必修四平面向量复习基本知识点总结及基础训练

????
|AP|
设
????
?
?
，则?
的值为___；
|PD|
（5）若点
O
是
△ABC
的外心，且
OA?OB?CO?0
，则
△ABC
的内角
C< br>为____；
??
（2）坐标运算：设
a?(x
1
,y1
),b?(x
2
,y
2
)
，则：
①向量的加减法运算：
a
+
b
= 。
a
—
b
= 。
??????? ??????
例：
（1）已知点
A(2,3),B(5,4)
，
C( 7,10)
，若
AP?AB?
?
AC(
?
?R)
， 则当
?
＝____时，点P在第
一、三象限的角平分线上；（2）已知
A(2 ,3),B(1,4),且
?
1
???
??
AB?(sinx,co sy)
，
x,y?(?,)
，则
222
?????????
（3）已知作用在点
A(1,1)
的三个力
F
1
?(3,4),F< br>2
?(2,?5),F
3
?(3,1)
，则合力
x?y? ；
???????????
F?F
1
?F
2?F
3
的终点坐标是 。
????????????
②实数与向量的积：λ
a
= 。
向线段的终点坐标减去起点坐标。
????
③若
A(x
1,y
1
),B(x
2
,y
2
)
，则
A B
= ，即一个向量的坐标等于表示这个向量的有
例：
????
1
????
????????
设
A(2,3),B(?1, 5)
，且
AC?AB
，
AD?3AB
，则C、D的坐标分别是___ _______；
3
④平面向量数量积：
a
?
b
＝ ，。
例：
已知向量
a
＝（sinx，cosx）,
b
＝（sinx，sinx）,
（1）若x＝
求
?
的值
⑤向量的模：∣
a
∣= 。
?
3
c
＝（－1，0）。
8
,
，求向量
a
、
c
的夹角；（2）若x∈
[?
3
??
4
]
，函数
f(x)?
?
a?b
的最大值为
1
2< br>，
例：
??????
?
已知
a,b
均为单位向量，它 们的夹角为
60
，那么
|a?3b|
＝_____；
⑥两点间的 距离：若
A
?
x
1
,y
1
?
,B
?
x
2
,y
2
?
，则∣AB∣= 。
例：
如图，在平面斜坐标系
xOy
中，
?xOy?60
，平 面上任一点P关于
??????????????
斜坐标系的斜坐标是这样定义的：若
OP?xe
1
?ye
2
，其中
e
1
,e
2
分别为与x轴、y轴同方向的单位向
量，则P点斜坐标为
(x,y)
。（1） 若点P的斜坐标为（2，－2），求P到O的距离｜PO｜；（2）求以
O为圆心，1为半径的圆在斜坐 标系
xOy
中的方程。；
????????
??
7、向量的运算律 ：（1）交换律：
a?b?b?a
，
??
a?
?
??
?
a
，
a?b?b?a
；(2)结合律：
??????
a ?b?c?a?b?c,
???
?
?
?
?
?
a?< br>?
a?
?
a,
?
?
??
?
???? ????????
a?b?c?a?b?c
，
?
a?b?
?
a?b?a?
?
b
???????????
a?b?
?
a?
?
b
，
a?b?c?a?c?b?c
。
??
??
?
??
??
?
????
??
；（3）分配律：例：
?
a
⑥
2
??????????
；③
? ?
????
??????
????
222
(a?b)?|a|?2| a|?|b|?|b|
；④ 若
a?b?0
，则
a?0
或
b ?0
；⑤若
a?b?c?b,
则
a?c
；
???
? ??
2
?
2
???
2
???
2
?
2
a?bb
22
?a
；⑦
?
2
?
?
；⑧
(a?b)?a?b
；⑨
(a?b)?a?2a?b?b
。其中正确的 是______
a
a
下列命题中：①
a?(b?c)?a?b?a?c
；②
a?(b?c)?(a?b)?c
提 醒：
（1）向量运算和实数运算有类似的地方也有区别：对于一个向量等式，可以移项，两边平
方、两边同乘以一个实数，两边同时取模，两边同乘以一个向量，但不能两边同除以一个向量，即两
边不 能约去一个向量，切记两向量不能相除(相约)；（2）向量的“乘法”不满足结合律，即

3

????????
2
8、向量平行(共线)：
ab?a??
b
?(a?b)?(|a||b|)
2
?x
1
y2
?y
1
x
2
＝0。
a(b?c)?(a?b)c
，为什么？
??
例：
(1)若向量< br>a?(x,1),b?(4,x)
，当
x
??????????
a?( 1,1)b,?(x4,
，
u?a?2b
，
v?2a?b
，且
uv
，则x
＝
______；（3）设
????????????
PA?(k,12),PB?(4,5),PC?(10,k)
，则k
＝
_____时 ，A,B,C共线；
????????
9、向量垂直：
a?b?a?b?0?|a? b|?|a?b|

?x
1
x
2
?y
1
y
2
?0
.特别地
??
＝_____时
a
与
b
共线且方向相同；（2）已知
?
A
(
?
A
???
B
?
?
??
B
????????
ACABAC。
)
?
?
?
(
??
?
?
< br>)
???
ACABAC
????
????
????????? ???????
(1)已知
OA?(?1,2),OB?(3,m)
，若
OA ?OB
，则
m?
；（2）以原点O和A(4,2)为两
??? ?
个顶点作等腰直角三角形OAB，则点B的坐标是________ ；（3）已知
n?(a ,b),
向量
n?m
，
?B?90?
，
??
???
且
n?m
，则
m
的坐标是________；
例：
10.线段分点求法：
例：
1）若M（-3，-2），N（6，-1 ），且
MP
（2）已知
A(a,0),B(3,2?a)
，直线
y?
1
2
???
??
1
3
???
MN
，则点P的坐标为_______；
?????
且
A
ax
与线段< br>AB
交于
M
，
M?M2B
，则
a
等于___ ____；
11.向量中一些常用的结论：
（1）一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量，要注意运用；
??????
（2）
||a|?|b||?|a?b|?|a|?|b|
，
???
????
????
b
同向或有
0
?
|a?b|?|a|?|b|
?
||a|?|b||?|a?b|
； 特别地，当
a、
???
????
????
b
反向或有0
?
|a?b|?|a|?|b|
?
||a|?|b||?|a?b|< br>； 当
a、
??
??????
b
不共线
?
||a|?|b||?|a?b|?|a|?|b|
(这些和实数比较类似). 当
a、
（3）在
?ABC
中，①若
A
?
x
1
,y
1
?
,B
?
x
2
,y
2
?
,C
?
x
3
,y
3
?
，则其重心的坐标为
?< br>x?x
2
?x
3
y
1
?y
2
?y< br>3
?
G
?
1
,
?
。
33
??
例：
若⊿ABC的三边的中点分别为（2，1）、（-3，4）、 （-1，-1），则⊿ABC的重心的坐标为
_______；
????????????? ???
?????????????
1
②
PG?(PA?PB?PC)
?
G
为
?ABC
的重心，特别地
PA?PB?PC?0?P
为
?ABC
3
的重心；
?????????????????????? ??
③
PA?PB?PB?PC?PC?PA?P
为
?ABC
的垂心 ；
????
????
AC
AB
?
?
????)(
?
?0)
所在直线过
?ABC
的内心(是
?BAC
的角平分线所在直线)；
④向量
?
(
???
|AB||A C|
?????????????????????????
⑤
|AB|PC?|BC |PA?|CA|PB?0?P
?ABC
的内心；
????????????
????????????
PB、 PC
中三终 点
A、B、C
共线
?
存在实数
?
、
?
使得
PA?
?
PB?
?
PC
且（4）向量
PA、
?
?
?
?1
.
例：
平面直角坐标系中，
O???
为坐标原点，已知两点
A(3,1)
,
B(?1,3)
, 若点
C
满足
??????
OC?
?
1
OA?
?
2
OB
,其中
?
1
,
?
2
? R
且
?
1
?
?
2
?1
,则点
C< br>的轨迹是_______

4