高中数学必修四之知识讲解_简单的三角恒等变换_基础

简单的三角恒等变换
【学习目标】
1．能用二倍角公式推导出半角的正弦、余弦、正切公式；
2．掌握公式应用的常规思路和基本技巧；
3．了解积化和差、和差化积公式的推导过程，能初步运用公式进行互化；
4．通过运用公式 进行简单的恒等变换，进一步提高运用联系的观点、化归的思想方法处理问题的自觉性，体会
换元思想的 作用，发展推理能力和运算能力；
5．通过公式的推导，了解它们的内在联系和知识发展过程，体会特 殊与一般的关系，培养利用联系的观点处理
问题的能力．

【要点梳理】
要点一：升（降）幂缩（扩）角公式
升幂公式：
1?cos2
?
?2cos
?
，
1?cos2
?
?2sin
?

降幂公式：
cos
?
?
要点诠释：
利用二倍角公式的等价 变形：
1?cos
?
?2sin
2
2
22
1?co s2
?
1?cos2
?
2
，
sin
?
?< br>
22
?
2
，
1?cos
?
?2cos2
?
2
进行“升、降幂”变换，即由左边的
“一次式”化成右边的“二次 式”为“升幂”变换，逆用上述公式即为“降幂”变换．
要点二：辅助角公式
1．形如
asinx?bcosx
的三角函数式的变形：
asinx?bcosx

??
ab
sinx?cosx
?
=
a?b
?2222
a?b
?
a?b
?
22
令
cos?
?
a
a?b
22
,sin
?
?
b< br>a?b
22
，则
asinx?bcosx
=
a
2< br>?b
2
?
sinxcos
?
?cosxsin
??

22
=
a?bsin(x?
?
)

?
?
（其中
?
角所在象限由
a,b
的符号确定，
?
角的值由
tana
a?b
22
b
b
确定，或由
sin
?
?
和
22
a
a?b
cos
?
?
共同确定 ．）
2．辅助角公式在解题中的应用
2222
通过应用公式
asinx? bcosx
=
a?bsin(x?
?
)
（或
asinx?b cosx
=
a?bcos(
?
?
?
)
），将形如< br>asinx?bcosx
（
a,b
不同时为零）收缩为一个三角函数
a
2
?b
2
sin(x?
?
)
（或
a
2
?b
2
cos(
?
?
?
)
）．这种< br>恒等变形实质上是将同角的正弦和余弦函数值与其他常数积的和变形为一个三角函数，这样做有利于函数式 的化
简、求值等．

【典型例题】
类型一：利用公式对三角函数式进行证明
例1．求证：
tan
?
2
?
sin
?
1?cos
?
?

1?co s
?
sin
?
【思路点拨】观察式子的结构形式，寻找式子中
?与
【证明】
?
之间的关系发现，利用二倍角公式即可证明．
2
方法一：
sin
?
?
1?cos
?
2sin
2< br>2sin
2sin
?
2
cos
?
2
?
2cos
2
?
2
2
?tan
?

?2
cos
2
sin
?
?
2
1?cos
?
?
sin
?
?
2
?
cos
?
2
?
2
?tan
?

?
2
cos
2
?
sin
?
方法二：
tan
?
?
2
?
22
?
sin
?

2
cos
?
cos
?
?2cos
?
1?cos
?
222
si nsin
?
?2cos
tan
?
2
sin
?
cos
?
?
2
?
2
2
?
1?cos?

??
sin
?
cos?2sin
22
2< br>sin
?
?2sin
?
【总结升华】代数式变换往往着眼于式子结构形 式的变换；对于三角变换，由于不同的三角函数式不仅会有结
构形式方面的差异，而且还会有所包含的角 ，以及这些角的三角函数种类方面的差异，因此三角恒等变换常常首
先寻找式子所包含的各个角之间的联 系，并以此为依据选择可以联系它们的适当公式，这是三角式恒等变换的重
要特点．
举一反三：
?
1?tan
2
2
,cos??
【变 式1】求证：
sin??
?
1?tan
2
1?tan
22
2tan
【证明】
??
2tan
2
,tan??
2

??
1 ?tan
2
22
sin
?
?2sin
?
2
cos
?
2
2sin
?
sin
2
?
2cos
?
2
?
2tan
?
2

?2
?cos
2
?
2
1?tan
2
?
2
cos
?
?cos
2
?
2
?sin
2?
2
cos
2
?
cos
2
?
?
2
?sin
2
?sin
2
?
?
2
?2
1?tan
2
1?tan
2
?
?
2

22

sin
?
22
?
2
．
?
cos
?
cos
2
?
?sin
2
?
1?tan
2
?
222
1
例2．
求证：（1）
cos
?
cos
?
?[cos(
?
?
?
)?cos(
??
?
)]
2

tan
?
?
cosx?cosy?2cos
(2)
2si n
?
cos
?
2tan
?
x?yx?y
cos
22
【思路点拨】（1）把右边两角和与差的余弦公式展开、相加即得左边．（2）把右 边两角和与差的余弦公式展开、
相加，然后观察所得式子与要证明的式子之间的区别，最后令
?
?
?
?x,
?
?
?
?y
即可得证．
【证明】
（1）
又
cos(
?
?
?
)? cos
?
cos
?
?sin
?
sin
?
①
cos(
?
?
?
)?cos
?
cos
?
?sin
?
sin
?
②
?
①+②得
1
cos
?
cos
?
?[cos(
?
?< br>?
)?cos(
?
?
?
)]

2
结论得证．
（2）
又
cos(
?
?
?
)?cos
?
cos
?
?sin
?
sin
?
①
cos(
?
?
?
)?cos
?
cos
?
?sin
?
sin
?
②
?
①+②得
1
cos
?
cos
?
?[c os(
?
?
?
)?cos(
?
?
?
)]< br>
2
x?yx?y
,
?
?
令
?
?< br>?
?x,
?
?
?
?y
，则
?
?
22
x?yx?y1
?coscos?
?
cosx?cosy
?

222
x?yx?y
?cosx?cosy?2coscos

22
结论得证．
【总结升华】当和、积互化时，角度重新组合，因此有可能产生特殊 角；结构将变化，因此有可能产生互消项或
互约因式，从而利于化简求值．正因为如此“和、积互化”是 三角恒等变形的一种基本手段．

举一反三：
【变式1】求证：
sin< br>?
?sin
?
?2sin
【证明】
?
?
?< br>2
cos
?
?
?
2

sin(
?< br>?
?
)?sin
?
cos
?
?cos
?sin
?
，
sin(
?
?
?
)?sin
?
cos
?
?cos
?
sin
?

上面 两式相加得：
sin(
?
?
?
)?sin(
?
?< br>?
)?2sin
?
cos
?

令
?
?
?
?
?
,
?
?
?
?
?
，则
?
?
?
?
?
2
,
?
?
?
?
?
2

?
sin
?
?sin
?
?2sin
结论得证． < br>【变式2】求证：
tan
?
?
?
2
cos
?
?
?
2

3xx2sinx
?tan?
．
22cosx?cos2x
3xx
，的形式，注意到
22
【思路点拨】 从 消除恒等式左、右两边的差异入手，将右边的角x，2x凑成
x?
3xx3xx
?，
2x??
，于是
2222
?
3xx
?
2s in
?
?
?
2sinx
?
22
?
?
【证明】右边
?

cosx?cos2x
?
3xx
??< br>3xx
?
cos
?
?
?
?cos
?
?
?
?
22
??
22
?
x3xx
??3x
2
?
sincos?cossin
?
sin
3x< br>2222
?
2
?tan
3x
?tan
x
?< br>左边．
?
?
?
3xxx
22
2coscoscos
222
∴等式成立．
【总结升华】解答中右边分母拆角的目的是利用和（差）角公式 ．证明（化简）的本质上是一个寻找差异、
消除差异、追求和谐的过程，应从消除差异入手．

类型二：利用公式对三角函数式进行化简
例3． 已知
3
?
??
?2
?
，试化简
1?sin
?
?1?sin
?
．
2
2
?
??
?
【思路点拨】根据化简的基本 思想，本题需消去根式，联想到恒等式
1?sin
?
?
?
sin?c os
?
，于是利用此
22
??
公式先化简．
【解析】原式
?sin
?
2
?cos
?
2
?sin
?< br>2
?cos
?
2
，
∵
3
?
3???
2
?
2
?
?
?2
?
，∴
??
?
，∴
0?sin?
，
?1?cos??
，
242
2222
从而
sin
?
2
?cos
?2
?0
，
sin
?
2
?cos
?
2< br>?0
，
∴原式
??
?
sin
?
?
??
??
??
?
?
?cos
?
?
?
sin?cos
?
??2sin
．
22
??
22
?
2
【总结升华】从局部看（即每个式子本身）上述解法是唯一解法，但从整体看两个根号里 面的式子相加得2，
相乘得cos
2
?
，因此可以“先平方暂时去掉根号”． 注意到
x?1?sin
?
?
3
?
?
?
?2
?
，则
sin
?
?0
，
cos
?
?0
，设
2
3
??
1?sin
?
，则x＜0，则< br>x
2
?2?21?sin
2
?
?2?2cos
2?
?2?cos
?
，又
??
?
，
42