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高中数学必修4之平面向量知识点大总结(典藏版)

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-19 12:15
tags:高中数学必修四知识点总结

高中数学教师现状-高中数学传统文化题

2020年9月19日发(作者:廖碧儿)



高中数学必修4之平面向量
知识点归纳
一.向量的基本概念与基本运算
1向量的概念:
?
?
?
①向量:既有大小又有方向的量向量一般用
a,b,c
……来表示,或用有向线段的
u uuruuur
?
起点与终点的大写字母表示,如:
AB
几何表示法
AB

a
;坐标表示法
uuur
?
,记作|
AB
|即向量的大小,
a?xi?yj?(x,y)
向量的大小即向量的模(长度)
?
记作|
a

向量不能比较大小,但向量的模可以比较大小.
??
②零向量:长度为0的向量,记 为
0
,其方向是任意的,
0
与任意向量平行零向
rr
??
?

a

0
?

a
|=0 由于
0
的方向是任意的,且规定
0
平行于任何向量,故在
有关向量平 行(共线)的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件.(注意
与0的区别)
③单位向量:模为1个单位长度的向量
??
向量
a
0
为单 位向量
?

a
0
|=1
④平行向量(共线向量):方向相 同或相反的非零向量任意一组平行向量都可以
?
?
移到同一直线上方向相同或相反的向 量,称为平行向量记作
a

b
由于向量可
以进行任意的平移(即自由 向量),平行向量总可以平移到同一直线上,故平行
向量也称为共线向量

数学中研究 的向量是自由向量,只有大小、方向两个要素,起点可以任意
选取,现在必须区分清楚共线向量中的“共 线”与几何中的“共线”、的含义,
要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的.
⑤相等向量:长度相等且方向相同的向量相等向量经过平移后总可以重合,记
?
?
a
?
b
大小相等,方向相同
?
x
?
x
2
(x
1
,y
1
)?(x
2
,y
2
)
?
?
1

y
?
y
2
?
1
2向量加法
求两个向量和的运算叫做向量的加法
ruuur
uuur
uuur
r
uuur
r
?
ruuu

AB?a,BC?b
, 则
a
+
b
=
AB?BC
=
AC

?
??
?
?
(1)
0?
a
?
a
? 0?
a
;(2)向量加法满足交换律与结合律;
向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”:
(1)用平行四边形法则时,两个已知向 量是要共始点的,和向量是始点与
已知向量的始点重合的那条对角线,而差向量是另一条对角线,方向是 从减向
量指向被减向量
(2) 三角形法则的特点是“首尾相接”,由第一个向量的起点指向最后一
1



个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和;差向量是从减向量的终点指向
被减向量的终点
当两个向量的起点公共时,用平行四边形法则;当两向量是首尾连接时,
用三角形法则.向量加 法的三角形法则可推广至多个向量相加:
uuuruuuruuuruuuruuuruuur
AB?BC?CD?L?PQ?QR?AR
,但这时必须“首尾相连”.
3向量的减法
??
① 相反向量:与
a
长度相等、方向相反的向量,叫做
a
的相反向量
?
记作
?
a
,零向量的相反向量仍是零向量

?
??
??
?
?
关于相反向量有: (i)
?
(
?
a)
=
a
; (ii)
a
+(
?
a
)=(
?a
)+
a
=
0

??
?
?
?
?
?
?
?
(iii)若
a

b
是互为相反向量,则
a
=
?
b
,
b
=
?
a
,
a
+
b
=
0

?
??
?
②向量减法:向量
a加上
b
的相反向量叫做
a

b
的差,
??
?
?
记作:
a
?
b
?
a
?
(
?
b)
求两个向量差的运算,叫做向量的减法
?
??
??
?
③作图法:
a
?
b
可以表示为从b
的终点指向
a
的终点的向量(
a

b
有共同 起
点)
4实数与向量的积:
??
①实数λ与向量
a
的积 是一个向量,记作λ
a
,它的长度与方向规定如下:
(Ⅰ)
?
a
?
?
?
a

??< br>????
(Ⅱ)当
?
?0
时,λ
a
的方向与
a
的方向相同;当
?
?0
时,λ
a
的方向与
a?
?
的方向相反;当
?
?0
时,
?
a?
0
,方向是任意的

②数乘向量满足交换律、结合律与分配律
5两个向量共线定理:
??
?
?
向量
b
与非零向 量
a
共线
?
有且只有一个实数
?
,使得
b
=
?
a

6平面向量的基本定理:
??
如果
e< br>1
,e
2
是一个平面内的两个不共线向量,那么对这一平面内的任一向量
?????
?
a
,有且只有一对实数
?
1
,
?< br>2
使:
a
?
?
1
e
1
?
?
2
e
2
,其中不共线的向量
e
1
,e
2< br>叫做表
示这一平面内所有向量的一组基底
7 特别注意:
(1)向量的加法与减法是互逆运算
(2)相等向量与平行向量有区别,向量平行是向量相等的必要条件
(3)向量平行与直线平 行有区别,直线平行不包括共线(即重合),而向量平
行则包括共线(重合)的情况
(4)向量的坐标与表示该向量的有向线条的始点、终点的具体位置无关,只与
其相对位置有关
2



学习本章主要树立数形转化和结合的观点,以数代形,以形观 数,用代数
的运算处理几何问题,特别是处理向量的相关位置关系,正确运用共线向量和
平面向 量的基本定理,计算向量的模、两点的距离、向量的夹角,判断两向量
是否垂直等由于向量是一新的工具 ,它往往会与三角函数、数列、不等式、解
几等结合起来进行综合考查,是知识的交汇点

例1 给出下列命题:
r
rr
r
① 若|
a
|=|
b
|,则
a
=
b

uuuruuur
② 若A,B,C,D是不共线的四点,则
AB?DC
是四 边形ABCD为平行四
边形的充要条件;
r
rr
r
r
r
③ 若
a
=
b
b
=
c
,则
a
=
c

r
r
r
rr
r

a
=
b
的充要条件 是|
a
|=|
b
|且
a

b

r
rr
r
r
r
⑤ 若
a

b

b

c
,则
a

c

其中正确的序号是
解:①不正确.两个向量的长度相等,但它们的方向不一定相同.
uuuruuuruuuruuur
uuuruuur
② 正确.∵
AB?DC
,∴
|AB|?|DC|

ABDC

又 A,B,C,D是不共线的四点,∴ 四边形 ABCD为平行四边形;反之,
uuuru uur
uuuruuur
若四边形ABCD为平行四边形,则,
ABDC
且< br>|AB|?|DC|

uuuruuur
因此,
AB?DC

r
r
r
r
③ 正确.∵
a
=
b
,∴
a

b
的长度相等且方向相同;
rr
rr

b

c
,∴
b

c
的长度相等且方向相同,
r
r
r
r

a

c
的长度相等 且方向相同,故
a

c

r
r
r
rr
r
④ 不正确.当
a

b
且方向相反时,即使|
a
|=|
b
|,也不能得到
a
=
b
,故
r
rr
r
r
r
|< br>a
|=|
b
|且
a

b
不是
a
=
b
的充要条件,而是必要不充分条件.
rr
⑤ 不正确.考虑
b
=
0
这种特殊情况.
综上所述,正确命题的序号是②③.
点评:本例主要复习向量的基本概念.向量的基本概念较 多,因而容易遗
忘.为此,复习一方面要构建良好的知识结构,另一方面要善于与物理中、生
活 中的模型进行类比和联想.
例2 设A、B、C、D、O是平面上的任意五点,试化简:
u uuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur

AB ?BC?CD
,②
DB?AC?BD

?OA?OC?OB?CO

3



uuuruuuruuuruuuruuuruuur
解:①原式=
(AB?BC)?CD?AC?CD?AD

uuuruuuruuurruuuruuur
②原式=
(DB?BD)?AC?0?AC?AC

uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuurruuur
③原式=
(OB?OA)?(?OC?CO)?AB?(OC?CO)?AB?0?AB

r< br>r
rr
r
r
rr
r
r
例3设非零向量
a

b
不共线,
c
=k
a
+
b

d
=
a
+k
b
(k?R),若
c

d
,试
求k
r
r
解:∵
c

d

r
r
∴由向量共线的充要条件得:
c

d
(λ?R)
r
r
r
r
r
r
r
即 k
a
+
b
=λ(
a
+k
b
) ∴(k?λ)
a
+ (1?λk)
b
=
0

r
r
又∵
a

b
不共线
?
k
?
?
?
0
∴由平面向量的基本定理
?
?
k
??
1

1
?
k
?
?
0
?

二.平面向量的坐标表示
1平面向量的坐标表示:在直角坐标系中,分别取与x轴、y轴方向 相同的两个
rr
r
单位向量
i,j
作为基底由平面向量的基本定理知 ,该平面内的任一向量
a
可表示
rr
r
rr

a? xi?yj
,由于
a
与数对(x,y)是一一对应的,因此把(x,y)叫做向量a
的坐标,
rr
记作
a
=(x,y),其中x叫作
a< br>在x轴上的坐标,y叫做在y轴上的坐标
(1)相等的向量坐标相同,坐标相同的向量是相等的向量
(2)向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无关,只
与其相对位置有关
2平面向量的坐标运算:
r
rr
r
(1) 若
a?
?
x
1
,y
1
?
,b?
?
x
2
,y
2
?
,则
a?b?
?
x
1
? x
2
,y
1
?y
2
?

uuur
(2) 若
A
?
x
1
,y
1?
,B
?
x
2
,y
2
?
,则
AB?
?
x
2
?x
1
,y
2
?y
1
?

rr
(3) 若
a
=(x,y),则
?
a
=(
?
x,
?
y)
r
r
r
r
(4) 若
a?
?
x
1
,y
1
?
,b?
?
x
2
,y
2
?
,则
ab?x
1
y
2
? x
2
y
1
?0

r
r
r
r
(5) 若
a?
?
x
1
,y
1
?
,b?
?
x
2
,y
2< br>?
,则
a?b?x
1
?x
2
?y
1
?y
2

r
r

a?b
,则
x
1
?x
2
?y
1
?y
2
?
0

3向量的运算向量的加减法,数与向量的乘积,向量的数量(内积)及其各运算
4



的坐标表示和性质
运几何方法



向 1平行四边形法则
量 2三角形法则



坐标方法 运算性质
r
r
?
??
?
a?b?(x
1
?x
2
,y
1
?y
2
)

a
?
b
?
b
?
a

?
?
??
?
?
(a
?
b)
?c
?
a
?
(b
?
c)

uuuruuuruuur
AB?BC?AC

?
?
??
r
r
a?b?(x
1
?x
2
,y
1
?y
2
)

a
?
b
?
a
?
(
?
b)

向 三角形法则









uuuruuur
AB??BA

uuuruuuruuur
OB?OA?AB

?
a
是一个向量,
满足:
?
?
?
>0 时,
?
a

a

向;
?
?
?< br><0时,
?
a

a

向;
?
?
?
=0时,
?
a
=
0

?
?
a?(
?
x,
?
y)

?
(
?
a)?(
??
)a

???
(
?
?
?
)
a
?
?
a
?
?
a

?
?
?
?
?
(
a
?
b
)?
?
a
?
?
b

??< br>?
?
?
?
a

b
?
a
?< br>?
b


?
?
a
?
b
是一个数


?
?
?
?
a?
0

b?0
时,


?
?
a
?
b
=0

?
?
?
?
a?
0

b?0
时,
r
r
a?b?x
1
x
2
?y
1
y
2

?
?
?
?
a
?
b
?
b
?
a

?
?
?
?
?
?
(
?
a)
?
b
?
a
?
(
?
b)
?
?
(a
?
b)

?
?< br>???
?
?
(
a
?
b
)?
c
?
a
?
c
?
b
?
c

???
a
2
?
|a|
2
,
|a|?x
2< br>?y
2

?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
a?b?
|
a
||
b
|c os
?a
,
b?

|a
?
b|
?
|a||b|

rrrr
rrrrr
r
例1 已知向量
a?(1,2),b?(x, 1),u?a?2b

v?2a?b
,且
uv
,求实数
x< br>的

rrr
rrrrr
解:因为
a?(1,2),b?(x ,1),u?a?2b

v?2a?b

rr
所以
u?(1 ,2)?2(x,1)?(2x?1,4)

v?2(1,2)?(x,1)?(2?x,3)

rr
又因为
uv

所以
3(2x?1)?4(2?x)?0
,即
10x?5

1
解得
x?

2
5



例2已知点
A(4,0),B(4,4),C(2,6)
,试用向量方法求直线
AC< br>和
OB

O
为坐标原
点)交点
P
的坐标 < br>uuuruuur
解:设
P(x,y)
,则
OP?(x,y),AP? (x?4,y)

因为
P

AC

OB
的交点
所以
P
在直线
AC
上,也在直线
OB

uuuruuuruuuruuur
即得
OPOB,APAC

uu uruuur
由点
A(4,0),B(4,4),C(2,6)
得,
AC?( ?2,6),OB?(4,4)

?
6(x
?
4)
?
2y
?
0
得方程组
?

4x
?
4y?
0
?
?
x
?
3
解之得
?

?
y
?
3
故直线
AC

OB
的交 点
P
的坐标为
(3,3)


三.平面向量的数量积
1两个向量的数量积:
r
r
r
r
r
r
已 知两个非零向量
a

b
,它们的夹角为
?
,则
a< br>·
b
=︱
a
︱·︱
b
︱cos
?

r
r
r
r
叫做
a

b
的数量积( 或内积) 规定
0?a?0

r
r
rr
r
a
?
b
2向量的投影:︱
b
︱cos
?
=
r
∈R,称为向量
b

a
方向上的投影投影的绝对
|a|
值 称为射影
r
r
r
rr
3数量积的几何意义:
a
·
b
等于
a
的长度与
b

a
方向上的投影 的乘积
rrrr
4向量的模与平方的关系:
a?a?a
2
?|a|
2

5乘法公式成立:
r
r
r
r
r< br>2
r
2
r
2
r
2
a?b?a?b?a?b? a?b

????
r
r
rr
rr
?
a? b
?
?a?2a?b?b
2
22
r
2
r
r r
2
?a?2a?b?b

6平面向量数量积的运算律:
r
rr
r
①交换律成立:
a?b?b?a

rr
r
r
r
r
②对实数的结合律成立:
?
?a
?
?b?
?
a?b?a?
?
b
?
?
?R
?

????
r
r
rrr
r
rrr
r
③分配律成立:
?
a?b
?
?c?a?c?b?c ?c?
?
a?b
?

r
r
rr
r
r
特别注意:(1)结合律不成立:
a?
?
b?c
?
??
a?b
?
?c

r
r
rr
(2)消去律不成立
a?b?a?c

r
r
不能得到
b?c?

6


< br>r
r
r
r
r
r
(3)
a?b
=0不 能得到
a
=
0

b
=
0

7两个向量的数量积的坐标运算:
r
r
r
r
已知两个向量
a?(x
1
,y
1
),b?(x
2
,y
2
)
,则
a
·
b
=
x
1
x
2
?y
1
y
2

ruuur
r
uuurr
r
8向量的夹角:已知两个非零向量
a

b
,作
O A
=
a
,
OB
=
b
,则∠AOB=
?

r
r

0?
?
?180
)叫做向量
a

b
的 夹角
r
r
r
r
x
1
x
2
?y
1
y
2
a
?
b
cos
?
=
cos
?
a,b
??
r
r
=
2222< br>a
?
b
x
1
?
y
1
?
x< br>2
?
y
2
00
rr
rr
0
当且仅当 两个非零向量
a

b
同方向时,θ=0,当且仅当
a
b
反方向时θ
=180
0
,同时
0
r
与其它任 何非零向量之间不谈夹角这一问题
r
r
r
r
r
r
0
9垂直:如果
a

b
的夹角为90则称
a
b
垂直,记作
a

b

10两个非零向量垂直的充要条件

?
?
?
?
a

b
?
a
·
b
=O
?
x
1
x
2
?y
1
y
2
?
0
平面向量 数量积的性质
例1 判断下列各命题正确与否:
r
r
r
(1)< br>0?a?0
;(2)
0?a?0

r
r
rr
r
rr
(3)若
a?0,a?b?a?c
,则
b?c

r
rr
r
rrr
r
⑷若
a?b?a?c
, 则
b?c
当且仅当
a?0
时成立;
r
r
rrr
r
r
r
r
(5)
(a?b)?c?a?(b?c)< br>对任意
a,b,c
向量都成立;
rr
2
r
(6)对 任意向量
a
,有
a
2
?a

解:⑴错; ⑵对; ⑶错; ⑷错; ⑸ 错;⑹对

r
rrr
rr
r
rr
0
例2已知两单位向量
a

b
的夹角为
12 0
,若
c?2a?b,d?3b?a
,试求
c

r
d
的夹角
r
r
r
r
解:由题意,
a?b?1,且
a

b
的夹角为
120
0

r
r
r
r
1
所以,
a?b?abcos120
0??

2
r
r
r
r
r
2
r
rr
2
r
2
rr
Qc?c?c?
(2a?b)?( 2a?b)
?4a?4a?b?b?7

7



r
?c?7

r
同理可得
?d?13
r
r
r
2
r
r
r
r
r
rr
17

c?d?
(2a?b)?(3b?a)?7a?b?3b?2a
2
??

2
r
r

?

c

d
的夹角,

cos
?
?
17< br>2713
??
1791
1791

?
?
?
?
?arccos

182
182
点评:向量的模的求法和向量间的乘法计算可见一斑
r
r
rr
r
rr
r
例3 已知
a?
?
4,3
?

b?
?
?1,2
?
m?a?
?
b,
n?2a?b
,按下列条件求实数
?
的 值

rr
rrrr
(1)
m?n
;(2)
mn

(3)m?n

r< br>rrrr
r
解:
m?a?
?
b?
?
4??
,3?2
?
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