(完整版)必修四_任意角与弧度制__知识点汇总(教师版)

美博教育任意角与弧度制
知识梳理:
一、任意角和弧度制
1、角的概念的推广
定义：一条射线O A由原来的位置，绕着它的端点O按一定的方向旋转到另一位
置OB，就形成了角
?
，
记作：角
?
或
?
?
可以简记成
?
。

2、角的分类：

由于用“旋转”定义角之后，角的范围大大地扩大了。可以将角分为正角、
零角和负角。
正角：按照逆时针方向转定的角。
零角：没有发生任何旋转的角。
负角：按照顺时针方向旋转的角。
3、 “象限角”
为了研究方便，我们往往 在平面直角坐标系中来讨论角，角的顶点合于坐标
原点，角的始边合于
x
轴的正半轴。
角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角
角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限，称为轴线角。
4、常用的角的集合表示方法
1、终边相同的角：
（1）终边相同的角都可以表示 成一个0?到360?的角与
k(k?Z)
个周角的和。
（2）所有与?终边相同的角连同?在内可以构成一个集合

S?
?
?
|
?
?
?
?k?360
?
,k?Z
?

即：任何一个与角?终边相同的角，都可以表示成角?与整数个周角的和
注意：
1、
k?Z

2、
?
是任意角
3、终边相同的角不一定相等，但相等的角的终边一定相同。终边相同的角
有无数个，它们相差360° 的整数倍。

1

4、一般的，终边相同的角的表达形式不唯一。
例1、（1）若
?
角的终边与
8
?
?
角的终边相同 ，则在
?
0,2
?
?
上终边与的角终边相
54
同的 角为 。
若θ角的终边与8π5的终边相同
则有：θ=2kπ+8π5 (k为整数)
所以有：θ4=(2kπ+8π5)4=kπ2+2π5
当：0≤kπ2+2π5≤2π
有：k=0 时，有2π5 与θ4角的终边相同的角
k=1 时，有9π10 与θ4角的终边相同的角

（2）若
?
和
?
是终 边相同的角。那么
?
?
?
在
例2、求所有与所给角终边相同的角的集合，并求出其中的最小正角，最大负角：
（1）
?210
?
； （2）
?1484
?
37
?
．
1260
?
． 例3、求
?
，使
?
与
?9 00
?
角的终边相同，且
?
??180
?
，
??< br>
2、终边在坐标轴上的点：
终边在
x
轴上的角的集合：
?
?
|
?
?k?180
?
,k?Z
?

终边在
y
轴上的角的集合：
?
?
|
?
?k ?180
?
?90
?
,k?Z
?

终边在坐标轴上 的角的集合：
?
?
|
?
?k?90
?
,k?Z?

3、终边共线且反向的角：
终边在
y
=
x轴上的角的集合：
?
?
|
?
?k?180
?
? 45
?
,k?Z
?

终边在
y??x
轴上的角的 集合：
?
?
|
?
?k?180
?
?45
?
,k?Z
?

4、终边互相对称的角：
若角
?
与 角
?
的终边关于
x
轴对称，则角
?
与角
?
的关系：
?
?360
?
k?
?

若角
?< br>与角
?
的终边关于
y
轴对称，则角
?
与角
?
的关系：
?
?360
?
k?180
?
?
?

若角
?
与角
?
的终边在一条直线上，则角
?与角
?
的关系：
?
?180
?
k?
?

角
?
与角
?
的终边互相垂直，则角
?
与角
?
的关系：
?
?360
?
k?
?
?90
?


2

例1、若
?
?k?360
?
?
?
，
?
?m?360
?
?
?
(k,m?Z)
则角
?
与角
?
的中变得位置关
系是（ ）。
A.重合 B.关于原点对称 C.关于x轴对称 D.有关于y轴对称
例2、将下列各角化成0到
2
?
的角加上
2k
?
(k?Z)
的形式
（1）
19
?
（2）
?315
?

3
例3、设集合
A?
?
x|k?360
?
?60
?
?x?k?360
?
?300
?
,k?Z
?
,
B?x|k?360
?
?21 0
?
?x?k?360
?
,k?Z
,求
A?B
,< br>A?B
.
??
二、弧度与弧度制
1、弧度与弧度制：
弧度制—另一种度量角的单位制， 它的单位是rad 读作弧度
定义：长度等于 的弧所对的圆心角称为1弧度的角。
B C l=2r

r
1rad
o
A
o




2rad
r
A
如图：?AOB=1rad ，?AOC=2rad ， 周角=2?rad
注意：
1、正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是0
2、角?的弧度数的绝对值
?
?
l
（
l
为弧长，
r
为半径）
r
3、用角度制和弧度制来度量零角，单位不同，但数量相同（都是0）
用角度制和弧度制来度量任一非零角，单位不同，量数也不同。
4、在同一个式子中角度、弧度不可以混用。

2、角度制与弧度制的换算
弧度定义：对应弧长等于半径所对应的圆心角大小叫一弧度
角度与弧度的互换关系：∵ 360?= rad 180?= rad

3

∴ 1?=
?
180
rad?0.01745rad

?
?
180
?
??

1rad?
??
?57.30?5718'

?
?
?
注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零.
例1、 把
67
?
30'
化成弧度
∴
3
例2、 把
?
rad
化成度
5

例3、将下列各角从弧度化成角度
（1）
3
rad （2）2.1 rad （3）
?
rad

36< br>5
?
例4、用弧度制表示：1?终边在
x
轴上的角的集合 2?终边在
y
轴上的角的
集合


三、弧长公式和扇形面积公式

l?
?
r
；
S?
11
lR?
?
r
2

22
例1、已知扇形的周长是6 cm，面积是2 cm
2
，则扇形的中心角的弧度数是 1
或4 .
例2、 若两个角的差为1弧度，它们的和为
1
?
，求这连个角的大小分别
为 。
例3、 直径为20cm的圆中，求下列各圆心所对的弧长 ⑴
4
?
⑵
165
?

3
例4、（1）一个半径为r的扇形，若它的周长 等于弧所在的半圆的长，那么扇形
的圆心角是多少弧度？是多少度？扇
形的面积是多少？
（2）一扇形的周长为20 cm，当扇形的圆心角
?
等于多少弧度时，这个扇形的
面积最大？



4

.
例5、（1）已知扇形的周长为10，面积为4，求扇形中心角的弧度数；
（2）已知扇形的 周长为40，当它的半径和中心角取何值时，才能使扇形的
面积最大？最大面积是多少？





（七）任意角的三角函数（定义）
1． 设?是 一个任意角，在?的终边上任取（异于原点的）一点P（x,y），则P与
原点的距离
r?2．比值
x?y
22
?x
2
?y
2
?0

yx
y
叫做?的正弦 记作：
sin
?
?
；比值叫做?的余弦 记作：
rr
r
x
cos
?
?

r
比值
x
y
y
叫做?的正切 记作：
tan
?
?
；比值叫做?的余切 记作：
y
x
x
cot
?
?
x

y
r
rr
叫做?的正割 记作：
sec
?
?
；比值叫做?的余割 记作：
y
xx
比值
csc
?
?
r

y< br>注意突出几个问题：①角是“任意角”，当?=2k?+?(k?Z)时，?与?的同名三角
函数 值应该是相等的，即凡是终边相同的角的三角函数值相等。
②实际上，如果终边在坐标轴上，上述定义同样适用。③三角函数是以“比值”
为函数值的函数
④
r?0
，而x,y的正负是随象限的变化而不同，故三角函数的符号应由象限确定
⑤定义域：
三角函数在各象限的符号：
y?sin
?
y?tan
?

5
y?cot
?
y?csc
?

y?cos
?

y?sec
?

4.
?
是第二象限 角，P（x，
10
4
5
）为其终边上一点，且cos
?
=< br>2
x
,则
4
sin
?
=
.
sin
?
sin
?
?
cos
?
cos
?
?
2 . . 已知角
?
的终边落在直线y=-3x (x＜0)上，则

例8、 已知?的终边经过点P(2,?3)，求?的六个三角函数值




例9、 求下列各角的六个三角函数值
3
?
?
⑴ 0 ⑵ ? ⑶ ⑷
2
2


例10、 ⑴ 已知角?的终边经过P(4,?3),求2sin?+cos?的值

⑵已知角?的终边经过P(4a,?3a),(a?0)求2sin?+


6