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必修4-平面向量知识点总结

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-19 12:16
tags:高中数学必修四知识点总结

高中数学教师简历-高中数学三角函数表达式

2020年9月19日发(作者:席泽宗)


平面向量知识点小结
一、向量的基本概念
1.向量的概念:既有大小又有方向的量,注意向量和数量的区别.向量常用有向线段来表示.
注意:不能说向量就是有向线段,为什么?

提示:向量可以平移.
举例1 已知
A(1,2)

B(4,2)
,则把向量
A B
按向量
a?(?1,3)
平移后得到的向量是_____. 结果:
(3,0)

2.零向量:长度为0的向量叫零向量,记作:
0
,规定:零向量的方向是任意的;
3.单位向量:长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与
AB
共线的单位向量是< br>?
AB
|AB|
);
4.相等向量:长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量,相等向量有传递性;
5.平行向 量(也叫共线向量):方向相同或相反的非零向量
a

b
叫做平行向量,记作 :
a

b

规定:零向量和任何向量平行.
注:①相等向量一定是共线向量,但共线向量不一定相等;
②两个向量平行与与两条直线平行 是不同的两个概念:两个向量平行包含两个向量共线,但两条直线平行不包含两条直线重合;
③平行向量无传递性!(因为有
0
);
④三点
A、B、C
共线
?AB、 AC
共线.
6.相反向 量:长度相等方向相反的向量叫做相反向量.
a
的相反向量记作
?a
.
举例2 如下列命题:(1)若
|a|?|b|
,则
a?b
.
(2)两个向量相等的充要条件是它们的起点相同,终点相同.
(3)若
AB?DC
,则
ABCD
是平行四边形.
(4)若
ABCD
是平行四边形,则
AB?DC
.
(5)若
a?b

b?c
,则
a?c
.
(6)若
ab

bc

ac
.其中正确的是 . 结果:(4)(5)
二、向量的表示方法
1.几何表示:用带箭头的有向线段表示,如
AB
,注意起点在前,终点在后; 2.符号表示:用一个小写的英文字母来表示,如
a

b

c< br>等;
3.坐标表示:在平面内建立直角坐标系,以与
x
轴、
y
轴方向相同的两个单位向量
i,j
为基底,则平面内的
任一向量
a
可表示为
a?xi?yj?(x,y)
,称
(x,y)
为向量
a的坐标,
a?(x,y)
叫做向量
a
的坐标表示.
结论:如果向量的起点在原点,那么向量的坐标与向量的终点坐标相同.
三、平面向量的基本定理
定理 设
e
1
,e
2
同一平面内的一组基底向量,则存在唯一实数对
(
?
1
,
?
2
)
,使
a?
?
e
?
e
.
a< br>是该平面内任一向量,
11
?
22
(1)定理核心:
a?λ< br>1
e
1

2
e
2
;(2)从左向右看,是 对向量
a
的分解,且表达式唯一;反之,是对向量
a
的合成.
(3 )向量的正交分解:当
e
1
,e
2
时,就说
a?λ
1
e
1

2
e
2
为对向量
a
的 正交分解.

举例3 (1)若
a?(1,1)

b?(1,?1 )

c?(?1,2)
,则
c?
. 结果:
a?b
.
(2)下列向量组中,能作为平面内所有向量基底的是 B
13
?
A.
e
1
?(0,0)

e< br>2
?(1,?2)
B.
e
1
?(?1,2)< br>,
e
2
?(5,7)
C.
e
1
?(3,5)

e
2
?(6,10)
D.
e
1
?(2,?3)

e
2
?
?
?
,?< br>?

?
24
?
1
2
3
2
2 4
(3)已知
AD,BE
分别是
△ABC
的边
BC

AC
上的中线,且
AD?a

BE?b
,则
BC
可用向量
a,b
表示为 . 结果:
a?b
.
33
(4)已知
△ABC
中,点
D

BC
边上,且
CD?2DB

CD?rAB?sAC
,则
r?s?
的值是 . 结果:0.
四、实数与向量的积
实数
?与向量
a
的积是一个向量,记作
?
a
,它的长度和方向规定如下 :
(1)模:
|
?
a|?|
?
|?|a|
; < br>(2)方向:当
?
?0
时,
?
a
的方向与
a
的方向相同,当
?
?0
时,
?
a
的方向与
a
的方向相反,当
?
?0
时,
?
a?0

注意:
?
a?0
.
五、平面向量的数量积
1.两个向量 的夹角:对于非零向量
a

b
,作
OA?a

OB ?b
,则把
?AOB?
?
(0?
?
?
?
)
称为向量
a

b
的夹角.
?

?
?0
时,
a

b
同向;当
?
?
?
时,
a

b
反向;当
?
?
时,
a

b
垂直.
2
2.平面向量的数量积:如果两个非零向量
a
b
,它们的夹角为
?
,我们把数量
|a||b|cos
?
叫做
a

b
的数量积
(或内积或点积),记作:
a?b
,即
a?b?|a|?|b|cos
?
.
规定:零向量与任一向量的数量积是0.
注:数量积是一个实数,不再是一个向量.
举例4 (1)
△ABC
中,
|AB|?3

|AC|? 4

|BC|?5
,则
AB?BC?
_________. 结果:
?9
.
1
?
1
?
?
?
( 2)已知
a?
?
?
1,
?

b?
?
0,?
?

c?a?kb

d?a?b

c
d
的夹角为,则
k?
____. 结果:1.
?< br>2
??
2
?
4
(3)已知
|a|?2
|b|?5

a?b??3
,则
|a?b|?
____. 结果:
23
.
(4)已知
a,b
是两个非零向量,且
|a |?|b|?|a?b|
,则
a

a?b
的夹角为____. 结果:
30
.
3.向量
b
在向量
a
上的投影:< br>|b|cos
?
,它是一个实数,但不一定大于0.


举例5 已知
|a|?3

|b|?5
,且
a?b?12
,则向量< br>a
在向量
b
上的投影为______. 结果:
12
.
5
4.
a?b
的几何意义:数量积
a?b
等于
a
的模
|a|

b

a
上的投影的积.
5.向量数量积的性质:设两个非零向量
a

b
,其夹角为
?
,则:
(1)
a?b?a?b?0

(2 )当
a

b
同向时,
a?b?|a|?|b|
,特别地,< br>a
2
?a?a?|a|
2
?|a|?a
2

a?b?|a|?|b|

a

b
同向的充要分条件; < br>当
a

b
反向时,
a?b??|a|?|b|
a?b??|a|?|b|

a

b
反向的充要分条件;
?
为锐角时,
a?b?0
,且
a

b
不同向,
a?b?0

?
为锐角的必要不充分条件;

?
为钝角时,
a?b?0
,且
a

b
不反向;a?b?0

?
为钝角的必要不充分条件.
(3)非零向量
a

b
夹角
?
的计算公式:
cos
?
?a?b
|a||b|
;④
a?b?|a||b|
.
4
3
1
3
举例6 (1)已知
a?(
?
,2
?
)

b?(3
?
,2)
,如果
a< br>与
b
的夹角为锐角,则
?
的取值范围是______. 结果:
?
??

?
?0

?
?

(2)已知
△OFQ
的面积为
S
,且
OF?FQ?1
,若
??
?
13
,则
OF

FQ
夹角< br>?
的取值范围是_________. 结果:
?
?S?
?
,
?

22
?
43
?
k
2
?1
1
(k?0)
;②最小值为,< br>?
?60
.
4k
2
(3)已知
a?(cosx,s inx)

b?(cosy,siny)
,且满足
|ka?b|?3|a?k b|
(其中
k?0
).
①用
k
表示
a?b
;②求
a?b
的最小值,并求此时
a

b
的夹角
?
的大小. 结果:①
a?b?
六、向量的运算
1.几何运算
(1)向量加法
运算法则:①平行四边形法则;②三角形法则.
运算形式:若AB?a

BC?b
,则向量
AC
叫做
a
与< br>b
的和,即
a?b?AB?BC?AC

作图:略.
注:平行四边形法则只适用于不共线的向量.
(2)向量的减法
运算法则:三角形法则.
运算形式:若
AB?a

AC?b
,则
a?b?AB?AC?CA
,即由减向量的终点指向被减向量的终点.
作图:略.
注:减向量与被减向量的起点相同.
举例7 (1)化简:①
AB?BC?CD?
;②
AB?AD?DC?
;③
(AB?CD)?(AC?BD)?
. 结果:①
AD
;②
CB
;③
0

(2)若正方形
ABCD
的边长为1,
AB?a

BC?b

AC ?c
,则
|a?b?c|?
. 结果:
22
; < br>(3)若
O

△ABC
所在平面内一点,且满足
OB?OC? OB?OC?2OA
,则
△ABC
的形状为
.
结果:直角三角形;
(4)若
D

△ABC
的边
BC
的中点,
△ABC
所在平面内有一点
P
,满足
PA?B P?CP?0
,设
|AP|
?
?
,则
?
的值为 . 结果:2;
|PD|
(5)若点
O

△ABC
的外心,且
OA?OB?CO?0
,则
△ABC
的内角
C
为 . 结果:
120
.
2.坐标运算:设
a?(x
1
, y
1
)

b?(x
2
,y
2
)
, 则
(1)向量的加减法运算:
a?b?(x
1
?x
2
,y
1
?y
2
)

a?b?(x
1
?x
2
,y
1
?y
2
)
.
举例8 (1)已知点
A(2,3)

B(5,4)

C(7,10)
,若
AP?AB?
?
AC(
?
?R)
,则当
?
?____时,点
P
在第一、三象限的角平分线上. 结果:
(2)已知< br>A(2,3)

B(1,4)
,且
1
??
?
?
AB?(sinx,cosy)

x,y?(?,)
,则
x?y?
.结果:或
?

22262
1

2
(3)已知作用在点
A(1,1)
的三个力
F
1
?(3 ,4)

F
2
?(2,?5)

F
3
?( 3,1)
,则合力
F?F
1
?F
2
?F
3
的终点坐标是 . 结果:
(9,1)
.
(2)实数与向量的积:?
a?
?
(x
1
,y
1
)?(
?x
1
,
?
y
1
)
.
(3)若
A(x
1
,y
1
)

B(x
2
,y2
)
,则
AB?(x
2
?x
1
,y
2
?y
1
)
,即一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点
坐 标减去起点坐标.
举例9 设
A(2,3)

B(?1,5)
, 且
AC?AB

AD?3AB
,则
C,D
的坐标分别是__ ________. 结果:
(1,),(?7,9)
.
1
3
11
3
(4)平面向量数量积:
a?b?x
1
x
2
?y
1
y
2
.
举例10 已知向量
a?(sinx,c osx)

b?(sinx,sinx)

c?(?1,0)
. < br>(1)若
x?
?
3
,求向量
a

c
的夹角;
11
3
??
(1)
150
;(2)或
? 2?1
.
,]
,函数
f(x)?
?
a?b
的最大 值为,求
?
的值.结果:
22
84
(2)若
x?[?
(5)向量的模:
a
2
?|a|
2
?x
2
?y< br>2
?|a|?x
2
?y
2
.
举例11 已知a,b
均为单位向量,它们的夹角为
60
,那么
|a?3b|?
= . 结果:
13
.
(6)两点间的距离:若
A(x< br>1
,y
1
)

B(x
2
,y
2)
,则
|AB|?(x
2
?x
1
)
2
?(y
2
?y
1
)
2
.


举例12 如图,在平面斜坐标系
xOy
中,
?xOy?60
,平面上任一点
P
关于斜坐标系
的斜坐标是这样定义的:若
OP?xe
1
?ye2
,其中
e
1
,e
2
分别为与
x
轴、
y
轴同方向的单
位向量,则
P
点斜坐标为
(x,y)
.
(1)若点
P
的斜坐标为
(2,?2)
,求
P

O
的距离< br>|PO|

(2)求以
O
为圆心,1为半径的圆在斜坐标系
xOy
中的方程.
结果:(1)2;(2)
x
2
?y
2
?xy?1?0
.
O
y

60


x

七、向量的运算律
1.交换律:
a?b?b?a

?
(< br>?
a)?(
??
)a

a?b?b?a

2.结合律:
a?b?c?(a?b)?c

a?b?c?a?(b?c)

(
?
a)b?
?
(a?b)?a?(
?
b)

3.分配律:
(
?
?
?
)a?
?
a ?
?
a

?
(a?b)?
?
a?
?
b

(a?b)?c?a?c?b?c
.
举例13 给出下列命题:①
a?(b?c)?a?b?a?c
;②
a?(b?c)?(a?b)?c
;③
(a?b)
2
?|a|2
?2|a||b|?|b|
2

④ 若
a?b?0
,则
a?0

b?0
;⑤若
a?b?c?b

a? c
;⑥
|a|
2
?a
2
;⑦
a?bb
?< br>;⑧
(a?b)
2
?a
2
?b
2
;⑨
(a?b)
2
?a
2
?2a?b?b
2
.
a
2
a
其中正确的是 . 结果:①⑥⑨.
说明:(1)向量运算和实数运算有类似的地方也有区别:对于一个向量等式,可以移项,两边平方、两边同乘以 一个实数,两边同时取模,两边同乘以一个
向量,但不能两边同除以一个向量,即两边不能约去一个向量 ,切记两向量不能相除(相约);
(2)向量的“乘法”不满足结合律,即
a?(b?c)?(a?b)?c
,为什么?
八、向量平行(共线)的充要条件
ab?a
?
b?(a?b)
2< br>?(|a||b|)
2
?x
1
y
2
?y
1< br>x
2
?0
.
举例14 (1)若向量
a?(x,1)
b?(4,x)
,当
x?
_____时,
a

b
共线且方向相同. 结果:2.
(2)已知
a?(1,1)
b?(4,x)

u?a?2b

v?2a?b
,且
uv
,则
x?
. 结果:4.
(3) 设
PA?(k,12)

PB?(4,5)

PC?(10,k)< br>,则
k?
_____时,
A,B,C
共线. 结果:
?2
或11.
九、向量垂直的充要条件
a?b?a?b?0?|a ?b|?|a?b|?x
1
x
2
?y
1
y
2
?0
.
特别地
?
?
?
ABAC
??
A BAC
?
??
??
??
|AB||AC|
?
?.
|AB||AC|
????
?
3

2
举例15 (1)已知
OA?(?1,2)

OB?(3,m)
,若
OA?OB
,则
m?
.结果:
m?(2)以原点
O

A(4,2)
为两个顶点作等腰直角三角形
O AB

?B?90?
,则点
B
的坐标是 .结果:(1,3)或(3,-1));
(3)已知
n?(a,b)
向量
n ?m
,且
|n|?|m|
,则
m?
的坐标是 .结果:
(b,?a)

(?b,a)
.
十、线段的定比分点 < br>?
?
PP
2
,则实数
?
叫做点
P
1 .定义:设点
P
是直线
PP
1
12
上异于
P
1

P
2
的任意一点,若存在一个实数
?
,使
PP
分有向线段
P
1
P
2
所成的比
?
,< br>P
点叫做有向线段
P
1
P
2
的以定比为
?< br>的定比分点.
2.
?
的符号与分点
P
的位置之间的关系 < br>(1)
P
内分线段
P
1
P
2
,即点
P
在线段
PP
12

?
?
?0

(2)
P
外分线段
P
1
P
2
时,①点
P
在线段
PP
1
,②点
P
在线段
PP
12< br>的延长线上
?
?
??
12
的反向延长线上
??1?< br>?
?0
.
注:若点
P
分有向线段
PP
所成 的比为
?
,则点
P
分有向线段
PP
所成的比为
1< br>.
1221
?
举例16 若点
P

AB
所成的比为
37
,则
A

BP
所成的比为 . 结果:
?
.
43
3.线段的定比分点坐标公式:
?
x?
?
?

P

P(x,y)
分有向线段
P< br>1
P
2
所成的比为
?
,则定比分点坐标公式为
?1
(x
1
,y
1
)

P
2
( x
2
,y
2
)

?
y?
?
?x
1
?
?
x
2
,
1?
?
(< br>?
??1)
.
y
1
?
?
y
2< br>.
1?
?
x?x
?
x?
12
,
?< br>?
2
特别地,当
?
?1
时,就得到线段
PP

12
的中点坐标公式
?
y?y
2
?
y?
1
.
?
?2
说明:(1)在使用定比分点的坐标公式时,应明确
(x, y)

(x
1
,y
1
)

(x
2
,y
2
)
的意义,即分别为分点,起点,终点的坐标.
(2)在具 体计算时应根据题设条件,灵活地确定起点,分点和终点,并根据这些点确定对应的定比
?
.

举例17 (1)若
M(?3,?2)

N(6,?1)
,且
MP??MN
,则点
P
的坐标为
.
结果:
(?6,?)


(2)已知
A(a,0)
B(3,2?a)
,直线
y?ax
与线段
AB
交于
M< br>,且
AM?2MB
,则
a?
. 结果:2或
?4
.
1
2
1
3
7
3

十一、平移公式



x
?
?x?h,
如果点
P(x,y)按向量
a?(h,k)
平移至
P(x
?
,y
?
)
,则
?
;曲线
f(x,y)?0
按向量
a?(h,k)< br>平移得曲线
?
?
y
?
?y?k.
f(x?h,y?k )?0
.
说明:(1)函数按向量平移与平常“左加右减”有何联系?(2)向量平移具有坐 标不变性,可别忘了啊!
举例18 (1)按向量
a

(2,?3)平移到
(1,?2)
,则按向量
a
把点
(?7,2)
平 移到点______. 结果:
(?8,3)


?
(2) 函数
y?sin2x
的图象按向量
a
平移后,所得函数的解析式是
y ?cos2x?1
,则
a?
________. 结果:
(?,1)
.
4
十二、向量中一些常用的结论
1.一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量,要注意运用;
2.模的性质:
|a|?|b|?|a?b|?|a|?|b|
.

(1)右边等号成立条件:
a、 b
同向或
a、 b
中有
0
?|a?b|?|a|?|b|

(2)左边等号成立条件:
a、 b
反向或
a、 b
中有
0
?|a?b|?|a|?|b|

(3)当
a、 b
不共线
?|a|?|b|?|a?b|?|a|?|b|
.
3.三角形重心公式


△ABC
中,若
A(x
1
,y
1
)

B(x
2
,y
2
)

C(x
3
,y
3
)
,则其重心的坐标为
G(
x
1
?x
2
?x
3
y
1
?y
2
?y
3
,)
.
33
24
??
?
举例19 若
△ABC
的三边的 中点分别为
A(2,1)

B(?3,4)

C(?1,?1),则
△ABC
的重心的坐标为 .结果:
?
?
?,
?
.
33

5.三角形“三心”的向量表示

1
(1)
PG?(PA?PB? PC)?G


ABC
的重心,特别地
PA?PB?PC?0?G< br>为

ABC
的重心.
3
(2)
PA?PB?PB? PC?PC?PA?P


ABC
的垂心.
(3)
|AB |PC?|BC|PA?|CA|PB?0?P


ABC
的内心;向量?
?
?
心.
6.点
P
分有向线段
P
1
P
2
所成的比
?
向量形式
设点
P
分有 向线段
P
1
P
2
所成的比为
?
,若
M为平面内的任一点,则
MP?
P
1
P
2
的中点
?MP?
?
ABAC
?
?
?
(
?
?0)< br>所在直线过

ABC
的内
|AB||AC|
??
?< br>MP
1
?
?
MP
2
,特别地
P
为有 向线段
1?
?
MP
1
?MP
2
.
2

7. 向量
PA,PB,PC
中三终点
A,B,C共线
?
存在实数
?
,
?
,使得
PA?
?
PB?
?
PC

?
?
?
?1

举例20 平面直角坐标系中,
O
为坐标原点,已知两点
A(3,1)
B(?1,3)
,若点
C
满足
OC?
?
1< br>OA?
?
2
OB
,其中
?
1
,
?< br>2
?R

?
1
?
?
2
?1
,则点
C
的轨迹是 .
结果:直线
AB
.


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本文更新与2020-09-19 12:16,由作者提供,不代表本网站立场,转载请注明出处:https://www.bjmy2z.cn/gaokao/404334.html

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