高中数学必修四向量知识点备课讲稿

高数学必修
知识点
向中四量

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向量知识点总结
一、向量的概念
（1）向量：既有大小，又有方向的量；
（2）数量：只有大小，没有方向的量；
（3）有向线段的三要素：起点、方向、长度；
（4）零向量：长度为
0
的向量；
（5）单位向量：长度等于
1
个单位的向量；
（6）平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量与任一向量
平行；
（7）相等向量：长度相等且方
向相同的向量。
二、向量加法运算
⑴三角形法则的特点：首尾相
连．
⑵平行四边形法则的特点：共起点．




r
r
r
r
r
r
⑶ 三角形不等式：
a?b?a?b?a?b
．
⑷运算性质：
r
r< br>r
rr
r
r
r
rr
①交换律：
a?b?b? a
；②结合律：
a?b?c?a?b?c
；
????
r
rr
rr
③
a?0?0?a?a
。
C

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a

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b

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r
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⑸坐标运算：设
a?
?
x
1
,y
1
?
，
b?
?
x
2
,y
2
?
，则
a?b?
?
x
1
?x
2
,y
1
?y
2
?
。
三、向量减法运算
⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量；
r
r
r
r
⑵坐标运算：设
a?
?
x
1
,y
1
?
，
b?
?
x
2
,y
2
?
，则
a?b?
?
x
1
?x
2
, y
1
?y
2
?
，
uuur
设
?
、
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两点的坐标分别为
?
x
1
,y
1
?< br>，
?
x
2
,y
2
?
，则
????
x
1
?x
2
,y
1
?y
2
?
。
四、向量数乘运算
rr
⑴实数
?
与向量
a
的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作
?
a
；
rr
①
?
a?
?
a
；
rrrr
②当
?
?0
时，
?
a
的方向与
a
的方向相 同；当
?
?0
时，
?
a
的方向与
a
的方向 相
r
r
反；当
?
?0
时，
?
a?0
；
r
r
r
r
rrrrr
⑵运算律：①
?
?
?
a
?
?
?
??
?
a
；②< br>?
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?
?
?
a?
?
a?
?
a
；③
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a?b?
?
a?
?
b
；
??
rr
⑶坐标运算：设
a?
?
x,y
?
，则< br>?
a?
?
?
x,y
?
?
?
?
x,
?
y
?
；
五、向量共线定理
r
r
r
rr
r
向量
aa?0
与
b
共线，当且仅当有唯 一一个实数
?
，使
b?
?
a
；
??
r< br>r
r
r
b
设
a?
?
x
1
, y
1
?
，
b?
?
x
2
,y
2?
，其中
?0
，则当且仅当
x
1
y
2
?x
2
y
1
?0
时，向量
r
rr
r
a
、
bb?0
共线；
??
六、平面向量基本定理
ur uur
如果
e
1
、
e
2
是同一平面内的两个不共线 向量，那么对于这一平面内的任意向量
uruur
uruur
r
r
?
?
a
，有且只有一对实数
1
、
2
，使
a?
?
1
e
1
?
?
2
e
2
． （不共线的向量
e
1
、
e
2
作为
这一平面内所有向 量的一组基底）
七、分点坐标公式
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设点
?
是线段
?
1
?< br>2
上的一点，
?
1
、
?
2
的坐标分别是?
x
1
,y
1
?
，
?
x
2< br>,y
2
?
，当
uuuruuur
?
x?
?< br>x
2
y
1
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y
2
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,< br>?
1
??
?
??
2
时，点
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的坐标 是
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1
?
；
1?
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??
1?
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八、平面向量的数量积
rr
r
r
r
r
r
r
⑴
a?b?abco s
?
a?0,b?0,0
o
?
?
?180
o
．零向量与任一向量的数量积为
0
；
??
r
r
r
r
r
r
r
r
⑵性质：设
a
和
b
都是非零向量，则①
a?b?a?b?0
．②当
a
与
b
同向 时，
r
r
r
r
r
r
r
r
rrrr
2
rrr
r
r
a?b?ab
；当
a
与b
反向时，
a?b??ab
；
a?a?a
2
?a
或
a?a?a
．③
r
r
r
r
a?b?ab
；
r
r
rr
r
r
r
r
r
r< br>⑶运算律：①
a?b?b?a
；②
?
?
a
?
?b?
?
a?b?a?
?
b
；③
????
?
r
r
rrr
r
r
a?b?c?a?c?b?c
；
?
r
r
r
r
⑷坐标运算：设两个非零向量
a?
?
x
1
,y
1
?
，
b?
?
x
2
,y
2
?
，则
a?b?x
1
x
2?y
1
y
2
，
r
r
2
r
若
a?
?
x,y
?
，则
a?x
2
?y
2
，或
a?x
2
?y
2
；
r
r
r
r
设
a?
?
x
1
,y
1
?< br>，
b?
?
x
2
,y
2
?
，则
a?b?x
1
x
2
?y
1
y
2
?0；
r
r
r
r
r
r
设
a
、< br>b
都是非零向量，
a?
?
x
1
,y
1
?
，
b?
?
x
2
,y
2
?
，< br>?
是
a
与
b
的夹角，则
r
r
x1
x
2
?y
1
y
2
a?b
cos?
?
r
r
?
；
2222
ab
x1
?y
1
x
2
?y
2

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