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高中数学必修4平面向量知识点总结及常见题型

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-19 12:19
tags:高中数学必修四知识点总结

高中数学必修2试卷答案-高中数学理科课本有哪几本人教版

2020年9月19日发(作者:阳焕生)


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高中必修4平面向量知识点归纳及常见题型
一.向量的基本概念与基本运算
1向量的概念:
?
?
?
①向量:既有大小又有方向的量向量一般用
a,b,c
……来表示,或用有
uuuru uur
?
向线段的起点与终点的大写字母表示,如:
AB
几何表示法
AB

a

坐标表示法
a?xi?yj?(x,y)
向量的大小即向量的模(长度),记作
?
|
AB
|即向量的大小,记作|a

uuur
?
向量不能比较大小,但向量的模可以比较大小.
??
②零向量:长度为0的向量,记为
0
,其方向是任意的,
0与任意向
rr
?
?
?
量平行零向量
a

0
?

a
|=0 由于
0
的方向是任意的,且规定
0
平行于任何向量,故在有关向量平行(共线)的问题中务必看清楚是
否有“非零向量”这个 条件.(注意与0的区别)
③单位向量:模为1个单位长度的向量
向量
a
0
为单位向量
?

a
0
|=1
??
④平行向量(共线向量):方向相同或相反的非零向量任意一组平行
向量都可以移到同一直线上方向 相同或相反的向量,称为平行向量
?
?
记作
a

b
由于向量可以进行任意的平移(即自由向量),平行向量总
可以平移到同一直线上,故平行向量也称为共 线向量

数学中研究的向量是自由向量,只有大小、方向两个要素,起点
可以任意选取 ,现在必须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共
线”、的含义,要理解好平行向量中的“平行 ”与几何中的“平行”是不一
样的.

1
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⑤相等向量:长度相等且方向相同的向量相等向量经过平移后总可< br>?
?
以重合,记为
a
?
b
大小相等,方向相同
?
x
?
x
2
(
x
1
,
y
1
)
?
(
x
2
,
y
2
)
?
?
1

?
y
1
?
y
2
2向量加法
求两个向量和的运算叫做向量的加法
uuur
r
uuur
r
?
r

AB?a,BC?b
,则
a
+
b
uuuruuur
uuur
=
AB?BC
=
AC

?
??
?
?
(1)
0?
a
?
a
? 0?
a
;(2)向量加法满足交换律与结合律;
向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”:
(1)用平行四边形法则时,两个已知向 量是要共始点的,和向
量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线,而差向量是另一条对
角线 ,方向是从减向量指向被减向量
(2) 三角形法则的特点是“首尾相接”,由第一个向量的起点指< br>向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和;差向量是从
减向量的终点指向被减向量的 终点
当两个向量的起点公共时,用平行四边形法则;当两向量是首
尾连接时,用三角形法则. 向量加法的三角形法则可推广至多个向量
相加:
uuuruuuruuuruuuruuur uuur
AB?BC?CD?L?PQ?QR?AR
,但这时必须“首尾相连”.
3向量的减法
① 相反向量:与
a
长度相等、方向相反的向量,叫做
a
的相反向

??
记作
?
a
,零向量的相反向量仍是零向量
?
?
??
?
?
?
?
关于相反向量有: (i)
?
(
?
a)
=
a
; (ii)
a
+(
?
a
)=(
?a
)+
a
=
0


2
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??
?
?
?
?
?
?
?
(iii)若
a

b
是互为相反向量,则
a
=
?
b
,
b
=
?
a
,
a
+
b
=
0

?
??
?
②向量减法:向量
a
加上
b< br>的相反向量叫做
a

b
的差,
记作:
a
?
b
?
a
?
(
?
b)
求两个向量差的运算, 叫做向量的减法
?
?
?
?
?
?
?
??< br>?
③作图法:
a
?
b
可以表示为从
b
的终点 指向
a
的终点的向量(
a

b
有共同起点)
4实数与向量的积:
①实数λ与向量
a
的积是一个向量,记作λ
a
,它的长度与方向规
定如下:
??
(Ⅰ)
?
a
?
?
?
a
; < br>??
(Ⅱ)当
?
?0
时,λ
a
的方向与
a< br>的方向相同;当
?
?0
时,λ
a

?
??
方向与
a
的方向相反;当
?
?0
时,
?a?
0
,方向是任意的
???
②数乘向量满足交换律、结合律与分配律
5两个向量共线定理:
??
?
?
向量
b
与非零向 量
a
共线
?
有且只有一个实数
?
,使得
b
=
?
a

6平面向量的基本定理:
如果
e
1,e
2
是一个平面内的两个不共线向量,那么对这一平面内的
任一向量
a
,有且只有一对实数
?
1
,
?
2
使:
a< br>?
?
1
e
1
?
?
2
e
2< br>,其中不共线的
向量
e
1
,e
2
叫做表示这一平面内 所有向量的一组基底
??
?
???
??
7 特别注意:
(1)向量的加法与减法是互逆运算
(2)相等向量与平行向量有区别,向量平行是向量相等的必要条件
(3)向量平行与直线平行有区别,直线平行不包括共线(即重合),

3
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而向量平行则包括共线(重合)的情况
(4)向量的坐标与表示该向量的有向线条的始点、终点的具体位置
无关,只与其相对位置有关
学习本章主要树立数形转化和结合的观点,以数代形,以形观数,
用代数的运算处理几何问题, 特别是处理向量的相关位置关系,正确
运用共线向量和平面向量的基本定理,计算向量的模、两点的距离 、
向量的夹角,判断两向量是否垂直等由于向量是一新的工具,它往
往会与三角函数、数列、不 等式、解几等结合起来进行综合考查,是
知识的交汇点

二.平面向量的坐标表示
1平面向量的坐标表示:在直角坐标系中,分别取与x轴、y轴方向
相同的两个单位向量
i,j
作为基底由平面向量的基本定理知,该平面
rr
内的任一向量
a可表示成
a?xi?yj
,由于
a
与数对(x,y)是一一对应的,因此把(x,y)叫做向量
a
的坐标,记作
a
=(x,y),其中x叫作
a
在x轴
上的坐标,y叫做在y轴上的坐标
r
r
rrr
rrr
(1)相等的向量坐标相同,坐标相同的向量是相等的向量
(2)向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位
置无关,只与其相对位置有关
2平面向量的坐标运算:
(1)
(2)
r
rr
r
a?
?
x
1
,y
1
?
,b?
?
x
2
,y
2
?
,则
a?b?
?
x
1
?x
2
,y
1
?y
2
?

uuur

A
?
x
1
,y
1
?< br>,B
?
x
2
,y
2
?
,则
AB?< br>?
x
2
?x
1
,y
2
?y
1
?


4
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(3)
(4)
(5)

a
=(x,y),则
?
a
=(
?
x,
?
y)
r
r
r
r

a?
?x
1
,y
1
?
,b?
?
x
2
,y
2
?
,则
ab?x
1
y
2
?x
2
y
1
?0

r
r
r
r
a?
?
x
1
,y
1
?
,b?
?
x
2
,y
2
?
,则
a?b?x
1
?x< br>2
?y
1
?y
2

rr
r
r

a?b
,则
x
1
?x
2
?y
1
?y
2
?
0

3向量的运算向量的加减法,数与向量的乘积,向量 的数量(内积)
及其各运算的坐标表示和性质




r
r
?
??
?

a?b?(x?x,y?y)a
?
b
?
b
?
a

向 1平行四边形法
1212
几何方法 坐标方法 运算性质
量 则
的 2三角形法则
?
?
??
?
?
(a
?
b)
?
c
?
a
?
(b
?
c)

uuuruuuruuur
AB?BC?AC



向 三角形法则




?

?
a
是一个向量,
?
?
?
?
r
r
a?b?(x
1
?x
2
,y
1
?y
2< br>)

a
?
b
?
a
?
(
?
b)

uuuruuur
AB??BA

uuuruuuruuur
OB?OA?AB

?
a?(
?
x,
?
y)

?
(
?
a)?(
??
)a

???
(
?
?
?
)
a
?
?
a
?
?
a

??
量 满足:

5
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?
?

?
>0时,
?
a

a

?
??
?
?
(
a
?
b
)?
?
a< br>?
?
b

乘 向;

?
<0时,
?
a

a

向;
?
?
?
=0时,
?
a
=
0
< br>?
?
?
?
a

b
?
a
?< br>?
b

?
?
?
?

a
?
b
是一个数
?
?
?
?

a?
0

b?0
时,
?
?

a
?
b
=0
?
?
?
?

a?
0

b?0
时,
r
r
a?b?x< br>1
x
2
?y
1
y
2

?
?
?
?
a
?
b
?
b
?
a

?
?
?
?
?
?
(
?
a)
?
b
?
a
?
(
?
b)
?
?
(a
?
b)

?
?
???
?
?
(
a
?
b
)?
c
?
a
?
c
?
b
?
c

??
?
a
2
?|a|
2
,
|a|?x
2
?y
2

?
?
?
?
|a
?
b|
?
|a||b|




?
?
?
?
?
?< br>a?b?
|
a
||
b
|cos
?a
,
b?

三.平面向量的数量积
1两个向量的数量积:
rr
rr
r
r
b
=︱
a
︱·已知两个非零向量
a

b
,它们的夹角为
?
,则
a
·︱
b
︱co s
?

r
r
r
r
叫做
a

b
的数量积(或内积) 规定
0?a?0

r
r
rrr
a
?
b
2向量的投影:︱
b
︱cos
?=
r
∈R,称为向量
b

a
方向上的投影投
| a|
影的绝对值称为射影
r
r
r
rr
b
等于a
的长度与
b

a
方向上的投影的乘积3数量积的几何意义:
a
·

rrrr
4向量的模与平方的关系:
a?a?a2
?|a|
2

5乘法公式成立:

6
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????
r
r
rr
rr
?
a?b
?
?a?2a?b?b
2< br>2
r
r
r
r
r
2
r
2
r< br>2
r
2
a?b?a?b?a?b?a?b

2
r
2
r
rr
2
?a?2a?b?b

6平面向量数量积的运算律:
r
rr
r
①交换律成立:
a?b?b?a

rr
r
r
r
r
②对实数的结合律成立:
?
?a
?
?b?
?
a?b?a?
?
b
?
?
?R
?

????
r
r
rrr
r
rrr
r
③分配律成立:
?
a?b
?
?c?a?c?b?c ?c?
?
a?b
?

r
r
rr
r
r
特别注意:(1)结合律不成立:
a?
?
b?c
?
??
a?b
?
?c

r
r
rr
(2) 消去律不成立
a?b?a?c
r
r
不能得到
b?c?
r
r
r
r
r
r
(3)
a?b
=0不能 得到
a
=
0

b
=
0

7两个向量的数量积的坐标运算:
r
r
r
r
b
=
x
1
x
2
?y
1
y
2
已知两个 向量
a?(x
1
,y
1
),b?(x
2
,y
2
)
,则
a
·
ruuur
r
uuurr
r
8向量的夹角:已知两个非零向量
a

b
,作
OA
=
a
,
OB
=
b
,则∠AOB=
r
r
?
0?
?
?180
)叫做向量
a

b
的夹角 < br>r
r
r
xx
?
yy
r
a
?
b
cos
?
=
cos
?
a,b
??
rr
=
2
12
2
1
2
2

2< br>a
?
b
x
1
?
y
1
?
x< br>2
?
y
2
00
rr
rr
0
当且仅当 两个非零向量
a

b
同方向时,θ=0,当且仅当
a
b
反方
r
向时θ=180,同时
0
与其它任何非零向量之间不谈 夹角这一问题
0
rrr
rrr
0
9垂直:如果
a

b
的夹角为90则称
a

b
垂直,记作
a

b

10两个非零向量垂直的充要条件

?
?
?
?
b
=O
?
x
1
x
2
?y< br>1
y
2
?
0
平面向量数量积的性质
a

b
?
a
·

题型1.基本概念判断正误:
(1)共线向量就是在同一条直线上的向量。
(2)若两个向量不相等,则它们的终点不可能是同一点。

7
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(3)与已知向量共线的单位向量是唯一的。
uuuruuur
(4)四边形ABCD是平行四边形的条件是
AB?CD

uuuruuur
(5)若
AB?CD
,则A、B、C、D四点构成平行四边 形。
(6)因为向量就是有向线段,所以数轴是向量。
rrrrrr
(7)若
a

b
共线,
b

c
共线,则
a

c
共线。
rrrr
(8)若
ma?mb
,则
a?b

rr
(9)若
ma?na
,则
m?n

rrrr
(10)若
a

b
不共线,则
a

b都不是零向量。
rr
rrrr
(11)若
a?b?|a|?|b|,则
ab

rr
rrrr
(12)若
|a?b|?| a?b|
,则
a?b

题型2.向量的加减运算
rr
rr
1.设
a
表示“向东走8km”,
b
表示“向北走6km”,则
|a?b|?

uuuruuuruuuruuuruuuur
2.化简
(AB?MB)?(BO?BC)?O M?

uuuruuuruuur
3.已知
|OA |?5
,
|OB|?3
,则
|AB|
的最大值和最小值分别为 、 。
uuuruuuruuur
uuurruuurr
uuuruuur
4.已知
AC为AB与AD
的和向量,且
AC?a,BD?b
,则< br>AB?

AD?

uuuruuuruuu
uuur
uuur
3
uuur
r
5.已知点C在 线段AB上,且
AC?AB
,则
AC?

BC

AB?

BC

5
题型3.向量的数乘运算
rrrr
rrrr
rr
3(a ?b)?2(a?b)?
2(2a?5b?3c)?3(?2a?3b?2c)?
1.计算:(1) (2)
r
r
r
1
r
2 .已知
a?(1,?4),b?(?3,8)
,则
3a?b?

2
题型4.作图法球向量的和
rr
r
1
rr
3
r
已知向量
a,b
,如下图,请做出向量
3a?b
2a?b

22
r
a

r
b

题型5.根据图形由已知向量求未知向量
uuuruuur
uuur
AC
表示
AD
。 1.已知在< br>?ABC
中,
D

BC
的中点,请用向量
AB,
8
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uuuruuur
uuur
r
uuur
r
2.在平行四边形
ABCD
中,已知
AC?a,BD?b
,求
AB和AD


题型6.向量的坐标运算
1.已知
AB?(4,5)

A(2,3 )
,则点
B
的坐标是 。
uuur
uuu r
2.已知
PQ?(?3,?5)

P(3,7)
,则点
Q
的坐标是 。
rrr
3.若物体受三个力
F,2)
,
F
2
?(?2,3)
,
F
3
?(?1, ?4)
,则合力的坐标为 。
1
?(1
r
r
r
r
r
r
r
r
4.已知
a?(?3,4)

b?(5,2)
,求
a?b

a?b

3a?2b


uuur
r
5.已知
A(1,2),B(3,2)< br>,向量
a?(x?2,x?3y?2)

AB
相等,求
x,y
的值。
uuur
uuuruuur
uuur
6.已知
AB ?(2,3)

BC?(m,n)

CD?(?1,4)
,则
DA?

uuuruuur
r
uuu r
7.已知
O
是坐标原点,
A(2,?1),B(?4,8)
,且< br>AB?3BC?0
,求
OC
的坐标。


题型7.判断两个向量能否作为一组基底
uruur
1.已知
e
1
,e
2
是平面内的一组基底,判断下列每组向量是否能构成一组基底:
ur uururuururuuruurururuuruururuuruurur
A.
e
1
?e
2
和e
1
?e
2
B.
3e
1
?2e
2
和4e
2
?6e
1
C.
e
1
?3e
2
和e
2
?3e
1
D.
e
2
和e
2
?e
1

2.已知
a?(3,4)
,能与
a
构成基底的是( )
A.
(,)
B.
(,)
C.
(
?
,
?
)
D.
(
?
1,
?
)

题型8.结合三角函数求向量坐标
r
r
34
55
4355
3
5
4
5
4
3
uuur
uuur
o
1.已知
O
是坐标原点,点
A
在第二象限,
|O A|?2

?xOA?150
,求
OA
的坐标。
uuur
uuur
o
2.已知
O
是原点,点
A
在第一象限,
|OA|?43

?xOA?60
,求
OA
的坐标。


题型9.求数量积
r
r
r
r
rrrr
r
o
1.已知
|a|?3,|b|?4
,且
a< br>与
b
的夹角为
60
,求(1)
a?b
,(2)
a?(a?b)

r
r
r
r
r
1
rr
(3)
(a?b)?b
,(4)
(2a?b)?(a?3b)

2



9
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r
r
r
rrr
r
rr
2.已知
a?(2,?6),b?(?8,10)
,求(1)
|a|, |b|
,(2)
a?b
,(3)
a?(2a?b)

r
r
r
r
(4)
(2a?b)?(a?3b)



题型10.求向量的夹角
r
r
r
r
r
r
1.已知
|a|?8,|b|?3

a?b?12
,求
a

b
的夹角。
r
r
r
r
2. 已知
a?(3,1),b?(?23,2)
,求
a

b
的夹 角。
3.已知
A(1,0)

B(0,1)

C(2,5 )
,求
cos?BAC

题型11.求向量的模
r
r< br>r
r
r
r
r
r
o
1.已知
|a|? 3,|b|?4
,且
a

b
的夹角为
60
,求(1 )
|a?b|
,(2)
|2a?3b|



r
rr
r
r
r
r
1
r
2.已知
a? (2,?6),b?(?8,10)
,求(1)
|a|,|b|
,(5)
|a ?b|
,(6)
|a?b|

2


r
r
r
rr
r
|b|?2

|3a?2b|?3
,求
|3a?b|
。 3.已知
|a|?1,


r
r
r
a
题型12.求单位向量 【与
a
平行的单位向量:
e
??
r

|a|
1.与
a?(12,5)
平行的单位向量是 。
2.与
m?(?1,)
平行的单位向量是 。
题型13.向量的平行与垂直
r
r
1
2
r
rr
r
r
r
1.已知
a?(6,2)

b?(? 3,m)
,当
m
为何值时,(1)
ab
?(2)
a?b


r
r
r
r
r
r
2. 已知
a?(1,2)

b?(?3,2)
,(1)
k
为何值 时,向量
ka?b

a?3b
垂直?
r
r
rr
(2)
k
为何值时,向量
ka?b

a?3b
平行?



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r
r
r
r
r
r
rr
r
r
3.已知
a
是非零向量,
a?b?a?c
,且
b?c
,求证:
a?(b?c)



题型14.三点共线问题
1.已知
A(0,?2)

B(2,2)

C(3,4)
,求证:
A,B,C
三点共线。



uuur
2.设
AB?


ruuu rrruuurrr
2
r
(a?5b),BC??2a?8b,CD?3(a?b)< br>,求证:
A、B、D
三点共线。
2
uuurrruuurrruuu rrr
3.已知
AB?a?2b,BC??5a?6b,CD?7a?2b
,则一定共 线的三点是 。
4.已知
A(1,?3)

B(8,?1)< br>,若点
C(2a?1,a?2)
在直线
AB
上,求
a
的值。


5.已知四个点的坐标
O(0,0)

A(3 ,4)

B(?1,2)

C(1,1)
,是否存在常数
t
,使
uuuruuuruuur
OA?tOB?OC
成立?


题型15.判断多边形的形状
uuurruuurr
uuuruuur< br>1.若
AB?3e

CD??5e
,且
|AD|?|BC|< br>,则四边形的形状是 。
2.已知
A(1,0)

B(4,3)

C(2,4)

D(0,2)
,证明四边形
ABCD
是梯形。


3.已知
A(?2,1)
B(6,?3)

C(0,5)
,求证:
?ABC
是直角三角形 。


uuuruuuruuur
4.在平面直角坐标系内,
OA ?(?1,8),OB?(?4,1),OC?(1,3)
,求证:
?ABC
是等腰直 角
三角形。


题型16.平面向量的综合应用

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r
r
r
r
r
r
1.已知
a?(1,0)

b?(2,1)
,当
k
为何值时,向量
ka?b

a?3b
平行?
r
r
r
r
r
2.已知
a?(3,5)
,且
a?b

|b|?2
,求
b
的坐标。
rr
r
rr
r
3.已知
a与b
同向,
b?(1,2)
,则
a?b?10
,求
a
的坐标。
r
r
rrrr
3.已知
a?(1,2)

b?(3,1)

c? (5,4)
,则
c?

a?

b

r
r
r
r
rr
4.已知
a?(5,10)

b?(?3,?4)

c?(5,0)
,请将用向量
a,b
表示向量
c




r
r
r
r
5.已知
a?(m,3)

b?(2,?1)
,(1)若
a

b
的夹角为钝角,求
m
的范围;
r
r
(2)若
a

b
的夹角为锐角,求
m
的范围。
r
r
r
r
r
r
m
6.已知
a?(6,2)

b?(?3,m)
,当为何值时,(1)
a

b
的夹角为钝角?(2)
a

b
的夹角为锐角?


7.已知梯形
ABCD
的顶点坐标分别为
A(?1,2)

B(3 ,4)

D(2,1)
,且
ABDC

AB?2CD
,求点
C
的坐标。


8.已知平行四边形
ABCD< br>的三个顶点的坐标分别为
A(2,1)

B(?1,3)

C (3,4)
,求第四个
顶点
D
的坐标。


9. 一航船以5kmh的速度向垂直于对岸方向行驶,航船实际航行方向与水流方向成
30
o
角,
求水流速度与船的实际速度。
10.已知
?ABC
三个顶点的坐标分 别为
A(3,4)

B(0,0)

C(c,0)
uuuruuur
(1)若
AB?AC?0
,求
c
的值;(2) 若
c?5
,求
sinA
的值。


【备用】 < br>rrrr
rrrr
1.已知
|a|?3,|b|?4,|a?b|?5
,求
|a?b|
和向量
a,b
的夹角。

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rrr
u
rr
rrrrrrur
2.已知
x?a?b

y?2a?b
,且
|a|?|b|?1

a?b
,求
x,y
的夹角的余 弦。
rr
rrrr
1.已知
a?(1,3),b?(?2,?1)
,则
(3a?2b)?(2a?5b)?
65 。
rrrr
rr
4.已知两向量
a?(3,4),b?(2,?1)
,求当
a?xb与a ?b
垂直时的x的值。
rr
rr
5.已知两向量
a?(1,3), b?(2,
?
)

a与b
的夹角
?
为锐角,求?
的范围。
rr
rr
变式:若
a?(
?
,2 ),b?(?3,5)

a与b
的夹角
?
为钝角,求
?的取值范围。
选择、填空题的特殊方法:
1.特例法
例:《全品》P27: 4。因为M,N在AB,AC上的任意位置都成立,所以取特殊情况,即M,N与
B,C重合时,可以得 到
m?n?1

?m?n?2

2.代入验证法
rrrr
例:已知向量
a?(1,1),b?(1,?1),c?(?1,?2)
, 则
c?
( D )
1
r
3
r
1
r< br>3
r
3
r
1
r
3
r
1
r< br>A.
?a?b
B.
?a?b
C.
a?b
D.
?a?b

22222222
r
rrr
rr
变 式:已知
a?(1,2),b?(?1,3),c?(?1,2)
,请用
a,b
表示
c

rrr
解:设
c?xa?yb
,则
( ?1,2)?x(1,2)?y(?1,3)

即:
(?1,2)?(x,2x)?(?y,3y)?(x?y,2x?3y)

??1?x?y且2?2x?3y
,即:
?x?y??1且2x?3y?2

r
4
r
9
r
49
解得:
?x?,y?
?c?a?b

5555
3.排除法
uuur
例:已知M是
?ABC
的重心,则下列向量与
AB
共线的是( D )
uuuuruuuruuuruuuuruuuruuuruuuruuuruuuuruuuuruu uur
A.
AM?MB?BC
B.
3AM?AC
C.
AB?BC?AC
D.
AM?BM?CM

uuur
解:观察前三个选项都不与
AB
共线,所以选D。


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