高一数学集合练习题及答案

高一数学集合的练习题及答案

1、集合的概念
集合是集 合论中的不定义的原始概念，教材中对集合的概念进行了描述性说明：“一般
地，把一些能够确定的不同 的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的
集合（或集）”。理解这句话，应该把握 4个关键词：对象、确定的、不同的、整体。
对象――即集合中的元素。集合是由它的元素唯一确定的。
整体――集合不是研究某一单一对象的，它关注的是这些对象的全体。
确定的――集合元素的确定性――元素与集合的“从属”关系。
不同的――集合元素的互异性。
2、有限集、无限集、空集的意义
有限集和无限集是针对非空集合来说的。我们理解起来并不困难。
我们把不含有任何元素的集 合叫做空集，记做Φ。理解它时不妨思考一下“0与Φ”
及“Φ与{Φ}”的关系。
几个常用数集N、N*、N
＋
、Z、Q、R要记牢。
3、集合的表示方法
（1）列举法的表示形式比较容易掌握，并不是所有的集合都能用列举法表示，同学们
需要知道 能用列举法表示的三种集合：
①元素不太多的有限集，如{0，1，8}
②元素较多但呈现一定的规律的有限集，如{1，2，3，…，100}
③呈现一定规律的无限集，如 {1，2，3，…，n，…}
●注意a与{a}的区别
●注意用列举法表示集合时，集合元素的“无序性”。
（2）特征性质描述法的关键是把所研 究的集合的“特征性质”找准，然后适当地表示
出来就行了。但关键点也是难点。学习时多加练习就可以 了。另外，弄清“代表元素”也是
非常重要的。如{x|y＝x}， {y|y＝x}， {（x，y）|y＝x}是三个不同的集合。
4、集合之间的关系
●注意区分“从属”关系与“包含”关系
“从属”关系是元素与集合之间的关系。
“包含”关系是集合与集合之间的关系。掌握子集、真子集的概念，掌握集合相等的概
念，学会正确使用 “”等符号，会用Venn图描述集合之间的关系是
222

基本要求。
●注意辨清Φ与{Φ}两种关系。
5、集合的运算
集合运算的过程，是一个创造新 的集合的过程。在这里，我们学习了三种创造新集合的
方式：交集、并集和补集。
一方面，我们应该严格把握它们的运算规则。同时，我们还要掌握它们的运算性质：
A?C< br>U
A?U
A?B?B?A
A?A?A
A?????A??
A? B?A?B?A


还要尝试利用Venn图解决相关问题。
A?B?B?A
C
U
(C
U
A)?A
A?A?A
A ?B?A?C
U
B??
A?????A?A
?B?C
U
A? U
A?B?A?B?B

A?C
U
A??
二、典型例题

22
A?{a?2 ,(a?1),a?3a?3}
，若
1?A
，求a。 例1. 已知集合
22
a?2?1,或（a?1）?1,或a?3a?3?1

?1?A?
根据集合元素的确定性，解：得：
2
若a＋2＝1， 得:
a??1
， 但此时
a?3a?3?1?a?2
，不符合集合元素的互异性。
222
(a ?1)?1a?3a?3?1?(a?1)
a?0,或-2
a??2
若，得：。但时， ，不符合
集合元素的互异性。
若
a?3a?3?1,
得：
a??1,或－2。

2
但a?-1时,a?2?1;a?-2时，(a?1)
2
?1
，都不符合集合元素的 互异性。
综上可得，a ＝ 0。
【小结】集合元素的确定性和互异性是解决问题的理论依 据。确定性是入手点，互异性
是检验结论的工具。

例2. 已知集合M＝
?
x?R|ax
2
?2x?1?0
中只含有一个元素，求a的值。
?
2
解：集合M中只含有一个元素，也就意味着方程
ax?2x?1?0
只有 一个解。
（1）
a?0时,方程化为2x?1?0
，只有一个解
x ??
1
2

（2）
a?0时,若方程ax?2x?1?0只有一个解

2
需要??4?4a?0,即a?1
.
综上所述，可知a的值为a＝0或a＝1
【小结】熟悉集合语言，会把集合语言翻译成恰当的 数学语言是重要的学习要求，另外
多体会知识转化的方法。

2
A?{x|x?x?6?0},B?{x|ax?1?0},
且BA，求a的值。 例3. 已知集合
解：由已知，得：A＝{－3，2}， 若BA，则B＝Φ，或{－3}，或{2}。
若B＝Φ，即方程ax＋1＝0无解，得a＝0。
1
若B＝{－3}， 即方程ax＋1＝0的解是x ＝ －3， 得a ＝
3
。
1
若 B＝{2}， 即方程ax＋1＝0的解是x ＝ 2， 得a ＝
2
。
?
1
1
?
综上所述，可知a的值为a＝0或a＝
3
，或a ＝
2
。
【小结】本题多体会这种题型的处理思路和步骤。

2
例4. 已知方程
x?bx?c?0
有两个不相等的实根x
1
， x
2.
设C＝{x
1
， x
2
}， A＝{1，3，
5，7，9}， B＝{1，4，7，10}，若
A?C??,C?B?C
，试求b， c的值。
解：由
C?B?C?C?B
， 那么集合C中必定含有1，4，7，10中的2个。
又因为
A?C??
，则A中的1，3，5，7，9都不在C中，从而只能是C＝{4， 10}
因此，b＝－（x
1
＋x
2
）＝－14，c＝x
1
x
2
＝40
【小结】对
A?C??,C?B?C
的含义的理解是本题的关键。

例5. 设集合
A?{x|?2?x?5},B?{x|m?1?x?2m?1}
，
（1）若
A?B??
， 求m的范围；
（2）若
A?B?A
， 求m的范围。
解：（1）若
A?B??
，则B＝Φ，或m＋1>5，或2m－1<－2
当B＝Φ时，m＋1>2m－1，得：m<2
当m＋1>5时，m＋1≤2m－1，得：m>4

当2m－1<－2时，m＋1≤2m－1，得：m∈Φ
综上所述，可知m<2， 或m>4
（2）若
A?B?A
， 则B
?
A，
若B＝Φ，得m<2
?
m?1??2
?
?
2m?1?5
?
m?1?2m?1
若B ≠ Φ，则
?
，得：
2?m?3

综上，得 m ≤ 3
【小结】本题多体会分析和讨论的全面性。

例6. 已知A＝{0，1}， B＝{x|x
?
A}，用列举法表示集合B，并指出集合A与B的关系。
解：因为x
?
A，所以x ＝ Φ， 或x ＝ {0}， 或x ＝ {1}， 或x ＝ A，
于是集合B ＝ { Φ， {0}， {1}， A}， 从而 A∈B

三、练习题

1. 设集合M＝
{x|x?17},a?42,
则（ ）
A.
a?M
B.
a?M
C. a ＝ M D. a > M
2. 有下列命题：①
{?}
是空集 ② 若
a?N,b?N
，则
a?b?2
③ 集合
2
{x|x?2x?1?0}
有两个元素 ④ 集合
题的个数是（ ）
A. 0 B. 1
B?{x|
100
?N,x?Z }
x
为无限集，其中正确命
C. 2 D. 3
3. 下列集合中，表示同一集合的是（ ）
A. M＝{（3，2）} ， N＝{（2，3）}
B. M＝{3，2} ， N＝{（2，3）}
C. M＝{（x，y）|x＋y＝1}， N＝{y|x＋y＝1}
＝{1，2}， N＝{2，1}
22
M?{2,3,a ?1},N?{a?a?4,2a?1}
，若
M?N?{2}
， 则a的取值4. 设集合
集合是（ ）

1
{?3,2,}
2
A. B. {－3}
1
{?3,}
2
C. D. {－3，2}
5. 设集合A ＝ {x| 1 < x < 2}， B ＝ {x| x < a}， 且
A?B
， 则实数a的范围是
（ ）
A.
a?2
B.
a?2
C.
a?1
D.
a?1

6. 设x，y∈R，A＝{（x，y）|y＝x}， B＝
A. AB B. B
2
{(x,y)|
y
?1}
x
， 则集合A，B的关系是（ ）
D. A
?
B A C. A＝B
2
7. 已知M＝{x|y＝x－1} ， N＝{y|y＝x－1}， 那么M∩N＝（ ）
A. Φ B. M C. N D. R
8. 已知A ＝ {－2，－1，0，1}， B ＝ {x|x＝|y|，y∈A}， 则集合B＝_________________
22
A?{x|x?3x?2?0},B? {x|x?ax?a?1?0},且B?A
，9. 若则a的值为_____
10. 若{1，2，3}
?
A
?
{1，2，3，4，5}， 则A＝____________
11. 已知M＝{2，a，b}， N＝{2a，2，b}，且M＝N表示相同的集合，求a，b的值
12. 已知集合
A?{x |x?4x?p?0},B?{x|x?x?2?0}且A?B,
求实数p的范
围。
13. 已知
A?{x|x?ax?a?19?0},B?{x|x?5x?6?0}
，且A，B满足下列三
个条件：①
A?B
②
A?B?B
③ Φ

222
22
2
A?B
，求实数a的值。
四、练习题答案

1. B 2. A 3. D 4. C 5. A 6. B 7. C
8. {0，1，2}
9. 2，或3
10. {1，2，3}或{1，2，3，4}或{1，2，3，5}或{1，2，3，4，5}
?
?
a?
2
?
?
a?2a
?
a?b
?
a?0
?
a?0
?
b?
?
?
??
2
b?2a
b?b
b?0b?1
11. 解：依题意，得：
?
或?
，解得：
?
，或
?
，或
?
1
41
2

?
?
a?
?
a?0?
?
b?
?
b?1
结合集合元素的互异性，得
?
或
?
12. 解：B＝{x|x<－1， 或x>2}
1
4
1
2
。
① 若A ＝ Φ，即
??16?4p?0
，满足A
?
B，此时
p?4

② 若
A??
，要使A
?
B，须使大根
?2?4?p??1
或小根
?2?4?p?2
（舍），解得：
3?p?4

所以
p?3

13. 解：由已知条件求得B＝{2，3}，由
A?B?B
，知A
?
B。
而由 ①知
A?B
，所以A
又因为Φ
B。
A?B
，故A≠Φ，从而A＝{2}或{3}。
222
当A＝{2 }时，将x＝2代入
x?ax?a?19?0
，得
4?2a?a?19?0
? a??3或5

经检验，当a＝ －3时，A＝{2， － 5}; 当a＝5时，A＝{2，3}。都与A＝{2}矛盾。
22
当A ＝ {3}时，将x＝3代入
x?ax?a?19?0
，得
经检验，当a＝ －2时，A＝{3， － 5}; 当a＝5时，A＝{2，3}。都与A＝{2}矛盾。
综上所述，不存在实数a使集合A， B满足已知条件。


9?3a?a
2
?19?0
?a??2或5