高中数学关于环境的教案-高中数学圆锥曲线与方程单元测试题
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第四章圆与方程知识点总结
4.1.1 圆的标准方程
1、圆的标准方程C:
(x?a)?(y?b)?r
圆心为C(a,b),半径为r的圆的方程
2、点
M(x
0
,y
0
)
与圆C:
(x?a)?(y?b)?r
的关系的判断方法:
位置关系
点M在圆上
点M在圆外
点M在圆内
4.1.2 圆的一般方程
1、方程
x?y?Dx?Ey?F?0
22
22
1、当
D?E?4F>0
时,方程
x?y?Dx?Ey
?F?0
为圆的一般方程,其中圆心为
?
?
○
22
222<
br>222
利用距离判断
|CM|=r
|CM|>r
|CM|<r
利用方程判断
?
x
0
-a
?
2
?
?
y?b
?
2
?r
2
?
x
0
-a
?
2
?
?
y?b
?
2
>r<
br>2
?
x
0
-a
?
2
?
?
y?b
?
2
<r
2
?
DE
?<
br>,?
?
,半径
22
??
1
D
??
E
?
D
2
?E
2
?4F
?
22
长为
D?E?4F
,即
?
x?
?
?
?
y??
?
2
224
????
22
22
2、当
D?E?4F?0
时,方程
x?y?Dx?Ey?F?0
表示点
?
?
○
22
?
DE
?
,?
?
22
??
22
22
3、当
D?E?4F<0
时,方程
x
?y?Dx?Ey?F?0
无解,不表示任何图形。
○
2、圆的一般方程的特点:
2
(1)①
x
和
y
的系数相同,不等于0.
②没有xy这样的二次项.
2
(2)圆的一般方程中有三个特定的系数D、E、F,因之只要
求出这三个系数,圆的方程就确定了.
(3)与圆的标准方程相比较,它是一种特殊的二元
二次方程,代数特征明显,圆的标准方程则指出了圆心坐标与半
径大小,几何特征较明显。
补充:已知直径两端点的圆的方程公式推导:
以
A
?
x
1
,y
1
?
,B
?
x
2
,y
2?
为直径的两端点的圆的方程是
?
x?x
1
??
x?x
2
?
?
?
y?y
1
??
y?y
2
?
?0
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4.2.1
直线与圆的位置关系
几何法:直线
l:Ax?By?C?0
代数法:直线
l:Ax?By?C?0
,圆心C:
x
2
?y
2
?
Dx?Ey?F?0
,两方程联立,消去x或者y,得到关于
,圆心C:
x
2
?y
2
?Dx?Ey?F?0
,圆心C到直线
l
的距离d。
y或者x的一元二次方程,其判别式△
位置关系
相交
相切
相离
4.2.2 圆与圆的位置关系
两圆的位置关系.
设两圆的连心线长为
C
1
C
2
,则判别圆与圆的位置关系的依据有以下几点:
(1)当
C
1
C
2
?r
1
?r
2
时,圆
C
1
与圆
C
2
相离;
(2)当
C
1
C
2
?r
1
?r
2
时,圆
C
1
与圆
C
2
外切;
(3)当
|r
1
?r
2
|?
C
1
C
2
?r
1
?r
2
时,圆
C
1<
br>与圆
C
2
相交;
(4)当
C
1
C
2
?|r
1
?r
2
|
时,圆
C
1
与圆
C
2
内切;
(5)当
C
1
C
2?|r
1
?r
2
|
时,圆
C
1
与圆<
br>C
2
内含;
4.2.3 直线与圆的方程的应用
1、利用平面直角坐标系解决直线与圆的位置关系;
2、过程与方法
用坐标法解决几何问题的步骤:
第一步:建立适当的平面直角坐标系,用坐标和方程表示问题中的几何
元素,将平面几何问题转化为代数问题;
第二步:通过代数运算,解决代数问题;
第三步:将代数运算结果“翻译”成几何结论.
4.3.1空间直角坐标系
1、点M对应着唯一确定的有序实数组
(x,y,z)
2、有序实数组
(x,y,z)
,对应着空间直角坐标系中的一点
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交点个数
2
1
0
代数法
△>0
△=0
△<0
几何法
d>r
d=r
d<r
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3、空间中任意点M的坐标都可
以用有序实数组
(x,y,z)
来表示,该数组叫做点M在此空间直角坐标系中的坐标,
记M
(x,y,z)
,
x
叫做点M的横坐标,
y
叫做点M
的纵坐标,
z
叫做点M的竖坐标。
4.3.2空间两点间的距离公式
已知
空间中两点
P
1
(x
1
,y
1
,z
1)
、
P
2
(x
2
,y
2
,z
2
)
,则有
1、空间直角坐标系中两点之间的距离公式
P
1P
2
?(x
1
?x
2
)
2
?(y1
?y
2
)
2
?(z
1
?z
2
)
2
2、空间中线段
P
1
P
2
中点<
br>P
0
的坐标为
?
?
x
1
?x2
y
1
?y
2
z
1
?z
2
?
,,
?
22
??
2
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