高中数学水品测试样卷-高中数学判断零点个数
平面向量
复习基本知识点及经典结论总结
1、向量有关概念: (1)向量的概念:既有大小又有方向的量,注意向量和数量的区别。向量常用有向线段来表示,
注
意不能说向量就是有向线段,为什么?(向量可以平移)。
?
????
例:
已知A(1,2),B(4,2),则把向量
AB
按向量
a
=(-1,3)平
移后得到的向量是_____。
(2)零向量:长度为0的向量叫零向量,记作:
0
,注意零向量的方向
;
????
(3)单位向量:长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与
AB共线的单位向量是: );
(4)相等向量:长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量,相等向量有
;
(5)平行向量(也叫 ):方向 或
的非零向量
a
、
b
叫做平行向量,记
作:
,规定零向量和任何向量平行。
提醒:
①相等向量一定是共线向量,但共线向量不一定相等;
②两个向量平行与与两条直线平行
是不同的两个概念:两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平
行不包含两条直线重合;③平行
?????????
向量无传递性!(因为有
0
);④三点
A、B、C
共线
?
AB、 AC
共线;
(6)相反向量:长度相等方向相反的向量叫做相反向量。
a
的相反向量是
。
??
?
(2)两个向量相等的充要条件是它们的起点相同,终点相同。
?
b
,则
a?b
。
????????????????
(3)若
AB?DC
,则
ABCD
是平行四边形。(4)若
ABCD
是平行
四边形,则
AB?DC
。(5)若
????????
????
a?b
,b?c
,则
a?c
。(6)若
ab,bc
,则
ac
。其中正确的是_______;
例:
命题:(1)若
a
?
2、
向量的表示方法:(1)几何表示法:用带箭头的有向线段表示,如
AB
,注意起点在前,终点
在
后;(2)符号表示法:用一个小写的英文字母来表示,如
a
,
b
,
c
等;(3)坐标表示法:在平面内
建立直角坐标系,以与
x
轴、
y
轴方向相同的两个单位向量
i
,
j
为基底,则平面内的任
一向量
a
可
???
表示为
a?xi?yj?
?
x,
y
?
,称
?
x,y
?
为向量
a
的坐标,<
br>a
= 叫做向量
a
的坐标表示。如果向
量的起点在原点,那
么向量的坐标与向量的终点坐标相同。
3.平面向量的基本定理:如果e
1
和e2
是同一平面内的两个不共线向量,那么对该平面内的任一向量a,
有且只有一对实数?
1
、
?
2
,使a=
?
1
e
1
+
?
2
e
2
。
?
例;
(1)
若
a?(1,1),b?(1,?1),c?(?1,2)
,则
c?
____
__;
???
???????????????
A.
e
1
?(0,0),e
2
?(1,?2)
B.
e
1
?(?1,2),e
2
?(5,7)
C.
e
1
?(3,5),e
2
?(6,10)
D. <
br>?????
13
e
1
?(2,?3),e
2
?(,?
)
24
??
??????????????????
????(3)已知
AD,BE
分别是
?ABC
的边
BC,AC
上的中线,且
AD?a,BE?b
,则
BC
可用向量
a,b
(2)下列向量组中,能作为平面内所有向量基底的是
表示为_____;
???????
????????
(4)已知
?ABC
中,点
D
在
BC边上,且
CD?2DB
,
CD?rAB?sAC
,则
r?s的值
是___
4、实数与向量的积:实数
?
与向量
a
的积是一个向量,记作
?
a
,它的长度和方向规定如下:
??
?a
的方向与
a
的方向 ,当
?
<0时,
?
1
?
?
a?
?
a,
?
2
?
当<
br>?
>0时,
?
a
的方向与
a
的方向 ,
??
当
?
=0时,
?
a?0
,注意:
?
a
≠0。
5、平面向量的数量积:
??????????
ab
(
1)两个向量的夹角:对于非零向量,,作
OA?a,OB?b
,
?AOB?
?
?
0?
?
?
?
?
称
1
p>
为向量
a
,
b
的夹角,当
?
=0时,<
br>a
,
b
同向,当
?
=
?
时,
a,
b
反向,当
?
=
直。
?
2
时,<
br>a
,
b
垂
(2)平面向量的数量积:如果两个非零向量
a,
b
,它们的夹角为
?
,我们把
叫
做
a
与
b
的数量积(或内积或点积),记作:
,即
a
?
b
=
。规定:零向量与任一向量的
数量积是0,注意数量积是一个实数,不再是一个向量。
例:<
br>(1)△ABC中,
|
?????????
AB|?3
,
|A
C|?4
,
|BC|?5
,则
AB?BC?
_________;
??????
???
1
?
1
??
?
(2)
已知
a?(1,),b?(0,?),c?a?kb,d?a?b
,
c
与d
的夹角为,则
k
等于____;
224
??????
(3)已知
a?2,b?5,a
?
b??3
,则
a?b
等
于____;
???
????
??
(4)已知
a,b
是两
个非零向量,且
a?b?a?b
,则
a与a?b
的夹角为____
??
?
(3)
b
在
a
上的投影为
|b|cos<
br>?
,它是一个实数,但不一定大于0。如已知
|a|?3
,
|b|?5
,
????
且
a?b?12
,则向量
a
在向量b
上的投影为______
?
(4)
a
?
b
的几何意义:数量积
a
?
b
等于
a
的模
|a|<
br>与
b
在
a
上的投影的积。
(5)向量数量积的性质:设两个
非零向量
a
,
b
,其夹角为
?
,则:
①
a
⊥
b
则 ;
?
2
???
2
?
②当
a
,
b
同
向时,
a
?
b
= ,特别地,
a?a?a?a,a
?
?
2
a
;当
a
与
b
反向时,
a
?
b
=
;当
a
?
b
>0时,
?
∈
;当
a
?
b
<0,∈ ;
????
?
ab
③非零向量,夹角的计算公式:
;④
|a?b|?|a||b|
。
例:
(1)已知
a
??
??
?(
?
,2
?
)
,
b?(3
?
,2)
,如果
a
与
b
的夹角为锐角,则
?
的取值范围是______;
??????
(2)已知
?OFQ
的面积为
S
,且
OF?FQ?1
,若
围是_________;(3)已知<
br>a?(coxs
??
ka?b?
?
1
2
?S?
3
2
??????
,则
OF,FQ
夹角
?
的取值
范
???
,sxi?nb),y(coy
与
b
之间有关系式
a
????
??
??
3a?kb,其中k?0
,①用
k表示
a?b
;②求
a?b
的最小值,并求此时
a
与b
的夹角
?
的
大小。
6、向量的运算:
(1)几何运算:
①向量加法:利用“平行四边形法则”进行,但“平行四边形法则”只适用
于不共线的向量,如
????
????????????
此之外,向量加法还可利用“
三角形法则”:设
AB?a,BC?b
,那么向量
AC
叫做
a
与
b
的和,即
??????????????
a?b?AB?BC?AC<
br>;
????????????????????????
AB?a,AC?b,那么a
?b?AB?AC?CA
②向量的减法:用“三角形法则”:设,由减向量
的终点指向被减向量
的终点。注意:此处减向量与被减向量的起点相同。
例:
????????????????
????????????????????????
(1)化简:①
AB?BC?C
D?
___;②
AB?AD?DC?
____;③
(AB?CD)?(AC?
BD)?
_____;
??????????????????
(2)若正方形ABCD
的边长为1,
AB?a,BC?b,AC?c
,则
|a?b?c
|
=_____;
????????????????????
(3)若O是
?ABC
所在平面内一点,且满足
OB?OC?OB?OC?2OA
,则
?
ABC
的形状
为____;
?????????????
(4)
若
D
为
?ABC
的边
BC
的中点,
?ABC
所在平面内有一点
P
,满足
PA?BP?CP?0
,
2
????
|AP|
设
????
?
?
,则?
的值为___;
|PD|
(5)若点
O
是
△ABC
的外心,且
OA?OB?CO?0
,则
△ABC
的内角
C<
br>为____;
??
(2)坐标运算:设
a?(x
1
,y1
),b?(x
2
,y
2
)
,则:
①向量的加减法运算:
a
+
b
=
。
a
—
b
= 。
???????
??????
例:
(1)已知点
A(2,3),B(5,4)
,
C(
7,10)
,若
AP?AB?
?
AC(
?
?R)
,
则当
?
=____时,点P在第
一、三象限的角平分线上;(2)已知
A(2
,3),B(1,4),且
?
1
???
??
AB?(sinx,co
sy)
,
x,y?(?,)
,则
222
?????????
(3)已知作用在点
A(1,1)
的三个力
F
1
?(3,4),F<
br>2
?(2,?5),F
3
?(3,1)
,则合力
x?y? ;
???????????
F?F
1
?F
2?F
3
的终点坐标是 。
????????????
②实数与向量的积:λ
a
=
。
向线段的终点坐标减去起点坐标。
????
③若
A(x
1,y
1
),B(x
2
,y
2
)
,则
A
B
= ,即一个向量的坐标等于表示这个向量的有
例:
????
1
????
????????
设
A(2,3),B(?1,
5)
,且
AC?AB
,
AD?3AB
,则C、D的坐标分别是___
_______;
3
④平面向量数量积:
a
?
b
=
,。
例:
已知向量
a
=(sinx,cosx),
b
=(sinx,sinx),
(1)若x=
求
?
的值
⑤向量的模:∣
a
∣= 。
?
3
c
=(-1,0)。
8
,
,求向量
a
、
c
的夹角;(2)若x∈
[?
3
??
4
]
,函数
f(x)?
?
a?b
的最大值为
1
2<
br>,
例:
??????
?
已知
a,b
均为单位向量,它
们的夹角为
60
,那么
|a?3b|
=_____;
⑥两点间的
距离:若
A
?
x
1
,y
1
?
,B
?
x
2
,y
2
?
,则∣AB∣= 。
例:
如图,在平面斜坐标系
xOy
中,
?xOy?60
,平
面上任一点P关于
??????????????
斜坐标系的斜坐标是这样定义的:若
OP?xe
1
?ye
2
,其中
e
1
,e
2
分别为与x轴、y轴同方向的单位向
量,则P点斜坐标为
(x,y)
。(1)
若点P的斜坐标为(2,-2),求P到O的距离|PO|;(2)求以
O为圆心,1为半径的圆在斜坐
标系
xOy
中的方程。;
????????
??
7、向量的运算律
:(1)交换律:
a?b?b?a
,
??
a?
?
??
?
a
,
a?b?b?a
;(2)结合律:
??????
a
?b?c?a?b?c,
???
?
?
?
?
?
a?<
br>?
a?
?
a,
?
?
??
?
????
????????
a?b?c?a?b?c
,
?
a?b?
?
a?b?a?
?
b
???????????
a?b?
?
a?
?
b
,
a?b?c?a?c?b?c
。
??
??
?
??
??
?
????
??
;(3)分配律:例:
?
a
⑥
2
??????????
;③
?
?
????
??????
????
222
(a?b)?|a|?2|
a|?|b|?|b|
;④ 若
a?b?0
,则
a?0
或
b
?0
;⑤若
a?b?c?b,
则
a?c
;
???
?
??
2
?
2
???
2
???
2
?
2
a?bb
22
?a
;⑦
?
2
?
?
;⑧
(a?b)?a?b
;⑨
(a?b)?a?2a?b?b
。其中正确的
是______
a
a
下列命题中:①
a?(b?c)?a?b?a?c
;②
a?(b?c)?(a?b)?c
提
醒:
(1)向量运算和实数运算有类似的地方也有区别:对于一个向量等式,可以移项,两边平
方、两边同乘以一个实数,两边同时取模,两边同乘以一个向量,但不能两边同除以一个向量,即两
边不
能约去一个向量,切记两向量不能相除(相约);(2)向量的“乘法”不满足结合律,即
3
????????
2
8、向量平行(共线):
ab?a??
b
?(a?b)?(|a||b|)
2
?x
1
y2
?y
1
x
2
=0。
a(b?c)?(a?b)c
,为什么?
??
例:
(1)若向量<
br>a?(x,1),b?(4,x)
,当
x
??????????
a?(
1,1)b,?(x4,
,
u?a?2b
,
v?2a?b
,且
uv
,则x
=
______;(3)设
????????????
PA?(k,12),PB?(4,5),PC?(10,k)
,则k
=
_____时
,A,B,C共线;
????????
9、向量垂直:
a?b?a?b?0?|a?
b|?|a?b|
?x
1
x
2
?y
1
y
2
?0
.特别地
??
=_____时
a
与
b
共线且方向相同;(2)已知
?
A
(
?
A
???
B
?
?
??
B
????????
ACABAC。
)
?
?
?
(
??
?
?
<
br>)
???
ACABAC
????
????
?????????
???????
(1)已知
OA?(?1,2),OB?(3,m)
,若
OA
?OB
,则
m?
;(2)以原点O和A(4,2)为两
???
?
个顶点作等腰直角三角形OAB,则点B的坐标是________ ;(3)已知
n?(a
,b),
向量
n?m
,
?B?90?
,
??
???
且
n?m
,则
m
的坐标是________;
例:
10.线段分点求法:
例:
1)若M(-3,-2),N(6,-1
),且
MP
(2)已知
A(a,0),B(3,2?a)
,直线
y?
1
2
???
??
1
3
???
MN
,则点P的坐标为_______;
?????
且
A
ax
与线段<
br>AB
交于
M
,
M?M2B
,则
a
等于___
____;
11.向量中一些常用的结论:
(1)一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量,要注意运用;
??????
(2)
||a|?|b||?|a?b|?|a|?|b|
,
???
????
????
b
同向或有
0
?
|a?b|?|a|?|b|
?
||a|?|b||?|a?b|
;
特别地,当
a、
???
????
????
b
反向或有0
?
|a?b|?|a|?|b|
?
||a|?|b||?|a?b|<
br>; 当
a、
??
??????
b
不共线
?
||a|?|b||?|a?b|?|a|?|b|
(这些和实数比较类似). 当
a、
(3)在
?ABC
中,①若
A
?
x
1
,y
1
?
,B
?
x
2
,y
2
?
,C
?
x
3
,y
3
?
,则其重心的坐标为
?<
br>x?x
2
?x
3
y
1
?y
2
?y<
br>3
?
G
?
1
,
?
。
33
??
例:
若⊿ABC的三边的中点分别为(2,1)、(-3,4)、
(-1,-1),则⊿ABC的重心的坐标为
_______;
?????????????
???
?????????????
1
②
PG?(PA?PB?PC)
?
G
为
?ABC
的重心,特别地
PA?PB?PC?0?P
为
?ABC
3
的重心;
??????????????????????
??
③
PA?PB?PB?PC?PC?PA?P
为
?ABC
的垂心
;
????
????
AC
AB
?
?
????)(
?
?0)
所在直线过
?ABC
的内心(是
?BAC
的角平分线所在直线);
④向量
?
(
???
|AB||A
C|
?????????????????????????
⑤
|AB|PC?|BC
|PA?|CA|PB?0?P
?ABC
的内心;
????????????
????????????
PB、 PC
中三终
点
A、B、C
共线
?
存在实数
?
、
?
使得
PA?
?
PB?
?
PC
且(4)向量
PA、
?
?
?
?1
.
例:
平面直角坐标系中,
O???
为坐标原点,已知两点
A(3,1)
,
B(?1,3)
,
若点
C
满足
??????
OC?
?
1
OA?
?
2
OB
,其中
?
1
,
?
2
?
R
且
?
1
?
?
2
?1
,则点
C<
br>的轨迹是_______
4