高中数学必修2--第四章《圆与方程》知识点总结与练习

第三节

圆_的_方_程


[知识能否忆起]
1．圆的定义及方程

定义
标准
方程
一般
方程

2．点与圆的位置关系
点M(x< br>0
，y
0
)与圆(x－a)
2
＋(y－b)
2
＝r
2
的位置关系：
(1)若M(x
0
，y
0
)在圆外，则(x
0
－a)
2
＋(y
0
－b)
2< br>>r
2
.
(2)若M(x
0
，y
0
)在圆 上，则(x
0
－a)
2
＋(y
0
－b)
2
＝r
2
.
(3)若M(x
0
，y
0
)在圆内，则 (x
0
－a)
2
＋(y
0
－b)
2
2
.
[小题能否全取]
1．(教材习题改编)方程x
2
＋ y
2
＋4mx－2y＋5m＝0表示圆的充要条件是( )
1
A.＜m＜1
4
1
C．m＜
4

1
B．m＜或m＞1
4
D．m＞1
22
平面内与定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)
(x－a)
2
＋(y－b)
2
＝r
2

(r>0)
x＋y＋Dx＋Ey＋F＝0
(D
2
＋E
2
－4F>0)
圆心：(a，b)，半径：r
DE
－，－
?
， 圆心：
?
2
??
21
半径：D
2
＋E
2
－4F
2
1
解析：选B 由(4m)
2
＋4－4×5m＞0得m＜或m＞1.
4
2．(教材习题改编 )点(1,1)在圆(x－a)
2
＋(y＋a)
2
＝4内，则实数a的取值范 围是( )
A．(－1,1)

B．(0,1)
D．(1，＋∞) C．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
解析：选A ∵点(1,1)在圆的内部，
∴(1－a)
2
＋(1＋a)
2
＜4，
∴－1＜a＜1.

3．圆心在y轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程为( )
A．x
2
＋(y－2)
2
＝1

B．x
2
＋(y＋2)
2
＝1
D．x
2
＋(y－3)
2
＝1 C．(x－1)
2
＋(y－3)
2
＝1
解析：选A 设圆心 坐标为(0，b)，则由题意知?0－1?
2
＋?b－2?
2
＝1，解得b＝ 2，故
圆的方程为x
2
＋(y－2)
2
＝1.
4．(20 12·潍坊调研)圆x
2
－2x＋y
2
－3＝0的圆心到直线x＋3y－3＝ 0的距离为
________．
解析：圆心(1,0)，d＝
答案：1
5．(教材习题改编)圆心在原点且与直线x＋y－2＝0相切的圆的方程为
____________________．
解析：设圆的方程为x
2
＋y
2
＝a
2
(a＞0)
∴＝a，∴a＝2，
1＋1
|2|
|1－3|
1＋3
＝1.
∴x
2
＋y
2
＝2.
答案：x
2
＋y
2
＝2
1.方程Ax
2
＋Bxy＋Cy
2
＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是：
(1)B＝0；(2 )A＝C≠0；(3)D
2
＋E
2
－4AF＞0.
2．求圆的方程时，要注意应用圆的几何性质简化运算．
(1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上．
(2)圆心在任一弦的中垂线上．
(3)两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线．




典题导入
[例1] (1)(2012·顺义模拟)已知圆C关于y轴对称，经过点(1,0 )且被x轴分成两段弧长
之比为1∶2，则圆C的方程为( )
4
3
A.
?
x±
?
2
＋y
2
＝
3
?
3
?

1
3
B.
?
x±
?
2
＋y
2
＝
3
?
3
?
圆的方程的求法

4< br>3
C．x
2
＋
?
y±
?
2
＝
?
3
?
3

1
3
D．x
2＋
?
y±
?
2
＝
?
3
?
3
(2)已知圆C经过A(5,1)，B(1,3)两点，圆心在x轴上，则圆C的方程为_______ _________．
2π
[自主解答] (1)由已知知圆心在y轴上，且被x轴所分劣弧 所对圆心角为
，设圆心(0，
3
ππ
233
b)，半径为r，则rs in
＝1，rcos＝|b|，解得r＝，|b|＝，即b＝±
.
3333
3
4
3
故圆的方程为x
2
＋
?
y±
?2
＝
.
?
3
?
3
(2)圆C的方程为x2
＋y
2
＋Dx＋F＝0，
?
?
26＋5D＋F＝0，
则
?

?
10 ＋D＋F＝0，
?
?
?
D＝－4，
解得
?

?
F＝－6.
?
圆C的方程为x
2
＋y
2
－4x －6＝0.
[答案] (1)C (2)x
2
＋y
2
－4x－6＝0
由题悟法
1．利用待定系数法求圆的方程关键是建立关于a，b，r或D，E，F的方程组．
2．利用 圆的几何性质求方程可直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程，体现了数形
结合思想的运用．
以题试法
1．(2012·浙江五校联考)过圆x
2
＋y
2
＝4外一点P(4,2)作圆的两条切线，切点分别为A，
B，则△ABP的外接圆的方程是( )
A．(x－4)
2
＋(y－2)
2
＝1
C．(x＋2)
2
＋(y＋1)
2
＝5




B．x
2
＋(y－2)
2
＝4
D．(x－2)
2
＋(y－1)
2
＝5


解析：选D 易知圆心为坐标原点O，根据圆的切线的性质可知OA⊥PA，OB⊥PB，
因此 P，A，O，B四点共圆，△PAB的外接圆就是以线段OP为直径的圆，这个圆的方程是
(x－2)< br>2
＋(y－1)
2
＝5.


典题导入
[例2] (1)(2012·湖北高考)过点P(1,1)的直线，将圆形区域{(x，y)|x2
＋y
2
≤4}分为两部
分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的 方程为( )
与圆有关的最值问题

A．x＋y－2＝0
C．x－y＝0




B．y－1＝0
D．x＋3y－4＝0
(2)P(x，y)在圆C：(x－1)
2
＋(y－ 1)
2
＝1上移动，则x
2
＋y
2
的最小值为______ __．
[自主解答] (1)当圆心与P的连线和过点P的直线垂直时，符合条件．圆心O与P点连线的斜率k＝1，∴直线OP垂直于x＋y－2＝0.
(2)由C(1,1)得|OC|＝2， 则|OP|
min
＝2－1，即(
值为(2－1)
2
＝3－22.
[答案] (1)A (2)3－22
由题悟法
解决与圆有关的最值问题的常用方法
(1)形如u＝
y－b
的最值问题，可 转化为定点(a，b)与圆上的动点(x，y)的斜率的最值问
x－a
x
2
＋ y
2
)
min
＝2－1.所以x
2
＋y
2
的最小
题(如A级T
9
)；
y－2
9．(2012·南京模拟)已 知x，y满足x
2
＋y
2
＝1，则的最小值为________．
x－1
y－2y－2
解析：
表示圆上的点P(x，y)与点Q(1,2)连线的斜率， 所以的最小值是直线PQ
x－1x－1
与圆相切时的斜率．设直线PQ的方程为y－2＝k(x －1)即kx－y＋2－k＝0.由
|2－k|
2
＝1得
k
＋1y－2
333
k＝
，结合图形可知，
≥
，故最小值为
.
44
x－1
4
3
答案：
4

(2)形如t＝ax＋by的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题(如以题试法2(2))；
(3)形如(x－a)
2
＋(y－b)
2
的最值问题，可转化为动点 到定点的距离的最值问题(如例(2))．
以题试法
2．(1)(2012·东北三校联考 )与曲线C：x
2
＋y
2
＋2x＋2y＝0相内切，同时又与直线l：y＝< br>2－x相切的半径最小的圆的半径是________．
(2)已知实数x，y满足(x－2)
2
＋(y＋1)
2
＝1则2x－y的最大值为________，最小值为< br>________．
解析：(1)依题意，曲线C表示的是以点C(－1，－1)为圆心，2为 半径的圆，圆心C(－

|－1－1－2|
1，－1)到直线y＝2－ x即x＋y－2＝0的距离等于
＝22，易知所求圆的半径等
2
22＋2
32
于＝
.
22
(2)令b＝2x－y，则b为直线2x－y＝b在y轴上的截 距的相反数，当直线2x－y＝b与圆
|2×2＋1－b|
相切时，b取得最值．由＝1.解得 b＝5±5，所以2x－y的最大值为5＋5，最
5
小值为5－5.
32
答案：(1) (2)5＋5 5－5
2



典题导入
[例3] (2012·正定模拟)如图，已知点A(－1,0)与点B(1,0) ，C是圆x
2
＋y
2
＝1上的动点，连接BC并延长至D，使得|CD|＝| BC|，求AC与OD
的交点P的轨迹方程．
[自主解答] 设动点P(x，y)，由题意可知P是△ABD的重心．
由A(－1,0)，B(1,0)，令动点C(x
0
，y
0
)，
则D(2x
0
－1,2y
0
)，由重心坐标公式得
－1＋ 1＋2x－1
?
，
?
x＝
3
?
2y
??
y＝
3
，
0
0
与圆有关的轨迹问题
3x＋1
?
?
x
＝
2
，
则
?
3y
y
＝
?
?
2
?y≠0?，
0
00

1
4
x＋
?
2
＋y
2
＝
(y≠0)，
代入x
2
＋y
2
＝1，整理得
?< br>?
3
?
9
1
4
x＋
?
2
＋ y
2
＝
(y≠0)．
故所求轨迹方程为
?
?
3
?
9

由题悟法
求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法：
(1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程．
(2)定义法：根据直线、圆、圆锥曲线等定义列方程．
(3)几何法：利用圆与圆的几何性质列方程．
(4)代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等．

以题试法
3．(2012·郑州模拟)动点P到点A(8,0)的距离是到点B(2,0)的 距离的2倍，则动点P的
轨迹方程为( )
A．x
2
＋y
2
＝32
C．(x－1)
2
＋y
2
＝16




B．x
2
＋y
2
＝16
D．x
2
＋(y－1)
2
＝16
解析：选B 设P(x， y)，则由题意可得2?x－2?
2
＋y
2
＝?x－8?
2
＋y
2
，化简整理得x
2
＋y
2
＝16.

[题后悟道] 该题是圆与集合，不等式交汇问题，解决本题的关键点有：
①弄清集合代表的几何意义；
②结合直线与圆的位置关系求得m的取值范围．
针对训练
若直线l：ax＋by＋4＝0(a>0，b>0)始终平分圆C：x
2< br>＋y
2
＋8x＋2y＋1＝0，则ab的最
大值为( )
A．4
C．1
B．2
1
D.
4
解析：选C 圆C的圆心坐标为(－4，－1)，
则有－4a－b＋4＝0，即4a＋b＝4.
11?
4a＋b
?
2
1
?
4
?
2
所以ab＝
(4a·b)≤
?
＝
×
＝1.
44
?
2
?
?
4
?
2
?
1
当且仅当a＝ ，b＝2取得等号．
2
1．圆(x＋2)
2
＋y
2
＝5关 于原点P(0,0)对称的圆的方程为( )
A．(x－2)
2
＋y
2
＝5
C．(x＋2)
2
＋(y＋2)
2
＝5


B．x
2
＋(y－2)
2
＝5
D．x
2
＋(y＋2)
2
＝5
解析：选A 圆上任一点( x，y)关于原点对称点为(－x，－y)在圆(x＋2)
2
＋y
2
＝5上， 即(－
x＋2)
2
＋(－y)
2
＝5.即(x－2)
2＋y
2
＝5.
2．(2012·辽宁高考)将圆x
2
＋y2
－2x－4y＋1＝0平分的直线是( )
A．x＋y－1＝0
C．x－y＋1＝0






B．x＋y＋3＝0
D．x－y＋3＝0
解析：选C 要使直线平分圆，只要直线 经过圆的圆心即可，圆心坐标为(1,2)．A，B，
C，D四个选项中，只有C选项中的直线经过圆心 ．

3．(2012·青岛二中期末)若圆C的半径为1，圆心在第一象限， 且与直线4x－3y＝0和
x轴都相切，则该圆的标准方程是( )
7
y－
?
2
＝1 A．(x－3)
2
＋?
?
3
?
C．(x－1)
2
＋(y－3)
2< br>＝1




B．(x－2)
2
＋(y－1)
2
＝1
3
x－
?
2
＋(y－1)
2
＝1 D.
?
?
2
?
|4a－3|
解析：选B 依题意设圆心C( a,1)(a＞0)，由圆C与直线4x－3y＝0相切，得＝1，
5
解得a＝2，则圆C的标 准方程是(x－2)
2
＋(y－1)
2
＝1.
4．(2012·海 淀检测)点P(4，－2)与圆x
2
＋y
2
＝4上任一点连线的中点的轨迹方 程是( )
A．(x－2)
2
＋(y＋1)
2
＝1
C．(x＋4)
2
＋(y－2)
2
＝4




B．(x－2)
2
＋(y＋1)
2
＝4
D．(x＋2)
2
＋(y－1)
2
＝1
0
解析：选A
x
，
?
x＝
4＋
2
设圆上任一点为Q(x，y)，PQ的中点为M(x，y)，则
?
－2＋y
y＝，< br>?
2
00
0

解
?
?
x
0
＝2x－4，
得
?
因为点Q在圆x
2
＋y
2
＝4上，所以(2x－4)
2
＋(2y＋2)
2
＝4，即(x－2)
2
＋(y＋
?
?
y
0
＝2y＋2.

1)
2
＝1.
5．(2013·杭州模拟)若圆x
2
＋y
2
－2x＋6y＋5a＝0，关于直线y＝x＋2b成轴对称图形，
则a－b的取值范 围是( )
A．(－∞，4)
C．(－4，＋∞)






B．(－∞，0)
D．(4，＋∞)
解析：选A 将圆的方程变形为(x－1)
2
＋(y＋3)
2
＝10 －5a，可知，圆心为(1，－3)，且
10－5a＞0，即a＜2.∵圆关于直线y＝x＋2b对称， ∴圆心在直线y＝x＋2b上，即－3＝1＋
2b，解得b＝－2，∴a－b＜4.
6．已知 点M是直线3x＋4y－2＝0上的动点，点N为圆(x＋1)
2
＋(y＋1)
2＝1上的动点，
则|MN|的最小值是( )
9
A.
5
4
C.
5








B．1
13
D.
5
解析：选C 圆心(－1，－1)到点M的距离的最小值为点(－1，－1)到直线的距离d＝
|－3－4－2|94
＝，故点N到点M的距离的最小值为d－1＝
.
555
7．如果三 角形三个顶点分别是O(0,0)，A(0,15)，B(－8,0)，则它的内切圆方程为

________________．
|OA|＋|OB|－|AB|15＋8－17
解析：因为△AOB是直角三角形，所以内切圆半径为r＝
＝＝
22
3，圆心 坐标为(－3,3)，故内切圆方程为(x＋3)
2
＋(y－3)
2
＝9.
答案：(x＋3)
2
＋(y－3)
2
＝9
8．(2013 ·河南三市调研)已知圆C的圆心与抛物线y
2
＝4x的焦点关于直线y＝x对称，
直 线4x－3y－2＝0与圆C相交于A，B两点，且|AB|＝6，则圆C的方程为__________． < br>解析：设所求圆的半径是R，依题意得，抛物线y
2
＝4x的焦点坐标是(1,0)，则 圆C的
|4×0－3×1－2|
|AB|
?
圆心坐标是(0,1)，圆心到直 线4x－3y－2＝0的距离d＝＝1，则R
2
＝d
2
＋
?
?
2
?
4
2
＋?－3?
2
2
＝10，因此 圆C的方程是x
2
＋(y－1)
2
＝10.
答案：x
2
＋(y－1)
2
＝10
y－2
9．( 2012·南京模拟)已知x，y满足x
2
＋y
2
＝1，则的最小值为___ _____．
x－1
y－2y－2
解析：
表示圆上的点P(x，y)与点Q (1,2)连线的斜率，所以的最小值是直线PQ
x－1x－1
与圆相切时的斜率．设直线PQ 的方程为y－2＝k(x－1)即kx－y＋2－k＝0.由
|2－k|
2
＝1得k
＋1
y－2
333
k＝
，结合图形可知，
≥
，故最小值为
.
44
x－1
4
3
答案：
410．过点C(3,4)且与x轴，y轴都相切的两个圆的半径分别为r
1
，r
2
，求r
1
r
2
.
解：由题意知，这两个圆的圆心都在第一象限，
且在直线y＝x上，故可设两圆方程为 (x－a)
2
＋(y－a)
2
＝a
2
，(x－b)2
＋(y－b)
2
＝b
2
，
且r
1
＝a，r
2
＝b.由于两圆都过点C，
则(3－a )
2
＋(4－a)
2
＝a
2
，(3－b)
2
＋(4－b)
2
＝b
2

即a
2
－14a＋25＝0，b
2
－14b＋25＝0.
则a、b是方程x
2
－14x＋25＝0的两个根．

故r
1
r
2
＝ab＝25.
11．已知以点P为圆心的圆 经过点A(－1,0)和B(3,4)，线段AB的垂直平分线交圆P于
点C和D，且|CD|＝410 .
(1)求直线CD的方程；
(2)求圆P的方程．
解：(1)直线AB的斜率k＝1，AB的中点坐标为(1,2)．
则直线CD的方程为y－2＝－(x－1)，
即x＋y－3＝0.
(2)设圆心P(a，b)，则由P在CD上得a＋b－3＝0.①
又∵直径|CD|＝410，∴|PA|＝210，
∴(a＋1)
2
＋b
2
＝40.②
??
?
a＝－3，
?
a＝5，
由①②解得
?
或
?

b＝6b＝－2.
??
??
∴圆心P(－3,6)或P(5，－2)．
∴圆P的方程为(x＋3)
2
＋(y－6)
2
＝40
或(x－5)
2
＋(y＋2)
2
＝40.
12．(201 2·吉林摸底)已知关于x，y的方程C：x
2
＋y
2
－2x－4y＋m＝0 .
(1)当m为何值时，方程C表示圆；
(2)在(1)的条件下，若圆C与直线l：x＋ 2y－4＝0相交于M、N两点，且|MN|＝
求m的值．
解：(1)方程C可化为(x－1 )
2
＋(y－2)
2
＝5－m，显然只要5－m＞0，即m＜5时方程C表示圆．
(2)因为圆C的方程为(x－1)
2
＋(y－2)
2
＝5－m，其中m＜5，所以圆心C(1,2)，半径r＝
5－m，
|1＋2×2－4|< br>1
则圆心C(1,2)到直线l：x＋2y－4＝0的距离为d＝＝，
22
5
1
＋2
因为|MN|＝
45125
，所以
|MN|＝
，
525
45
，
5

所以5－m＝
?
解得m＝4.
1
?
2
?
25
?
2
＋，
?
5
??
5
?

x
2
y
2
1．(2012·常州模拟)以双曲线－＝1的右焦点为圆心且与双曲线的渐近线相切的圆的
63
方程是( )
A．(x－3)
2
＋y
2
＝1
C．(x－3)
2
＋y
2
＝3




B．(x－3)
2
＋y
2
＝3
D．(x－3)
2
＋y
2
＝9
解析：选B 双曲线的渐近 线方程为x±2y＝0，其右焦点为(3,0)，所求圆半径r＝
|3|
1
2
＋?±2?
2
＝3，所求圆方程为(x－3)
2
＋y
2
＝3 .
2．由直线y＝x＋2上的点P向圆C：(x－4)
2
＋(y＋2)
2< br>＝1引切线PT(T为切点)，当|PT|
最小时，点P的坐标是( )
A．(－1,1)
C．(－2,0)








B．(0,2)
D．(1,3)
|PC|
2
－1，
解析：选B 根据切线长、圆的半径和圆心到点P的距离的 关系，可知|PT|＝
故|PT|最小时，即|PC|最小，此时PC垂直于直线y＝x＋2，则直线P C的方程为y＋2＝－(x
?
?
y＝x＋2，
－4)，即y＝－x＋2，联立 方程
?
解得点P的坐标为(0,2)．
?
y＝－x＋2，
?
3．已知圆M过两点C(1，－1)，D(－1,1)，且圆心M在x＋y－2＝0上．
(1)求圆M的方程；
(2)设P是直线3x＋4y＋8＝0上的动点，PA、PB是圆M的 两条切线，A，B为切点，求
四边形PAMB面积的最小值．
解：(1)设圆M的方程为(x －a)
2
＋(y－b)
2
＝r
2
(r＞0)．

?
?
根据题意，得
?
?－1－a?
＋?1－b?＝r，?
?
a＋b－2＝0.
222
?1－a?
2
＋?－1－ b?
2
＝r
2
，


解得a＝b＝1，r＝2，
故所求圆M的方程为(x－1)
2
＋(y－1)
2
＝4.

(2)因为四边形PAMB的面积S＝S
△
PAM
＋S
△
PBM

11
＝
|AM|·|PA|＋|BM|·|PB|，
22
又|AM|＝|BM|＝2，|PA|＝|PB|，所以S＝2|PA|，
而| PA|＝
即S＝2
|PM|
2
－|AM|
2
＝
|P M|
2
－4.
|PM|
2
－4，
因此要求S的最小值，只需求|PM|的最小值即可，
即在直线3x＋4y＋8＝0上找一点P，使得|PM|的值最小，
|3×1＋4×1＋8|
所以|PM|
min
＝＝3，所以四边形PAMB面积的最小值为S＝2
22
3
＋4
＝23
2
－4＝25.
|PM|
2
min
－4

1．在圆x
2
＋ y
2
－2x－6y＝0内，过点E(0,1)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四
边形ABCD的面积为( )
A．52



B．102
D．202 C．152
解析：选B 由题意可知，圆的圆心坐 标是(1,3)，半径是10，且点E(0,1)位于该圆内，
故过点E(0,1)的最短弦长|BD| ＝210－?1
2
＋2
2
?＝25(注：过圆内一定点的最短弦是以该点为中点的弦)，过点E(0,1)的最长弦长等于该圆的直径，即|AC|＝210，且AC⊥BD，因此四
11
边形ABCD的面积等于|AC|×|BD|＝×210×25＝102.
22
2．已知两点A(－2,0)，B(0,2)，点C是圆x
2
＋y
2
－2x＝0上任意一点，则△ABC面积的
最小值是________．
解析：l
A B
：x－y＋2＝0，圆心(1,0)到l的距离d＝
则AB边上的高的最小值为
3< br>－1.
2
3
，
2
3
1
故△ABC面积的 最小值是
×22×
?
－1
?
＝3－2.
2
?
2
?
答案：3－2
3．(2012·抚顺调研)已知 圆x
2
＋y
2
＝4上一定点A(2,0)，B(1，1)为圆内一点，P，Q 为圆

上的动点．
(1)求线段AP中点的轨迹方程；
(2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程．
解：(1)设AP的中点为M(x，y)，由中点坐标公式可知，P点坐标为(2x－2,2y)． < br>因为P点在圆x
2
＋y
2
＝4上，所以(2x－2)
2
＋(2y)
2
＝4.
故线段AP中点的轨迹方程为(x－1)
2
＋y
2
＝1.
(2)设PQ的中点为N(x，y)，在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|，设O为坐标原点，连接ON，< br>则ON⊥PQ，所以|OP|
2
＝|ON|
2
＋|PN|
2< br>＝|ON|
2
＋|BN|
2
，
所以x
2
＋ y
2
＋(x－1)
2
＋(y－1)
2
＝4.
故线段PQ中点的轨迹方程为x
2
＋y
2
－x－y－1＝0.

一、直线与圆的位置关系(圆心到直线的距离为d，圆的半径为r)

相离 相切 相交
图形

量
化

二、圆与圆 的位置关系(⊙O
1
、⊙O
2
半径r
1
、r
2，d＝|O
1
O
2
|)

图形

量化

[小题能否全取]
1．(教材习题改编)圆(x－1)
2
＋(y＋2)
2
＝6与直线2x＋y－5＝0的位置关系是( )
A．相切
C．相交过圆心


B．相交但直线不过圆心
D．相离
d＞r
1
＋r
2


d＝r
1
＋r
2


|r
1
－r
2
|＜d
＜r
1
＋r
2


d＝|r
1
－r
2
|

d＜|r
1
－r
2
|
相离 外切 相交 内切 内含
方程观点
几何观点
Δ＜0
d＞r
Δ＝0
d＝r

Δ＞0
d＜r

解析：选B 由题意知圆心(1，－2)到直 线2x＋y－5＝0的距离d＝5，0＜d＜6，故
该直线与圆相交但不过圆心．

2．(2012·银川质检)由直线y＝x＋1上的一点向圆x
2< br>＋y
2
－6x＋8＝0引切线，则切线长
的最小值为( )
A.7





B．22
D.2 C．3
解析：选A 由题意知，圆心到直线上的点的距离最小时，切线长最小．圆x
2
＋y< br>2
－6x
＋8＝0可化为(x－3)
2
＋y
2
＝1， 则圆心(3,0)到直线y＝x＋1的距离为
小值为?22?
2
－1＝7.
3．直线x－y＋1＝0与圆x
2
＋y
2
＝r
2
相交于A， B两点，且AB的长为2，则圆的半径为
( )
32
A.
2
C．1






B.
6

2
4
＝22，切线长的最
2
D．2
1
136
|AB|
?
2
＋d
2
＝，r＝. .则r
2
＝
?
?
2
?
22
2
解析 ：选B 圆心(0,0)到直线x－y＋1＝0的距离d＝
4．(教材习题改编)若圆x
2＋y
2
＝1与直线y＝kx＋2没有公共点，则实数k的取值范围是
______ __．
解析：由题意知
2
1＋k
答案：(－3， 3)
5．已知 两圆C
1
：x
2
＋y
2
－2x＋10y－24＝0，C2
：x
2
＋y
2
＋2x＋2y－8＝0，则两圆公共弦
所在的直线方程是____________．
解析：两圆相减即得x－2y＋4＝0.
答案：x－2y＋4＝0
1.求圆的弦长问题，注意应用圆的几何性质解题，即用圆心与弦中 点连线与弦垂直的性
质，可用勾股定理或斜率之积为－1列方程来简化运算．
2．对于圆的切线问题，要注意切线斜率不存在的情况．
2
＞1，解得－3＜k＜3.




典题导入
[例1] (2012·陕西高考) 已知圆C：x
2
＋y
2
－4x＝0，l是过点P(3,0)的直线，则( )
直线与圆的位置关系的判断

A．l与C相交
C．l与C相离
B．l与C相切
D．以上三个选项均有可能
[自主解答] 将点P(3,0)的坐标代入圆的方程，得
3
2
＋0
2
－4×3＝9－12＝－3<0，
所以点P(3,0)在圆内．
故过点P的直线l定与圆C相交．
[答案] A

本例中若直线l为“x－y＋4＝0”问题不变．
解：∵圆的方程为(x－2)
2
＋y
2
＝4，
∴圆心(2,0)，r＝2.
又圆心到直线的距离为d＝
∴l与C相离．


由题悟法
判断直线与圆的位置关系常见的方法
(1)几何法：利用圆心到直线的距离d和圆半径r的大小关系．
(2)代数法：联立直线与圆的方程消元后利用Δ判断．
(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内可判断直线与圆相交．
以题试法
1．(2012·哈师大附中月考)已知直线l过点(－2,0)，当直线l与圆x
2
＋y
2
＝2x有两个交点
时，其斜率k的取值范围是( )
A．(－22，22)
C.
?
－




B．(－2，2)
11
－，
?
D.
?
?
88
?
6
＝32＞2.
2
?
22
?

，
44
?

解析：选C 易知圆心坐标是(1,0)，圆的半径是1，直线l的方程是y＝k(x＋2)，即kx< br>－y＋2k＝0，根据点到直线的距离公式得


|k＋2k|
122
2
＜1，即k＜，解得－＜k＜.
844
k
2
＋1
直线与圆的位置关系的综合

典题导入
[例2] (1)(2012·广东高考)在平面直角坐 标系xOy中，直线3x＋4y－5＝0与圆x
2
＋y
2
＝4相交于A、B两 点，则弦AB的长等于( )
A．33
C.3
B．23
D．1
(2)(2012·天津高考)设m，n∈R，若直线(m＋1) x＋(n＋1)y－2＝0与圆(x－1)
2
＋(y－1)
2
＝1相切，则m ＋n的取值范围是( )
A．[1－3，1＋3 ]
B．(－∞，1－3 ]∪[1＋3，＋∞)
C．[2－22，2＋22 ]
D．(－∞，2－22 ]∪[2＋22，＋∞)
[自主解答] (1)圆x
2
＋y
2
＝4 的圆心(0,0)，半径为2，则圆心到直线3x＋4y－5＝0的距
离d＝
5
3＋4
22
＝1.
故|AB|＝2r
2
－d
2
＝24－1＝23.
|m＋n |
?m＋1?
＋?n＋1?
2
(2)圆心(1,1)到直线(m＋1)x＋( n＋1)y－2＝0的距离为
2
＝1，所以m＋n
1
＋1＝mn≤
( m＋n)
2
，整理得[(m＋n)－2]
2
－8≥0，解得m＋n≥2＋22 或m＋n≤2－22.
4
[答案] (1)B (2)D

由题悟法
1．圆的弦长的常用求法：
l
?
222
(1)几何法：设圆的半径 为r，弦心距为d，弦长为l，则
?
?
2
?
＝r－d.
(2)代数方法：运用韦达定理及弦长公式：
|AB|＝1＋k
2
|x1
－x
2
|＝?1＋k
2
?[?x
1
＋x2
?
2
－4x
1
x
2
].
[注意] 常用几何法研究圆的弦的有关问题．
2．求过一点的圆的切线方程时，首先要判断此点与圆的位置关系 ，若点在圆内，无解；
若点在圆上，有一解；若点在圆外，有两解．
以题试法
2． (2012·杭州模拟)直线y＝kx＋3与圆(x－2)
2
＋(y－3)
2
＝4相交于M，N两点，若
|MN|≥23，则k的取值范围是( )

3
－，0
?
A.
?
?
4
?






B.
?
－
?
33
?

，
33
?
C．[－3， 3]
2
－，0
?
D.
?
?
3
?
解析 ：选B如图，设圆心C(2,3)到直线y＝kx＋3的距离为d，若
1
|2k|
2< br>3
2
??
|MN|≥23，则d＝r－
?
2
|MN|
?
≤4－3＝1，即≤k≤
2
≤1，解得－
3
1＋k
22
3
.
3

典题导入
[例3] (1)(2012·山东高考)圆(x＋2)
2
＋y
2
＝4与圆(x－2)< br>2
＋(y－1)
2
＝9的位置关系为
( )
A．内切
C．外切
B．相交
D．相离
圆与圆的位置关系
(2)设两圆C
1
、C
2
都和两坐标轴相切，且都过点(4,1)，则两圆心 的距离|C
1
C
2
|＝________.
[自主解答] (1) 两圆圆心分别为(－2,0)，(2,1)，半径分别为2和3，圆心距d＝4
2
＋1＝
17.∵3－2＜d＜3＋2，∴两圆相交．
(2)由题意可设两圆的方程为(x－r
i< br>)
2
＋(y－r
i
)
2
＝r
2
i< br>，r
i
＞0，i＝1,2.由两圆都过点(4,1)得(4
－r
i)
2
＋(1－r
i
)
2
＝r
2
整理得 r
2
此方程的两根即为两圆的半径r
1
，r
2
，所以r1
r
2i
，
i
－10r
i
＋17＝0，
＝17，r
1
＋r
2
＝10，则|C
1
C
2|＝
×100－68＝8.
[答案] (1)B (2)8
由题悟法
两圆位置关系的判断常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系，
一般不采用代数 法．若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差得到．
以题试法
3．( 2012·青岛二中月考)若⊙O：x
2
＋y
2
＝5与⊙O
1
：(x－m)
2
＋y
2
＝20(m∈R)相交于A、
B两点，且两 圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长是________．
解析：依题意得|OO
1
|＝
1|AB|
5＋20＝5，且△OO
1
A是直角三角形，S△O O
1
A＝··|OO
1
|
22
?r
1
－r
2
?
2
＋?r
1
－r
2
?
2＝2×?r
1
＋r
2
?
2
－4r
1
r
2
＝ 2
12·|OA|·|AO
1
|
2×5×25
＝
·|OA|·|AO
1
|，因此|AB|＝
＝＝4.
2|OO
1
|5
答案：4

[典例] (2012·东城模拟)直线l过点(－4,0)
且与圆(x＋1)
2
＋(y－2)
2
＝25交于A，B两点，如
果|AB|＝8，那么直线l的方程为( )
A．5x＋12y＋20＝0
B．5x－12y＋20＝0或x＋4＝0
C．5x－12y＋20＝0
D．5x＋12y＋20＝0或x＋4＝0

[尝试解题] 过点(－4,0)的直线若垂直 于x轴，经验证符合条件，即方程为x＋4＝0满
足题意；若存在斜率，设其直线方程为y＝k(x＋4 )，由被圆截得的弦长为8，可得圆心(－1，
2)到直线y＝k(x＋4)的距离为3，即
| 3k－2|
5
＝3，解得k＝－，此时直线方程为5x＋12y＋
12
1＋k
2
20＝0，综上直线方程为5x＋12y＋20＝0或x＋4＝0.
[答案] D
——————[易错提醒]—————————————————————————
1.解答本题易误认为斜率k一定存在从而错选A.
2.对于过定点的动直线设方程时，可结 合题意或作出符合题意的图形分析斜率k是否存
在，以避免漏解.
—————————————————————————————————————
—

针对训练
1．过点A(2,4)向圆x
2
＋y
2
＝4所引切线的方程为__________________．
解析：显然x＝2为所求切线之一 ．当切线斜率存在时，设切线方程为y－4＝k(x－2)，

即kx－y＋4 －2k＝0，那么
|4－2k|
k
2
＋1
3
＝2，k＝，即 3x－4y＋10＝0.
4
答案：x＝2或3x－4y＋10＝0
2．已知直线l 过(2,1)，(m,3)两点，则直线l的方程为________________．
解析：当m＝2时，直线l的方程为x＝2；
当m≠2时，直线l的方程为＝，
3－1m－2
即2x－(m－2)y＋m－6＝0.
因为m＝2时，方程2x－(m－2)y＋m－6＝0，
即为x＝2，
所以直线l的方程为2x－(m－2)y＋m－6＝0.
答案：2x－(m－2)y＋m－6＝0
y－1x－2



一、选择题
1．(2012·人大附中月考)设m＞0，则直线2(x＋y)＋1＋m＝0与 圆x
2
＋y
2
＝m的位置关
系为( )
A．相切
C．相切或相离


B．相交
D．相交或相切
1＋m1＋m
1
解析：选C 圆心到直线l的距离为d＝，圆半径为m.因为d－r＝ －m＝
222
1
(m－2m＋1)＝(m－1)
2
≥0，所以直线与 圆的位置关系是相切或相离．
2
2．(2012·福建高考)直线x＋3y－2＝0与圆x< br>2
＋y
2
＝4相交于A，B两点，则弦AB的
长度等于( )
A．25
C.3










B．23
D．1
4－1＝23. 解析：选B 因为圆心(0,0)到直线x＋3y－2＝0的距离为1，所以AB＝2
3．(2012·安徽高考)若直线x－y＋1＝0与圆(x－a)
2
＋y
2
＝2有公共点，则实数a的取值
范围是( )

A．[－3，－1]
C．[－3,1]






B．[－1,3]
D．(－∞，－3]∪[1，＋∞)
解析：选C 欲使直线x－y＋1＝0与圆(x－a)
2
＋y
2
＝2 有公共点，只需使圆心到直线的
距离小于等于圆的半径2即可，即
|a－0＋1|
1< br>＋?－1?
22
≤2，化简得|a＋1|≤2，解得－3≤a≤1.
4．过圆 x
2
＋y
2
＝1上一点作圆的切线与x轴，y轴的正半轴交于A，B两点，则 |AB|的最
小值为( )
A.2
C．2










B.3
D．3
解析：选C 设圆上的点为(x
0
，y
0
)，其中 x
0
>0，y
0
>0，则切线方程为x
0
x＋y
0
y＝1.分别
11
，0
?
，B
?
0，
?< br>，则|AB|＝ 令x＝0，y＝0得A
?
?
x
??
y
?
00
?
1
?
2
＋
?
1
?2
＝
1
≥
1
＝2.当且仅当
2
?
x< br>0
??
y
0
?
x
0
y
0
x
2
0
＋y
0
2
x
0
＝y
0
时，等号成立．
5．(2013·兰州模拟)若圆x
2
＋y
2
＝ r
2
(r＞0)上仅有4个点到直线x－y－2＝0的距离为1，
则实数r的取值范围 为( )
A．(2＋1，＋∞)
C．(0, 2－1)




B．(2－1, 2＋1)
D．(0, 2＋1)
2
＝ 2＞1，如图．直
2
解析：选A 计算得圆心到直线l的距离为
线l：x－y－2＝0与圆相交，l
1
，l
2
与l平行，且与直线l的距离 为1，
故可以看出，圆的半径应该大于圆心到直线l
2
的距离 2＋1.
6 ．(2013·临沂模拟)已知点P(x，y)是直线kx＋y＋4＝0(k＞0)上一动点，PA，PB是圆C ：
x
2
＋y
2
－2y＝0的两条切线，A，B是切点，若四边形PA CB的最小面积是2，则k的值为( )
A.2
C．22






B.
21

2
D．2
，
k
＋1
2
解析：选D 圆心C(0 ,1)到l的距离d＝
1
所以四边形面积的最小值为2×
?
?
2×1×
解得k
2
＝4，即k＝±2.
又k＞0，即k＝2.
5
d
2
－1
?
＝2，
?

7．(2012·朝阳高三期末)设直线x－my－1＝0与圆(x－1)
2
＋(y－ 2)
2
＝4相交于A、B两点，
且弦AB的长为23，则实数m的值是_______ _．
解析：由题意得，圆心(1,2)到直线x－my－1＝0的距离d＝
3
1，解 得m＝±.
3
3
答案：±
3
8．(2012·东北三校联考)若 a，b，c是直角三角形ABC三边的长(c为斜边)，则圆C：x
2
＋y
2
＝4被直线l：ax＋by＋c＝0所截得的弦长为________．
解析：由题意可知圆C：x< br>2
＋y
2
＝4被直线l：ax＋by＋c＝0所截得的弦长为2
|1 －2m－1|
4－3＝1，即
＝
2
1＋m
?
c
?< br>2222
4－
?
22
?
，由于a＋b＝c，所以所求弦长为2 3.
?
a
＋b
?
答案：23
9．(2012·江西高考 )过直线x＋y－22＝0上点P作圆x
2
＋y
2
＝1的两条切线，若两条切
线的夹角是60°，则点P的坐标是________．
解析：∵点P在直线x＋y－22＝ 0上，∴可设点P(x
0
，－x
0
＋22)，且其中一个切点为
M. ∵两条切线的夹角为60°，∴∠OPM＝30°.故在Rt△OPM中，有OP＝2OM＝2.由两点间的距离公式得OP＝
2
x
2
0
＋?－x
0
＋2 2?＝2，解得x
0
＝2.故点P的坐标是( 2， 2)．
答案：( 2， 2)
10．(2012·福州调研)已知⊙M：x
2
＋(y－2)
2
＝1 ，Q是x轴上的动点，QA，QB分别切⊙
M于A，B两点．
(1)若|AB|＝
42
，求|MQ|及直线MQ的方程；
3
(2)求证：直线AB恒过定点．
解：(1)设直线MQ交AB于点P，则|AP|＝
＝
81
1
2
－＝，
93
|MA|
2
又∵|MQ|＝，∴|MQ|＝3.
|MP|设Q(x,0)，而点M(0,2)，由x
2
＋2
2
＝3，得x＝±5，
22
，又|AM|＝1，AP⊥MQ，AM⊥AQ，得|MP|
3
则Q点的坐 标为(5，0)或(－5，0)．

从而直线MQ的方程为2x＋5y－25＝0或2x－5y＋25＝0.
(2)证明：设点Q (q,0)，由几何性质，可知A，B两点在以QM为直径的圆上，此圆的方
程为x(x－q)＋y(y －2)＝0，而线段AB是此圆与已知圆的公共弦，相减可得AB的方程为qx
3
0，
?
.
－2y＋3＝0，所以直线AB恒过定点
?
?
2
?< br>2
t，
?
(t∈R，t≠0)为圆心的圆与x轴交于点O、11．已知以点C< br>?
A，与y轴交于点O、B，
?
t
?
其中O为原点．
(1)求证：△AOB的面积为定值；
(2)设直线2x＋y－4＝0与圆C交于点M、N，若|OM|＝|ON|，求圆C的方程．
解：(1)证明：由题设知，圆C的方程为
2
4
y－
?
2
＝t
2
＋
2
， (x－t)
2
＋
?
?
t
?
t
4
化简得x
2
－2tx＋y
2
－
y＝0，
t
当y＝0时，x＝0或2t，则A(2t,0)；
4
4
0，
?
， 当x＝0时，y＝0或，则B
?
?
t
?
t
1
所以S
△
AOB
＝
|O A|·|OB|
2
1
?
4
?
＝
|2t|·
＝4为定值．
2
?
t
?
(2)∵|OM|＝|ON|，则原点O在MN的中垂线上 ，设MN的中点为H，则CH⊥MN，
∴C、H、O三点共线，则直线OC的斜率
2
t
21
k＝
＝
2
＝
，∴t＝2或t＝－2.
tt2
∴圆心为C(2,1)或C(－2，－1)，
∴圆C的方程为(x－2)2
＋(y－1)
2
＝5或(x＋2)
2
＋(y＋1)
2
＝5，
由于当圆方程为(x＋2)
2
＋(y＋1)
2
＝5 时，直线2x＋y－4＝0到圆心的距离d＞r，此时不
满足直线与圆相交，故舍去，∴圆C的方程为( x－2)
2
＋(y－1)
2
＝5.
12．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆x
2
＋y
2
－12x＋32＝0的圆心为Q，过点P(0,2)，
且斜率为k的直线与圆Q相交于不同的两点A、B.

(1)求k的取值范围；
(2)是否存在常数k，使得向量
OA
＋
OB
与
PQ
共线？如果存在，求k值；如果不存在，
请说明理由．
解：(1)圆的方程可写成(x－6)
2
＋y
2
＝4，所以圆心为Q(6,0 )．过P(0,2)且斜率为k的直线
方程为y＝kx＋2，代入圆的方程得x
2
＋( kx＋2)
2
－12x＋32＝0，
整理得(1＋k
2
)x
2
＋4(k－3)x＋36＝0.①
直线与圆交于两个不同的点A、B等价于Δ＝[4(k－3)]
2
－4×36(1＋k
2
)＝4
2
(－8k
2
－6k)>0，
3
3－，0
?
. 解得－
?
?
4
?
4
(2)设A(x
1
，y
1
)、B(x
2
，y
2
)则
OA
＋
OB
＝(x
1＋x
2
，y
1
＋y
2
)，
4?k－3?
由方程①得x
1
＋x
2
＝－
.② < br>1＋k
2
又y
1
＋y
2
＝k(x
1
＋x
2
)＋4.③
因P(0,2)、Q(6,0)，
PQ
＝(6，－2)，
所以
OA
＋
OB
与
PQ
共线等价于－2(x
1
＋x
2
)＝6(y
1
＋y
2
)，将②③代入上式，解得k＝－
3
.
4
3
－，0
?
，故没有符合题意的常数k. 而由(1)知k∈
?
?
4
?

1．已知两圆x
2< br>＋y
2
－10x－10y＝0，x
2
＋y
2
＋6x－ 2y－40＝0，则它们的公共弦所在直线
的方程为________________；公共弦长为_ _______．
解析：由两圆的方程x
2
＋y
2
－10x－10 y＝0，x
2
＋y
2
＋6x－2y－40＝0，相减并整理得公
共弦 所在直线的方程为2x＋y－5＝0.圆心(5,5)到直线2x＋y－5＝0的距离为
的一半为50－ 20＝30，得公共弦长为230.
10
＝25，弦长
5
答案：2x＋y－5＝0 230
2．(20 12·上海模拟)已知圆的方程为x
2
＋y
2
－6x－8y＝0，a
1
，a
2
，…，a
11
是该圆过点(3,5)
的11条弦的 长，若数列a
1
，a
2
，…，a
11
成等差数列，则该等差 数列公差的最大值是________．
解析：容易判断，点(3,5)在圆内部，过圆内一点最长的 弦是直径，过该点与直径垂直的

10－465－26
弦最短，因此， 过(3,5)的弦中，最长为10，最短为46，故公差最大为＝
.
105
5－26
答案：
5
3.(2012·江西六校联考)已知抛 物线C：y
2
＝2px(p＞0)的准线为l，
焦点为F，圆M的圆心在x轴的正半轴 上，圆M与y轴相切，过原点
π
O作倾斜角为的直线n，交直线l于点A，交圆M于不同的两点 O、
3
B，且|AO|＝|BO|＝2.
(1)求圆M和抛物线C的方程；
PF
,的最小值； (2)若P为抛物线C上的动点，求
PM
,·
( 3)过直线l上的动点Q向圆M作切线，切点分别为S、T，求证：直线ST恒过一个定
点，并求该定点 的坐标．
解：(1)易得B(1，3)，A(－1，－3)，设圆M的方程为(x－a)
2< br>＋y
2
＝a
2
(a＞0)，
将点B(1，3)代入圆M的方 程得a＝2，所以圆M的方程为(x－2)
2
＋y
2
＝4，因为点A(－p
1，－3)在准线l上，所以
＝1，p＝2，所以抛物线C的方程为y
2
＝4x.
2
(2)由(1)得，M(2,0)，F(1,0)，设点P(x，y)，则PM
,＝(2－x，－y)，
PF
,＝(1－x，－
PF
,＝( 2－x)(1－x)＋y
2
＝x
2
－3x＋2＋4x＝x
2
＋x
y)，又点P在抛物线y
2
＝4x上，所以
PM
,·
P F
,≥2，即
PM
,·
PF
,的最小值为2. ＋2，因为x≥0， 所以
PM
,·
(3)证明：设点Q(－1，m)，则|QS|＝|QT|＝m
2
＋5，以Q为圆心，m
2
＋5为半径的圆
的方程为(x＋1)
2< br>＋(y－m)
2
＝m
2
＋5，即x
2
＋y
2
＋2x－2my－4＝0，①
又圆M的方程为(x－2)
2
＋y
2
＝4，即x
2
＋y
2
－4x＝0，②
由①②两式相减即得直线ST的方程3x－my－2＝0，
2
?
显然直线S T恒过定点
?
?
3
，0
?
.

1．两个 圆：C
1
：x
2
＋y
2
＋2x＋2y－2＝0与C
2
：x
2
＋y
2
－4x－2y＋1＝0的公切线有且仅
有( )
A．1条
C．3条






B．2条
D．4条
解析：选B 由题知C
1
：(x＋ 1)
2
＋(y＋1)
2
＝4，则圆心C
1
(－1，－1)， C
2
：(x－2)
2
＋(y

－1)
2
＝4，圆心C
2
(2,1)，两圆半径均为2，又|C
1
C2
|＝?2＋1?
2
＋?1＋1?
2
＝13＜4，则两圆相交?只有两条外公切线．
2．(2012·江苏高考)在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为 x
2
＋y
2
－8x＋15＝0，若直
线y＝kx－2上至少存在一点 ，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的
最大值是________．
解 析：设圆心C(4,0)到直线y＝kx－2的距离为d，则d＝
|4k－2|
k
＋1
2
，由题意知，问题转化
为d≤2，即d＝
4
答案：
3< br>|4k－2|
44
≤2，得0≤k≤
，所以k
max
＝
.
33
k
2
＋1
3．过点(－1，－2)的直线l被圆x
2
＋y
2
－2x－2y＋1＝0截得的弦长为 2，则直线l的
斜率为________．
解析：将圆的方程化成标准方程为(x－1)2
＋(y－1)
2
＝1，其圆心为(1,1)，半径r＝1.由弦
|2k －3|
22
长为2得弦心距为
.设直线方程为y＋2＝k(x＋1)，即kx－y＋k －2＝0，则
＝，
22
k
2
＋1
17
化简得7k< br>2
－24k＋17＝0，得k＝1或k＝
.
7
17
答案：1或
7
4．圆O
1
的方程为x2
＋(y＋1)
2
＝4，圆O
2
的圆心为O
2
(2,1)．
(1)若圆O
2
与圆O
1
外切，求圆O
2
的方程；
(2)若圆O
2
与圆O
1
交于A、B两点，且|AB|＝22，求圆 O
2
的方程．
解：(1)设圆O
2
的半径为r
2
，
∵两圆外切， ∴|O
1
O
2
|＝r
1
＋r
2
，r< br>2
＝|O
1
O
2
|－r
1
＝2(2－1)，
故圆O
2
的方程是(x－2)
2
＋(y－1)
2
＝ 4(2－1)
2
.
(2)设圆O
2
的方程为(x－2)
2
＋(y－1)
2
＝r
2
2
，
又圆O
1
的方程为x
2
＋(y＋1)
2
＝4， < br>此两圆的方程相减，即得两圆公共弦AB所在直线的方程：4x＋4y＋r
2
2
－8＝0.
因为圆心O
1
(0，－1)到直线AB的距离为

|r
2
2
－12|
＝
42
22
?
2
4－
?
＝2，
?
2
?
2
解得r
2
2
＝4或r
2
＝20.
故圆O
2
的方程为
(x－2)
2
＋(y－1)
2
＝4或(x－2)
2
＋(y－1)
2
＝20.