苏教版高中数学必修5课本电子版-高中数学特别的公式关于三角形
三角函数典型考题归类
1.根据解析式研究函数性质
例1(天津理)已知函
数
f(x)?2cosx(sinx?cosx)?1,x?R
.
(Ⅰ)求函数f(x)
的最小正周期;(Ⅱ)求函数
f(x)
在区间
?
,?
上的最小值和最大值.
84
【相关高考1】(湖南文)已知函数
f(
x)?1?2sin
2
?
x?
?
π3π
?
???
?
π
?
π
?
π
???
?2sinx
?cosx?
?????
.
8
?
8
?
8
???
求:(I)函数
f(x)
的最小正周期;(II)函数
f(x)
的单调增区间.
【相关高考2】(湖南理)已知函数
f(x)?cos
2
?
x?
?
?
π
?
1
,
g(x)?1?si
n2x
.
?
12
?
2
(I)设
x?x
0
是函数
y?f(x)
图象的一条对称轴,求
g(x
0
)的值.(II)求函数
h(x)?f(x)?g(x)
的单调递增区
间.
2.根据函数性质确定函数解析式
例2(江西)如图,函数
y?2cos(
?
x?
?
)(x?R,
?
>0,≤0
?
≤)
的图象与
y
轴相交于点
(0,3)
,且该函数的
最小正周期为?
.
(1)求
?
和
?
的值;
π
2
y
3
?
π
?
0
?
,点
P
是该函数图象上一点,点
Q(x
0
,y
0<
br>)
是
PA
的中点,(2)已知点
A
?
,
2<
br>??
当
y
0
?
P
x
O
A
3
?
π
?
,
x
0
?
?
,
π
?
时,求
x
0
的值.
2
?
2
?
?
?
π
?
π
??
2
?
x
?sin
?
x??2cos,x?R<
br>(其中
?
?0
),(I)
???
6
?
6?
2
?
【相关高考1】(辽宁)已知函数
f(x)?sin
?<
br>?
x?
求函数
f(x)
的值域; (II)(文)若函数
y?
f(x)
的图象与直线
y??1
的两个相邻交点间的距离为
π
,求函
数
2
y?f(x)
的单调增区间.
(理)若对任意的
a?R
,函数
y?f(x)
,
x?(a,a?π]
的图象与直线
y??1
有且仅有两个不同的交点,试确定
?
的值(不必证明),并求函数
y?f(x
),x?R
的单调增区间.
【相关高考2】(全国Ⅱ)在
△ABC
中,已知
内角
A?
?
,边
BC?23
.设内角
B?x
,周长
为
y
.
?
(1)求函数
y?f(x)
的解析式和定义域;
(2)求函数
y?f(x)
的最大值.
3.三角函数求值
例3(四川)已知cosα=
1
π
13
,cos(α-β)=,且0<β<α
<,(Ⅰ)求tan2α的值;(Ⅱ)求β.
72
14
【相关高考1】(重庆文)已
知函数f(x)=
?
??
2cos
?
2x?
?
4<
br>??
sin(x?
?
2
.(Ⅰ)求f(x)的定义域;(Ⅱ)若角a在
第一象限,且
)
3
cosa?,求f(a)。
5
【相关高考2】(重庆理)设f
(
x
) =
6cosx?3sin2x
(1)求f(
x
)
的最大值及最小正周期;(2)若锐角
?
满足
2
4
f(
?<
br>)?3?23
,求tan
?
的值.
5
4.三角形中的函数求值
例4(全国Ⅰ)设锐角三角形ABC的内角A
,
B
,
C的对边分别为a
,
b
,
c,
a?2
bsinA
.
(Ⅰ)求B的大小;(文)(Ⅱ)若
a?33
,
c?
5
,求b.(理)(Ⅱ)求
cosA?sinC
的取值范围.
【相关高考1
】(天津文)在
△ABC
中,已知
AC?2
,
BC?3
,<
br>cosA??
(Ⅰ)求
sinB
的值;(Ⅱ)求
sin
?2B?
4
.
5
?
?
?
?
?
的值.
6
?【相关高考2】(福建)在
△ABC
中,
tanA?
13
,tanB?
.(Ⅰ)求角
C
的大小;文(Ⅱ)若
AB
边的长为<
br>17
,
45
求
BC
边的长.理(Ⅱ)若
△ABC最大边的边长为
17
,求最小边的边长.
5.三角与平面向量
ruuur
uuu
例5(湖北理)已知
△ABC
的面积为
3
,且满足0≤
AB?AC
≤
6
,设
AB
和
AC<
br>的夹角为
?
.(I)求
?
的取值范
围;
(II)求
函数
f(
?
)?2sin
?
2
?
π
??
?
?
?3cos2
?
的最大值与最小值.
?
4
?
【相关高考1】(陕西)设函数
f
?
x
?
?
a?b
,
?
?
?
其中向量
a?(m,cos2x),b?
(1?sin2x,1),x?R
,且函数y=f(x)的图象经过点
?
,2
?
,
?
4
?
(Ⅰ)求实数m的值;(Ⅱ)求函数f(x)的最小值
及此时
x
的值的集合.
【相关高考2】(广东)已知ΔABC三个顶点的直角坐标分
别为A(3,4)、B(0,0)、C(
c
,0).
(文)(1)若
AB?AC?0
,求
c
的值;(理)若∠A为钝角,求c的取值范围;(2)若c?5
,求sin∠A
的值.
6三角函数中的实际应用
例6(山东理
)如图,甲船以每小时
302
海里的速度向正北方航行,乙船按固定方向匀速直线航行,当甲船
位于
A
1
处时,乙船位于甲船的北偏西
105
方向的
B1
处,此时两船相距
20
海里,当甲船航行
20
分钟到达
A
2
处时,乙船航行
o
到甲船的北偏西
120
方向的B
2
处,此时两船相距
102
海里,问乙船每小时航行多少海里? o
【相关高考】(宁夏)如图,测量河对岸的塔高
AB
时,可以选
与塔底
B
在同一水平面内的两个侧点
C
与
D
.现测
得
?BCD?
?
,?BDC?
?
,CD?s
,并在点
C
测得塔顶
A
的仰角为
?
,求塔高
AB
.
北
120
o
A
2
B
2
105
o
B
A
1
1
乙
甲
7.三角函数与不等式
例7(湖北文)已知函数
f(x)?2sin
2?
?
π
?
4
?x
?
?
?
?3
cos2x
,
x?
?
?
π
?
4
,
π
?
2
?
?
.(I)求
f(x)
的最大值和最小值
;
(II)若不等式
f(x)?m?2
在
x?
?
?
ππ
?
?
4
,
2
?
?
上恒成立,求实数
m
的取值范围.
8.三角函数与极值
例8(安徽文)设函数
f<
br>?
x
?
??cos
2
x?4tsin
x
2<
br>cos
x
2
?4t
3
?t
2
?3t?4,x
?R
其中
t
≤1,将
f
?
x
?
的最小值记为
g
(
t
).
(Ⅰ)求
g
(
t
)的表达式;(Ⅱ)讨论
g
(
t
)在区间(-1,1)内的单调性
并求极值.
三角函数易错题解析
例题1 已知角
?
的终边上一
点的坐标为(
sin
2
?
2
?
3
,cos
3
),则角
?
的最小值为( )。
A、
5
?<
br>2
?
5
?
11
?
6
B、
3
C、
3
D、
6
例题2 A,B,C是
?
ABC的三个内角,且
tanA,tanB
是方程
3x
2
?5x?1?0
的两个实数根,则
?
ABC
是(
A、钝角三角形 B、锐角三角形 C、等腰三角形
D、等边三角形
例题3 已知方程
x
2
?4ax?3a?1?0
(
a为大于1的常数)的两根为
tan
?
,
tan
?
, 且
?
、
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
2
,
2
?
?,则
tan
2
的值是_________________.
例题4
函数
f(x)?asinx?b
的最大值为3,最小值为2,则
a?
____
__,
b?
_______。
例题5 函数f(x)=
sinxcosx<
br>1?sinx?cosx
的值域为______________。
例题6 若2si
n
2
α
?sin
2
?
?3sin
?
,则s
in
2
?
?sin
2
?
的取值范围是
例题7 已知
?
?
?
?
?
?
,求
y?cos
?
?6sin
?
的最小值及最大值。
例题8 求函数<
br>f(x)?
2tanx
1?tan
2
x
的最小正周期。
)
例题9
求函数
f(x)?sin2x?22cos(?x)?3
的值域
?
4
例题10 已知函数
f(x)?sin(
?
x??)(
?
?0,0
≤
?
≤
?
)
是R上的偶函数,
其图像关于点M
(
?
,0)
对称,且在区
间[0,
3
4
?
]上是单调函数,求
?
和
?
的值。
2
2011三角函数集及三角形高考题
1.(2011年北京高考9)在
V
ABC
中,若
b?5,?B?
?
4
,sinA?
1
3
,则
a?
.
2
2.(2011年
浙江高考5).在
?ABC
中,角
A,B,C
所对的边分
a,b,c
.若
acosA?bsinB
,则
sinAcosA?cosB?
11
(A)-
2
(B)
2
(C) -1 (D) 1
?
3
.(2011年全国卷1高考7)设函数
f(x)?cos
?
x(
?
?0)
,将
y?f(x)
的图像向右平移
3
个单位长度后,所得的<
br>图像与原图像重合,则
?
的最小值等于
1
(A)
3
(B)
3
(C)
6
(D)
9
5.(2011年江西高考14)已知角
?
的顶点为坐标
原点,始边为x轴的正半轴,若
p
?
4,y
?
是角
?
终边上一点,且
sin
?
??
25
5
,则y=_____
__.
f(x)?f()
f(x)?sin(2x?
?
)
?
6
对
x?R
恒成立,且6.(2011年安徽高考9)已知函数,其中为实数,若<
br>f()?f(
?
)
2
,则
f(x)
的单调递增区间是
?
?
??
?
?
???
k
?
?,k
?
?(k?Z)k
?
,k
?
?(k?Z)
????
362
??
(A)
?
(B)
?
?
?
2
?
?
??
?
k
?
?,k
?
(k?Z)
k
?
?,k
?
?(k?Z)<
br>??
??
2
63
?
?
(C)
?
(D)
?
222
7.(2011四川高考8)在△ABC中,
si
nA?sinB?sinC?sinBsinC
,则A的取值范围是
(0,]
(A)
6
?
[,
?
)
(B)
6
?
(0,]
3
(C)
?
[,
?
)
(D)
3
?
f(x)?4co
sxsin(x?)?1.
6
1.(2011年北京高考17)已知函数
?
?
??
?
?,
??
(Ⅰ)求
f(x)
的最小正周期;(Ⅱ)求
f(x)
在区间
?
64
?
上的最
大值和最小值。
cosA?2cosC2c?a
?
A,B,Ca,b,c
?
ABC
cosBb
, 3. (2011年山东高考17) 在中,内角的对边分别为,已知<
br>sinC1
cosB?,b?2
4
(Ⅰ)求
sinA
的值;(
Ⅱ)若,求
?ABC
的面积S。
5.(2011年全国卷高考18)△ABC的内角
A、B、C的对边分别为a、b、c.己知
asinA?csinC?2asinC?bsinB
.
0
A?75,b?2,
求a,c
. (Ⅰ)求B;(Ⅱ)若
6.(2011年湖南高考17)在
VABC
中,角
A,B,C
所对的边分别
为
a,b,c
且满足
csinA?acosC.
3sinA?co
s(B?)
4
的最大值,并求取得最大值时角
A,B
的大小. (I)求角<
br>C
的大小;(II)求
1
?
f(x)?2sin(x?)
36
,
x?
R
. 7.(2011年广东高考16)已知函数
?
?
?
5
?
?
106
?
,
?
?0,
f()
f(3
?
?)?f(3
?
?2
?
)
?
?
?
2
?
?
,
4
的值;(2)设
213
,
5
,求
cos(
?
?
?
)的值. (1)求
8.(2011年广东高考18)已知函数
?
f(x)?sin
(x?
7
?
3
?
)?cos(x?)
44
,x?
R.
cos(
?
?
?
)?
44
?
cos(
?
?
?
)??0?
?
?
?
?
5
,
5
,
2
.求证:(Ⅰ)求
f(x)
的最小正周期和最小值;(Ⅱ)已知
[f(
?
)]
2
?2?0.
9.(2011年江苏高考17)在△ABC中,角A、B、C所对应的边为
a,b,
c
sin(A?
(1)若
?
6
)?2cosA,
1
cosA?,b?3c
3
求A的值;(2)若,求
sinC
的值.
b
10.(2011高考)△AB
C的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,asinAsinB+bcos
2
A=<
br>2
a。(I)求
a
;(II)
若c
2
=b
2
+
3
a
2
,求B。
1
a?1,b?2,cosC?
4
11. (2011年湖北高考17)设
?ABC
的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c,已知
s(A?C)
的
值。 (I)
求
?ABC
的周长;(II)求
co
cos2C??
12. (20
11年浙江高考18)在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a,b,c,已知
1
4
(I)求sinC的值;(Ⅱ)当a=2,
2sinA=sinC时,求b及c的长.
2011三角函数集及三角形高考题答案
1.(
2011年北京高考9)在
VABC
中,若
b?5,?B?
?
4,sinA?
1
3
,则
a?
.
2
2.(2011年浙江高考5).在
?ABC
中,角
A,B,C<
br>所对的边分
a,b,c
.若
acosA?bsinB
,则
si
nAcosA?cosB?
11
(A)-
2
(B)
2
(C) -1 (D) 1
?<
br>3.(2011年全国卷1高考7)设函数
f(x)?cos
?
x(
?
?0)
,将
y?f(x)
的图像向右平移
3
个单位长度后,
所得的
图像与原图像重合,则
?
的最小值等于
1
(A)
3
(B)
3
(C)
6
(D)
9
4.(2011全国卷),设函数
(A)y=在单调递增,其图像关于直线对称
(B)y=在单调递增,其图像关于直线对称
ππ
(C)y= f (x)
在(0,
2
)单调递减,其图像关于直线x =
4
对称
ππ
(D)y= f (x) 在(0,
2
)单调递减,其图像关于直线x
=
2
对称
5.(2011年江西高考14)已知角
?
的顶点为坐
标原点,始边为x轴的正半轴,若
p
?
4,y
?
是角
?终边上一点,且
sin
?
??
25
5
,则y=____
___.
f(x)?Asin(x?
?
)0?
?
?
32<
br>.
y?f(x)
的部分图像,如2.(2011年浙江高考18)已知函数,
x
?R
,
A?0
,
图所示,
P
、
Q
分别为该
图像的最高点和最低点,点
P
的坐标为
(1,A)
.
?
?
(Ⅰ)求
f(x)
的最小正周期及
?
的值;(Ⅱ)若点
R
的坐标为<
br>(1,0)
,
?PRQ?
2
?
3
,求
A的值.
cosA?2cosC2c?a
?
A,B,Ca,b,c
?AB
C
cosBb
, 3. (2011年山东高考17) 在中,内角的对边分别为,已知
sinC1
cosB?,b?2
4
(Ⅰ)求
sinA
的值;(Ⅱ)
若,求
?ABC
的面积S。
1?2cos(B?C)?0
,4.(2011
年安徽高考16)在
V
ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C所对的边长,a=
3
,b=
2
,
求边BC上的高.
5.(2011年全国
卷高考18)△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.己知
asinA?csinC?2a
sinC?bsinB
.
0
A?75,b?2,
求a,c
. (
Ⅰ)求B;(Ⅱ)若
6.(2011年安徽高考17)在
VABC
中,角
A,
B,C
所对的边分别为
a,b,c
且满足
csinA?acosC.
3sinA?cos(B?)
C
4
的最大值,并求取得最大值时角
A
,B
的大小. (I)求角的大小;(II)求
1
?
f(x)?2sin(x
?)
36
,
x?
R
. 7.(2011年广东高考16)已知函数<
br>f(
(1)求
?
?
?
?
5
?
?,
?
?
?
0,
?
f(3
?
?
?
)?
10
f(3
?
?2
?
)?
6
)
?
2
?
,
4
的值;(2)设
213
,
5
,求
cos(
?
?
?
)
的值.
f(x)?sin(x?
7
?
3
?
)?cos(x?)
4
4
,x
?
R.
cos(
?
?
?
)?44
?
cos(
?
?
?
)??0?
?
?
?
?
5
,
5
,
2
.求证:
8.
(2011年广东高考18)已知函数
(Ⅰ)求
f(x)
的最小正周期和最小值;(Ⅱ
)已知
[f(
?
)]
2
?2?0
.
9.(201
1年江苏高考17)在△ABC中,角A、B、C所对应的边为
a,b,c
sin(A?
(1)若
?
6
)?2cosA,
1
cosA?,b?3c
3
求A的值;(2)若,求
sinC
的值.