高中数学知识应用竞赛介绍-高中数学中的数列的重要性
平面向量
【基本概念与公式】
【任何时候写向量时都要带箭头】
uuur
r
1.向量:既有大小又有方向的量。记
作:
AB
或
a
。
uuur
r
2.向量的模:向量
的大小(或长度),记作:
|AB|
或
|a|
。
r
r3.单位向量:长度为1的向量。若
e
是单位向量,则
|e|?1
。 <
br>rr
4.零向量:长度为0的向量。记作:
0
。【
0
方向是任
意的,且与任意向量平行】
5.平行向量(共线向量):方向相同或相反的向量。
6.相等向量:长度和方向都相同的向量。
uuuruuur
7.相反向量:长度相
等,方向相反的向量。
AB??BA
。
8.三角形法则:
uuuruuu
ruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur
AB?BC?AC<
br>;
AB?BC?CD?DE?AE
;
AB?AC?CB
(指向被减数)
9.平行四边形法则:
rrrr
rr
以
a,b
为临边的
平行四边形的两条对角线分别为
a?b
,
a?b
。
rrrr
rrrr
10.共线定理:
a?
?
b?ab
。当
?
?0
时,
a与b
同向;当
?
?0
时,
a与b反向。
11.基底:任意不共线的两个向量称为一组基底。
r
r
r<
br>r
2
r
r
r
2
r
2
22
1
2.向量的模:若
a?(x,y)
,则
|a|?x?y
,
a?|a|
,
|a?b|?(a?b)
rr
rrrr
a?b
r
13.数量积与夹角公式:
a?b?|a|?|b|cos
?
;
cos
?
?
r
|a|?|b|
rrrrrrrr
14.平行与垂直
:
ab?a?
?
b?x
1
y
2
?x
2y
1
;
a?b?a?b?0?x
1
x
2
?y<
br>1
y
2
?0
题型1.基本概念判断正误:
(1)共线向量就是在同一条直线上的向量。
(2)若两个向量不相等,则它们的终点不可能是同一点。
uuuruuur
(3)与已知向量共线的单位向量是唯一的。
(4)四边形ABCD是平行四边形的条件是
AB?CD
。
uuuruuur
(5)若
AB?CD
,则A、B、C、D四点构成平行四边形。
rrrrrr
rrrr
(6)若
a
与
b
共线,
b
与
c
共线,则
a
与
c
共线。
(7)若
ma?mb
,则
a?b
。
1
(8)若
ma
r
?na
r
,则
m?n
。
(9)若
r
a
与
r
b
不共线,则
r
a与
r
b
都不是零向量。
(10)若
r
a?b
r
?|
r
a|?|b
r
|
,则
r
a
r
b
。 (11)若
|
r
a?
r
b|
?|
r
a?
r
b|
,则
r
a?
r
b
。
题型2.向量的加减运算
1.设
r
a
表示“向东走8km”,
r
b
表示“
向北走6km”,则
|
r
a?
r
b|?
。
2.化简
(
u
AB
uur
?
u
MB<
br>uur
)?(
u
BO
uur
?
u
BC
uur
)?
u
OM
uuur
?
。
3.已知
|
u
OA
uur
|?5
,
|u
OB
uur
|?3
,则
|
uuu
AB
r
|
的最大值和最小值分别为 、 。
4.已知
uAC
uur
为
u
AB
uur
与
u
AD
uur
的和向量,且
u
AC
uur
?
r
a
,
u
BD
uur
?b
r
,则
u
AB
uur
?
,
u
AD
uur
?
。
5.已知点C在线段AB上,且
u
AC
uur
?
3
u
5
AB
uur
,则
u
AC
uur
?<
br>
uuu
BC
r
,
u
AB
uur
?
uuu
BC
r
。
题型3.向量的数乘运算
1.计算:<
br>2(2
r
a?5
r
b?3c
r
)?3(?2
r
a?3b
r
?2c
r
)?
2.已知
a
r
?(1,?4),b
r
?(?3,8)
,则
3a
r
?
1
r
2
b?
。
题型4根据图形由已知向量求未知向量
1.已知在
?ABC
中,
D
是
BC
的中点,请用向量
u
AB
uur
,
u
AC
uur
表示
u
AD
uur
。
<
br>2.在平行四边形
ABCD
中,已知
u
AC
uur
?
a
r
,
u
BD
uur
?b
r
,求
u
AB
uur
和
u
AD
uur
。
题型5.向量的坐标运算
1.已知
u
AB
uur
?(4,
5)
,
A(2,3)
,则点
B
的坐标是 。
2.已知
u
PQ
uur
?(?3,?5)
,
P(3
,7)
,则点
Q
的坐标是 。
3.若物体受三个力
F
r
1
?(1,2)
,
F
rr
2
?(?2,3)
,
F
3
?(?1,?4)
,则合力的坐标为
。
4.已知
a
r
?(?3,4)
,
b
r
?(5,2)
,求
a
r
?b
r
,
a
r?b
r
,
3a
r
?2b
r
。
5.已知
A(1,2),B(3,2)
,向量
a
r
?(x?2,
x?3y?2)
与
u
AB
uur
相等,求
x,y
的
值。
2
6.已知
u
AB
uur
?(2,3)
,
u
BC
uur
?(m,n)
,
u
CD
uur
?(?1,4)
,则
u
DA
uur
?
。
7.已知
O
是坐
标原点,
A(2,?1),B(?4,8)
,且
u
AB
uur
?3
u
BC
uur
?
r
0
,求
u
OC
uur
的坐标。
题型6.判断两个向量能否作为一组基底
1.已知
u
e
r
,
u
e
ur
12
是平面内的一组基底,判断下列每组向量是否能构成
一组基底:
A.
u
e
ruururuururuuruurururuur
uururuuruurur
1
?e
2
和e
1
?e
2
B.
3e
1
?2e
2
和4e
2
?
6e
1
C.
e
1
?3e
2
和e
2<
br>?3e
1
D.
e
2
和e
2
?e
1
2.已知
a
r
?(3,4)
,能与
a
r
构成基底的是( )
A.
(
3
,
4
)
B.
(
4
,
3344
5555
)
C.
(?
5
,?
5
)
D.
(?1,?
3
)
题型7.结合三角函数求向量坐标
1.已知
O
是坐标原点,点
A
在第二象限,
|
u
O
A
uur
|?2
,
?xOA?150
o
,求
uOA
uur
的坐标。
2.已知
O
是原点,点
A
在第一象限,
|
u
OA
uur
|?
43
,
?xOA?60
o
,求
u
OA
uur
的坐标。
题型8.求数量积
1.已知
|a
r|?3,|b
r
|?4
,且
a
r
与
b
r
的夹角为
60
o
,求(1)
a
r
?b
r
,(2)
a
r
?(a
r
?b
r
)
,
(3)
(a
r
?
1
2
b
r
)
?b
r
,(4)
(2a
r
?b
r
)?(a
r
?3b
r
)
。
2.已知
a
r
?(2,?6),b
r
?(?8,10)
,求(1)
|a
r
|,|b
r
|
,(2)
a
r
?b
r<
br>,(3)
a
r
?(2a
r
?b
r
)
,
(4)
(2a
r
?b
r
)?(a
r
?
3b
r
)
。
3
题型9.求向量的夹角
r
r
r
r
r
r
1.已知
|a|?8,|b|?3
,
a?b?12
,
求
a
与
b
的夹角。
r
r
r
r
a?(3,1),b?(?23,2)
2.已知,求
a
与
b
的夹角。
3.已知
A(1,0)
,
B(0
,1)
,
C(2,5)
,求
cos?BAC
。
题型10.求向量的模
r
r
r
r
r
r
r
r
o
1.已知
|a|?3,|b|?4
,且
a
与<
br>b
的夹角为
60
,求(1)
|a?b|
,(2)
|2
a?3b|
。
r
rr
r
r
r
r
1
r
2.已知
a?(2,?6),b?(?8,10)
,求(1
)
|a|,|b|
,(5)
|a?b|
,(6)
|a?b|
。
2
r
r
r
rr
r
|b|
?2
,
|3a?2b|?3
,求
|3a?b|
。
3.已知
|a|?1,
r
r
r
a
题型11.求单位向量
【与
a
平行的单位向量:
e??
r
】
|a|
1.与
a?(12,5)
平行的单位向量是
2.与
m?(?1,)
平行的单位向量是 。
题型12.向量的平行与垂直
r
r
1
2
r
rr
r
r
r
b?(?3,2)
ka?ba?3b
1.已知
a?(1,2)
,,(1)
k
为何值时,向量与垂直?(2)
k为何值时
r
r
r
r
向量
ka?b
与
a
?3b
平行?
4
r
r
r
r
r
r
rr
r
r
2.已知
a<
br>是非零向量,
a?b?a?c
,且
b?c
,求证:
a?(b?
c)
。
题型13.三点共线问题
1.已知
A(0,
?2)
,
B(2,2)
,
C(3,4)
,求证:
A,B,C
三点共线。
uuurruuurrruuurrr
2
r
(a?5b),BC??2a?8b,CD?3(a?b)
,求证:
A、
B、D
三点共线。 2.设
AB?
2
uuurrruu
urrruuurrr
3.已知
AB?a?2b,BC??5a?6b,CD?7a?2b,则一定共线的三点是 。
4.已知
A(1,?3)
,
B
(8,?1)
,若点
C(2a?1,a?2)
在直线
AB
上,求a
的值。
uuuruuuruuur
5.已知四个点的坐
标
O(0,0)
,
A(3,4)
,
B(?1,2)
,
C(1,1)
,是否存在常数
t
,使
OA?tOB?OC
成立?
题型14.判断多边形的形状
uuurruuurr
uuuruuur
1.若
AB?3e
,
CD??5e
,且
|AD|?|BC|
,则四边形的形状是 。
2.已知
A(1,
0)
,
B(4,3)
,
C(2,4)
,
D(0,2)
,证明四边形
ABCD
是梯形。
3.已知
A(?2,1)
,
B(6,?3)
,
C(0,5)
,求证:
?ABC
是直角三角形。
5
uuuruuuruuur
4.在平面直角坐标系内,
OA?(?1,8),OB?(?4,1
),OC?(1,3)
,求证:
?ABC
是等腰直角三角形。
题型15.平面向量的综合应用
r
r
r
r
r
r<
br>b?(2,1)
1.已知
a?(1,0)
,,当
k
为何值时,
向量
ka?b
与
a?3b
平行?
r
r
r
r
r
2.已知
a?(3,5)
,且
a?b
,
|b|
?2
,求
b
的坐标。
rr
r
rr<
br>r
3.已知
a与b
同向,
b?(1,2)
,则
a?b
?10
,求
a
的坐标。
r
r
rr<
br>rr
4.已知
a?(1,2)
,
b?(3,1)
,
c
?(5,4)
,则
c?
a?
b
。
r
r
r
r
5.已知
a?
(m,3)
,
b?(2,?1)
,(1)若
a
与
b
的夹角为钝角,求
m
的范围;
r
r
(2)若
a
与
b
的夹角为锐角,求
m
的范围。
r
r
r
r
r
r
m
b?(?3,m)
6.已
知
a?(6,2)
,,当为何值时,(1)
a
与
b
的夹角为
钝角?(2)
a
与
b
的夹
角为锐角?
7.已知梯形
ABCD
的顶点坐标分别为
A(?1,2)
,
B(3
,4)
,
D(2,1)
,且
ABDC
,
AB?2CD
,
求点
C
的坐标。
8.已知
?ABC三个顶点的坐标分别为
A(3,4)
,
B(0,0)
,
C(c,
0)
,
uuuruuur
(1)若
AB?AC?0
,求
c
的值;(2)若
c?5
,求
sinA
的值。
6
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