人教版数学必修二第四章圆与方程知识点总结

第四章 圆与方程
4．1 圆的方程
4． 圆的标准方程


1．以(3，－1)为圆心，4为半径的圆的方程为( )
A．(
x
＋3)＋(
y
－1)＝4
B．(
x
－3)＋(
y
＋1)＝4
C．(
x
－3)＋(
y
＋1)＝16
D．(
x
＋3)＋(
y
－1)＝16
2．一圆的标准方程 为
x
＋(
y
＋1)＝8，则此圆的圆心与半径分别为( )
A．(1,0)，4 B．(－1,0)，2 2
C．(0,1)，4 D．(0，－1)，2 2
3．圆(
x
＋2)＋(
y
－2)＝m
的圆心为________，半径为________．
4．若点
P
(－3,4)在圆
x
＋
y
＝
a
上，则
a
的 值是________．
5．以点(－2,1)为圆心且与直线
x
＋
y＝1相切的圆的方程是____________________．
6．圆心在
y
轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程为( )
A．
x
＋(
y
－2)＝1
B．
x
＋(
y
＋2)＝1
C．(
x
－1)＋(
y
－3)＝1
D．
x
＋(
y
－3)＝1

7．一个圆经过点< br>A
(5,0)与
B
(－2,1)，圆心在直线
x
－3
y
－10＝0上，求此圆的方程．







22
8．点
P
(5
a
＋1,12
a)在圆(
x
－1)＋
y
＝1的内部，则
a
的取值范围是 ( )
A．|
a
|＜1
22
22
22
2 2
222
222
22
22
22
22
22

1
B．
a
＜
13
1
C．|
a
|＜
5
1
D．|
a
|＜
13
9．圆(
x－1)＋
y
＝25上的点到点
A
(5,5)的最大距离是_______ ___．


10．设直线
ax
－
y
＋3＝0与 圆(
x
－1)＋(
y
－2)＝4相交于
A
，
B两点，且弦
AB
的长为
22
22
2 3，求
a
的值．




圆的一般方程


22
1．圆
x
＋
y
－6
x
＝0的圆心坐标是________．
22

2．若方程
x
＋
y
＋
Dx
＋
Ey
＋
F
＝0表示以(2，－4)为圆心，以4为半径的圆，则
F
＝
__ ______.
3．若方程
x
＋
y
－4
x
＋2< br>y
＋5
k
＝0表示圆，则
k
的取值范围是( )
A．
k
>1 B．
k
<1
C．
k
≥1 D．
k
≤1
4．已知圆的方程是< br>x
＋
y
－2
x
＋4
y
＋3＝0，则下列直线 中通过圆心的是( )
A．3
x
＋2
y
＋1＝0
B．3
x
＋2
y
＝0
C．3
x
－2
y
＝0
D．3
x
－2
y
＋1＝0
5．圆
x
＋< br>y
－6
x
＋4
y
＝0的周长是________．
6．点(2
a,
2)在圆
x
＋
y
－2
y
－ 4＝0的内部，则
a
的取值范围是( )
A．－1<
a
<1
B．0<
a
<1
1
C．－1<
a
<
5
22
22
22
22

1
D．－<
a
<1
5
7．求下列圆的圆心和半径．
(1)
x
＋
y
－
x
＝0；
(2)
x
＋
y
＋2
ax
＝0(
a
≠0)；
(3)
x
＋
y
＋2
ay
－1＝0.









8．过点A
(11,2)作圆
x
＋
y
＋2
x
－4
y
－164＝0的弦，其中弦长为整数的共有( )
22
22
22
22
A．16条 B．17条 C．32条 D．34条
9．已知点
A
在直线2
x
－3
y
＋5 ＝0上移动，点
P
为连接
M
(4，－3)和点
A
的线段的中 点，
求
P
的轨迹方程．















4
10．已知方程
x
＋
y
－2(
t
＋3)
x
＋2(1－4
t
)
y
＋16
t
＋9＝0 表示一个圆．
222
(1)求
t
的取值范围；
(2)求圆的圆心和半径；
(3)求该圆的半径
r
的最大值及此时圆的标准方程．

4．2 直线、圆的位置关系
4． 直线与圆的位置关系



22
1．直线
y
＝
x
＋3与圆
x
＋
y
＝4的位置关系为( )
A．相切
B．相交但直线不过圆心
C．直线过圆心
D．相离
2．下列说法中正确的是( )
A．若直线与圆有两个交点，则直线与圆相切
B．与半径垂直的直线与圆相切
C．过半径外端的直线与圆相切
D．过圆心且与切线垂直的直线过切点
3．若直线
x
＋
y
＝2与圆
x
＋
y
＝
m
(
m
>0)相切，则
m
的值为( )
D．2
4．(2013年陕西)已知点< br>M
(
a
，
b
)在圆
O
：
x
＋
y
＝1外，则直线
ax
＋
by
＝1与圆
O
的位
置关系是( )
A．相切 B．相交
C．相离 D．不确定
5．经过点
M
(2,1)作圆
x
＋
y
＝5的切线，则切线 方程为( )
22
22
22

x
＋
y
＝5
x
＋
y
＋5＝0
C．2
x
＋
y
＝5 D．2
x
＋
y
＋5＝0
6．(2013年浙江)直线
y< br>＝2
x
＋3被圆
x
＋
y
－6
x
－8
y
＝0所截得的弦长等于________．
7．已知直线
kx
－
y
＋6＝0被圆
x
＋
y
＝25所截得的弦长为8，求
k
的值．




22
22

8． 由直线
y
＝
x
＋1上的一点向圆(
x
－3)＋
y< br>＝1引切线，则切线长的最小值为( )
22
A．1 B．2 2 D．3
9．已知圆
C
：(
x
－2)＋(
y
－3)＝4，直 线
l
：(
m
＋2)
x
＋(2
m
＋1)y
＝7
m
＋8.
(1)证明：无论
m
为何值，直线< br>l
与圆
C
恒相交；
(2)当直线
l
被圆
C
截得的弦长最短时，求
m
的值．

















10．已知圆
C
：
x
＋
y
－8
y
＋12＝0，直线
l
∶
ax
＋
y< br>＋2
a
＝0.
22
22
(1)当
a
为何值 时，直线
l
与圆
C
相切；
(2)当直线
l
与圆< br>C
相交于
A
，
B
两点，且
AB
＝2 2时，求直线
l
的方程．

圆与圆的位置关系



2222
1．已知两圆的方程< br>x
＋
y
＝4和
x
＋
y
－6
x
＋8
y
＋16＝0，则此两圆的位置关系是( )
A．外离 B．外切
C．相交 D．内切
2．圆
x
＋
y
＋2
x＋1＝0和圆
x
＋
y
－
y
＋1＝0的公共弦所在直线方 程为( )
A．
x
－2
y
＝0 B．
x
＋2
y
＝0
C．2
x
－
y
＝0 D．2
x
＋
y
＝0
3．已知直线
x
＝
a
(
a
>0)和圆(
x
＋1)＋
y
＝9相切，那么< br>a
的值是( )
A．2 B．3
C．4 D．5
4 ．两圆
x
＋
y
－4
x
＋2
y
＋1＝0与< br>x
＋
y
＋4
x
－4
y
－1＝0的公切线有( )
A．1条 B．2条
C．3条 D．4条
5．已知两圆相交于两点
A
(1,3)，
B
(
m
，－1)，两圆圆心都在直线2x
－
y
＋
c
＝0上，则
m
＋
c
的值是( )
A．－1 B．2
C．3 D．0
6．圆
x
＋
y
－2
x
－5＝0与圆
x
＋
y
＋2
x
－4
y
－4＝0的交点为
AB
，则线段
A B
的垂直平
分线方程为( )
A．
x
＋
y
－1＝0
B．2
x
－
y
＋1＝0
C．
x
－2
y
＋1＝0
D．
x
－
y
＋1＝0
7．若圆
x
＋y
＝4与圆
x
＋
y
＋2
ay
－6＝0(
a
>0)的公共弦长为2 3，求实数
a
的值．








2222
2222
2222
22
2222

2
8．两圆(
x
－3)＋(
y
－4)＝25和(
x
－1)＋(
y
－2)＝
r< br>相切，则半径
r
＝____________.
2222
9．已知两 圆
C
1
：
x
＋
y
－10
x
－10
y
＝0与
C
2
：
x
＋
y
＋6x
－2
y
－40＝0，
求：(1)它们的公共弦所在直线的方程；
(2)公共弦长．











10．已知圆
x
＋
y
－ 4
ax
＋2
ay
＋20(
a
－1)＝0.
(1)求证：对任意实数
a
，该圆恒过一定点；
(2)若该圆与圆
x
＋
y
＝4相切，求
a
的值．















22
22
2222

直线与圆的方程的应用




22
1．方程
x
＋
y
＋2
ax
－2
ay
＝0(
a
≠0)表示的圆( )
A．关于
x
轴对称
B．关于
y
轴对称
C．关于直线
x
－
y
＝0对称

D．关于直线
x
＋
y
＝0对称
2．若直线
x
＋
y
＋
m
＝0与圆
x
＋
y＝
m
相切，则
m
为( )
A．0或2 B．2
D．无解
3．过原点的直线与圆(
x
＋2)＋
y
＝1相切，若切点 在第三象限，则该直线方程为( )
A．
y
＝3
x

B．
y
＝－3
x

C．
y
＝
3
x

3
3
x

3
22
22
22
D．< br>y
＝－
4．若直线
ax
＋
by
＝1与圆
x< br>＋
y
＝1相离，则点
P
(
a
，
b
) 与圆的位置关系是( )
A．在圆上 B．在圆外
C．在圆内 D．都有可能 5．圆
x
＋
y
－4
x
－4
y
－1＝0 上的动点
P
到直线
x
＋
y
＝0的最小距离为( )
A．1 B．0
C．2 2 D．2 2－3
6．过点
P
(2,1)作圆
C
：
x
＋
y
－
ax
＋2< br>ay
＋2
a
＋1＝0的切线只有一条，则
a
的取值是
( )
A．
a
＝－3 B．
a
＝3
C．
a
＝2 D．
a
＝－2
7．与圆
x
＋
y
－4
x
－6
y
＋12＝0相切且在两坐标轴上的截距 相等的直线有( )
A．4条 B．3条
C．2条 D．1条
8．设圆
x
＋
y
－4
x
－5＝0的弦
AB的中点
P
(3，1)，则直线
AB
的方程为____________．
22
22
22
22
9．若实数
x
，
y满足等式(
x
－2)＋
y
＝3，那么的最大值为( )


10．已知圆
C
：
x
＋
y
－4
x
－14
y
＋45＝0及点
Q
(－2，3)．
22
22
y
x
(1)若点
P
(
a
，
a
＋1)在圆上，求线段
PQ
的长及直线
PQ
的斜率；

(2)若
M
为圆
C
上任一点，求|
MQ
|的最大值和最 小值；
(3)若实数
m
，
n
满足
m
＋
n
－4
m
－14
n
＋45＝0，求
k
＝















22
n
－3
的最大值和最小值．
m
＋2
空间直角坐标系
4． 空间直角坐标系



1．点
P
(－1,0,1)位于( )
A．
y
轴上 B．
z
轴上
C．
xOz
平面内 D．
yOz
平面内
2．在空间直角坐标系中，点(－2,1,4)关于
x
轴的对称点的坐标是( )
A．(－2,1，－4)
B．(－2，－1，－4)
C．(2，－1,4)
D．(2,1，－4)
3．点
P
(－4,1,3)在平面
yOz
上的投影坐标是( )
A．(4,1,0)
B．(0,1,3)
C．(0,3,0)
D．都不对
4．在空间直角坐标系中，点
P
(1，2，3)，过点
P
作平面
yOz
的垂线
PQ
垂足为
Q
，
则
Q
的坐标为( )
A．(0，2，0)

B．(0，2，3)
C．(1,0，3)
D．(1，2，0)
5．点(2，－3,0)在空间直角坐标系中的位置是在( )
A．
y
轴上
B．
xOy
平面上
C．
xOz
平面上
D．第一象限内
6．设
x
，
y
为任意实数，相应的点
P
(
x
，
y,
3)的集合是( )
A．
z
轴上的两个点
B．过
z
轴上的点(0,0,3)，且与
z
轴垂直的直线
C．过
z
轴上的点(0,0,3)，且与
z
轴垂直的平面
D．以上答案都有可能

7．点
A
(1，－3,2)关于点(2,2,3)的对称点的坐标为( )
A．(3，－1,5)
B．(3,7,4)
C．(0，－8,1)
D．(7,3,1)


8．已知点
A
(3，
y ,
4)，
B
(
x,
4,2)，线段
AB
的中点是< br>C
(5,6，
z
)，则
x
＝______，
y
＝______，
z
＝________.
9．点
P
(2,3,5)到平面
xOy
的距离为________．

10．如图K4?3?1，在四棱锥
P
?
ABCD
中， 底面
ABCD
为正方形，且边长为2
a
，棱
PD
⊥底面ABCD
，|
PD
|＝2
b
，取各侧棱的中点
E
，
F
，
G
，
H
，试建立适当的空间直角坐标系，写
出点
E
，
F
，
G
，
H
的坐标．

图K4?3?1

4． 空间两点间的距离公式



1．在空间直角坐标系中，点
A
(2,1,5)与点
B
(2,1，－ 1)之间的距离为( )
B．6
D．2
2．坐标原点到下列各点的距离最大的是( )
A．(1,1,1) B．(2,2,2)
C．(2，－3,5) D．(3,3,4)
3．已知
A< br>(1,1,1)，
B
(－3，－3，－3)，点
P
在
x
轴上，且|
PA
|＝|
PB
|，则点
P
的坐标
为 ( )
A．(－3,0,0) B．(－3,0,1)
C．(0,0，－3) D．(0，－3,0)
4．设点
B
是
A
(－3,2,5)关于< br>xOy
平面的对称点，则|
AB
|＝( )
A．10
C．2 10 D．40
5．已知空间坐标系中，
A
(3,3,1)，< br>B
(1,0,5)，
C
(0,1,0)，
AB
的中点为
M
，线段
CM
的长
|
CM
|＝( )


6．方程(
x
－12)＋(
y
＋3)＋(
z
－5)＝36
____________________________．
7． 已知点
A
在
y
轴上，点
B
(0,1,2)，且|
A B
|＝5，求点
A
的坐标．











8．以
A
(1,2 ,1)，
B
(1,5,1)，
C
(1,2,7)为顶点的三角形是_____ ___三角形．
222

的几何意义是

9．已知点
A
(
x,
5－
x,
2
x
－1)，
B
(1，
x
＋2,2－
x
)，当|
AB
|取最小值时，x
的值为________．


10．在空间直角坐标系中，已知< br>A
(3,0,1)和
B
(1，0，－3)，问：
(1)在
y
轴上是否存在点
M
，满足|
MA
|＝|
MB
|；
(2)在
y
轴上是否存在点
M
，使△
MAB
为等边 三角形若存在，试求出点
M
的坐标．

第四章 圆与方程

4．1 圆的方程
4． 圆的标准方程
1．C
3．(－2,2) |
m
| 4.±5 5.(
x
＋2)＋(
y
－1)＝2
6．A 解析：方法 一(直接法)：设圆心坐标为(0，
b
)，则由题意知
＝1，解得
b
＝2，故圆的方程为
x
＋(
y
－2)＝1.
方法二(数形结合法) ：作图由点到圆心的距离为1，易知圆心为(0,2)，故圆的方程为
22
22
0－1
2
＋
b
－2
2
x
2
＋(
y
－2)
2
＝1.
7．解：方法一：设圆心
P
(
a
，
b
)，
?
a
－3
b
－10＝0，
则
?
a
－5< br>2
＋
b
2
＝
?
?
?
a
＝1 ，
解得
?
?
?
b
＝－3.
a
＋2
2
＋
b
－1
2
，




圆的半径
r
＝
a
－5
2
＋
b
＝
2
2
1－5
2
2
＋－3
2
＝5.
∴圆的标准方程为(
x
－1)＋(
y
＋3)＝25.
方法 二：线段
AB
的中点
P
′
?
?
5－2
，< br>0＋1
?
，
2
?
?
2
?
1－01
?
31
?
即
P
′
?
，
?
.直线
AB
的斜率
k
＝＝－.
－2－57
?
22
?
1
?
3
?
∴弦
AB
的垂直平分线的方程 为
y
－＝7
?
x
－
?
，
2
?< br>2
?
即7
x
－
y
－10＝0.
?
?
x
－3
y
－10＝0，
解方程组
?
?
7
x
－
y
－10＝0，
?

?
?
x
＝1，
得
?
?
y
＝－3.
?
2

即圆心
P
(1，－3)．
圆的半径
r
＝1－5
2
＋－3
2
＝5.
∴圆的标准方程为(
x
－1)＋(
y
＋3)＝25.
8．D
＋5
10．解：∵弦
AB
的长为2 3，则由垂径定理， 圆心(1,2)到直线的距离等于1，∴
2

|
a
－2＋3|< br>＝1，∴
a
＝0.
a
2
＋1
4． 圆的一般方程
1．(3,0)
3．B
5．2 13π
6．A
1
?
1
?
22
1
?
1
?
7．解：(1)< br>?
x
－
?
＋
y
＝，圆心
?
，0?
，半径
r
＝.
42
?
2
??
2< br>?
(2)(
x
＋
a
)＋
y
＝
a，圆心(－
a,
0)，半径
r
＝|
a
|.
( 3)
x
＋(
y
＋
a
)＝1＋
a
，圆心(0 ，－
a
)，半径
r
＝1＋
a
.
8．C 解析：圆 的标准方程是：(
x
＋1)＋(
y
－2)＝13，圆心(－1,2)，半径< br>r
＝13.过
点
A
(11,2)的最短的弦长为10，最长的弦长为2 6(分别只有一条)，还有长度为11,12，…，
25的各2条，所以共有长为整数的弦2＋2×15 ＝32(条)．
9．解：设点
P
的坐标为(
x
，
y
)，
A
的坐标为(
x
0
，
y
0
)． < br>∵点
A
在直线2
x
－3
y
＋5＝0上，∴有2
x
0
－3
y
0
＋5＝0.
4＋
x
x< br>＝
?
?
2
，
又∵
P
为
MA
的中点，∴有
?
－3＋
y
y
＝.
?
?
2< br>0
0
222
2222
222


?
?
x
0
＝2
x
－4，
∴
?
?
y< br>0
＝2
y
＋3.
?


代入直线的方程，得2(2
x
－4)－3(2
y
＋3)＋5＝0，
化简，得2
x
－3
y
－6＝0即为所求．
10．解：(1)由圆的一般方程，得
[－2(
t
＋3)]＋4(1－4< br>t
)－4(16
t
＋9)>0，
1
解得－<
t
<1.
7
2
－2
t
＋321－4
t
??
，－
(2)圆心为
?
－
?< br>，
22
??
2224
即(
t
＋3,4
t< br>－1)，
1
22
半径
r
＝[－2
t
＋3] ＋41－4
t
2
2
2
－416
t
＋9
4

＝－7
t
＋6
t
＋1.
(3)
r
＝－7
t
＋6
t
＋1＝
2
2
?
3
?
2
16
－7
?
t
－
?
＋，
?
7
?
7
34 7
所以当
t
＝时，
r
max
＝，
77
?
24
?
2
?
13
?
2
16
故圆的 标准方程为
?
x
－
?
＋
?
y
＋
?
＝.
7
??
49
?
7
?
4．2 直线、圆的位置关系
4． 直线与圆的位置关系
1．D
4．B 解析：点< br>M
(
a
，
b
)在圆
O
：
x
＋
y
＝1外，有
a
＋
b
>1，圆心到直线
ax＋
by
＝1
的距离为
d
＝
1
<1＝
r
，所以直线与圆
O
相交．
22
2222
a
2
＋
b
2
5．C 解析： 因为点(2,1)在圆
x
＋
y
＝5上，所以切线方程为2
x
＋
y
＝5.
6．4 5 解析：圆(
x
－3)＋(
y－4)＝25，圆心(3,4)到直线2
x
－
y
＋3＝0的距离为
d
|6－4＋3|
2
＝＝5，弦长等于25－
5
2
22< br>5
2
2
＝4 5.
7．解：设直线
kx
－
y
＋6＝0被圆
x
＋
y
＝25所截得的弦长为
AB
，其中点为
C
，则△
OCB
为直角三角形．
|
AB
|
因为圆的半径为|
OB
|＝5，半弦长为＝|
BC
|＝4，
2
所以圆心到直线
kx
－
y
＋6＝0的距离为3.
由点到直线的距离公式得
8．C
9．(1)证明：由(
m
＋2)< br>x
＋(2
m
＋1)
y
＝7
m
＋8，
得
mx
＋2
x
＋2
my
＋
y
＝7
m
＋8，
即
m
(
x
＋2
y
－7)＋( 2
x
＋
y
－8)＝0.
?
?
x
＋2y
－7＝0，
由
?
?
2
x
＋
y
－8＝0，
?
6
k
2
＋1
＝3.解得
k
＝±3.

?
?
x
＝3，
解得
?
?y
＝2.
?


∴无论
m
为何值，直线
l
恒过定点(3,2)．
(2)解 ：过圆内的一点的所有弦中，最长的弦是过该点的直径，最短的弦是垂直于过该

点的直径 的那条弦，
∵圆心(2,3)，定点(3,2)，直径的斜率为－1，
∴最短的弦的斜率为1，
故最短弦的方程为
x
－
y
－1＝0.∴
m
＝－1.
10．解：将圆
C
的方程
x
＋
y
－8
y< br>＋12＝0配方，得标准方程为
x
＋(
y
－4)＝4，则此
圆 的圆心为(0,4)，半径为2.
|4＋2
a
|
(1)若直线
l< br>与圆
C
相切，则有
2
＝2.
a
＋1
33< br>解得
a
＝－.故当
a
＝－时，直线
l
与圆
C
相切．
44
(2)过圆心
C
作
CD
⊥
A B
，则根据题意和圆的性质，
，
?
a
＋1
?
得< br>?
CD
＋
DA
＝
AC
＝2，
1
DA
＝
?
?
2
AB
＝2，
2222
CD
＝
2
|4＋2
a
|
2
222

解得
a
＝－7或
a
＝－1.
∴直线
l
的 方程是7
x
－
y
＋14＝0或
x
－
y
＋2 ＝0.
4． 圆与圆的位置关系
1．B
4．C 解析：圆化为标准方程，得 (
x
－2)＋(
y
＋1)＝4，(
x
＋2)＋(
y
－2)＝9，∴圆心
2222
O
1
(2，－1)，
r
1
＝2，
O
2
(－2,2)，
r
2
＝3.∵|< br>O
1
O
2
|＝5＝
r
1
＋
r
2
，∴两圆外切．∴公切线有3条．
5．D
1
7．解：由已知两个圆 的方程可得相交弦的直线方程为
y
＝.利用圆心(0,0)到直线的距
a
?< br>1
??
1
?
2
离
d
＝
??
，得
??
＝2－
aa
????
8．5－2 2
3
2
＝1，解得
a
＝1或
a
＝－1(舍)． 9．解：(1)将两圆方程
C
1
：
x
＋
y
－1 0
x
－10
y
＝0与
C
2
：
x
＋
y
＋6
x
－2
y
－40＝0相减，
得2
x
＋
y
－5＝0.
∴公共弦所在直线的方程为2
x
＋
y
－5＝0.
(2)圆
C
1
：
x
＋
y
－10
x
－10< br>y
＝0的标准方程为(
x
－5)＋(
y
－5)＝50，圆心为 (5,5)，半
径为5 2，圆心到直线2
x
＋
y
－5＝0的距离为2 5，根据勾股定理和垂径定理，知公共
2222
2222

弦长为2 30.
10．(1)证明：将圆的方程整理，得(
x
＋
y
－20) ＋
a
(－4
x
＋2
y
＋20)＝0，此方程表示过
圆
x
＋
y
＝20与直线－4
x
＋2
y
＋2 0＝0的交点的圆系，
?
?
x
＋
y
＝20，
解方 程组
?
?
4
x
－2
y
－20＝0，
?22
22
22

?
?
x
＝4，
得?
?
y
＝－2.
?

2

故对任意实数
a
，该圆恒过定点(4，－2)．
(2)解：圆的方程可化为
(
x
－2
a
)＋(
y
＋
a
)＝5
a
－20
a
＋20＝5(
a
－2).
①若两圆外 切，则2＋5
解得
a
＝1＋
222
a
－2
2
＝5
a
，
2
55
或
a
＝1－(舍)；
55
②若两圆内切，则|5
解得
a
＝1－
a
－2
2
－2|＝5
a
，
2
55
，或
a
＝1＋(舍)．
55
5
.
5
综上所述，
a
＝1±
4． 直线与圆的方程的应用
1．D 解析：该圆的圆心(－
a
，
a
)，在直线
x
＋
y
＝0上，故关于直线
x
＋
y
＝0对称．
|
m
|
2．B 解析：圆心(0,0)到直线
x
＋
y
＋
m
＝0的距离
d
＝＝
m
，
m
＝2.
2
3．C
4．C 解析：由于直线
ax
＋
by< br>＝1与圆
x
＋
y
＝1相离，则
∴
P
在圆内．
5．C
7．A 解析：过原点的直线也满足条件．
8．
x
＋
y
－4＝0
9．D 解析：方法一：∵实数x
，
y
满足(
x
－2)＋
y
＝3，
∵记
P
(
x
，
y
)是圆(
x
－2)＋y
＝3上的点，
22
22
22
1
a
＋
b
22
>1，即
a
＋
b
<1，
22
y
22
是直线
OP
的斜率，记为
k
.∴直线
OP：
y
＝
kx
，代入圆的方程，消去
y
，得(1＋
k
)
x
x
－4
x
＋1＝0.直线
OP
与 圆有公共点的充要条件是
Δ
＝(－4)－4(1＋
k
)≥0，
22

∴－3≤
k
≤3.
|
k
·2 －0|
方法二：同方法一，直线
OP
与圆有公共点的条件是≤3，∴－3≤
k
≤3.
k
2
＋1
10．解：(1)∵点
P
(a
，
a
＋1)在圆上，
∴
a
＋(
a
＋1)－4
a
－14(
a
＋1)＋45＝0.
解得
a
＝4，∴
P
(4,5)．
∴|
PQ
|＝4＋2
2
22
＋5－3
2
＝210，
k
PQ
＝
3－51
＝.
－2－43
(2)∵圆心坐标
C
为(2,7)，半径为2 2，
∴|
QC
|＝2＋2
2
＋7－3
2
＝4 2.
∴|
MQ
|
max
＝4 2＋2 2＝6 2，
|
MQ
|
min
＝4 2－2 2＝2 2.
(3)设点 (－2,3)的直线
l
的方程为
y
－3＝
k
(
x< br>＋2)，
即
kx
－
y
＋2
k
＋3＝0，方 程
m
＋
n
－4
m
－14
n
＋45＝0，
即(
m
－2)＋(
n
－7)＝8表示圆．
易知直线
l
与圆方程相切时，
k
有最值，
∴
|2
k
－7＋2
k
＋3|
＝2 2.∴
k
＝2±3.
2
1＋
k
22
22
∴
k
＝
n
－3
的最大值为2＋3，最小值为2－3.
m
＋2
4．3 空间直角坐标系
4． 空间直角坐标系
1．C 解析：点
P
的
y
轴坐标为0，则点
P
在平面
xOz
上．
2．B 解析：点
P
(
a
，
b
，< br>c
)关于
x
轴的对称点为
P
′(
a
，－b
，－
c
)．
3．B
8．7 8 3
10．解：由图知，
DA
⊥
DC
，
DC
⊥
DP< br>，
DP
⊥
DA
，
故以
D
为原点，
DA
，
DC
，
DP
所在直线分别为
x
，
y
，
z
轴建立空间直角坐标系．
∵
E
，
F
，
G
，
H
分别为侧棱中点，由立体几何知识可知，平面
EFGH∥底面
ABCD
，
从而这4个点的竖坐标都为
P
的竖坐标的一半，也就是
b
.

由
H
为
DP
的中点，得
H
(0,0，b
)．
E
在底面
ABCD
上的投影为
AD
的中点，
∴< br>E
(
a,
0，
b
)．同理
G
(0，
a
，
b
)．
F
在坐标平面
xOz
和
yO z
上的投影分别为点
E
和
G
，
故
F
与< br>E
的横坐标相同，都是
a
，点
F
与
G
的纵坐 标也同为
a
，
又
F
的竖坐标为
b
，故
F
(
a
，
a
，
b
)．
4． 空间两点间的距离公式
1．B
6．以点(12，－3,5)为球心，半径长为6的球
7．解：由题意设
A
(0，
y,
0)，则
y
－1
2
＋4＝5，得
y＝0或
y
＝2，
故点
A
的坐标为(0,0,0)或(0,2,0)．
8．直角 解析：因为 |
AB
|＝9，|
BC
|＝9＋36＝45，|
AC
|＝3 6，所以|
BC
|＝|
AB
|＋|
AC
|，
所以△
ABC
为直角三角形．
解析：|
AB
|
＝
＝
222222
x
－1
2
＋5－
x
－
x－2
2
＋2
x
－1－2＋
x
2

?< br>8
?
2
5
14
?
x
－
?
＋ ，
?
7
?
7
8
故当
x
＝时，|
AB
|取得最小值．
7
10．解：(1)假设在
y
轴上存在点M
，满足|
MA
|＝|
MB
|.
设
M
(0，
y,
0)，由|
MA
|＝|
MB
|，可得
3＋
y
＋1＝1＋
y
＋3.
显然，此式对任意
y
∈R恒成立．
∴
y
轴上所有点都满足关系|
MA
|＝|
MB
|.
(2)假设在
y
轴上存在点
M
，使△
MAB
为等边 三角形．
由(1)可知，
y
轴上任一点都有|
MA
|＝|
MB
|，
∴只要满足|
MA
|＝|
AB
|，就可以使得△
MAB
是等边三角形．
∵|
MA
|＝10＋
y
，
|
AB
|＝
2
2
222222
1－3
2< br>＋0－0
2
＋－3－1
2
＝20，
∴10＋
y
＝20，解得
y
＝±10.
故
y轴上存在点
M
，使△
MAB
为等边三角形，点
M
的坐标 为(0，10，0)或(0，－10，

0)．