高中数学必修 pdf 微盘-高中数学教辅 方法
必修四常考公式及高频考点
第一部分 三角函数与三角恒等变换
考点一 角的表示方法
1.终边相同角的表示方法:
所有与角?终边相同的角,连同角?在内可以构成一个集合:{β|β= k·360 °+α,k∈Z
}
2.象限角的表示方法:
第一象限角的集合为{α| k·360 °<α
(1)若所求角β的终边在某条射线上,其集合表示形式为{β|β= k·360 °+α,k∈Z
},其中α为射线与x轴非负半
轴形成的夹角
(2)若所求角β的终边在某条直线上,其集合表示形式为{β|β= k·180 °+α,k∈Z
},其中α为直线与x轴非负半
轴形成的任一夹角
(3)若所求角β的终边在两条垂直的直线上,其集合表示形式为{β|β= k·90
°+α,k∈Z },其中α为直线与x轴
非负半轴形成的任一夹角
例:
终边在y轴非正半轴上的角的集合为{α|α= k·360 °+270 °,k∈Z }
终边在第二、第四象限角平分线上的集合为{α|α= k·180 °+135 °,k∈Z }
终边在四个象限角平分线上的角的集合为{α|α= k·90 °+45 °,k∈Z }
易错提醒:
区别锐角、小于90度的角、第一象限角、0~90、小于180度的角
考点二 弧度制有关概念与公式
1.弧度制与角度制互化
180??
?
,
1??
?
180?
?57.3?
,1弧度<
br>?
180
?
2.扇形的弧长和面积公式(分别用角度制、弧度制表示方法)
n
?
R
?
?
R
,
其中
?
为弧所对圆心角的弧度数
180
n
?
R
2
1
1
?lR
=
R
2
|
?
|, 其中
?
为弧所对圆心角的弧度数 扇形面积
公式:
S?
2
3602
1
2
易错提醒:利用S=
R|
?
|求解扇形面积公式时,
?
为弧所对圆心角的弧度数,不可用角度数
弧长公式:
l?
2
1
规律总结:“扇形
周长、面积、半径、圆心角”4个量,“知二求二”,注意公式选取技巧
考点三
任意角的三角函数
1.任意角的三角函数定义
设
?
是一个任意角,它的终
边与单位圆交于点
P
?
x,y
?
,那么
sin
?<
br>?
y
,
cos
?
?
x
,
tan?
?
y
(
r?|OP|?
rrx
化简为
sin
?
?y,cos
?
?x,tan
?
?
2.三角函数
值符号
;
x
2
?y
2
)
y
.
x
规律总结:利用
三角函数定义或“一全正、二正弦、三正切、四余弦”口诀记忆象限角或轴线角的三角函数值符号.
3.特殊角三角函数值
除此之外,还需记住15
0
、75
0
的正弦、余弦、正切值
4.三角函数线
y
?
终边
P
T
?
终边
y
P
O
M
A
x
正弦线
M
O
T
A
x
y
P
M
O
T
余弦线
正切线
y
M
O
A
x
A
x
P
T
?
终边
?
终边
P
2
经典结论:
(1)
若
x?(0,
(2)若
x?(0,
?
2
)
,则sinx?x?tanx
)
,则
1?sinx?cosx?2
2
(3)
|sinx|?|cosx|?1
例:
11<
br>在单位圆中分别画出满足sinα=、cosα=、tanα=-1的角α的终边,并求角α的取值集合
22
考点四 三角函数图像与性质
性
函
数
?
质
y?sinx
y?cosx
y?tanx
图象
定义域
R
R
?
?
?
xx?k
?
?,k??
??
2
??
值域
?
?1,1
?
当
x?2k
?
?
?
?
k??
?
时,
y
max
?1
;
2
?
?1,1
?
当<
br>x?2k
?
?
k??
?
时,
y
max
?1
;
R
最值
2
既无最大值也无最小值
m
in
当
x?2k
?
?
?
?
k??
?
时,
y
周期性
奇偶性
在
?
单调性
??1
.
当
x?2k
?
?
?
?
k??
?
时,
y
min
??1
.
2
?
奇函数
??
?
2k
?
?
,2k
?
?
?
?
k??
?
?
22
??
?
3
?
?
2k
?
?,2k
?
?
??
22
??
2
?
偶函数
?
?
?
奇函数
?
2
?
上是增函数;
在
?
2k
?
?
?
,2k
?
?
?
k??
?
上是增函数
;
在
?
??
?
k
?
?,k
?
?
2
在
?
?
k??
?
上是减函
在
?
2k
?
,2k
?
?
?
?
?k??
?
上是减函
数.
对称中心
?
k
??
?
,0
?
?
?
2
?
?
k?
?
?
?
?
k??
?
上是增函数.
对称中心
?
k
?
,0
?
?
k??
?
?
?
2
?
?
数.
对称中心
?
k
?
,0
??
k??
?
对称性
对称轴
x?k
?
?
?
2
?
k??
?
对称轴
x?k
?
?
k??
?
无对称轴
考点五 正弦型(y=Asin(ωx+φ))、余弦型函数(y=Acos(ωx+φ))、正切性
函数(y=Atan(ωx+φ))图像与性质
1.解析式求法
(1)y=Asin(ωx+φ)+B 或y=Acos(ωx+φ)+B解析式确定方法
字母
A
确定途径
由最值确定
说明
最大值-最小值
A=
2
3
B
ω
φ
由最值确定
最大值+最小值
B=
2
相邻的最高点与最低点的横坐标之差的绝对值为半个周期,最高点(或
最低点)的横
坐标与相邻零点差的绝对值为0.25个周期
可通过认定特殊点是五点中的第几个关键点,然后列方程确定;也可通
过解简单三角方程确定
由函数的周期确定
由图象上的特殊点确定
A、B通过图像易求,重点讲解φ、ω求解思路:
①φ求解思路:
代入图像的确定
点的坐标.如带入最高点
(x
1
,y
1
)
或最低点坐标(x
2
,y
2
)
,则
?
x
1
?
?
?
?
2
?2k
?
(k?Z)
或
?
x
2
?
?
?
3
?
?2k
?<
br>(k?Z)
,求
?
值.
2
易错提醒:y=Asin(ωx+
φ),当ω>0,且x=0时的相位(ωx+φ=φ)称为初相.如果不满足ω>0,先利用诱导公式
进
行变形,使之满足上述条件,再进行计算.如y=-3sin(-2x+60)的初相是-60
②ω求解思路:
利用三角函数对称性与周期性的关系,解ω.相邻的对称中心之间的距离是周
期的一半;相邻的对称轴之间的距离是周
期的一半;相邻的对称中心与对称轴之间的距离是周期的四分之
一.
2.“一图、两域、四性”
“一图”:学好三角函数,图像是关键。
00
易错提醒:“左加右减、上加下减”中“左加右减”仅仅针对自变量x,不可针对-x或2x等.
例:
“两域”:
(1) 定义域
求三角函数的定义域实际上是解简单的三角不等式,常借助三角函数线或三角函数图象或数轴法来求解.
(2) 值域(最值):
a.直接法(有界法):利用sinx,cosx的值域.
b.化一法:化为y=Asin(ωx+φ)+k的形式逐步分析ωx+φ的范围,根据正弦函数单调性写出函
数的值域(最值).
c.换元法:把sinx或cosx看作一个整体,化为求一元二次函数在给定区
间上的值域(最值)问题.
例:
1.y=asinx+bsinx+c
22
2.y=asinx+bsinxcosx+ccosx
3.y=(asinx+c)(bcosx+d)
4
2
4.y=a(sinx±cosx)+bsinxcosx+c
“四性”:
(1)单调性
ππ
①函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,
ω>0)图象的单调递增区间由2kπ-<ωx+φ<2kπ+,k∈Z解得,
单调递减区间由
22
π
2kπ+<ωx+φ<2 kπ+1.5π,k∈Z解得;
2
②函数y=Acos(ωx+φ)(A>0,
ω>0)图象的单调递增区间由2kπ+π<ωx+φ<2kπ+2π,k∈Z解得,
单调递减区间由
2kπ<ωx+φ<2 kπ+π,k∈Z解得;
ππ
③函数y=Atan(ωx+φ)(A>0,
ω>0)图象的单调递增区间由kπ-<ωx+φ
规律总结:注意ω、A为负数时的处理技巧.
(2)对称性
π
①函数y=Asin(ωx+φ)的图象的对称轴由ωx+φ=
kπ+(k∈Z)解得,对称中心的横坐标由ωx+φ= kπ(k∈Z)解得;
2
π
②函数y=Acos(ωx+φ)的图象的对称轴由ωx+φ=
kπ(k∈Z)解得,对称中心的横坐标由ωx+φ=kπ+(k∈Z) 解得;
2
③函数y=Atan(ωx+φ)的图象的对称中心由ωx+φ= kπ(k∈Z)解得.
规律总结:φ可以是单个角或多个角的代数式.无需区分ω、A符号.
(3)奇偶性
π
①函数y=Asin(ωx+φ),x∈R是奇函数?φ=kπ(k∈Z),函数y=Asin(ω
x+φ),x∈R是偶函数?φ=kπ+(k
2
∈Z);
②函数y=Acos(ωx+φ),x∈R是奇函数?φ=kπ+
∈Z);
kπ
③函数y=Atan(ωx+φ),x∈R是奇函数?φ=(k∈Z).
2
规律总结:φ可以是单个角或多个角的代数式.无需区分ω、A符号.
(4)周期性
2π
函数y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ))的最小正周期T=,
|ω|
y=Atan(ωx+φ) 的最小正周期T=
考点六 常见公式
常见公式要做到“三用”:正用、逆用、变形用
1.同角三角函数的基本关系
π
.
|ω|
π
(k∈Z);函数y=Acos(ωx+φ),x∈
R是偶函数?φ=kπ(k
2
sin
2
?
?cos
2
?
?1
;
tan
?
=
sin
?
cos
?
5
2.三角函数化简思路:“去负、脱周、化锐”
(1)去负,即负角化正角:
sin(-a)=-sina; cos(-a)=cosa;tan(-a)=-tana;
(2)脱周,即将不在(0,2π)的角化为(0,2π)的角:
sin(2kπ+a)=sina;
cos(2kπ+a)=cosa;tan(2kπ+a)=-tana;
(3)化锐,即将在(0,2π)的角化为锐角:
6组诱导公式
?
1?
sin
?
2k
?
?
?
?
?sin<
br>?
,
cos
?
2k
?
?
?
?
?cos
?
,
tan
?
2k
?
?
??
?tan
?
?
k??
?
.
?
2<
br>?
sin
?
?
?
?
?
??sin
?
,
cos
?
?
?
?
?
??cos
?
,
tan
?
?
?
?
?
?tan
?
.
?
3
?
sin
?
?
?
?<
br>??sin
?
,
cos
?
?
?
?
?
cos
?
,
tan
?
?
?
?
??tan<
br>?
.
?
4
?
sin
?
?
?
?
?
?sin
?
,
cos
?
?
?
?
?
??cos
?
,
tan
?
?
??
?
??tan
?
.
?
5
?
sin
?
?
??
?
?
?
?
?
?cos<
br>?
,
cos
?
?
?
?
?sin
?<
br>.
?
2
??
2
?
?
?
6
?
sin
?
?
??
?
?
?
?
?<
br>?cos
?
,
cos
?
?
?
?
??
sin
?
.
?
2
??
2
?
?
口诀:奇变偶不变,符号看象限.
均化为“kπ2±a”,做到“两观察、一变”。一观察:k是奇数还是偶数;二观察:
kπ2±a终边
所在象限,再由kπ2±a终边所在象限,确定原函数对应函数值的正负.一变:正弦变余弦、余弦变正弦、正切利用商的关系变换.
其中公式(1)也可理解为终边相同角的三角函数值相同,公式(3)也可按照函数奇偶性理解
3.两角和差公式
sin(
?
?
?
)?sin
?
cos
?
?cos
?
sin
?
;
cos(
?
?
?
)?cos
?
cos
?
msin<
br>?
sin
?
;
tan(
?
?
?
)
?
tan
?
?tan
?
,
1
m
tan
?
tan
?
4.二倍角公式
sin2
?
?sin
?
cos
?
;
cos2?
?cos
2
?
?sin
2
?
?2cos2
?
?1?1?2sin
2
?
;
tan2
?
?
2tan
?
,
2
1?ta
n
?
二倍角公式是两角和的正弦、余弦、正切公式,当α=β时的特殊情况
倍角是相对的,如0.5α是0.25α的倍角,3α是1.5α的倍角
5.升降幂公式 <
br>cos2
?
?cos
2
?
?sin
2
??2cos
2
?
?1?1?2sin
2
?
(升幂缩角)
.
1?cos2
?
1?cos2
?
cos
2
?<
br>?,sin
2
?
?
(降幂扩角),
22
6.辅助角公式
6
asin
?<
br>?bcos
?
=
a
2
?b
2
sin(
?
?
?
)
(辅助角
?
所在象限由点
(a,b)<
br>的象限决定,
tan
?
?
7.半角公式
ππ
b
,- <
?
<).
22
a
si
n
1?cosA1?cosA
AA
=±;cos=±
22
22
1?cosA
AA1?cosAsinA
=;tan==
1?cosA
sinA1?cosA
22
tan
8.其它公式
1+sin a =(sin
9.万能公式
aa
2
aa
2
+cos);1-sin a = (sin-
cos)
2222
aaa
1?(tan)
2
2tan
2<
br>;cos a=
2
;tan a=
2
sin a=
aaa<
br>1?(tan)
2
1?(tan)
2
1?(tan)
2
222
2tan
10.和差化积
a?b
a?ba?ba?b
cos;sin a-sin b = 2cossin
222
2
a?ba?ba?ba?b
cos a+cos b =
2coscos;cos a-cos b = -2sinsin
2222
sin(a?b)
tan a+tan b =
cosacosb
sin a+sin b=2sin
11.积化和差
11
[cos(A+B)-cos(A-B)];cosAcosB
=[cos(A+B)+cos(A-B)]
22
11
sinAcosB
=[sin(A+B)+sin(A-B)];cosAsinB =[sin(A+B)-sin(A-B)]
22
sinAsinB =-
12.三倍角公式
sin3
?
?3sin
?
?4sin
3
?
?4sin
?
si
n(?
?
)sin(?
?
)
33
3
??
;
3tan
?
?tan
3
???
?tan
?
tan(?
?
)tan(?
?
)
cos3
??4cos
?
?3cos
?
?4cos
?
cos(?<
br>?
)cos(?
?
)
;
tan3
?
?
1?3tan
2
?
33
33
??
13.常见计算技巧
(1)简单的三角方程的通解
sinx?a?x?k
?
?(?1)
k
arcsina(k?Z,|a|?1)
.
cosx?a?x?2k
?
?arccosa(k?Z,|a|?1)
.
tanx?a?x?k
?
?arctana(k?Z,a?R)
.
7
特别地,有
sin
?
?sin?
?
?
?k
?
?(?1)
k
?
(k?
Z)
.
cos
?
?cos
?
?
?
?2k
?
?
?
(k?Z)
.
tan
?
?tan
?
?
?
?k
?
?
?
(k?Z)
.
(2)最简单的三角不等式及其解集
sinx?a(|a|?1)?x?(2k
?<
br>?arcsina,2k
?
?
?
?arcsina),k?Z
.
sinx?a(|a|?1)?x?(2k
?
?
?
?arcsi
na,2k
?
?arcsina),k?Z
.
cosx?a(|a|?1)
?x?(2k
?
?arccosa,2k
?
?arccosa),k?Z.
cosx?a(|a|?1)?x?(2k
?
?arccosa,2k
?
?2
?
?arccosa),k?Z
.
tanx?a(a?R
)?x?(k
?
?arctana,k
?
?),k?Z
.
2
?
tanx?a(a?R)?x?(k
?
?
例:
?
2
,k
?
?arctana),k?Z
.
1111
已知sinα>、cosα>、tanα>-1、sinα<- 、cosα<-
、tanα<-1,分别求出α的取值范围
2222
14.三角形中三角函数关系
在△ABC中,有
A?B?C?
?
?C?
?
?(A?B)
?
C
?
A?B
??
?2C?2
?
?2(A?B).
222
A?BC
sin(A?B)?sinC
;
cos(A
?B)??cosC
;tan(A+B)=-tanC;
sin?cos
等.
22
15.三角函数化简的常用技巧
1.三角函数化简要做到“四看、四变” (1)看角、做好角的变换:观察角与角之间和、差、倍、互补、互余等关系,采取诱导公式、两角和差公式
、倍角公式、
拼凑角等办法化简.
(2)看名、做好名的变换:利用同角三角函数基本关系实
现弦切互化,掌握弦的一次齐次式或二次齐次式化简方法
(3)看次数、做好次数的变换:利用升降幂公式实现扩角降次、缩角升次
(4)看形、做好形的变换:利用辅助角公式,统一函数形式
2.具体技巧
(1)遇分式通分、遇根式升幂.
(2)和积转换法
2
掌握sin
α±cos α,sin αcos α化简方法,利用(sin α±cos α)=1±2sin αcos
α,“知一求二”.
(3)巧用“1”的变换
π
220
1=sinθ+cosθ==tan45=sin=cos 0….
2
3.四种常见题型
给角求值、给值求值、给值求角,辅助角公式
若角的
范围在(0,90),选择正弦、余弦函数均可;若角的范围在(0,180),选择余弦函数较好;若角的范围
在(-90,90),
选择正弦函数较好;
8
第二部分 平面向量
考点一
向量的有关概念
1.向量:既有大小又有方向的量,用黑体小写字母或用起点终点的大写字母表示
2.向量的模:有向线段的长度,|a|
3.单位向量:模为1的向量.与a平行的单位向量
:±a|a|;与a同向的单位向量:a|a|;单位向量有无数个
4.零向量:模为0的向量,方向是任意的.注意实数0与向量0的区别
5.相等向量:长度相等、方向相同.对向量起点和终点不作要求,可在平面内任意平移
6.相反向量:长度相等、方向相反.对向量起点和终点不作要求,可在平面内任意平移
7.共线向量(平行向量):方向相同或相反的非零向量,对长度不作要求
易错提醒: 1.有向线段与向量的区别:向量可用有向线段来表示,每一条有向线段对应着一个向量,但每一个向量对应
着无数多
条有向线段. 向量只有两要素:方向和大小;而有向线段有三要素:起点、方向和大小 2.共线向量(平行向量)可重合,注意与直线平行的区别;不要单纯从字面上理解共线向量,注意与直线重
合的区别
3.规定零向量与任意向量平行;不可说零向量与任意向量垂直
4.零向量与单位向量的特殊性:长度确定、方向任意.ab, b c,不一定推出ac; a=b,
b= c,一定推出a=c
6.向量不可以比较大小,如不能得出3i>2i
考点二 向量的线性运算
1.向量的加法法则
(1)平行四边形法则:共起点,指向对角线;起点相同、终点相同,首尾相连、路径不限
(2)三角形法则:首尾相连,可理解为“条条大路通罗马”
2.
向量的减法原则:起点相同、指向被减
1111
???
???
OA?OB?OC
OA?OB?BA
(a+b)= OC , (a-b)= BA
2222
两个向量共线只可用三角形法则;封闭图形、首尾相连、相加为零
3.向量的数乘运算
rr
实数
?
与向量
a
的积叫
做向量的数乘,记作
?
a
.其几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩
(1)
?
a?
?
a
rr
r
r<
br>rrrr
(2)当
?
?0
时,
?
a
的方向与
a
的方向相同;当
?
?0
时,
?
a
的方向
与
a
的方向相反;当
?
?0
时,
?
a?0
4.a与b的数量积运算
a·b=|
a
||b|cosθ=|a||b|c
os=x
1
x
2
+y
1
y
2
(1)|a|cos叫做a在b方向上的投影;|b|cos叫做b在a方向上的
投影
(2)a·b的几何意义:a·b等于|a|与|b|在a方向上的投影|b|cos的乘积
9
(3)θ为a与b的夹角,0≤θ≤π
(4)零向量与任一向量的数量积为
0
(5)a·b=-b·a
(6)向量没有除法,“ab”没有意义,注意与复数运算的区别
B
?
b
O
?
?
a
D A
(7)向量的加法、减法、数乘结果为向量,向量的数量积结果为实数
易错提醒:
向量的数量积与实数运算的区别:
(1)向量的数量积不满足结合律,即:(a?b)?c≠a?(b?c)
(2)向量的数量积不满足消去律,即:由 a?b=a?c (a≠0),推不出 b=c
(3)由 |a|=|b| ,推不出 a=b或a=-b
(4)|a?b|≤|a|?|b|
考点三 向量的运算律
1.实数与向量的积的运算律
设λ、μ为实数,那么
(1)
结合律:λ(μa)=(λμ)a;
(2)第一分配律:(λ+μ)a=λa+μa;
(3)第二分配律:λ(a+b)=λa+λb.
2.向量的数量积的运算律:
(1)
a
·b= b·
a
(交换律);
(2)(
?
a
)·b=
?
(
a
·b)=
?
a
·b=
a
·(
?
b);
(3)(
a
+b)·c=
a
·c +b·c.
考点四 向量的坐标表示及坐标运算
1.平面向量基本定理
如果e
1
、e
2
是同一平面内
的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量,有且只有一对实数λ
1
、λ
2<
br>,使得a=
λ
1
e
1
+λ
2
e
2<
br>.不共线的向量(隐含另一条件为非零向量,基底不唯一)e
1
、e
2
叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.
该定理作用:证明三点共线、两直线平行或两个向量a、b共线.
解题思路:可用两个不共线
的向量e
1
、e
2
表示向量a、b,设b=λa(a≠0),化成关于e1
、e
2
的方程,即f(λ) e
1
+g(λ)
e
2
=0,由于e
1
、e
2
不共线,则f(λ)=0,g(λ) =0
2.向量的坐标表示 ?
i,j是一对互相垂直的单位向量,则有且只有一对实数x,y,使得
a?xi?yj,
称(x,y)为向量a的坐标,记作:a?
?
x,y
?
,即为向量的坐标表示
?
?????
(1)设a=
(x
1
,y
1
)
,b=
(x
2
,y
2
)
,则
a+b=
(x
1
?x
2
,y
1
?y
2)
10
(2)设a=
(x
1,y
1
)
,b=
(x
2
,y
2
),则a-b=
(x
1
?x
2
,y
1
?y
2
)
(3)设
?a??
?
x
1
,y
1
?
?
?
?x
1
,?y
1
??
(4)设a=
(x
1
,y
1
)
,
b=
(x
2
,y
2
)
,则a·b=|
a
|
|b|cosθ=x
1
x
2
+y
1
y
2
uuuruuuruuur
(5)设A
(x
1
,y
1
)
,B
(x
2
,y
2
)
,则
AB?OB
?OA?(x
2
?x
1
,y
2
?y
1
)<
br>
(6)
?
|AB|?
?
x
2
?x
1
?
?
?
y
2
?y
1
?
,A、B
两点间距离公式
22
易错提醒:
公式(2)与公式(5)的区别
向量坐标与该向量有向线段的端点无关,仅与其相对位置有关
考点四 向量的常见公式
1.线段的定比分公式
uuuruuur
(1)定比分点向量公式:设
P
1
(x
1
,y
1
)
,
P
2
(x
2
,y
2
)
,
P(x,y)
是线段
P
1
P
2
的分点,
?
是实数,且
PP
1<
br>?
?
PP
2
,则
?
的
?
x
1
?
?
x
2
uuuruuur
x?
uuur
?
OP
?
?
x?
?
x
2
y
1<
br>?
?
y
2
?
1?
?
1
?
?
OP
2
,
OP?
坐标是
?
1
,即
?
?
?
1?
?
1?
?
1?
?
y
?
?
y
??
2
?
y?
1
?
1?<
br>?
?
uuuruuuruuur
1
().
t?
?(
1?t)OP
?
OP?tOP
12
1?
?
(2)定比分点坐
标公式:
设P
1
?
x
1
,y
1
?
,P
2
?
x
2
,y
2
?
,分点P
?
x,y
?
,设P
1
、P
2
是直线l上两点,P
点在
??
l上且不同于P
1
、P
2
,若存在一实
数?,使P
1
P??PP
2
,则?叫做P分有向线段
?<
br>P
1
P
2
所成的比(??0,P在线段P
1
P
2
内,??0,P在P
1
P
2
外),且
x1
??x
2
x
1
?x
2
?
?
x?
x?
?
?
??
1??
2
,P为PP中点时,<
br>??
12
?
y?
y
1
??y
2
?<
br>y?
y
1
?y
2
?
?
1??2
<
br>?
?
如:?ABC,A
?
x
1
,y
1
?
,B
?
x
2
,y
2
?
,C
?
x
3
,y
3
?
y?y
2
?y
3<
br>??
x?x
2
?x
3
则?ABC重心G的坐标是
?<
br>1
,
1
?
??
33
,
2.三角形五“心”向量形式的充要条件
设
O
为
?ABC
所在平面上一点,角
A,B,C
所对边长分别为
a,b,c
,则
u
uur
2
uuur
2
uuur
2
(1)
O
为
?ABC
的外心
?OA?OB?OC
.
uuuruuuruuu
rr
(2)
O
为
?ABC
的重心
?OA?OB?OC?0<
br>.
uuuruuuruuuruuuruuuruuur
(3)
O
为
?ABC
的垂心
?OA?OB?OB?OC?OC?OA
.
uuu
ruuuruuurr
(4)
O
为
?ABC
的内心
?aOA
?bOB?cOC?0
.
uuuruuuruuur
(5)
O
为<
br>?ABC
的
?A
的旁心
?aOA?bOB?cOC
.
3. A(x
1
,y
1
)、B(x
2
,y
2
)、C(x
3
,y
3
)三点共线
?
OC=λOA
+μOB ,且λ+μ=1
(x
1
-x
2
)(y
2-y
3
)= (x
2
-x
3
)
(y
1
-y
2
)等
11
4.
向量的三角形不等式和方程
(1)∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a+b∣≤∣a∣+∣b∣
① 当且仅当a、b反向时,左边取等号;② 当且仅当a、b同向时,右边取等号
(2)∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a-b∣≤∣a∣+∣b∣
①
当且仅当a、b同向时,左边取等号;② 当且仅当a、b反向时,右边取等号
记忆规律:
(1)与(2)的几何意义为三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边
2222(3)∣a+b∣+∣a-b∣=2(∣a∣+∣b∣),该式几何意义为平行四边形对角线平方和等于四条
边的平方和
(4)a·b>0推不出a与b的夹角为锐角,可能为0;a·b<0推不出a与b的夹角
为钝角,可能为180
5.点的平移公式
''
uuur
uu
u
r
r
uuu
??
?
x?x?h
?
x?x
?h
''
?OP?OP?PP
.
?
??
''
?
?
?
y?y?k
?
y?y?k
uuur
'
注:图形
F上的任意一点P(x,y)在平移后图形
F
上的对应点为
P(x,y)
,且
PP
的坐标为
(h,k)
.
'
'''
6.“按向量平移”的几个结论
(1)点
P(x,y)<
br>按向量a=
(h,k)
平移后得到点
P(x?h,y?k)
.
(2)函数
y?f(x)
的图象
C
按向量a=
(h,k)
平移后得到图象
C
,则
C
的函数解析式为
y?f(x?h)?k.
(3)图象
C
按向量a=
(h,k)
平移后得到图象
C
,若
C
的解析式
y?f(x)
,则
C
的函数解
析式为
y?f(x?h)?k
.
(4)曲线
C
:
f(x,
y)?0
按向量a=
(h,k)
平移后得到图象
C
,则
C<
br>的方程为
f(x?h,y?k)?0
.
(5)向量m=
(x,y)<
br>按向量a=
(h,k)
平移后得到的向量仍然为m=
(x,y)
.
考点五 向量的的四种常见题型
设a=
(x
1
,y
1
)
,b=
(x
2
,y
2
)
1.
两个向量的平行或共线关系:ab
?
b=λa(a≠0)
?x
1
y<
br>2
?x
2
y
1
?0
(交叉相乘差为零),
若a=0,则λa=0,当b=0,λ不唯一;当b≠0,λ不存在.限定a≠0是保证λ的唯一性和存在性
不可写为x
1
x
2
=y
1
y
2
2.两个向量的垂直关系 a
?
b
?
a
·b=0
?
|
a
||b|cosθ=0
?x
1
x
2
?
y
1
y
2
?0
(对应相乘和为零)
3.两个向量的夹角公
式:
cos
?
?
''
''
''
'
x
1
x
2
?y
1
y
2
x?y?x?y
2<
br>1
2
1
2
2
2
2
2
,其中θ为a
与b的夹角
4.两个向量的模运算:若
a?
?
x,y
?
,则
a?x?y
或
a?
2
r
r
22
r
x
2
?y
2
(a±b)=a±2ab+b,(a+b)(a-b)=a-b
解题技巧:
2222
1.如向量用模表示,且已知两个向量的夹角,遇模,先平方后开方,如
?
a?wb?
2.如向量用坐标表示,遇模不平方,直接按照坐标运算
?
?
a?wb
?
2
12