诠释：
三条有向线段的位置：
正弦线为
?
的终边与单位圆的交点到
x
轴的垂直线段；
余弦线在
x
轴上；
正切线在过单位圆与
x
轴的正方向的交点的切线上；
三条有向线段中两条在单位圆内，一条在单位圆外.
【典型例题】
类型一：三角函数的定义
例1．已知角
?
的终边经过点P（－4a，3a） （a≠0），求sin
?
，cos
?
，tan
?
的值． < br>【思路点拨】先根据点P（－4a，3a）求出OP的长；再分a＞0，a＜0两种情况结合任意
角的三角函数的定义即可求出结论
343343
【答案】，
?
，
?
或
?
，，
?

554554
【解析】
r?(?4a)
2
?(3a)
2
?5|a|
．
若a＞0，则
r
=5a，
?
是第二象限角，则
sin
?
?
y3a3
??
，
r5a5
x?4a4
cos
?
????
，
r5a5
y3a3
tan
?
????
，
x?4a4
若a＜0，则
r
=－5a，
?
是第四象限角，则
343
sin
?
??
，
cos
?
?
，
tan
?
??
．
554
【总结升华】 本题主要考 查三角函数的定义和分类讨论的思想．三角函数值的大小与
点在角的终边上的位置无关，只与角的大小有 关．要善于利用三角函数的定义及三角函数的

符号规律解题．
举一反三： < br>【变式1】已知角
?
的终边在直线
y?3x
上，求sin
?< br>，cos
?
，tan
?
的值．
【答案】
3131
,,3
或
?,?,3

2222
【解析】因为角
?
的终边在直线
y?3x
上，
所以可设
P(a,3a)(a?0)
为角
?
终边上任意一点．
则
r?a
2
?(3a)
2
?2|a|
（a≠0）．
若a＞0，则
?
为第一象限角，r=2a，所以
sin
?
?
3a3
?
，
2a2
cos< br>?
?
tan
?
?
a1
?
，
2a2
3a
?3
．
a
3a3
a1
??< br>，
cos
?
????
，
?2a2
2a2
若a ＜0，则
?
为第三象限角，r=－2a，所以
sin
?
?
3 a
?3
．
a
tan
?
?
类型二：三角函数的符号
例2．判断下列各三角函数值的符号
?
17
?
（1）
ta n
?
?
?
?
；（2）tan120°·sin269°；（3）ta n191°－cos191°．
6
??
【答案】（1）正（2）正（3）正
【解析】（1）因为
?
?
17
?
以
tan
??
?
?
?0
．
?
6
?
17717< br>7
?
??4
?
?
?
，且
?
是第三象 限角，所以
?
?
是第三象限角．所
666
6
（2）∵120 °是第二象限的角，∴tan120°＜0．
∵269°是第三象限的角，∴sin269°＜0．
∴tan120°·sin269°＞0．

（3）∵191°是第三象限的角，
∴tan191°＞0，cos191°＜0，∴tan191°―cos191°＞0．
举一反三：
【高清课堂：任意角的三角函数385947 例3】
【变式1】确定下列各三角函数值的符号.
（1）
sin532?
；（2）
cos
其中
?
是第二象限角.

【答案】（1）正（2）正（3）正（4）正（5）正（6）负
【变式2】（1）若sin< br>?
=―2cos
?
，确定tan
?
的符号；
（2） 已知
?
为第二象限角，判断3sin
?
cos
?
+2tan
?
的符号；
（3）若sin
?
＜0，cos
?
＞ 0，则
?
是第几象限角？
【答案】（1）负（2）负（3）四
【解析】（ 1）由sin
?
=―2cos
?
，知sin
?
与cos?
异号，故
?
是第二或第四象限角．当
?
是第二象限角时，ta n
?
＜0；当
?
是第四象限角时，tan
?
＜0．综上知， tan
?
＜0．
（2）因为
?
为第二象限，所以sin
?
＞0，cos
?
＜0，tan
?
＜0，所以3sin
?cos
?
+2tan
?
＜0．
（3）因为sin
?
＜0，所以
?
为第三或第四象限角，
又cos
?
＞0，所以
?
为第一或第四象限角，
所以
?
为第四象限角．
类型三：三角函数线的应用
例3．（1）在单位圆中画出适合下列条件的角
?
的终边．
①
si n
?
?
23
；②
cos
?
??
；③tan
?
=2；
35
23
?
?
11
?
；（3）
tan
?
?
12
?
3
sin(cos?
)
?
；（4）； （5）； （6），
sin3.1tan7
?
cos(sin
?
)
?
（2）比较sin1155°与sin（― 1654°）的大小．
【答案】（1）略（2）>
【解析】（1）①作直线
y?
图①．
3
②作直线
x??< br>交单位圆于M、N两点，则OM与ON为角
?
的终边．如下图②．
5
2
交单位圆于P、Q两点，则OP与OQ为角
?
的终边，如下
3
③在 直线x=1上截取AT=2，其中点A的坐标为（1，0），设直线OT与单位圆交于C、D

两点，则OC与OD为角
?
的终边．如下图③．

（2）先化成0° ～360°间的角的三角函数．
sin1155°=sin(3×360°+75°)=sin75°,
sin(－1654°)=sin(－5×360°+146°)=sin146°．
在单位圆中，分别作出sin75°和sin145°的正弦线M
2
P
2
，M
1
P
1
（如图）．
因为M
1
P
1< br>＜M
2
P
2
，所以sin1155°>sin（－1654°）．
【总结升华】 （1）三角函数线可以用来求出满足形如
f(
?
)?m的三角函数的角
?
的终
边，这是解三角不等式及求三角函数定义域时常用到的．
（2）第（2）题主要考查公式一及单位圆中三角函数的应用，首先利用公式将1155°和
1 654°分别变化到0°～360°的角，然后在同一单位圆中作出它们的三角函数线，利用三角
函数线 即可比较出大小．
举一反三：
?
?
?
【变式1】求证：当
?
?
?
0,
?
时，sin
?
＜
?
＜tan
?
．
?
2
?
【证明】如图，设角
?< br>的终边与单位圆相交于点P，单位圆与x轴正半轴的交点为A，过
点A作圆的切线交OP的延长线 于点T，过点P作PM⊥OA于点M，连接AP，则：
在Rt△POM中，sin
?
=MP；
在Rt△AOT中，tan
?
=AT．
又根据弧度制的定义，有
l
?
?
?
?OP?
?
．
AP
易知S
△
POA
＜S
扇形
POA
＜S
△
AOT
，
111
?OA?OA?AT
， 即
OA?MP?l
?
A P
222
即sin
?
＜
?
＜tan
?
．
例4．在单位圆中画出满足下列条件的角
?
的终边范围，并由此写出角
?的集合：
（1）
sin
?
?
3
1
；（2）< br>cos
?
??
．
2
2
【思路点拨】利用单位圆中的三角函数线去解．

【解析 】（1）作直线
y?
3
交单位圆于A、B两点，连接OA、OB，则OA与OB围成< br>2
的区域，如下图①中阴影部分，即为角
?
的终边的范围．
?
2
?
??
,k?Z
?
． 故满足条件的角
?
的集合为
?
?
2k
?
??
?
?2k< br>?
?
33
??

1
（2）作直线< br>x??
交单位圆于C、D两点，连接OC与OD，则OC与OD围成的区域
2
如 上图②中阴影部分，即为角
?
的终边的范围．
2
?
4
?< br>??
?
?
?2k
?
?,k?Z
?
． 故满足 条件的角
?
的集合为
?
?
2k
?
?
33< br>??
【总结升华】 利用单位圆中三角函数线，可以非常直观方便地求出形如
f(
?
)?m
或
f(
?
)?m
的三角函数的角的范围，起到“ 以形助数”的作用．
类型四：三角函数定义域的求法
例5．求函数
y?sinx?1?tanx
的定义域．
【思路点拨】要使式子有意义，则必须使被开方数大于等于零，然后再解三角不等式．
【答案】
?
?
sinx?0
?
【解析】 由题意得
?
tanx?1
．
?
?
?
x?n
?
?(n?Z)
?2
由图可知：
sin x≥0时，角x的终边落在图中横线阴影部分；
tan x≤1时，角x的终边落中图中竖线阴影部分．
从终边落在双重阴影部分的角中排除使
x?
∴该函数的定义域为：
?
2
?2n
?
(n?Z)
的角即为所求．

??
????
?
x2n
?
?x?2n
?
? ,n?Z
?
U
?
x2n
?
??x?2n
?
?
?
,n?Z
?
．
42
????
【总结升华】（ 1）在求三角函数定义域时，一般应转化为不等式（组），利用数轴或三角
函数线解三角不等式是最常用 的方法，因此必须牢固掌握三角函数的画法及意义．（2）不可
忽略正切函数自身的定义域
?< br>?
?
x|x?k
?
?
?
2
,k?Z
?
?
?
．
举一反三：
【变式1】求函数
y?
sinx?cosx
tanx
的定义域： < br>【答案】
?
?
?
x|x?
k
?
2
?
,k?Z
?
?

【解析】 要使函数有意义，需tan x≠0，
∴
x?k
?
?
?
2
（k∈Z）且x≠kπ（k∈Z ）
∴
x?
k
2
?
（k∈Z）．
∴函数的定义域 为
?
?
?
x|x?
k
?
2
?
,k ?Z
?
?
．


【巩固练习】
1．角
?
的终边经过点
?
?
?
?
31
?
2
,
2
?
?
，那么
tan
?
的值为（
??
A．
1
2
B．
?
33
2
C．
?3
D．
?
3

2．若角
420
0
的终边上有一点?
4,a
?
，则
a
的值是（
A．
43
B．
?43
C．
?43
D．
3

3．下列三角函数值结果为正的是（ ）
A．cos100° B．sin700° C．
tan
?
?< br>2
?
?
?
?
3
?
?

）

D．
sin
?
?
9
?
?
?< br>?
4
?
?


）

4．化简
sin390
0
的值是（ ）
33
11
A． B．
?
C． D．
?

22
22
5．若
?
4
?
?
?
?
2
，则下列不等式成立的是（ ）
A．sin
?
＞cos
?
＞tan
?
B．cos
?
＞tan
?
＞sin
?

C．sin
?
＞tan
?
＞cos
?
D．tan
?
＞sin
?
＞cos
?

6．设?
角属于第二象限，且
cos
?
2
??cos
?
2
，则
?
角属于( )
2
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
7．若
?
为锐 角且
cos
?
?cos
?1
?
??2
，则
cos
?
?cos
?1
?
的值为（ ）
A．
22
B．
6
C．
6
D．
4

8．若cos
?
＞0，且sin2
?
＜0 ，则角
?
的终边所在象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
9．5sin90°+2cos0°―3sin270°+10cos180°=________。
10．若
?
为第二象限角，则
|sin
?
|cos
?
??
________。
sin
?
|cos
?
|
11．已知角
?
的终边经过点
P(2sin30
o
,?2 cos30
o
)
，则
cos
?
?
。
12．已知角
?
的终边在直线
y?2x
上，则
sin< br>?
?
。
13．已知角
?
终边上一点< br>P(?3,y)(y?0)
，且
sin
?
?
14．判断下列三 角函数式的符号：
（1）sin320°·cos385°·tan155°；
?
23
?
（2）
tan4?cos2?sin
?
?
?
4
16
?
?cot
?

?
3
?
2
y
。求
cos
?
和
tan
?
的值。 4
15．角
?
的顶点为坐标原点，终边在直线
y?3x
上，且< br>sin
?
?0
。若
P(m,n)
是
?
终边上 的一
点，且
|OP|?10
，求
m?n
的值。
【答案与解析】

1．【答案】D
【解析】 由
tan
?
?
2. 【答案】A
a
【解析】
t an420
0
?,a?4tan420
0
?4tan60
0
?43

4
y13
。
????
x3
3
3．【答案】C
24
4
?
2
?
【解析】 由于
?
?
??2
?
?
?
，
?
在第三象限，∴
tan
?
?
?
?
?0
。
33
3
?
3
?
4. 【答案】A
【解析】sin390
0
?sin(360
0
?30
0
)?si n(180
0
?60
0
)?sin30
0
?
5．【 答案】D
【解析】 结合单位圆中正弦线、余弦线、正切线可知，此时正切线最长，余弦线最短， 且都
为正，故tan
?
＞sin
?
＞cos
?
。
6. 【答案】C
【解析】
2k
?
?
1
< br>2
?
2
?
?
?2k
?
?
?
,(k?Z),k
?
?
?
4
?
?
2
?k< br>?
?
?
2
,(k?Z),

当
k?2n,( n?Z)
时，
而
cos
?
?
在第一象限；当
k?2 n?1,(n?Z)
时，在第三象限；
22
?
2
?0
，< br>?
?
2
??cos
?
2
?cos
?
2
在第三象限；
7. 【答案】A
【解析】
(cos
??cos
?1
?
)
2
?(cos
?
?cos< br>?1
?
)
2
?4?8,cos
?
?cos
? 1
?
?22

8．【答案】D
【解析】 利用三角函数值的符号，确定角的象限。
∵cos
?
＞0，sin2
?
＜0，
??
??
2k
?
??
?
?2k
?
?
∴
?
22
（k∈Z）
?
?
2k
?
?
?< br>?2
?
?2k
?
??
?
2k
?
??
?
?2k
?
?
?
?
22
即
?（k∈Z）。L
?
k
?
?
?
?
?
? k
?
?
?2

当k为奇数时，无公共部分；当k为偶数时，公共 部分是第四象限。
9．【答案】0
【解析】 原式=5×1+2×1－3×(－1)+10×(－1)=0。
10．【答案】2
【解析】
?
为第二象限角，∴sin
?
＞0，cos
?
＜0。
1
11．【答案】
2
【解析】利用三角函数的定义去解。
12．【答案】
?
25

5
【解析】可以在直线
y ?2x
上任意一个点的坐标，利用三角函数的定义去解。
13．【解析】由已知
y< br>3?y
2
?
615
2
,tan
?
??
y
，解得
y??5
，则有
cos
?
??
。 43
4
14．【解析】（1）由于320°，385°=360°+25°，155°分别 在第四象限、第一象限、第二
象限，则sin320°＜0，cos385°＞0，tan155°＜0 ，∴sin320°·cos385°·tan155°＞0。
（2）由于
?
2?2?
?
?4?
3
?
23
??
16
?
4
?
23
?
16
?
，
?
，∴4， 2，
?
，
??6
?
?
，
?4
?
?
244334
3
?
?
?0
，
?
?
23
?
分别在第三象限、第二象限、第一象限、第三象限，∴tan4＞0，cos2＜0，< br>sin
?
?
?
4
cot
16
?
?< br>23
?
?0
，∴
tan4?cos2?sin
?
?< br>3
?
4
16
?
?
?cot?0
。
?
3
?
15．【解析】由已知
n?3m
，并且
m?0,n? 0
。又
m
2
?n
2
?10
，
?m??1, n??3,m?n?2
。