必修4三角函数知识点归纳总结

《三角函数》
【知识网络】


应用


弧长公式
同角三角函数
诱导
应用

的基本关系式
公式


应用

三角函数的
角度制与
任意角的

任意角的概念
图像和性质
弧度制
三角函数



应用
和角公式
倍角公式


应用

差角公式


应用

一、任意角的概念与弧度制
1、将沿
x
轴正向的射线，围绕原点旋转所形成的图形称作角.
逆时针旋转为正角，顺时针旋转为负角，不旋转为零角
2、同终边的角可表示为
计算与化简
证明恒等式
应用
已知三角函
数值求角
?
??
?
?
?k360
?
?
k?Z
?

?
x
轴上角：
?
??
?k180
?
?
k?Z
?

y
轴上角：
?
??
?90?k180
??
k?Z
?

3、第一象限角：
第二象限角：
第三象限角：
第四象限角：
?
?
0?k360
?
?< br>?
?90?k360
?
?
?
k?Z
?
?
?
90
?
?
180
?k360
?
?
?
?180?k360
?
?
?
k?Z
?

?k360
?
?
?
?270?k360
?
?
?
k?Z
?

?k360
?
?
?
?36 0?k360
?
?
?
k?Z
?

?
?
270
4、区分第一象限角、锐角以及小于
90
的角
第一象限角：
锐角：
?
?
0?k360
??
?
?90?k360
?
?
?
k?Z
?

?
?
0?
?
?90
?
小于
90
的角：
?
??
?90
?

1 10

?
为第几象限角？
2
?
???
?2 k
?
?
?
?
?
?2k
?
?k
?< br>???k
?

2422
??
5
?
3
?
k?0,?
?
?,k?1,?
?
?,

4242
?
所以在第一、三象限
2
6、弧度制：弧长等于半径时， 所对的圆心角为
1
弧度的圆心角，记作
1rad
.
?
18 0?
7、角度与弧度的转化：
1???0.01745
1??57.30??57?1 8
?

180
?
5、若
?
为第二象限角，那么8、角度与弧度对应表：
角度
弧度
0
?

30
?

45
?

60
?

90

120
?

135
?

150
?

180
?

360
?

0

?

6
?

4
?

3
?

2
2
?

3
3
?

4
5
?

6
?

2
?


9、弧长与面积计算公式
弧长：
l?
?
?R
；面积：
S?

二、任意角的三角函数
11
l?R?
?
?R
2
， 注意：这里的
?
均为弧度制.
22
y
xy
1、正弦：sin
?
?
；余弦
cos
?
?
；正切
tan
?
?

r
rx
其中
?
x,y
?
为角
?
终边上任意点坐标，
r?

2、三角函数值对应表：
P
(x,
y)
r
x
2
?y
2
.
?

度
0

30

45

60

90

120

135

150

180

270?

360

弧度
0

?

6
1

2
?

4
2

2
2

2
?

3
3

2
1

2
?

2
1

2
?

3
3
?

4
5
?

6
1

2
?

0

3
?

2
2
?

sin
?

0

3

2
2

2
1

0

cos
?

1

3

2
3

3
0

1
?

?
2

?
3

2
2
2
?3

?1

0

1

tan
?

0

1

3

无
?1

?
3

3
0

无
0

3、三角函数在各象限中的符号
口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦.（简记为“全s t c”）
2 10

sin
?
tan
?
cos
?

第一象限：
.x?0,y?0
sin?
?
0,cos?
?
0,tan?
?
0,
第二象限：
.x?0,y?0
sin?
?
0,cos?
?
0 ,tan?
?
0,
第三象限：
.x?0,y?0
sin?
?
0,cos?
?
0,tan?
?
0,
第四象限：
.x?0,y?0
sin?
?
0,cos?
?
0,tan?
?
0,

4、三角函数线
设任意角
?
的顶点在原点< br>O
，始边与
x
轴非负半轴重合，终边与单位圆相交与
P
(x, y)
，
过
P
作
x
轴的垂线，垂足为
M
； 过点
A(1,0)
作单位圆的切线，它与角
?
的终边或其反向
延长线交于点T.

y

y

T



P

P


A

A


x

M

o

o

M

x



T


（Ⅱ）
（Ⅰ）



y

y

T




M

M

A

A


x

x

o

o



P

P

T


（Ⅲ）
（Ⅳ）

由四个图看出：
当角
?
的终边不在坐标轴上时，有向线段
OM?x ,MP?y
，于是有
yyxx
??y?MP
，
cos
?
???x?OM
r1r1
，
yMPAT
tan
?
????AT
．
xOMOA
我们就分别称有向线段
MP,OM,AT
为正弦线、余弦线、正切线。
sin
?
?
5、同角三角函数基本关系式
sin
2
?
?cos
2
?
?1

3 10

tan
?
?
sin
?
?tan
?
cot
?
?1

cos
?
(s in
?
?cos
?
)
2
?1?2sin
?
cos
?

(sin
?
?cos
?
)
2< br>?1?2sin
?
cos
?

(
sin
?< br>?cos
?
，
sin
?
?cos
?
，
sin
?
?cos
?
，三式之间可以互相表示)

6、诱导公式
n
?
?
?
口诀：奇变偶不变,符号看象限( 所谓奇偶指的是
2
中整数
n
的奇偶性，把
?
看作锐角) < br>nn
??
2
n
?
n
?
?
(?1)s in
?
,n为偶数
?
(?1)
2
cos
?
,n为偶数
sin(?
?
)?
?
?
?
)?
?
；
cos(
.
n?1n?1
22
?
(?1)< br>2
cos
?
,n为奇数
?
(?1)
2
sin
?
,n为奇数
??
①.公式（一）：
?
与
?
?2k
?
,
?
k?Z
?

sin(
?< br>?2k
?
)?sin
?
；
cos(
?
?2k
?
)?cos
?
；
tan(
?
?2k
?< br>)?tan
?

②.公式（二）：
?
与
?
?

sin
?< br>?
?
?
??sin
?
；
cos
?
?
?
?
?cos
?
；
tan
?
?
?
?
??tan
?

③.公式（三）：
?
与
?
?
?

sin< br>?
?
?
?
?
??sin
?
；
cos
?
?
?
?
?
??cos
?
；
ta n
?
?
?
?
?
?tan
?

④.公式（四）：
?
与
?
?
?

sin< br>?
?
?
?
?
?sin
?
；
cos< br>?
?
?
?
?
??cos
?
；
tan
?
?
?
?
?
??tan
?

⑤.公式（五）：
?
与
?
2
?
?

?
?
??
?
?
sin
?
?
?
?
?cos
?
；
cos
?
?
?
?
? ?sin
?
；
?
2
??
2
?
⑥.公式（ 六）：
?
与
?
2
?
?

?
???
?
?
sin
?
?
?
?
?cos< br>?
；
cos
?
?
?
?
?sin
?< br>；
?
2
??
2
?
⑦.公式（七）：
?与
3
?
?
?

2
?
3
??
?
3
?
?
?
?
?
?sin
?
；
sin
?
?
?
?
??cos
?；
cos
?
?
2
?
?
2
?
4 10

⑧.公式（八）：
?
与
3
?
?
?

2
?
3
?
??
3
?
?sin
?
?
?
?
??cos
?
；
co s
?
?
?
?
??sin
?
；
?
2
??
2
?

三、三角函数的图像与性质 1、将函数
y?sinx
的图象上所有的点，向左（右）平移
?
个单位长 度，得到函数
y?sin
?
x?
?
?
的图象；再将函数y?sin
?
x?
?
?
的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到
1
倍（纵坐标不变），得到函数
y?sin
?
?
x?
?
?
的图象；再将函数
y?sin
?
?
x?
?< br>?
?
的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的
A
倍（横坐标不变 ），得到函数
原来的
y?Asin
?
?
x?
?
?< br>的图象。
2、函数
y?Asin
?
?
x?
?
??
A?0,
?
?0
?
的性质：
①振幅：
A< br>；②周期：
T?
2
?
?
；③频率：
f?
1< br>?
?
；④相位：
?
x?
?
；⑤初相：
?。
T2
?
3、周期函数：一般地，对于函数
f
?
x< br>?
，如果存在一个非零常数
T
，使得定义域内的每一
个
x值，都满足
f
?
x?T
?
?f
?
x
?
，那么函数
f
?
x
?
就叫做周期函数，
T
叫做该函数的周期.
4、⑴
y?Asin(
?
x?
?
)< br>对称轴：令
?
x?
?
?k
?
?
对称中心：< br>?
x?
?
?k
?
，得
x?
?
2k
?
?
，得
x?
?
2
?
?

?
k
?
?
?
?
，
(
k
?
?
?
,0)(k?Z)
；
?
?
x?
?
)
对称轴：令
?
x?
?
?k
?
，得
x?
⑵
y?Acos(
k
?
?
?
?
?< br>?
k
?
??
?
k
?
??
?
?
2
2
对称中心：
?
x?
?
?k
?
?
，得
x?
，
(,0)(k?Z)
；
2
?
?
⑶周期公式:
①函数
y?Asin(
?< br>x?
?
)
及
y?Acos(
?
x?
?
)
的周期
T?
≠0).
②函数
y?Atan
?
?
x?
?
?
的周期
T?
5、三角函数的图像与性质表格

函

数
性
质
；
2
?
?
(A、ω、
?
为常数，且A
?
(A、ω、
?
为常数，且A≠0).
?
y?cosx

5 10
y?sinx

y?tanx

图
像

定
义
域
值
域

R

R

?
?
?
xx?k
?
?,k?Z
??

2
??
?
?1,1
?

当
x?2k
?
?
?
?1,1
?

当
x?2k
?
?
k?Z
?
时，
R

?
2
?
k?Z
?
时，
最
值
y
max
?1
；
当
x?2k
?
?
?
2
?
k?Z
?
时，
y
max
?1；当
x?2k
?
?
?

既无最大值也无最小值
?
k?Z
?
时，
y
min
??1
．
?

y
min
??1
．
周
期
性
奇
偶
性
在
?
?
单
调
性
2
?

2
?

奇函数 偶函数 奇函数
?
?
?
?
?2k
?
,?2k
?
?

2
?
2
?
?
k?Z
?
上是增函数； 在
?
在
?
?
?
?2k
?
,2k
?
?
?
k?Z
?
上是增函数；
在
?
2 k
?
,2k
?
?
?
?
?
k?Z
?

上是减函数．
在
?
k
?
?
?
?
?
2
,k
?
?
?
?
?

2
?
3
?
?
?
?
?2k
?
,? 2k
?
?

2
?
2
?
?
k?Z
?
上是增函数．
?
k?Z
?
上是减函数．
对称中心
对
称
性
对称中心
?
k
?
,0
??
k?Z
?

对称轴
x?k
?
?
?
2
?
k?Z
?

?
??
k?
?,0
?
?
k?Z
?

?
2
??
对称轴
x?k
?
?
k?Z
?

对称 中心
?
?
k
?
?
,0
?
?
k?Z
?

2
??
无对称轴
6.五点法作
y?Asin (
?
x?
?
)
的简图，设
t?
?
x??
，取0、
?
3
?
、
?
、、
2
?
来求相应
22
x
的值以及对应的y值再描点作图。
6 10

7.
y?Asin(?x??)
的的图像

8. 函数的变换：
（1）函数的平移变换
①
y?f(x)?y?f(x?a)(a?0)
将
y?f(x)
图像沿
x
轴向左（右）平移
a
个单位
（左加右减）
②
y?f(x)?y?f(x)?b(b?0)
将
y?f(x)
图像沿
y
轴向上（下）平移
b
个单位
（上加下减）
（2）函数的伸缩变换：
①
y?f(x)?y?f(wx)(w?0)
将
y?f(x)
图像 纵坐标不变，横坐标缩到原来的
（
w?1
缩短，
0?w?1
伸长）
②
y?f(x)?y?Af(x)(A?0)
将
y?f(x)
图像 横坐标不变，纵坐标伸长到原来的A倍
（
A?1
伸长，
0?A?1
缩 短）
（3）函数的对称变换：
①
y?f(x)?y?f(?x)
) 将
y?f(x)
图像绕
y
轴翻折180°（整体翻折）
（对三角函数来说：图像关于
x
轴对称）
②
y?f(x)?y? ?f(x)
将
y?f(x)
图像绕
x
轴翻折180°（整体翻折）
（对三角函数来说：图像关于
y
轴对称）
③
y?f(x)?y?f(x)
将
y?f(x)
图像在
y
轴右侧保留，并把右侧图像绕
y
轴翻
1
倍
w
7 10

折到左侧（偶函数局部翻折）
x
轴下方图像绕
x轴翻折上④
y?f(x)?y?f(x)
保留
y?f(x)
在
x
轴上方图像，
去（局部翻动）

四、三角恒等变换

1. 两角和与差的正弦、余弦、正切公式：
(1）
sin(
?
?
?
)?sin
?
cos
?
?sin
?
co s
?

(2）
sin(
?
?
?
)?sin
?
cos
?
?sin
?
cos
?

(3）
cos(
?
?
?
)?cos
?
cos?
?sin
?
sin
?

(4）
cos(?
?
?
)?cos
?
cos
?
?sin
?
sin
?

(5）
tan(
?
?
?< br>)?
tan
?
?tan
?
?
tan
?
?tan
?
?tan
?
?
?
?
??
1? tan
?
tan
?
?

1?tan
?
ta n
?
tan
?
?tan
?
?
tan
??tan
?
?tan
?
?
?
?
??
1 ?tan
?
tan
?
?

1?tan
?
t an
?
(6）
tan(
?
?
?
)?
(7)
asin
?
?bcos
?
=
a
2
?b2
sin(
?
?
?
)
(其中,辅助角
?
所在象限由点
(a,b)
所在的象限
决定,
sin
?
?< br>b
a
2
?b
2
,cos
?
?
aa
2
?b
2
,tan
?
?
b
，该法也 叫合一变形).
a
(8)
1?tan
??
1?tan
? ?
?tan(?
?
)?tan(?
?
)

1?tan
?
41?tan
?
4

2. 二倍角公式
（1）
sin2a?2sinacosa

2222
cos2a?cosa?sina?1?2sina?2cosa?1

（2）
tan2a?
（3）
2tana

1?tan
2
a

3. 降幂公式：
cos
2
a?
（1）
4. 升幂公式
1?cos2a1?cos2a
2
（2）
sina?
22

2
（1）
1?cos
?
?2cos
?
2
（2）
1?cos
?
?2sin
2
?
2

8 10

（3）
1?sin
?
?(sin
（5）
sin
?
?2sin

?
?cos)
2
（4）
1?sin
2
?
?cos
2
?

22
?
?
2
cos
?
2

5. 半角公式（符号的选择由
?
所在的象限确定）

2
sin
（1）
a1?cosa
a1?cosa
， ， < br>??cos??
22
22
（2）
a1?cosasina1?cosa
????
21?cosa1?cosasina

tan
（3）

6. 万能公式:
2tan
（1）
sin
?
?
?
2
, （2）
cos
?
?
1?tan
2
1?tan
2?
?
2
,
2
1?tan
2
2tan
?
2
2
.

?
?
（3）
tan
?
?
1?tan
2

2
7.三角变换：
三角变换是 运算化简过程中运用较多的变换，提高三角变换能力，要学会创设条件，灵活运
用三角公式，掌握运算、 化简的方法技能。
（1） 角的变换：角之间的和差、倍半、互补、互余等关系对角变换，还可作添加、
删除角的恒等变形
（2） 函数名称变换：三角变形中常常需要变函数名称为同名函数。采用公式：
asin< br>?
?bcos
?
?a
2
?b
2
sin(?
?
?
)
其中
cos
?
?
1
1?(3)
22
a
a
2
?b
2
,sin
?
?
b
a
2
?b
2
，比如：
y?sinx? 3cosx
?1
2
?(3)
2
(sinx?
3
1? (3)
22
cosx)

13
??
?
?2(sin x?cosx)
?2(sinxcos?cosxsin)
?2sin(x?)

22
3
33
（3）注意“凑角”运用：
?
?
?
?
?
?
?
?
?
，
?
?
1
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?

?
?
?
?
?
?
?
?
?
，
??
2
例如：已知
?
、
?
?(
3
?
3
?
12
?
,
?
)
,
sin(
?
?
?
)??
，
sin(
?
?)?
，则
cos(
?
?)??

4413
54
9 10

（ 4）常数代换：在三角函数运算、求值、证明中有时候需将常数转化为三角函数，特
别是常数“1”可转 化为“
sin
?
?cos
?
”
（5）幂的变换：对次数较 高的三角函数式一般采用降幂处理，有时需要升幂例如：
22
1?cosa
常用升幂化 为有理式。
（6）公式变形：三角公式是变换的依据，应熟练掌握三角公式的顺用、逆用及变形。 < br>（7）结构变化：在三角变换中常常对条件、结论的结构进行调整，或重新分组，或移
项，或变乘 为除，或求差等等。在形式上有时需要和差与积的互化、分解因式、配方等。
（8）消元法：如果所要证明的式子中不含已知条件中的某些变量，可用此法
（9）思路变换 ：如果一种思路无法再走下去，试着改变自己的思路，通过分析比较去
选择更合适、简捷的方法去解题目 。
（10）利用方程思想解三角函数。如对于以下三个式子：
sina?cosa
，
sinacosa

sina?cosa
，已知其中一个式子的值，其余二式均可求出，且必要时可以换元。

8.函数的最值
（几种常见的函数及其最值的求法）：
①
y?a sinx?b
（或
acosx?b)
型：利用三角函数的值域，须注意对字母的讨论
②
y?asinx?bcosx
型：引进辅助角化成
y?
2
a
2
?b
2
sin(x?
?
)
再利用有界性 ③
y?asinx?bsinx?c
型：配方后求二次函数的最值，应注意
sin x?1
的约束
④
y?
asinx?b
型：反解出
sinx
，化归为
sinx?1
解决
csinx?d
⑥
y?a(s inx?cosx)?bsinx?cosx?c
型：常用到换元法：
t?sinx?cosx
，但须
注意
t
的取值范围：
t?2
。

9.三角形中常用的关系：
sinA?sin(B?C)
，
cosA??cos(B?C)
，
sin
sin2A??sin2(B?C)
，
cos2A?cos2(B?C)


10.
常见数据：
sin15??cos75??
AB?C
?cos
，
22
6?2
,sin75??cos15??
6?2
，
44
tan15??2?3
,
tan75??2?3
,

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