公式编译抛物线焦点的公式

2020年9月19日发(作者：汤洪高)
北
撰

稿：安东明
京
编
四
责
中

审：安东明 编：辛文升
本周重点：圆锥曲线的定义及应用
本周难点：圆锥曲线的综合应用
本周内容：
一、圆锥曲线的定义
1. 椭圆：到两个定点的距离之和等于定长（定长大于两个定点间的距离）的动点的轨迹叫做椭圆 。
即：{P| |PF
1
|+|PF
2
|=2a, (2a>|F
1
F
2
|)}。
2. 双曲线：到两个定点的 距离的差的绝对值为定值（定值小于两个定点的距离）的动点轨迹叫做双
曲线。即{P|||PF
1
|-|PF
2
||=2a, (2a<|F
1
F
2
|)}。
3. 圆锥曲线的统一定义： 到定点的距离与到定直线的距离的比e是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线。
当01时为双曲线。

二、圆锥曲线的方程。
1.椭圆：+=1（a>b>0）或+=1（a>b>0）（其中，a=b+c）
222
2.双曲线：
2
-=1（a>0, b>0）或
2
-=1（a>0, b>0）（其中，c=a+b）
222
3.抛物线：y=±2px（p>0），x=±2py（p>0）

三、圆锥曲线的性质
1.椭圆：+=1（a>b>0）
（1）范围：|x|≤a，|y|≤b
（2）顶点：(±a,0)，(0,±b)
（3）焦点：(±c,0)
（4）离心率：e=∈(0,1)
（5）准线：x=±


2.双曲线：-=1（a>0, b>0）
（1）范围：|x|≥a, y∈R
（2）顶点：(±a,0)
（3）焦点：(±c,0)
（4）离心率：e=∈(1,+∞)
（5）准线：x=±
（6）渐近线：y=±

x
3.抛物线：y=2px(p>0)
（1）范围：x≥0, y∈R
（2）顶点：（0,0）
2
（3）焦点：（,0）
（4）离心率：e=1
（5）准线：x=-

四、例题选讲：

例1.椭圆短轴长为2，长轴是短轴的2倍，则椭圆中心到准线的距离是__________。
解：由题：2b=2，b=1，a=2，c==，则椭圆中心到准线的距离：==。
注意：椭圆本身的性质（如焦距，中心到准线的距离，焦点到准线的距离等等）不受椭圆的位置的影
响。

例2.椭圆+=1的离心率e=，则m=___________。
解：（1）椭圆的焦点在x轴上，a=m，b=4，c=m-4，e=
2222
==m=8。
（2）椭圆的焦点在y轴上，a=4，b=m，c=4-m，e=
2222
==m=2。
注意：椭圆方程的标准形式有两个，在没有确定的情况下，两种情况都要考虑，切不可凭主观丢掉一
解。

例3.如图：椭圆+=1（a>b>0），F
1
为左焦点，A、B是两 个顶点，P为椭圆上一点，PF
1
⊥x轴，
且
PO
知F
1< br>，F
2
为椭圆+=1的焦点，P为椭圆上一
点，且∠F
1
PF
2
=，求ΔF
1
PF
2
的面积。
分析：要 求三角形的面积，可以直接利用三角形的面积公式，注意到椭圆
中一些量之间的关系，我们选用面积公式 S=absinC。
解法一：S
Δ
=|PF
1
|·|PF
2
|·sin
|PF
1
|+|PF
2
|=2a=20，
4×3 6=4c=|F
1
F
2
|=|PF
1
|+|PF
2
|-2|PF
1
||PF
2
|cos
即(|PF
1
|+|PF
2
|)-3|PF
1
||PF
2
| =4×36，
|PF
1
|·|PF
2
|=
∴ S
Δ
=××

=。
2
2222
，
解法二：S
Δ
=|F
1
F
2
|·|y
P
| =×12×y
P
=6|y
P
|，
由第二定义：=e|PF
1
|=a+ex
P
=10+x
P
，
由第一定义：|PF
2
|=2a-|PF
1
|=10-x
P
，
4c=|F
1
F
2
|=(10+
22
x
P
)+(10-
2
x
P
)-2(10+
2
x
P
)(10-x
P
)cos，
144=100+=， =64(1-)=64×，
S
Δ
=6|y
P
|=6×

=。
注意：两个定义联合运用解决问题。从三角形面积公式均可得到结果。初学时最好两种办法都试试。

例5.椭圆

+=1 的焦点为F
1
和F
2
， 点P在椭圆上，若线段PF
1
的中点在y轴上，求：|PF
1
|，|PF2
|。
分析：先要根据题意画出图形，然后根据已知量，将关于|PF
1
|，|PF
2
|的表达式写出来，再求解。
解：如图，∵O为F1
F
2
中点，PF
1
中点在y轴上，∴
PF
2
圆：+=1内一
点A（2，2），F
1
，F
2
为焦点，P为 椭圆上一点，求|PA|+|PF
1
|的最值。

解：|PA |+|PF
1
|=|PA|+2a-|PF
2
|=10+|PA|-|PF< br>2
|≤|AF
2
|+10=2
|PA|+|PF
1
|=|PA|+10-|PF
2
|=10-(|PF
2
|-|PA|)≥1 0-|AF
2
|=10-2
+10，
。
注意：利用几何图形的性质：三角形两边之和大于第三边，两边之差小
于第三边。

例7.已知：P为双曲线-=1（a>0, b>0）上一点，F
1
，F
2
为焦点，A
1
，A
2
为其顶点。求证：以
PF
1
为直径的圆与以A
1
，A
2
为直径的圆相切。

证明：不妨设P在双曲线的右支上，设PF
1
中点为O＇, A
1
A
2
中点为
O，
|OO＇|=|PF
2
|，圆O半径为|A
1
A
2
|，圆O＇半径为|PF
1< br>|
由双曲线定义：|PF
1
|-|PF
2
|=|A< br>1
A
2
|
|PF
1
|-|A
1A
2
|=|PF
2
|=|OO'|
∴ 两个圆相内切。
注意：可以自己证出P在左支时，两圆相外切。

例8.已知：过抛物线 y=2px(p>0)焦点F的直线与抛物线交于P，Q两点。求证：以线段PQ为直径的
圆与准线相切 。
证明：由定义知，如图：|PP＇|=|PF|, |QQ＇|=|QF|
2
|PQ|=|PP＇|+|QQ＇|，|PQ|=(|PP＇|+|QQ＇|)，
故圆心到准线的距离等于圆的半径，即圆和准线相切。


五、课后练习
1. 椭圆+=1上一点P与椭圆两焦点连线互相垂直，则ΔPF
1
F
2
的面积为（ ）
A、20 B、22 C、28 D、24

2. 若点P(a,b)是双曲线x-y=1右支上一点，且P到渐近线距离为
22
，则a+b=( )
A、-

B、 C、-2 D、2
3. 焦点在直线3x-4y-12=0上的抛物线的标准方程是（ ）
A、y=16x或x=16y B、y=16x或x=-16y
C、x=-12y或y=16x D、x=16y或y=-12x

2222
2222
4. 已知：椭圆
值。

六、练习答案：
+=1（a>b>0）上两点P、Q，O为原点，OP⊥OQ，求证：+为定
1. D 2. B 3. C

4. 设P(|OP|cosα, |OP|sinα), Q(|OQ|cos(α+90°), |OQ|sin(α+90°))，利用两点距离公式及
三角公式，+=。