黄冈高中数学试题及答案-高中数学直观图教案
高中数学总复习题总结
第一章 集合与函数概念
一、选择题
y－3
?
1．设全集
U
＝{(
x
，
y)|
x
∈R，
y
∈R}，集合
M
＝
?
＝1
?
，
?
(x,y)|
x－2
??
P
＝{(
x
，
y
)|
y
≠
x
＋1}，那
么
C
U
(
M
∪
P
)等于( )．
A．
?
B．{(2，3)}
D．{(
x
，
y
)|
y
＝
x
＋1} C．(2，3)
2．若
A
＝{
a
，
b
}，
B
?
A
，则集合
B<
br>中元素的个数是( )．
A．0 B．1 C．2
D．0或1或2
3．函数
y
＝
f
(
x
)的图象与
直线
x
＝1的公共点数目是( )．
A．1 B．0
C．0或1 D．1或2
4．设函数
f
(
x
)＝2
x
＋3，
g
(
x
＋2)＝
f
(
x
)
，则
g
(
x
)的表达式是( )．
A．2
x
＋1 B．2
x
－1
C．2
x
－3 D．2
x
＋7
5. 已知函数
f<
br>(
x
)＝
ax
3
＋
bx
2
＋
cx
＋
d
的图象如
图所示，则( )．
A．
b
∈(－∞，0)
C．
b
∈(1，2)
B．
b
∈(0，1)
D．
b
∈(2，＋∞)
(第5题)
?
x
2
＋bx＋c， x≤
0
6．设函数
f
(
x
)＝
?
， 若
f(－4)＝
f
(0)，
f
(－2)＝－2，则关于
x
的
＞
c，x
0
?
方程
f
(
x
)＝
x
的解的个数为(
)．
A．1 B．2 C．3 D．4
7．设集合
A
＝{
x
|
0≤
x
≤6}，
B
＝{
y
| 0≤
y
≤
2}，下列从
A
到
B
的对应法则
f
不是映
<
br>射的是( )．
A．
f
:
x
→
y
＝
1
x
2
1
B．
f
:
x
→
y
＝
x
3
C．
f
:
x
→
y
＝1
x
4
D．
f
:
x
→
y
＝
1
x
6
8．有下面四个命题：
①偶函数的图象一定与
y
轴相交；
②奇函数的图象一定通过原点；
③偶函数的图象关于
y
轴对称；
④既是奇函数，又是偶函数的函数一定是<
br>f
(
x
)＝0(
x
∈R)．
其中正确命题的个数是( )．
A．1 B．2 C．3
D．4
9．函数
y
＝
x
2
－6
x
＋10
在区间(2，4)上是( )．
A．递减函数
B．递增函数
D．先递增再递减 C．先递减再递增
10．二次函数
y
＝
x<
br>2
＋
bx
＋
c
的图象的对称轴是
x
＝2，则
有( )．
A．
f
(1)＜
f
(2)＜
f
(4)
C．
f
(2)＜
f
(4)＜
f
(1)
二、填空题
11．集合{3，
x
，
x
2
－2x
}中，
x
应满足的条件是．
12．若集合
A
＝{
x
|
x
2
＋(<
br>a
－1)
x
＋
b
＝0}中，仅有一个元素
a
，则
a
＝___，
b
＝___．
13．建造一个容积为8
m
3
，深为2 m的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价每
平方米分别为120元
和80元，那么水池的最低总造价为元．
14．已知
f
(
x
＋1)
＝
x
2
－2
x
，则
f
(
x
)＝；
f
(
x
－2)＝．
15．
y
＝(2
a<
br>－1)
x
＋5是减函数，求
a
的取值范围．
B．
f
(2)＜
f
(1)＜
f
(4)
D．
f
(4)＜
f
(2)＜
f
(1)
16．设
f
(
x
)是R上的奇函数，且当
x
∈ ［0，＋∞)时，
f
(
x
)＝
x
(1＋
x
3
)，那么当
x
∈
(－∞，0］时，
f
(
x
)＝．
三、解答题
17．已知集合
A
＝{
x
∈R|
ax
2
－3
x
＋2＝0}，其中
a
为常数，且
a
∈R．
①若
A
是空集，求
a
的范围；
②若
A
中只有一个元素，求
a
的值；
③若
A
中至多只有一个元素，求
a
的范围．
18．已知
M
＝{2，
a
，
b
}，
N
＝
{2
a
，2，
b
2
}，且
M
＝
N
，求
a
，
b
的值．
19．证明
f
(
x
)＝
x
3
在
R上是增函数．
20．判断下列函数的奇偶性：
(1)
f
(
x
)＝3x
4
＋
1
x
2
；
(3)
f
(
x
)＝
x－1
＋
1－x
；
(2)
f
(
x
)＝(
x
－1)
1＋x
1－x
；
(4)
f
(
x
)＝
x<
br>2
－
1
＋
1－x
2
．
第一章 集合与函数概念
参考答案
一、选择题
1．B
解析：集合
M
是由直线
y
＝
x
＋1上除去点(2，
3)之后，其余点组成的集合．集合
P
是坐标平面上不在直线
y
＝
x
＋1上的点组成的集合，那么
M
?
P
就是坐标平面上不含点(2，<
br>3)的所有点组成的集合．因此
C
U
(
M
?
P
)就是点(2，3)的集合．
C
U
(
M
?
P
)＝{(2，3)}．故选B．
2．D
解析：∵
A
的子集有
?
，{
a
}
，{
b
}，{
a
，
b
}．∴集合
B
可能是
?
，{
a
}，{
b
}，{
a
，
b
}
中的某一个，∴选D．
3．C
解析：由函数的定义知，函数
y
＝
f
(
x
)的图象与直线
x
＝1是有可能没有交点
的，如果
有交点，那么对于
x
＝1仅有一个函数值．
4．B
解析
：∵
g
(
x
＋2)＝2
x
＋3＝2(
x
＋
2)－1，∴
g
(
x
)＝2
x
－1．
5．A
解析：要善于从函数的图象中分析出函数的特点．
解法1：设
f
(
x
)＝
ax
(
x
－1)(
x
－2)＝
ax
3
－3
ax
2
＋2
ax
，比较系数得
b<
br>＝－3
a
，
c
＝2
a
，
d
＝0．由
(第5题)
f
(
x
)的图象可以知道
f
(3)＞0，所以
f
(3)＝3
a
(3－1)(3－2)＝6
a
＞0，即
a＞0，所以
b
＜0．所以正确答案为A．
解法2：分别将
x
＝0，
x
＝1，
x
＝2代入
f
(
x<
br>)＝
ax
3
＋
bx
2
＋
cx
＋d
中，求得
d
＝0，
a
＝
1
2
1<
br>2
bx31
－
b
，
c
＝－
b
. ∴
f
(
x
)＝
b
(－
x
3
＋
x
2
－
x
)＝－
［(
x
－
)
2
－］．
324
33
33
由函数图象可知，当
x
∈
(－∞，0)时，
f
(
x
)＜0，又［(
x
－
3<
br>2
1
)
－］＞0，∴
b
＜0．
24
31<
br>x
∈(0，1)时，
f
(
x
)＞0，又［(
x
－)
2
－］＞0，∴
b
＜0．
24
31
x∈(1，2)时，
f
(
x
)＜0，又［(
x
－)
2
－］＜0，∴
b
＜0．
24
31
x
∈(2，
＋∞)时，
f
(
x
)＞0，又［(
x
－)
2
－］＞0，∴
b
＜0．
24
故
b
∈(－∞，0)．
6．C
解：由
f
(－4)＝
f
(0)，
f
(－2)＝－2，
b
?
???2
，∴
?
b?4
．
?得
?
2
?
?
c?2
?
?
4?2b?c
??2
?
x
2
＋4x＋2
，
(x 0)
≤
∴
f
(
x
)=
?
(x
＞
0)
?
2
，
x＞0
?
x≤0
由
?
得
x
＝－1或
x
＝－2；由 得
x
＝2．
x＝2
?
x
2
＋4x＋2＝x
综上，方程
f
(
x
)＝
x
的解的个数是3个．
7．A
解：在集合
A
中取元素6，在
f
：
x
→
y
＝
｛
y
｜0≤
y
≤2｝中，所以
答案选A．
8．A
提示：①不对；②不对，因为偶函数或奇函数的定义域可能不包含0；③
正确；④不对，
既是奇函数又是偶函数的函数还可以为
f
(
x
)＝0
，
x
∈(－
a
，
a
)．所以答案选A．
9．C
1
x
作用下应得象3，但3不在集合
B
＝
2
解析：本题可以作出函数
y
＝
x
2
－6
x
＋10的图象，根据图象可知函数在(2，4)上是
先递减再递增．答案选C．
10．B
解析：∵对称轴
x
＝2，∴
f
(1)＝
f
(3).
∵
y
在〔2，＋∞〕上单调递增，
∴
f
(4)＞
f
(3)＞
f
(2)，于是
f
(2)＜
f
(1)＜
f
(4)． ∴答案选B．
二、填空题
11．
x
≠3且
x
≠0且
x
≠－1．
?
x≠3，
2
解析：根据构成集合的元素的互异性，
x
满
足
?
－2x≠3，
?
x
?
x
2
－2x≠x．
?
解得
x
≠3且
x
≠0且
x
≠－1．
1
1
12．
a
＝
，
b
＝．
9<
br>3
解析：由题意知，方程
x
2
＋(
a
－1)
x
＋
b
＝0的两根相等且
x
＝
a
，则△＝(
a
－1)
2
－
1
1
4
b
＝0①，将x
＝
a
代入原方程得
a
2
＋(
a
－1
)
a
＋
b
＝0
②，由①②解得
a
＝，
b
＝．
9
3
13．1
760元．
解析：设水池底面的长为
x
m，水池的总造价为
y
元，由已知得水池底面面积为4
m
2
.
，
水池底面的宽为
4
m．
x
池底的造价
y
1
＝120×4＝480．
池壁的造价
y
2
＝(2×2
x
＋2×2×
416
)×80＝(
4
x
＋)×80．
xx
16
)×80，
x
水池的总造价为
y
＝
y
1
＋
y2
＝480＋(4
x
＋
即
y
＝480＋320(
x
＋
4
)
x
2<
br>?
?
?
2
?
?
x
－
＋4
?
． ＝480＋320
?
?
??
??
x
?
?
?
?
当
x
＝
2
x
，
即
x
＝2时，
y
有最小值为 480＋320×4=1 760元．
14．
f
(
x
)＝
x
2
－4x
＋3，
f
(
x
－2)＝
x
2
－8<
br>x
＋15．
2
－2解析：令
x
＋1＝
t
，
则
x
＝
t
－1，因此
f
(
t
)＝(
t
－1)(
t
－1)＝
t
2
－4
t
＋3
，即
f
(
x
)
＝
x
2
－4
x＋3．∴
f
(
x
－2)＝(
x
－2)
2
－4(
x
－2)＋3＝
x
2
－8
x
＋15．
15．(－∞，
1
)．
2
1
．
2
解析：由
y
=(2
a
－1)
x
＋5是
减函数，知2
a
－1＜0，
a
＜
16．
x
(1－<
br>x
3
)．
解析：任取
x
∈(－∞，0］，
有－
x
∈［0，＋∞)，
∴
f
(－
x
)＝－x
［1＋(－
x
)
3
］＝－
x
(1－
x
3
)，
∵
f
(
x
)是奇函数，∴
f
(－
x
)＝－
f
(
x
). ∴
f
(
x
)＝－
f
(－
x
)＝
x
(1－
x
3
)，
即当
x
∈(－∞，0］时，
f<
br>(
x
)的表达式为
x
(1－
x
3
)．
三、解答题
17．解：①∵
A
是空集，
∴方程
ax
2
－3
x
＋2＝0无实数根．
9
0,
?
a
≠
∴
?
解得
a
＞
．
8
0
，
?<
br>?＝9－8a
＜
②∵
A
中只有一个元素，
∴方程
ax
2
－3
x
＋2＝0只有一个实数根．
当
a
＝0时，方程化为－3
x
＋2＝0，只有一个实数根
x
＝
当
a
≠0时，令Δ＝9－8
a
＝0，得
a
＝个相等的实数根，即
A
中只有一个元素．
由以上可知
a
＝0，或
a
＝
2
；
39
，这时一元二次方程
ax
2
－3
x
＋2＝0有两8
9
时，
A
中只有一个元素．
8
③若
A中至多只有一个元素，则包括两种情形：
A
中有且仅有一个元素；
A
是空
集．由
①②的结果可得
a
＝0，或
a
≥
9
．
8
18．解：根据集合中元素的互异性，有
?
a?2a
?
a?
b
2
或
??
2
?
b?
b
?
b?2a
a＝0 a＝0
a＝
b＝
1
4
1
2
a＝
解得
b＝1
或
b＝0
或
a＝0
再根据集合中元素的互异性，得
或
b＝1
19．证明：设
x
1
，
x
2
∈R且
x
1
＜
x
2
，则
1
4
1
2
b＝
33
22
f
(x
1
)－
f
(
x
2
)＝
x
1
－
x
2
＝(
x
1
－
x
2
)(
x
1
＋
x
1
x
2
＋
x
2
)．
22
又
x
1
＋
x
1
x
2
＋
x
2
＝(
x
1
＋
13
2
x
2
)
2
＋
x
2
．
24
1
x
2
与
x
2
不会同时为0， 2
由
x
1
＜
x
2
得
x
1－
x
2
＜0，且
x
1
＋
否则
x
1
＝
x
2
＝0与
x
1
＜
x
2<
br>矛盾，
22
所以
x
1
＋
x
1
x
2
＋
x
2
＞0．
因此
f
(
x
1
)－
f
(
x2
)＜0，即
f
(
x
1
)＜
f
(x
2
)，
f
(
x
)＝
x
3
在 R上是增函数．
20．解：(1)∵ 函数定义域为{
x
|
x
∈R，且
x
≠0}，
f
(－
x)＝3(－
x
)
4
＋
(2)由
11
1
4
＋
4
＋＝3
x
＝
f
(
x
)，∴
f
(
x
)＝3
x
是偶函数．
2
x
2
x
2
（－x）
1＋x
?
(1＋x)(1－x)
≥0
≥0
?
?
解得－1≤
x
＜1．
1－x
1－x?0
?
1＋x
为非奇非
1－x
∴ 函
数定义域为
x
∈［－1，1)，不关于原点对称，∴
f
(
x
)＝(
x
－1)
偶函数．
1
＋
1－x
定义域为
x
＝1，
(3)
f
(
x
)＝
x－
∴
函数为
f
(
x
)＝0(
x
＝1)，定义域不关于原点对称，
1
＋
1－x
为非奇非偶函数． ∴
f
(
x
)＝
x－
(4)
f
(
x
)＝
x2
－1
＋
1－x
2
定义域为
x
2
－1≥ 0
1－x
2
≥
0
?
x
∈{±1}，
∴函数变形为
f
(
x
)＝0 (
x
＝±1)，∴<
br>f
(
x
)=
x
2
－1
＋
1－x2
既是奇函数又是偶函数．
高一数学必修1第二章单元测试题（A卷）
班级 姓名 分数
一、选择题：（每小题5分，共30分）。
1．若
a?0
，且
m,n
为整数，则下列各式中正确的是
（ ）
A、
a?a?a
x
mn
m
n
B、
a?a?a
mnm?n
C、
?
a
?
m
n
?a
m?n
D、
1?a
n
?a
0?n
2．指数函数y=a
的图像经过点（2，16）则a的值是 （
）
11
B． C．2 D．4
42
log
8
9
3．式子
的值为 (
)
log
2
3
23
（A）
（B）
（C）
2
（D）
3
32
x
4．已
知
f
(10)
?x
，则
f
?
100
?= （ ）
A．
A、100
B、
10
100
C、
lg10
D、2
5．
已知0＜a＜1，
log
a
m?
log
a
n?
0
，则（ ）．
A．1＜n＜m
B．1＜m＜n C．m＜n＜1 D．n＜m＜1
0.30.2
6．已知a
?
log
2
0.3
，
b?2
，
c?
0.3
，则
a,b,c
三者的大小关系是（ ）
A．
b?c?a
B．
b?a?c
C．
a?b?c
D．
c?b?a
二、填空题：请把答案填在题中横线上（每小题5分，共20分）.
7．若
log
x
4?2
，则
x?
.
8．
lgx?lg4?lg3,则
x
=.
9．函数
f(x)?lg(3x?2)?2
恒过定点。
10．已知
2
2x?7
?2
x?3
,
则
x
的取值范围为。
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(共50分).
11．（16分）计算：
（1）
log
3
63?2log
3
7
；
（2）
3
a
5
?
3
a
7
?a
6<
br>；
12．（16分）解不等式：（1）
(a
2
13．（18分）已知函数f
(
x
)=
log
a
(
x?
2)
,
若
f(
2）=1；
2
?1)
x?3
?(a
2
?1)
3x?1
（
a?0
）
(1) 求a的值；
（2）求
f(32)
的值；（3）解不等式
f(x)?f(x?2)
.
14．（附加题）已知函数
f
?
x
?
?
2
x
?
2
ax?b
，且
f
（1）＝
517
，
f
（2）＝．（1）求
a、b
；
24
（2）判断
f
（
x
）的奇偶性；（3）试判断函数在
(??,0]
上的
单调性，并证明；
高一数学必修1第二章单元测试题（B卷）
班级 姓名
分数
一、选择题：（每小题5分，共30分）。
1．函数
y
＝<
br>a
x
2
＋
log
a
(x?1)
＋1（
a
＞0，
a
≠1）的图象必经过点（ ）
－
A．（0，1） B．（1，1） C．（2，1） D．（2，2）
2．已知幂函数f ( x )过点（2，
（ ）
2
），则f
( 4 )的值为
2
A、
1
B、 1
C、2 D、8
2
22
3．计算
?<
br>lg2
?
?
?
lg5
?
?
2lg2
?
lg5
等于 （ ）
A、0
B、1 C、2 D、3
4．已知ab>0,下面的四个等式中，正确的是（ ）
A.
lg(ab)?lga?lgb
； B.
lg
a
1aa
?
lg
a?
lg
b
；
C．
lg()
2
?lg
；
D.
2bb
b
lg(ab)?
1
．
log
ab<
br>10
5．已知
a?log
3
2
，那么
log
3
8?2log
3
6
用
a
表示是（ ）
A、
5a?2
B、
a?2
C、
3a?(1?a)
2
D、
3a?a?1
2
6．函数
y
?2?log
2
x
（
x?1)<
br> 的值域为 （ ）
A、
?
2,??
?
B、
?
??,2
?
C、
?
2,??
?
D、
?
3,??
?
二、填空题：请把答案填在题中横线上（每小题5分，共20分）
7．已知函数
f(
x)?
?
(x?0)
?
log
3
x，
1
,
则f[f(
)]
的值为
x
2，(x?0)
9
?
8
．计算：
log
4
27?log
5
8?log
3
2
5
=
9．若
log
a
2
?
m,log
a
3
?
n
，则
a
3m?n
2
=
1
0．由于电子技术的飞速发展，计算机的成本不断降低，若每隔5年计算机的价格降低
问现在价格为81
00元的计算机经过15年后，价格应降为。
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(共50分).
1
?
16
60
（
3
2?3）?（22）?（4）
2
?
4
2?8
0.25
?（?2005）
11．（16分）计算：
49
4
3
1
，
3
?
2
?x
x?1
1
12．设函数
f(x)?
?
, 求满足
f(x)
=
的x的值．
4
?
log
4
xx?1
13.（18分）已知函数
f(x)
?
log
a
(a
x
?
1)
(a?
0且a?1)
，（1）求f(x)的定义
域；（2）讨论函数f(x)的增减性。
14．（附加题）已知
f
(
x
)
?
2
x
，
g(x)
是一次函数，并且点
(2,2)
在函数
f[g(x)]<
br>的图象
上，点
(2,5)
在函数
g[f(x)]
的图象上，求
g(x)
的解析式．
高一数学必修1第二章单元测试题（A卷）
参考答案
一、DDADAA
二、7．
2
； 8．
12
；
9．
（1，2）
； 10．
x<4
；
三、11
解
：（1）原式=
log
3
5
3
7
3
63?log<
br>3
(7)
2
?log
3
63?log
3
7?
log
3
6
57
??6
33
63
?log
3
9
=2
7
（2）原式=
a?a?a?a
12．
解：∵
a
?a
?2
?
1
2
a
?0
，
∴
a
2
?
1
?
1
∴
指数函数y=(
a
2
?1
)
x
在R上为增函数。
从而有
x?3?3x?1
解得
x?2
∴不等式的解集为：{
x|x?2}
13．
解：(1)
∵
f(
2）=1，∴
log
a
(2
2
?
2)
?
1
即
log
a
2?1
解锝 a=2
(2 ) 由（
1）得函数
f
(
x
)
?
lo
2
(
x
g
2
?
2)
，则
f(32)
=
log<
br>2
[(32)
2
?2]?log
2
16?4
22
（3）不等式
f(x)?f(x?2)
即为
log
2
(x?2)?log
2
[(x?2)?2]
化简不等式得
log
2
(
x?
2)
?
log
2
(
x?
4
x?
2)
22
∵函数
y?
log
2
x
在(0,
??
)上为增函数
，∴
x?2?x?4x?2
22
即 4
x??4
解得
x??1
所以不等式的解集为：（-1，+
?)
14．（附加题）解：（1）由已知得：
?
5
?2?2
a?b
?
?
a??1
?
2
，解得．
?
?
?
b?0
?
17
?4?2
2a?b
?
?
4
?x
??x
?2
??
?f
?
x
?
，所以
f
?
x
?
（2）由上知
f
?
x<
br>?
?2
x
?2
?x
．任取
x?R
，则
f
?
?x
?
?2
为偶函数．
（3）可知
f?
x
?
在
(??,0]
上应为减函数．下面证明：
任
取
x
1
、x
2
?(??,0]
，且
x
1<
br>?x
2
，则
f
?
x
1
?
?f?
x
2
?
?2
x
1
?2
?x
1
?2
x
2
?2
?x
2
?2
x
1
?2
x
2
?(
2
?
＝
而
x
1
???
1
?
??
11
?)
x
1
x
2
22
x
1
?2
x
2
??
2
x
1
x
2
2?1
22
x
1
x
2
?
，因为
x、x?(??,0]
，且x?x
，所以
0?2
212
?2
x
2
?1，从
2
x
1
?2
x
2
?0
，
2
x
1
2
x
2
?1?0
，
2
x<
br>1
2
x
2
?0
， 故
f
?
x
1
?
?f
?
x
2
?
?0
，由此得函数<
br>f
?
x
?
在
(??,0]
上为减函数
高一数学必修1第二章单元测试题（B卷）
参考
答案
一、DABCBC
二、7、
9
;
8、
1
26
; 9、
；10、
2400元;
4
3
1
3
1
2
6
1
2
1
4
4
3
13
7
3
4
三、
11、
解：
原式=
(2?3)?(2?2)?4??2?2
4
?1
=2
2
×3+2 — 7—
4
2— 1=100
12、解:当x∈(﹣∞，1)时，由
2
当x∈(1，+∞)时，由
log
4
x=
综上所述，x=
2
?x
=
1
，得x=2，但2
?
（﹣∞，1），舍去。
4
1
，得x=
2
，
2
∈(1，+∞)。
4
13.解:(1)a
x
?1?0
?a
x
?1
?当
a?1时,函数的定义域为{x|x?0}
当0?a?1时,函数的定义域为{x|x?0}
(
2)当a?1时,f(x)在(0,??)上递增;
当0?a?1时,f(x)在(??,0)上递增.
14．（附加题）解：
?
g(x)是一次函数
∴可设g(x)＝kx+b (k
?
0)
∴f
?
g(x)
?
=2
kx?b
g
?
f(x)
?
=k
?
2+b
x
2k?b
?
?2
?
2k?b?1
?
k?2
?
2
∴依题意得
?
即
?
∴
g(x)?2x?3
．
?
?
2
4k?b?5b??3<
br>k
?
2?b?5
?
??
?
数学必修1第三章测试题
班别 姓名 学号 考分
一、选择题:本大题共12
小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的.
1.
函数
y?log
x?1
(5?4
x
)
的定义域是（
）。
A.
(?1,0)
B.
(0,log
4
5)
C.
(?1,log
4
5)
D.
(?1,0)?(0,log
4
5)
2. 函数
y?log
a
(
x?
2)
?
1
的图象过定点（
）。
A.（1，2） B.（2，1） C.（-2，1） D.（-1，1）
3. 设
f(log
2
x)?2
x
(x?0)
，则
f(3)
的值为（ ）。
A. 128 B. 256 C.
512 D. 8
4.
5
log
5
(?a)
2
化简的结果是（ ）。
B.
a
2
A. –
a
C. |
a
| D.
a
5.
函数
y?
0.2
?x
?
1
的反函数是（ ）。
A.
y?log
5
x?1
C.
y?
log
x
5
?
1
B.
y?log
5
(x?1)
D.
y?log
5
x?1
6. 若
y?log
3a
2
?1
x
在（0，+∞）内为减函数，且
y?a
?x
为增函数，则
a
的取值范围是（ ）。
A.
(
3
,1)
3
B.
(0,
1
)
3
C.
(0,
3
)
3
D.
(
36
,)
33
7. 设
x?
0,且a
x
?b
x
?
1,
a
,
b?
0
，则
a
、
b
的大小关系是（ ）。
A.
b
＜
a
＜1 B.
a
＜
b
＜1
C. 1＜
b
＜
a
D. 1＜
a
＜
b
8. 下列函数中，值域为（0，+∞）的函数是（ ）。
A.
y?2
1
x
?
1
?
B.
y?
??
?
2
?
1?x
1
C.
y?()
x
?1
D.
y?1?2
x
2
9. 设偶函数
f(x)
在[0，π]上递减，下列三个数
a=
f(lg
系为（ )。
A.
a
＞
b
＞
c
B.
b
＞
a
＞
c
C.
b
＞
c
＞
a
1
?
2
?
),b?f(),c?f(?)
的关
10023
D.
c
＞
a
＞
b
10. 已知0＜
a
＜1，
b
＞1，且
ab
＞1，则下列不等式中成立的是（ ）。
A.
log
a
b?log
b
11
?log
a
bb
11
C.
log
a
b?log
a
?log
b
bb
11
?log
a
b?log
a
bb
11
D.
log
b
?log
a
?log
a
b
bb
B.
log
b
?
a,(a?b)
11.
定义运算
a?b
为：
a?b?
?
如
1?2?1
，
则函数
f(x)
?
2
x
?
2
?x
的值域为
?
b,(a?b),
（ ）。
A. R B.
（0，+∞） C. （0，1] D. [1，+∞）
12. 设
a
、
b
、
c
都是正数，且
3
a
?
4
b
?
6
c
，则以下正确的是（ ）。
A.
111
??
cab
B.
221
??
cab
C.
122
??
cab
D.
212
??
cab
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上.
?
8
5
?
1
3
13.
?
x3
x
?2
?
?
?
?
化成分数指数幂为。
?
?
14. 若不等式
log
a
(
x?
3
)
?
log
a
(
x?
2)
成立，则
x的取值范围是，
a
的取值范围是。
15.
已知
log
4m
(9m?2)?0
，则
m
的取值范围是。
16. 给出下列四种说法：
⑴ 函数
y?a
x
(a?0,a?1
)
与函数
y?log
a
a
x
(a?0,a?1)
的
定义域相同；
⑵ 函数
y?x
3
与y?3
x
的值域相同；
(1?2
x
)
2
11
与y?
⑶
函数
y??
x
均是奇函数；
2
2?1x?2
x
⑷
函数
y?(x?1)
2
与y?2x?1在(0,??)
上都是增函数。
其中正确说法的序号是。
三、解答题：本大题共6小题，共74分.
解答应写出文字的说明，证明过程或演算步骤.
17. 已知
f(x)?a
3x?5
，且
f(lga)?100
，求
a
的值。
18. 已知函
数
f
(
x
)
?
log
a
(
x?<
br>1)(
a?
0,
a?
1)
在区间[1，7]上的最大值比最小
值大
的值。
19. 已知指数函数
y?()
x
，当
x?(
0,??)
时，有
y?1
，解关于
x
的不等式
1
，
求
a
2
1
a
log
a
(x?1)?log
a
(x
2
?x?6)
。
20. 已知函数
f
(<
br>x
)
?
log
a
(1
?a
x
)(<
br>a?
0,
a?
1)
。
⑴
求
f(x)
的定义域；
⑵
当
a
＞1时，判断函数
f(x)
的单调性，并证明你的结论。
1?2
x
?4
x
a
(a?R)
，
21.
设
f(x)
?lg
若当
x?(??,1]
时，
f(x)有意义，求
a
的取值范围。
3
22.
某商品在最近100天内的价格
f(t)
与时间
t
的函数关系是：
?
1
t?22(0?t?40,t?N)
?
?
4
f(t)?
?
?
?
1
t?52(40?t?100,
t?N),
?
?
2
销售量
g(t)
与时间
t
的函数关系是：
g
(
t
) =
－
种商品的日销售额
S
(
t
)的最大值。
1109
t
+ (0≤
t
≤100 ,
t
∈
N
), 求这
33
参考答案
一、DDBCB DBBBA CB
?
5?4
x
?0
?
x?log
4
5
?
?
提示：1.
?
x?1?0?
?
x??1
故选D。
?
x?1?1,
?
x?0
?
?
2.
代入验证。
3. 设
log
2
x?3
，则
x?23
?8
，代入已知等式，得
f(3)?2
8
?256
。
4.
5
log
5
(?a)
2
?5
l
og
5
(?a)
2
?5
log
5
|a|
?
|a|
5. 由
y?
0.2
?x
?
1
?
?
1
，得
??
?
5
?
?x
?
y?1
即
5
x
?y?1
，两边取对数，得
x?log
5
(y?1)
，即
y?log
5
(x?1)
。
?
0?3a
2
?1?1
?
6.
解不等式组
?
1
即可。
?
?1,
?
a
7. 由指数函数的性质，得0＜
a＜1，0＜
b
＜1，又由幂函数
y?x
n
的性质知，当
n
＞0
时，它在第一象限内递增，故
a
＜
b
＜1。
1
x
8. 在
y?2
中
x?0
，∴
1
1
；而
?0,y?1
；在
y?()
x
?1中，值域为（-1，+∞）
2
x
。
y?1?2
x
的值域为[0，1）
9. 由题意知，
a?f(?2)
?f(2),b?f(),c?f(
2
?
)
，因为
f(x)
在[0，π]上递减，且
23
?
2
?
?
2
?
， 即
b
0??2??
?
， ∴
f()?f(2)?f()
2323
y
?
1
O x
＞
a
＞
c
。
10.
取
a?
1
,b?4
。
2
11. 由题意知，
a?
b
的结果为
a
、
b
中较小者，于是
f(x)
?2
x
?
2
?x
的图象就是
，故值域为（0，1]。
y?2
x
与y?2
?x
的图象的较小的部分（如图）
12.
设
3
a
?
4
b
?
6
c
?k
，则
k
＞0且
k
≠1，取对数得
a?log
3
k
,b?log
4
k,c?log
6
k
，
111
?
log
k
3,?log4?2log2,?
kk
abc
221
∴
??
。
cab
∴
log?6
kk
log?2
k
，
3log
?
二、13.
x
。提示：原式=
?
(x
?x
?
4
15
1
3
2
?
3
?)
?
?
1
2
?
8
5
?(x
?
14
?
35
)?x
。
4
15
14.
x?2,0?a?1
。提示：∵
x?3?x?2,
且
loga
(
x?
3)
?
log
a
(
x?2)
，
?
x?3?0
∴ 0＜
a
＜1。
由
?
，得
x?2
。
?
x?2?0
15.
(,
?
0?4m?1
?
4m?1
211
。
或
?
)?(,??)
。提示：解不等式组
?
0?9m?2?19m
?2?1
943
??
16. ⑴⑶。提示：⑴中两个函数的定义域都是R；⑵中两个函
数的值域分别是R与（0，+∞）；
⑶中两个函数均满足
f(?x)??f(x)
，是
奇函数；⑷中函数
y?(x?1)
2
在
(0,??)
不
是增
函数。
三、17. 解：因为
f(lga)?a
3lga?5
?100，两边取对数，得
lga(3lga?5)?2
，
所以
3(lga)<
br>2
?5lga?2?0
，解得
lga??或lga?2
，
即
a?10
?
1
3
1
3
或a?100
。
18. 解：若
a
＞1，则
f
(
x
)
?<
br>log
a
(
x?
1)(
a?
0,
a?
1)
在区间[1，7]上的最大值为
log
a
8
，
最小值
为
log
a
2
，依题意，有
log
a
8?log<
br>a
2?
1
，解得
a
= 16；
2
在区间
[1，7]上的最小值为
log
a
8
，
x
)og(l
?
若0＜
a
＜1，则
f
(1)
x
(
?
0,
a
1)
?a?
a
最大值为
lo
g
a
2
，依题意，有
log
a
2?log
a
8?
11
，解得
a
=。
216
综上，得
a
= 16或
a
=
1
。
16
1
?1,即0?a?1
。
a
19. 解：∵
y?()
x
在
x?(0,??)
时，有
y?1
，
∴
2
1
a
2
?
?
x?1?x?x?6
于是由
log
a
(x?1)?log
a
(x?x?6)
，得
?
2
，
x?x?6?0
?
?
解得
2?x?5
， ∴
不等式的解集为
{x|2?x?5}
。
20. 解：⑴ 由
1
?a
x
?
0
，得
a
x
?1
。
当a
＞1时，解不等式
a
x
?1
，得
x?0
；
当0＜
a
＜1时，解不等式
a
x
?1
，得
x?0
。
∴ 当
a
＞1时，
f(x)
的定义域为
{x|x?0}
；当0＜
a
＜1时，
f(x)
的定义域为
{x|x?0}
。
⑵
当
a
＞1时，
f(x)
在（-∞，0）上是减函数，证明如下：
设
x
1
,x
2
是（-∞，0）内的任意两个数，且
x
1
?x
2
，则
1?a
x
1
f(x
1<
br>)
-
f(x
2
)
=
log
a
(1?
a)?log
a
(1?a)?log
a
，
x
2
1?a
x
1
x
2
∵
a
＞1，
x
1
?x
2
?0
， ∴
0?a
x
1
?a
x
2
?1
， ∴
1?a
x
1
?1?a
x
2
?0
。
1?a
x
1
?1,
从而
1?a
x
2
1?
a
x
1
log
a
?0
，即
f(x
1
)
＞
f(x
2
)
.
1?a
x
2
∴当
a
＞1时，
f(x)
在（-∞，0）上递减。
1?2
x
?4
x
a
?0
，
x?(??,1]
，
21. 解：根据题意，有
3
1
??
1
即
a??
?
()
x
?()
x
?
，
x?(??
,1]
，
2
??
4
11
42
11
∴?[()
x
?()
x
]
在
(??,1]
上也是
增函数，
42
113
∴
它在
x?1
时取最大值为
?(?)??
，
424
∵
?()
x
与?()
x
在
(??,1]
上都是增函数，
1
?
3
?
1
即
?
?
()
x
?()
x
?
??
，
2
?
4
?
4
∴
a??
。
22. 解：因为
S(t)?f(t)?g(t)
，所以
⑴ 当0?t?40时,S(t)?(t?22)(?t?
当
t?10或11时,S
ma
x
?808.5
；
⑵
当40?t?100时,S(t)?(?t?
52)(?t?
3
4
1
4
1
3
1091
从
而可知
)，即S(t)??(t?88)(t?109)
，
312
1
2
1
3
1091
)?(t?104)(t?109)
，当
t
= 40时，
36
S
max
?736?808.5
。
综上可得，
当0?t?100时,S
max
?808.5
。
答：在最近的100天内，这种商品的日销售额的最大值为808.5。
第一章 空间几何体
一、选择题
1．有一个几何体的三视图如下图所示，这个几何体可能是一个( )．
主视图 左视图
俯视图
(第1题)
A．棱台 B．棱锥 C．棱柱 D．正八面体 <
br>2．如果一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45°，腰和上底均为
1
的等腰梯形，那么原平面图形的面积是( )．
A．2＋
2
B．
1＋2
2
C．
2＋2
2
D．
1＋2
3．棱长都是
1
的三棱锥的表面积为( )．
A．
3
3
B．2
3
C．3
3
D．4
4．长方体的一个顶点上
三条棱长分别是3，4，5，且它的8个顶点都在同一球面上，
则这个球的表面积是( )．
A．25π
对
5．正方体的棱长和外接球的半径之比为( )．
A．
3
∶1 B．
3
∶2 C．2∶
3
D．
3
∶3
B．50π C．125π D．都不
6．在
△
ABC
中，
AB
＝2，
BC
＝1.5，∠
ABC
＝120°，若使△
ABC
绕直线
BC
旋
转一周，则所形成
的几何体的体积是( )．
A．
9
π
2
B．
7
π
2
C．
5
π
2
D．
3
π
2
7．若底面是菱形的棱柱其侧棱垂直于底面，且侧棱长为5，它
的对角线的长分别是9
和15，则这个棱柱的侧面积是( )．
A．130
B．140 C．150 D．160
8．如图，在多面体
ABCDEF
中，已知平面
ABCD
是边长为3的正方形，
EF
∥
AB
，
3
EF
＝
，且
EF
与平面
ABCD
的距
离为2，则该多面体的体积为( )．
2
(第8题)
9
B．5 C．6
2
9．下列关于用斜二测画法画直观图的说法中，错误
的是( )．
．．
A．
A．用斜二测画法画出的直观图是在平行投影下画出的空间图形
D．
15
2
B．几何体的直观图的长、宽、高与其几何体的长、宽、高的比例相同
C．水平放置的矩形的直观图是平行四边形
D．水平放置的圆的直观图是椭圆
10．如图是一个物体的三视图，则此物体的直观图是( )．
(第10题)
二、填空题
11．一个棱柱至少有______个面，面数最少的一
个棱锥有________个顶点，顶点最少的
一个棱台有________条侧棱．
12．若三个球的表面积之比是1∶2∶3，则它们的体积之比是_____________． 13．正方体
ABCD
－
A
1
B
1
C
1
D
1
中，
O
是上底面
ABCD
的中心，若正方
体的棱长
为
a
，则三棱锥
O
－
AB
1
D<
br>1
的体积为_____________．
14．如图，
E
，
F
分别为正方体的面
ADD
1
A
1
、面
BCC<
br>1
B
1
的中心，则四边形
BFD
1
E
在该正
方体的面上的射影可能是___________．
(第14题)
15．已知一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是
2
、
3
、<
br>6
，则这个长方体
的对角线长是___________，它的体积为________
___．
16．一个直径为32厘米的圆柱形水桶中放入一个铁球，球全部没入水中后，水面升
高9厘米则此球的半径为_________厘米．
三、解答题
17．有一个正四棱台形状的油槽，可以装油190 L，假如它的两底面边长分别等于
60
cm和40 cm，求它的深度．
18 *．
已知半球内有一个内接正方体，求这个半球的体积与正方体的体积之比．[提示：
过正方体的对角面作截
面]
19．如图，在四
边形
ABCD
中，∠
DAB
＝90°，∠
ADC
＝135°
，
AB
＝5，
CD
＝
2
2
，
AD
＝2，求四边形
ABCD
绕
AD
旋转一周所成几何体的表面积
及体积．
(第19题)
2
0．养路处建造圆锥形仓库用于贮藏食盐(供融化高速公路上的积雪之用)，已建的仓
库的底面直径为1
2 m，高4 m，养路处拟建一个更大的圆锥形仓库，以存放更多食盐，
现有两种方案：一是新建的仓
库的底面直径比原来大4 m(高不变)；二是高度增加4 m(底
面直径不变)．
(1)分别计算按这两种方案所建的仓库的体积；
(2)分别计算按这两种方案所建的仓库的表面积；
(3)哪个方案更经济些？
第一章 空间几何体
参考答案
A组
一、选择题
1．A
解析：从俯视图来看，上、下底面都是正方形，但是大小不一样，可以判断可能是棱台．
2．A
解析：原图形为一直角梯形，其面积
S
＝
3．A
解析：因为四个面是全等的正三角形，则
S
表面
＝4×
4．B
解析：长方体的对角线是球的直径，
3
＝
3
．
4
1
(1＋
2
＋1)×2＝2＋
2
．
2
l
＝
3
2
＋4
2
＋5
2
＝52
，2
R
＝5
2
，
R
＝
5．C
解析：正方体的对角线是外接球的直径．
6．D
52
，
S
＝4π
R
2
＝50π．
23
1
解析：
V
＝
V
大
－
V
小
＝
π
r
2
(1＋1.5－1)＝π．
2
3
7．D
2
解析：设底面边长是
a
，底面的两
条对角线分别为
l
1
，
l
2
，而
l
12
＝15
2
－5
2
，
l
2
＝9
2
－5
2
，
2
而
l
1
2
＋<
br>l
2
＝4
a
2
，即15
2
－5
2<
br>＋9
2
－5
2
＝4
a
2
，
a
＝8，
S
侧面
＝4×8×5＝160．
8．D
解析：过点
E
，
F
作底面的垂面，得两个体积相等的四棱锥和一个三棱柱，
1315
1
3
V
＝2×××3×2＋×3×2×
＝．
222
3
4
9．B
解析：斜二测画法的规则中，已知图形中平行于
x
轴的线段，在直观图中保持原长度
不变；平行于
y
轴的线段，长度为原来的一半．平行于
z
轴的线段的平行性和长度都不
变．
10．D
解析：从三视图看底面为圆，且为组合体，所以选D.
二、填空题
11．参考答案：5，4，3．
解析：符合条件的几何体分别是：三棱柱，三棱锥，三棱台．
12．参考答案：1∶2
2
∶3
3
．
r
1
∶
r
2
∶
r
3
＝1∶
2
∶
3<
br>，
r
1
3
∶
r
2
3
∶
r<
br>3
3
＝1
3
∶(
2
)
3
∶(
3
)
3
＝1∶2
2
∶3
3
．
1
13．参考答案：
a
3
．
6
解析：画出正方体
，平面
AB
1
D
1
与对角线
A
1
C
的交点是对角线的三等分点，
三棱锥
O
－
AB
1
D1
的高
h
＝
333
1
11
a
，
V
＝
Sh
＝××2
a
2
×
a
＝
a
3
．
33
6
33
4
另法：三棱锥
O<
br>－
AB
1
D
1
也可以看成三棱锥
A
－
OB
1
D
1
，它的高为
AO
，等腰三角形
OB<
br>1
D
1
为底面．
14．参考答案：平行四边形或线段．
15．参考答案：
6
，
6
．
解析：设
ab
＝
2
，
bc
＝
3
，
ac
＝
6<
br>，则
V
=
abc
＝
6
，
c
＝<
br>3
，
a
＝
2
，
b
＝
1，
l
＝
3＋2＋1
＝
6
．
16．参考答案：12．
解析：
V
＝
Sh
＝π
r
2
h
＝
三、解答题
17．参考答案：
4
π
R
3<
br>，
R
＝
3
64×27
＝12．
3
3×19
0000
3V
1
V
＝(
S
＋
SS
′
＋
S
)
h
，
h
＝
＝＝75．
3
S＋SS
′
＋S
′
3600＋2400＋1600
18．参考答案：
如图是过正方体对角面作的截面．设半球的半径为
R<
br>，正方体的棱长为
a
，则
CC'
＝
a
，
OC
＝
2
a
，
OC'
＝
R
．
2
A'
C'
A
O
(第18题)
C
在Rt
△
C'CO
中，由勾股定理，得
CC'
2
＋
OC
2
＝
OC'
2
，
即
a
2
＋(
∴
R
＝
2
a
)
2
＝
R
2
．
2
66
a
，∴
V<
br>半球
＝π
a
3
，
V
正方体
＝
a3
．
22
∴
V
半球
∶
V
正方体
＝
6
π∶2．
19．参考答案： <
br>S
表面
＝
S
下底面
＋
S
台侧面
＋<
br>S
锥侧面
＝π×5
2
＋π×(2＋5)×5＋π×2×2
2
＝(60＋4
2
)π．
V
＝
V
台
－
V
锥
11
＝
π(
r
1
2
＋
r
1
r<
br>2
＋
r
2
2
)
h
－
π
r<
br>2
h
1
33
＝
148
π．
3
20．
解：(1) 参考答案：如果按方案一，仓库的底面直径变成16
m，则仓库的体积
16256
11
V
1
＝
Sh
＝
×π×()
2
×4＝π(m
3
)．
23
33
如果按方案二，仓库的高变成8 m，则仓库的体积
288
12
11
V
2
＝
Sh
＝×π×()
2
×
8＝π(m
3
)．
2
33
3
(2)
参考答案：如果按方案一，仓库的底面直径变成16 m，半径为8 m．
棱锥的母线长为
l
＝
8
2
＋4
2
＝4
5
，
仓库的
表面积
S
1
＝π×8×4
5
＝32
5
π(m
2
)．
如果按方案二，仓库的高变成8 m．
棱锥的母线长为
l
＝
8
2
＋6
2
＝10，
仓库的表面积
S
2
＝π×6×10＝60π(m
2
)．
(3) 参考答案：∵
V
2
＞
V
1
，
S<
br>2
＜
S
1
，∴方案二比方案一更加经济些．
第二章 点、直线、平面之间的位置关系
A组
一、选择题
1．设?，?
为两个不同的平面，
l
，
m
为两条不同的直线，且
l
??，
m
?
?
，有如
下的两个命题：①若??∥?，则
l
∥
m
；②若
l
⊥
m
，则??⊥?．那么(
)．
A．①是真命题，②是假命题 B．①是假命题，②是真命题
C．①②都是真命题 D．①②都是假命题
2．如图，
ABCD<
br>－
A
1
B
1
C
1
D
1
为正
方体，下面结论错误
的是( )．
．．
A．
BD
∥平面
CB
1
D
1
B．
AC
1
⊥
BD
C．
AC
1
⊥平面
CB
1
D
1
D．异面直线
AD
与
CB
1
角为60°
3．关于直线
m
，
n
与平面??，?，有下列四个命题：
①
m
∥?，
n
∥??且??∥?，则
m
∥
n
； ②
m
⊥?，
n
⊥??且??⊥?，则
(第2题)
m
⊥
n
；
③
m
⊥?，
n
∥??
且??∥?，则
m
⊥
n
； ④
m
∥?，
n
⊥??且??⊥?，则
m
∥
n．
其中真命题的序号是(
)．
A．①② B．③④ C．①④ D．②③
4．给出下列四个命题：
①垂直于同一直线的两条直线互相平行
②垂直于同一平面的两个平面互相平行
③若直线
l
1
，
l
2
与同一平面所成的角相等，则
l
1
，
l
2
互相平行
④若直线
l
1
，
l
2
是异面直线，则
与
l
1
，
l
2
都相交的两条直线是异面直线
其中假命题的个数是( )．
．
A．1 B．2 C．3
D．4
5．下列命题中正确的个数是( )．
①若直线
l
上有无数个点不在平面??内?，则
l
∥?
②若直线
l
与平面??平?行，则
l
与平面??内?的任意一条 直线都平行
③如果两条平行直线中的一条直线与一个平面平行，那么另一条直线也与这个平面平行
④若直线
l
与平面??平?行，则
l
与平面??内?的任意一条直线 都没有公共点
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
6． 两直线
l
1
与
l
2
异面，过
l
1
作平面与
l
2
平行，这样的平面( )．
A．不存在 B．有唯一的一个 C．有无数个 D．只有两个
7．把正方形
ABCD
沿对 角线
AC
折起，当以
A
，
B
，
C
，
D
四点为顶点的三棱锥体
积最大时，直线
BD
和平面
ABC
所成的角的大小为( )．
A．90° B．60° C．45° D．30°
8．下列说法中不正确的
是( )．
．．．．
A．空间中，一组对边平行且相等的四边形一定是平行四边形
B．同一平面的两条垂线一定共面
C．过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直，且这些直线都在同一个平面内
D．过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直
9．给出以下四个命题：
①如果 一条直线和一个平面平行，经过这条直线的一个平面和这个平面相交，那么这条
直线和交线平行
②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面
③如果两条直线都平行于一个平面，那么这两条直线互相平行
④如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么些两个平面互相垂直
其中真命题的个数是( )．
A．4 B．3 C．2 D．1
10．异面直线
a
，
b
所成的角60°，直
线
a
⊥
c
，则直线
b
与
c
所成的角的范围
为( )．
A．[30°，90°] B．[60°，90°]
C．[30°，60°]
120°]
二、填空题
11．已知三棱锥
P
－ABC
的三条侧棱
PA
，
PB
，
PC
两两相互垂
直，且三个侧面的
面积分别为
S
1
，
S
2
，
S
3
，则这个三棱锥的体积为．
12．
P
是△
ABC
所在平面???外一点，过
P
作
PO
⊥平面??，垂足是
O
，连
PA
，
D．[
30°，
PB
，
PC
．
(1)若
PA
＝
PB
＝
PC
，则
O
为△
ABC
的心；
(
2)
PA
⊥
PB
，
PA
⊥
PC
，
PC
⊥
PB
，则
O
是△
ABC
的心；
(
3)若点
P
到三边
AB
，
BC
，
CA
的距
离相等，则
O
是△
ABC
的心；
(4)若
PA
＝
PB
＝
PC
，∠
C
＝90?，则
O
是AB
边的点；
(5)若
PA
＝
PB
＝
PC<
br>，
AB
＝
AC
，则点
O
在△
ABC
的线上．
13．如图，在正三角形
ABC
中，
D
，
E，
F
分别为各
边的中点，
G
，
H
，
I
，
J
分别为
AF
，
AD
，
BE
，
DE
的中
点，将△
ABC
沿
DE
，
EF<
br>，
DF
折成三棱锥以后，
GH
与
(第13题)
J
IJ
所成角的度数为．
14．直线
l<
br>与平面??所成角为30°，
l
∩?＝
A
，直线
m
∈
?，则
m
与
l
所成角的
取值范围
是．
<
br>15．棱长为1的正四面体内有一点
P
，由点
P
向各面引垂线，垂线段
长度分别为
d
1
，
d
2
，
d
3
，
d
4
，则
d
1
＋
d
2
＋
d
3
＋
d
4
的值为．
16．直二面角??－
l<
br>－??的棱上有一点
A
，在平面??，??内各有一条射线
AB
，AC
与
l
成45°，
AB
?
?，
AC
?
?，则∠
BAC
＝．
三、解答题
17．在四面体
AB
CD
中，△
ABC
与△
DBC
都是边长为4的正三角形．
(1)求证：
BC
⊥
AD
；
(2)若点
D
到平面
ABC
的距离等于3，求二面角
A
－
BC
－
D
的正弦值；
(3)设二面角
A
－
BC
－
D<
br>的大小为?，猜想??为
何值时，四面体
A
－
BCD
的体积最
大．(不要求证明)
(第17题)
18． 如图，在长方体
ABCD
—
A
1B
1
C
1
D
1
中，
AB
＝2，
BB
1
＝
BC
＝1，
E
为
D
1
C
1
的中点，连结
ED
，
EC
，
EB
和<
br>DB
．
(1)求证：平面
EDB
⊥平面
EBC
；
(2)求二面角
E
－
DB
－
C
的正切值.
19*．如图，在底面是直角梯形的四棱锥
Ｓ
－ABCD
中，
AD
∥
BC
，∠
ABC
＝90°
，
(第18题)
1
SA
⊥面
ABCD
，
SA
＝
AB
＝
BC
＝１，
AD
＝
．
2
(1)求四棱锥
S
—
ABCD
的体积；?
(2)求面
SCD
与面
SBA
所成的二面角的正切值．
(提示：延长
BA
，
CD
相交于点
E
，则直线
SE
是
所求二面角的棱.)
(第19题)
20*．斜三棱柱的一个侧面的面积为10，这个
侧面与它所对棱的距离等于6，求这个
棱柱的体积．(提示：在
AA
1
上取
一点
P
，过
P
作棱柱的截面，使
AA
1
垂直于这个
截面.)
(第20题)
第二章
点、直线、平面之间的位置关系
参考答案
A组
一、选择题
1．D
解析：命题②有反例，如图中平面??∩平面??＝直线
n
，
l
?
?，
m
?
?，
且
l
∥n
，
m
⊥
n
，则
m
⊥
l
，显
然平面???不垂直平面?，
????????????
(
?
第1
?
题
?
)
???
故②是假命题；命题①显然也是假命题，
2．D
解析：异面直线
AD
与
CB
1
角为45°．
3．D
解析：在①、④的条件下，
m
，
n
的位置关系不确定．
4．D
解析：利用特殊图形正方体我们不难发现①②③④均不正确，故选择答案D．
5．B
解析：学会用长方体模型分析问题，
A
1
A
有无数
点在
平面
ABCD
外，但
AA
1
与平面
ABCD<
br>相交，①不正确；
A
1
B
1
∥平面
ABCD
，显然
A
1
B
1
不平行于
BD
，②不正确；
A
1
B
1
∥
AB
，
A
1
B1
∥平面
ABCD
，但
AB
?
平面
ABCD<
br>内，③不正确；
l
与平面α平行，则
l
与??无?公共点，
l
与平面??内?的所有直线都
没有公共点，④正确，应选B．
(第5题)
6．B
解析：设平面
??过
l
1
，且
l
2
∥?，则
l
1
上一定点
P
与
l
2
确定一平面 ??，
??与
??的交线
l
3
∥
l
2
，且
l
3
过点
P
. 又过点
P
与
l
2
平行的直线只有一条，即
l
3
有唯一性，所以经过
l
1
和
l
3
的平面是唯一的，即过
l
1
且平行于
l
2
的平面是唯一的.
7．C
解析：当三棱锥
D
－
ABC
体积最大时，平面DAC
⊥
ABC
，取
AC
的中点
O
，则△DBO
是等腰直角三角形，即∠
DBO
＝45°．
8．D
解
析：A．一组对边平行就决定了共面；B．同一平面的两条垂线互相平行，因而共面；
C．这些直线都在
同一个平面内即直线的垂面；D．把书本的书脊垂直放在桌上就明确了．
9．B
解析：因为①②④正确，故选B．
10．A
解析：异面直线
a
，
b
所成的角为60°，直线
c
⊥
a
，过空间任一点
P
，作直线
a
’∥
a
，
b
’∥
b
，
c
’∥
c
.
若
a
’，
b
’，
c
’ 共面则
b
’ 与
c
’ 成 30° 角，否则
b
’与
c
’所成的角的范
围为(30°，90°]，所以直线
b
与
c
所成角的范围为[30°
，90°] ．
二、填空题
11．
1
3
2S
1
S
2
S
3
．
解析：设三条侧棱长为
a
，
b
，
c
．
则
111
ab
＝
S
1
，
bc
＝
S<
br>2
，
ca
＝
S
3
三式相乘：
222
∴
1
222
a b
c
＝
S
1
S
2
S
3
，
8
∴
abc＝
2
2S
1
S
2
S
3
．
∵ 三侧棱两两垂直，
1
11
∴
V＝
abc
·
＝
2
33
2S
1
S
2
S
3
．
12．外，垂，内，中，
BC
边的垂直平分．
解析：(1)由三角形全等可证得
O
为△
ABC
的外心；
(2)由直线和平面垂直的判定定理可证得，
O
为△
ABC
的垂心；
(3)由直线和平面垂直的判定定理可证得，
O
为△
ABC
的内心；
(4)由三角形全等可证得，
O
为
AB
边的中点；
(5)由(1)知，
O
在
BC
边的垂直平分线上，或说
O
在∠
BAC
的平分线上．
13．60°．
解析：将△
ABC
沿
DE
，
EF
，
DF
折成三棱锥以后，
GH
与
I
J
所成角的度数为60°．
14．[30°，90°]．
解析：直线
l<
br>与平面??所?成的30°的角为
m
与
l
所成角的最小值，当
m
在???
内适当旋转就可以得到
l
⊥
m
，即
m<
br>与
l
所成角的的最大值为90°．
15．
6
．
3
1
?
3
×(
d
1
＋
d
2
＋
d
3
＋
d
4
)＝
1
?
3
·
h
，而
h
＝
6
．
34343
解析：作等积变换：
16．60°或120°．
解析：不妨固定
AB
，则
AC
有两种可能．
三、解答题
17．证明：(1)取
BC
中点
O
，连结
AO
，<
br>DO
．
∵△
ABC
，△
BCD
都是边长为4的正三角形，
∴AO
⊥
BC
，
DO
⊥
BC
，且
AO<
br>∩
DO
＝
O，
∴
BC
⊥平面
AOD
．又
AD
?
平面
AOD
，
∴
BC
⊥
AD
．
(第17题)
解：(2)由(1)知∠
AOD
为二面角
A
－
BC
－
D
的平面角，设∠
AOD
＝?，则过点<
br>D
作
DE
⊥
AD
，垂足为
E
．
∵
BC
⊥平面
ADO
，且
BC
?
平面
ABC
，
∴平面
ADO
⊥平面
ABC
．又平面
ADO<
br>∩平面
ABC
＝
AO
，
∴
DE
⊥平面
ABC
．
∴线段
DE
的长
为点
D
到平面
ABC
的距离，即
DE
＝3．
又
DO
＝
3
BD
＝2
3
，
2
3
DE
＝，
2
DO
3
．
2
在Rt△
DEO
中，sin?＝
故二面角
A
－
B
C
－
D
的正弦值为
(3)当
?＝90°时，四面体
ABCD
的体积最大．
18．证明：(1)在长方体
ABCD
－
A
1
B
1
C
1
D
1<
br>中，
AB
＝2，
BB
1
＝
BC
＝1，
E
为
D
1
C
1
的中点．∴△
DD
1E
为等腰直角三角形，∠
D
1
ED
＝45°．同理∠
C
1
EC
＝45°．∴
?DEC?90?
，即
DE
⊥
EC
．
在长方体
ABCD
－
A
1
B1
C
1
D
1
中，
BC
⊥平面
D
1
DCC
1
，又
DE
?
平面
D
1
DCC
1
，
∴
BC
⊥
DE
．又
EC?
BC?C
，∴
DE
⊥平面
EBC
．∵平面
DEB
过
DE
，∴平面
DEB
⊥
平面
EBC
．
(2)解：如图，过
E
在平面
D
1
DCC
1
中作<
br>EO
⊥
DC
于
O
．在长方体
ABCD
－A
1
B
1
C
1
D
1
中，∵面ABCD
⊥
面
D
1
DCC
1
，∴
EO
⊥面
ABCD
．过
O
在平面DBC中
作
OF
⊥
DB于
F
，连结
EF
，∴
EF
⊥
BD
．∠
EFO
为二
面角
E
－
DB
－
C
的平面角．利用平面几何知识可得
OF
＝
又
OE
＝1，
所以，tan
?
EFO
＝
5
．
1
，
(第18题)
5
1
1
2
?
1＝
3
，
19*．
解：(1)直角梯形
ABCD
的面积是
M
底面
＝
(BC＋A
D)?AB
＝
24
2
1＋
11
31
∴四棱锥
S—ABCD
的体积是
V
＝
·
SA
·
M
底面
＝×1×
＝．
44
33
(2)如图，延长
BA
，
CD
相交于点
E
，连结
SE
，则
SE
是所求二面角的棱．
∵
AD
∥
BC
，
BC
＝2
AD
，
∴
EA＝AB＝SA
，∴
SE
⊥
SB
∵
SA
⊥面
ABCD
，得面
SEB
⊥面
EBC
，
EB
是交线．
又
BC
⊥
EB
，∴
B
C
⊥面
SEB
，故
SB
是
SC
在面
SEB
上的射影，?
∴
CS
⊥
SE
，∠
BSC
是所求二面角的平面角．
∵
SB
＝
SA
2
＋AB
2
＝
2<
br>，
BC
＝1，
BC
⊥
SB
，
∴tan∠
BSC
＝
BC2
＝
，
SB2
(第19题)
即所求二面角的正切值为
2
．
2
20*．解：如图，设斜三棱柱
ABC
—
A
1
B
1
C
1
的侧面
BB
1
C
1
C
的面积为10，
A
1
A
和面
BB
1
C
1
C
的距离为6，在
AA
1
上取一点
P
作截面
PQR
，使
AA
1
⊥截面
PQR
，
AA
1
∥CC
1
，∴截面
PQR
⊥侧面
BB
1
C
1C
，过
P
作
PO
⊥
QR
(第20题)
于
O
，则
PO
⊥侧面
BB
1
C
1
C
，且
PO
＝6．
∴
V
斜
＝
S
△
PQR
·
AA1
＝
＝
1
·
QR
·
PO
·
A
A
1
2
1
·
PO
·
QR
·
BB
1
2
＝
1
×10×6
2
＝30．
第三章 直线与方程
A组
一、选择题
1．若直线
x
＝1的倾斜角为?，则??( )．
A．等于0
B．等于? C．等于
?
2
D．不存在
2．图中的直线
l
1
，
l
2
，
l
3
的斜率分别为
k
1
，
k
2
，
k
3
，则(
)．
A．
k
1
＜
k
2
＜
k
3
B．
k
3
＜
k
1
＜
k
2
D．
k
1
＜
k
3
＜
k
2
C．
k
3
＜
k
2
＜
k
1
(第2题)
3．已知直线
l
1
经过两点(－
1，－2)、(－1，4)，直线
l
2
经过两点(2，1)、(
x
，
6)，
且
l
1
∥
l
2
，则
x
＝(
)．
A．2 B．－2 C．4 D．1
4．已知直线
l与过点
M
(－
3
，
2
)，
N
(
2
，－
3
)的直线垂直，则直线
l
的倾斜
角是(
)．
A．
?
3
B．
2?
3
C．
?
4
D．
3?
4
5．如果
AC
＜0，且
BC
＜0，那么直线
Ax＋
By
＋
C
＝0不通过( )．
A．第一象限
B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
6．设
A
，
B是
x
轴上的两点，点
P
的横坐标为2，且|
PA
|＝|
PB
|，若直线
PA
的方
程为
x
－
y
＋1＝0，则直线
PB
的方程是( )．
A．
x
＋
y
－5＝0
C．2
y
－
x
－4＝0
B．2
x
－
y
－1＝0
D．2
x
＋
y
－7＝0
7．过两直线
l
1
：
x
－3
y
＋4＝0和
l
2
：2
x＋
y
＋5＝0的交点和原点的直线方程为
( )．
A．19
x
－9
y
＝0
B．9
x
＋19
y
＝0
D．3
x
＋19
y
＝0
C．19
x
－3
y
＝ 0
8．直线
l
1：
x
＋
a
2
y
＋6＝0和直线
l
2
: (
a
－2)
x
＋3
ay
＋2
a
＝0没有公共点，则
a
的值
是( )．
A．3
B．－3 C．1 D．－1
9．将直线
l
沿
y
轴的
负方向平移
a
(
a
＞0)个单位，再沿
x
轴正方向平移a
＋1个单位
得直线
l'
，此时直线
l'
与
l
重合，则直线
l'
的斜率为( )．
A．
a
a＋1
B．
－
a
a＋1
C．
a＋1
a
D．
－
a＋1
a<
br>10．点(4，0)关于直线5
x
＋4
y
＋21＝0的对称点是(
)．
A．(－6，8)
二、填空题
11．已知直线
l
1
的倾斜角 ?
1
＝15°，直线
l
1
与
l
2
的交点为
A
，把直线
l2
绕着点
A
按逆时针方向旋转到和直线
l
1
重合时所转
的最小正角为60°，则直线
l
2
的斜率
k
2
的值为． <
br>12．若三点
A
(－2，3)，
B
(3，－2)，
C
(
B．(－8，－6) C．(6，8) D．(－6，－8)
1
，
m
)共线，则
m
的值为．
2
13．
已知长方形
ABCD
的三个顶点的坐标分别为
A
(0，1)，
B(1，0)，
C
(3，2)，
求第四个顶点
D
的坐标为．
14．求直线3
x
＋
ay
＝1的斜率．
1
5．已知点
A
(－2，1)，
B
(1，－2)，直线
y
＝2
上一点
P
，使|
AP
|＝|
BP
|，则
P
点坐标为．
16．与直线2
x
＋3
y
＋5＝0平行，且在两坐标轴
上截距的和为6的直线方程
是 ．
17．若一束光线沿着直线
x－2
y
＋5＝0射到
x
轴上一点，经
x
轴反射后其反射
线所
在直线的方程是．
三、解答题
18．设直线
l
的方程为(<
br>m
2
－2
m
－3)
x
＋(2
m
2<
br>＋
m
－1)
y
＝2
m
－6(
m
∈R
，
m
≠－
1)，根据下列条件分别求
m
的值：
①
l
在
x
轴上的截距是－3；
19．已知△
ABC
的三顶点是
A
(－1，－
1)，
B
(3，1)，
C
(1，6)．直线
l
平行于
AB
，
交
AC
，
BC
分别于
E
，
F
，△
CEF
的面积是△
CAB
面积的
(第19题)
②斜率为1．
1
．求直线
l
的方程．
4
<
br>20．一直线被两直线
l
1
：4
x
＋
y
＋6
＝0，
l
2
：3
x
－5
y
－6＝0截得的线段的中
点恰
好是坐标原点，求该直线方程．
.
21．直线
l
过点(1，2)和第一、二、四象限，若直线
l<
br>的横截距与纵截距之和为6，
求直线
l
的方程．
第三章 直线与方程
参考答案
A组
一、选择题
1．C
解析：直线
x
＝1垂直于
x
轴，其倾斜角为90°．
2．D
解析：直线
l
1
的倾斜角??故
k
1＜0；直线
l
2
与
l
3
的倾斜角???
3 <
br>均
1
是钝角，
2
，
为锐角且?
2
＞?
3
，所以
k
2
＞
k
3
＞0，因此
k2
＞
k
3
＞
k
1
，故应选D．
3．A
解析：因为直线
l
1
经过两点(－1，－2)、(－1，4
)，所以直线
l
1
的倾斜角为
?
，而
2
l
1
∥
l
2
，所以，直线
l
2
的倾斜角也为
2．
4．C
?
，又直线
l
2
经过两点(2，1)、(<
br>x
，6)，所以，
x
＝
2
解析：因为直线
MN
的斜率为
2＋3
－3－2
＝－1
，而已知直线
l
与直线<
br>MN
垂直，所以
直线
l
的斜率为1，故直线
l
的倾斜
角是
5．C
?
．
4
解析：直线
Ax
＋
By
＋
C
＝0的斜率
k＝
?
以，直线不通过第三象限．
6．A
C
A
＜0，在
y
轴上的截距
D＝－＞0，所
BB
解析：由已知得点
A
(－1，0)，
P
(
2，3)，
B
(5，0)，可得直线
PB
的方程是
x
＋y
－5＝0．
7．D
8．D
9．B
解析: 结合图形，若直线
l
先沿
y
轴的负方向平移，再沿
x
轴正方向平移后，所得直线
与
l
重合，这说明直线
l
和
l’
的斜率均为负，倾斜角是钝角．设
l’
的倾斜角为
?，则
tan ?＝
－
10．D
解析：这是考察两点关于直线的对称点问
题．直线5
x
＋4
y
＋21＝0是点
A
(4，0)
与所求点
A'
(
x
，
y
)连线的中垂线，列出关于
x
，
y
的两个方程求解．
二、填空题
11．－1．
解析：设直线
l
2
的倾斜角为??
2
，则由题意知：
180°－?
2
＋15°＝60°，?
2
＝135°，
∴
k
2
＝tan
?
2
＝tan(180°－45°)＝－tan45°＝－1．
12．
a
．
a＋1
(第11题)
1
．
2
解：∵
A
，
B
，
C
三点共线，
∴
k
AB
＝
k
AC
，
－2－3m－3
1
＝
．解得
m
＝．
1
3＋2
2
＋2
2
13．(2，3)．
解析：设第四个顶点
D
的坐标为(
x
，
y
)，
∵
AD
⊥
CD
，
AD
∥
BC
，
∴
k
AD
·
k
CD
＝－1，且
k
AD
＝
k
BC
．
∴
y－1y－2y－1
·
＝－1，＝1．
x－0x－3x－0?
x＝0
?
x＝2
解得
?
(舍去)
?
y＝1y＝3
??
所以，第四个顶点
D
的坐标为(2
，3)．
14．－
3
或不存在．
a
解析：若
a
＝0时，倾角90°，无斜率．
若
a
≠0时，
y
＝－
∴直线的斜率为－
15．
P
(2，2).
解析：设所求点
P
(
x
，2)，依题意：
(x?2)
2
?(2?1)
2
＝
(x?1)
2
?(2?2)
2
，解得
x
＝2，故所求
P
点的坐标为(2，2)．
16．10
x
＋15
y
－36＝0．
解析：设所求的直线
的方程为2
x
＋3
y
＋
c
＝0，横截距为－
得
31
x
＋
aa
3
．
a
cc
，纵截距为－，进而
23
c
=
－
36
．
5
17．
x
＋2
y
＋5＝0．
解析：反射线所在直线与入射线所在的直线关于
x
轴对称，故将直线方程中的
y
换成
－
y
．
三、解答题
18．①
m
＝－
54
；②
m
＝．
33
解析：①由题意，得
2m?6
＝－3，且
m
2
－2
m
－3≠0．
2
m?2m?3
解得
m
＝－
5
．
3<
br>m
2
?2m?3
②由题意，得＝－1，且2
m
2
＋<
br>m
－1≠0．
2
2
m
?
m?
1
4
解得
m
＝．
3
19．
x
－2
y
＋5＝0．
解析：由已知，直线
AB
的斜率
k
＝
1?11
＝．
3?12
1
．
2<
br>因为
EF
∥
AB
，所以直线
EF
的斜率为
因
为△
CEF
的面积是△
CAB
面积的
直线
EF
的方
程是
y
－
20．
x
＋6
y
＝0．
15
，所以
E
是
CA
的中点．点
E
的坐标是(0，)．
42
51
＝
x
，即
x
－2
y<
br>＋5＝0．
22
解析：设所求直线与
l
1
，
l<
br>2
的交点分别是
A
，
B
，设
A
(
x
0
，
y
0
)，则
B
点坐标为
(－
x
0
，－
y
0
)．
因为
A
，
B
分别在
l
1
，
l
2
上， <
br>?
?
4x
0
＋y
0
＋6＝0
所以
?
?
?
－3x
0
＋5y
0
－6＝0
①
②
①＋②得：
x
0
＋6
y
0
＝0，即点
A
在直线
x
＋6
y
＝0上，又直线
x
＋6
y
＝0过原点，
所以直线
l
的方程为
x
＋6
y
＝0．
21．2
x
＋
y
－4＝0和
x
＋
y
－3＝0．
解析：设直线
l
的横截距为
a
，由题意可得纵截距为6－
a
．
xy
∴直线
l
的方程为
＋＝1
．
a6－a
12
∵点(1，2)在直线
l
上，∴
＋＝1
，
a
2
－5
a
＋6＝0，解得
a
1
＝2，
a
2
＝3．当
a6－a
xy
a
＝2时，直线的方程为
??
1
，直线经过第一、二、四象限．当
a
＝3时，直线的方程
24
x
y
为
??1
，直线经过第一、二、四象限．
33
综上所述，所求直
线方程为2
x
＋
y
－4＝0和
x
＋
y
－3
＝0．
第四章 圆与方程
一、选择题
1．若圆
C
的圆心坐标为(2，－3)，且圆
C
经过点
M
(
5，－7)，则圆
C
的半径为( )．
A．
5
B．5 C．25 D．
10
2．过点
A
(1，－1
)，
B
(－1，1)且圆心在直线
x
＋
y
－2＝0上的圆的
方程是( )．
A．(
x
－3)
2
＋(
y
＋1)
2
＝4
C．(
x
－1)
2
＋(
y
－1)
2
＝4
B．(
x
＋3)
2
＋(
y
－1)
2
＝4
D．(
x
＋1)
2
＋(
y
＋1
)
2
＝4
3．以点(－3，4)为圆心，且与
x
轴相切的圆的方程是( )．
A．(
x
－3)
2
＋(
y
＋4)
2
＝1
6
C．(
x
－3)
2
＋(
y
＋4)
2
＝9
B．(
x
＋3)
2
＋(
y
－4)
2
＝16
D
．(
x
＋3)
2
＋(
y
－4)
2
＝19
4．若直线
x
＋
y
＋
m
＝0与圆
x
2
＋
y
2
＝
m
相切，则
m
为(
)．
A．0或2 B．2 C．
2
D．无解
5．圆
(
x
－1)
2
＋(
y
＋2)
2
＝20在<
br>x
轴上截得的弦长是( )．
A．8
3
B．6 C．6
2
D．4
6．两个圆
C
1
：
x
2
＋
y
2
＋2
x
＋2
y
－2＝0与
C
2
：
x
2
＋
y
2
－4
x
－2
y
＋1＝0的位置
关系为( )．
A．内切 B．相交 C．外切 D．相离
7．圆
x
2
＋
y
2
－2
x
－5＝0与圆
x
2
＋
y
2
＋2
x
－4
y
－4＝0的交点为
A
，
B
，则线段
AB
的垂直平分线的方程是( )．
A．
x
＋
y
－1＝0
C．
x
－2
y
＋1＝0
B．2
x
－
y
＋1＝0
D．
x
－
y
＋1＝0
8．圆
x
2
＋y
2
－2
x
＝0和圆
x
2
＋
y
2
＋4
y
＝0的公切线有且仅有( )．
A．4条
B．3条 C．2条 D．1条
9．在空间直角坐标系中，已知点
M
(
a
，
b
，
c
)，有下列叙述：
点
M
关于
x
轴对称点的坐标是
M
1
(
a，－
b
，
c
)；
点
M
关于
y
oz平面对称的点的坐标是
M
2
(
a
，－
b
，－
c
)；
点
M
关于
y
轴对称的点的坐标是
M
3
(
a
，－
b
，
c
)；
点<
br>M
关于原点对称的点的坐标是
M
4
(－
a
，－
b
，－
c
)．
其中正确的叙述的个数是( )．
A．3 B．2 C．1 D．0
10．空间直角坐标系中，点
A
(－3，4，0)与点
B
(2，－1，6)的距离是( )．
A．2
43
二、填空题
11．圆
x
2
＋
y
2
－2
x
－2
y
＋1＝0上的动点
Q
到直线3
x
＋4
y
＋8＝0距离的最小值
为．
12．圆心在直线
y
＝
x
上且与
x
轴相切于点(1，0)的
圆的方程为．
13．以点
C
(－2，3)为圆心且与
y
轴相切的圆的方程是． <
br>14．两圆
x
2
＋
y
2
＝1和(
x
＋4)
2
＋(
y
－
a
)
2
＝25相切，试
确定常数
a
的值．
15．圆心为
C
(3，－5)，并且与直线x
－7
y
＋2＝0相切的圆的方程为．
16．设圆
x
2
＋
y
2
－4
x
－5＝0的弦
AB
的中点
为
P
(3，1)，则直线
AB
的方程是．
三、解答题
1
7．求圆心在原点，且圆周被直线3
x
＋4
y
＋15＝0分成1∶2两部分的
圆的方程．
B．2
21
C．9 D．
86
18．求过原点，在
x轴，
y
轴上截距分别为
a
，
b
的圆的方程(
a
b
≠0)．
19．求经过
A
(4，2)，
B
(－1，3)两点，且在
两坐标轴上的四个截距之和是2的圆的
方程．
20．求经过点(8，3)，并且和直线
x
＝6与
x
＝10都相切的圆的方程．
第四章 圆与方程
参考答案
一、选择题
1．B
圆心
C
与点
M
的距离即为圆
的半径，
(2－5)
2
＋(－3＋7)
2
＝5．
2．C
解析一：由圆心在直线
x
＋
y
－2
＝0上可以得到
A
，
C
满足条件，再把
A
点坐标
(1，－1)代入圆方程．
A
不满足条件．
∴选C．
解析二：设
圆心
C
的坐标为(
a
，
b
)，半径为
r
，
因为圆心
C
在直线
x
＋
y
－2＝0上，
∴
b
＝2－
a
．由|
CA
|＝|
CB
|，得(
a
－1)
2
＋(
b
＋1)
2
＝(
a＋1)
2
＋(
b
－1)
2
，解得
a
＝
1，
b
＝1．
因此所求圆的方程为(
x
－1)
2
＋(
y
－1)
2
＝4．
3．B
解析：∵与
x
轴相切，∴
r
＝4．又圆心(－3，4)，
∴圆方程为(
x
＋3)
2
＋(
y
－4)
2
＝16．
4．B
解析：∵
x
＋
y
＋
m
＝0与
x
2
＋
y
2
＝
m
相切，
∴(0，0)到直线距离等于
m
．
m
2
∴＝
m
，
∴
m
＝2．
5．A
解析：令
y
＝0，
∴(
x
－1)
2
＝16．
∴
x
－1＝±4，
∴
x
1
＝5，
x
2
＝－3．
∴弦长＝|5－(－3)|＝8．
6．B
解析：由两个圆的方程<
br>C
1
：(
x
＋1)
2
＋(
y
＋1)
2
＝4，
C
2
：(
x
－2)
2
＋
(
y
－1)
2
＝4可求
得圆心距
d
＝
13
∈(0，4)，
r
1
＝
r
2
＝2，且
r<
br> 1
－
r
2
＜
d
＜
r
1
＋
r
2
故两圆相交，选B．
7．A
解析：对已知圆的
方程
x
2
＋
y
2
－2
x
－5＝0，
x
2
＋
y
2
＋2
x
－4
y
－4
＝0，经配方，得
(
x
－1)
2
＋
y
2
＝6，(
x
＋1)
2
＋(
y
－2)
2
＝9
．
圆心分别为
C
1
(1，0)，
C
2
(－1，2)．
直线C
1
C
2
的方程为
x
＋
y
－1＝0．
8．C
解析：将两圆方程分别配方得(
x
－1)
2
＋y
2
＝1和
x
2
＋(
y
＋2)
2＝4，两圆圆心分别为
O
1
(1，0)，
O
2
(0，－
2)，
r
1
＝1，
r
2
＝2，|
O
1O
2
|＝
1
2
＋2
2
＝
5
，
又1＝
r
2
－
r
1
＜
5
＜
r1
＋
r
2
＝3，故两圆相交，所以有两条公切线，应选C．
9．C
解：①②③错，④对．选C．
10．D
解析：利用空间两点间的距离公式．
二、填空题
11．2．
解析：圆心到直线的距离
d
＝
3＋4＋8
5
＝3，
∴动点
Q
到直线距离的最小值为
d
－
r
＝3－1＝2．
12．(
x
－1)
2
＋(
y
－1)
2＝1．
解析：画图后可以看出，圆心在(1，1)，半径为1．
故所求圆的方程为：(
x
－1)
2
＋(
y
－1)
2
＝1．
13．(
x
＋2)
2
＋(
y
－3)2
＝4．
解析：因为圆心为(－2，3)，且圆与
y
轴相切，所以圆的
半径为2．故所求圆的方程
为(
x
＋2)
2
＋(
y
－3)
2
＝4．
14．0或±2
5
．
解析：当两圆相外
切时，由|
O
1
O
2
|＝
r
1
＋
r
2
知
4
2
＋a
2
＝6，即
a
＝
±2
5
．
当两圆相内切时，由|
O
1
O2
|＝
r
1
－
r
2
(
r
1<
br>＞
r
2
)知
4
2
＋a
2
＝4，即
a
＝0．
∴
a
的值为0或±2
5
．
15．(
x
－
3)
2
＋(
y
＋5)
2
＝32．
解析：圆的半径即为圆心到直线
x
－7
y
＋2＝0的距离；
16．
x
＋
y
－4＝0．
解析：圆
x
2
＋
y
2
－4
x
－5＝0的圆心为
C
(2，
0)，
P
(3，1)为弦
AB
的中点，所以直
线
AB
与直线
CP
垂直，即
k
AB
·
k
CP
＝
－1，解得
k
AB
＝－1，又直线
AB
过
P
(3，
1)，则
所求直线方程为
x
＋
y
－4＝0．
三、解答题
17．
x
2
＋
y
2
＝36．
解析：设直
线与圆交于
A
，
B
两点，则∠
AOB
＝120°，设 r
15
所求圆方程为：
x
2
＋
y
2
＝
r
2
，则圆心到直线距离为
?
，所
25
A
-5
y
4
2
-2
-4
O
r
B
5
x
以
r
＝6，所求圆方程为
x
2
＋
y2
＝36．
第17 题
(第17题)
18．
x
2
＋
y
2
－ax
－
by
＝0．
解析：∵圆过原点，∴设圆方程为
x
2
＋
y
2
＋
Dx
＋
Ey
＝0．
∵圆过(
a
，0)和(0，
b
)，
∴a
2
＋
Da
＝0，
b
2
＋
bE
＝0．
又∵
a
≠0，
b
≠0，
∴
D
＝－
a
，
E
＝－
b
． 故所求圆方程为
x
2
＋
y
2
－
ax
－
by
＝0．
19．
x
2
＋
y
2
－2
x
－12＝0．
解析：设所求圆的方程为
x
2
＋y
2
＋
Dx
＋
Ey
＋
F
＝0．
∵
A
，
B
两点在圆上，代入方程整理得：
D
－3
E
－
F
＝10 ①
4
D
＋2
E
＋
F
＝－20 ②
设纵截
距为
b
1
，
b
2
，横截距为
a
1
，
a
2
．在圆的方程中，令
x
＝0得
y
2
＋
Ey
＋
F
＝0，
∴
b
1
＋
b
2
＝－
E
；令
y
＝0得
x
2
＋<
br>Dx
＋
F
＝0，∴
a
1
＋
a
2＝－
D
．
由已知有－
D
－
E
＝2．③ ①②③联立方程组得
D
＝－2，
E
＝0，
F
＝－12．
故所求圆的方程为
x
2
＋
y
2
－2
x－12＝0．
20．解：设所求圆的方程为(
x
－
a
)
2
＋(
y
－
b
)
2
＝
r
2．
根据题意：
r
＝
10?6
＝2，
2
圆心的横坐标
a
＝6＋2＝8，
所以圆的方程可化为：(
x
－8)
2
＋(
y
－
b
)
2
＝
4．
又因为圆过(8，3)点，所以(8－8)
2
＋(3－
b
)<
br>2
＝4，解得
b
＝5或
b
＝1，
所求圆的方程为(
x
－8)
2
＋(
y
－5)
2
＝4或(x
－8)
2
＋(
y
－1)
2
＝4．
高一数学阶段测试题
一．
选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，请把答案涂在答
题卡上)
1.下列叙述中，正确的是（ ）
（A）因为
P?
?
,Q?
?
，所以PQ
?
?
（B）因为P
?
?
，Q
?
?
，所以
?
?
?
=PQ
（C）因为A
B
?
?
，C
?
AB，D
?
AB，所以CD
?
?
（D）因为
AB?
?
，AB?
?
,
所以
?
?
?
=AB
2.
如果直线ax+2y+2=0与直线3x-y-2=0平行，则系数a= ( )
A、 -3 B、-6 C、
?
3
2
D、
2
3
3棱长为
a
的正方体有一个内切球，该球的表面积为
（ ）
A、
?
a
2
B、2
?
a
2
C、3
?
a
2
D、
4
?
a
2
4.
若直线a与平面
?
不垂直，那么在平面
?
内与直线a垂直的直线（ ）
（A）只有一条 （B）无数条 （C）是平面
?
内的所有直线 （D）不存在
5. 倾斜角为135?，在
y
轴上的截距为
?1
的直线方程是（
）
A．
x?y?1?0
B．
x?y?1?0
C．
x?y?1?0
D．
x?y?1?0
6.
长方体的三个面的面积分别是
2、3、6
，则长方体的体积是（ ）．
A．
32
B．
23
C．
6
D．6
7.已知三条不同的直线
l
、
m
、
n
与两个不同的平面
?
、
?
，给出
下列四个命题：
①若
m
∥
l
，
n
∥
l
，则
m
∥
n
②若
m
⊥
?
，
m
∥
?，
则
?
⊥
?
③若
m
∥
?
，
n
∥
?
，则
m
∥
n
④若
m
⊥
?
，
?
⊥
?
，则
m
∥
?
或
m
?
?
其中假命题是（ ）．(A) ① (B)
② (C) ③ (D) ④
．．．
8
．如图是一个物体的三视图，则此物体的直观图是(
)．
(第10题)
9．．如果一个水平放置的平面图形的斜二测直观
图是一个底角为45°，腰和上
底均为
1
的等腰梯形，那么原平面图形的面积是(
)．
A．2＋
2
B．
1＋2
2
C．
2＋2
2
D．
1＋2
10以A（1，3），B（-5,1）为端点的线段的垂直平分线
方程是（ ）
A 3x-y-8=0 B 3x+y+4=0
C
3x-y+6=0 D 3x+y+2=0
11如图，直线l
1、l
2
、l
3
的斜率分别为k
1
、k
2
、k
3
，
则必有
A.
k
1
B.
k
3
C.
k
1
D.
k
3
12.如图，A—
BCDE
是一个四棱锥，
AB
⊥平面
BCDE
，
且四边形
BCDE
为矩形，则图中互相垂直的平面共有（ ）
A．4组 B．5组 C．6组 D．7组
二．填空题：(本大题共4小题，每小题4分，共16分，
N
D
C
M
请把答案填在答题纸中的横线上)
13.
如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中
①
BM
与
ED
平行 ②
CN
与
BE
异面
③
CN
与
BM
成
60
?
④
DM
与
BN
垂直
以上四个命题中，正确命题的序号是__________________
14一条光线从点P(4,3)射出,与x轴相交于点Q(2,0),经x轴反射,则反射光
线的方程为___________________
.
15．已知
正方方体
ABCD?A
'
B
1
C
1
D
1<
br>，
则
A
1
B
和平面
CDA
1
B<
br>1
所成角
的大小为__________________
<
br>16．一个直径为32厘米的圆柱形水桶中放入一个铁球，球全部没入水中后，
水面升高9厘米则
此球的半径为_________厘米
三．解答题:(本大题共6个题，请把解题过程填在答题纸中正确的位置上)
17．求过点P（1,2）且在x轴，y轴上截距相等的直线
y
方程.
C
B
D
O
1
A
x
18．（本小题满分12分）
如图，在
?
OABC
中，点
C
（1，3）．
（1）求
OC
所在直线的斜率；
（2）过点
C
做
CD
⊥
AB
于点
D
，
求
CD
所在直线的方程．
19
．（本小题满分12分）如图，已知正四棱锥V－
ABCD
中，
AC与BD交于点M，
VM是棱锥的高
，若
AC?6cm
，
VC?5cm
，
V
求正四棱锥
V
-
ABCD
的体积．
20 如图：
AB
是⊙
O
的直径，
PA
垂直于⊙
O
所在的平面，
C
是圆周上不同于
P
A
D
M
B
C
C
A,B
的任意一点，
(1)求证：
BC?平面PAC
(2)求二面角P-BC-A.
21.（本小题满分12分）如图，在正方体
ABCD
－
A
1
D
1
B
1
C
1
A<
br>1
B
1
C
1
D
1
中，
E
、
F
为棱
AD
、
AB
的中点．
（1）求证：
EF
∥平面
CB
1
D
1
；
（2）求证：平面
CAA
1
C
1
⊥平面
CB
1
D
1
．
22.
（本小题满分14分）
如图，在棱长为
a
的正方体
A
1
B
1
C
1
D
1
?ABCD
中，
（1）
作出面
A
1
BC
1
与面
ABCD
的交线
l
，判断
l
与线
AC
11
位置关系，并给出证
明；
（2）证明
B
1
D
⊥面
A
1
BC
1
；
（3）求三棱锥
B
1
-A
1
C
1<
br>B
的体积.
A
E
D
F
B
C
一.选择题
参考答案
CBABD ,CCBAB,
AD
二.填空题 13.③④14.
3x?2y?6?0
15.
30
?
16. 12
三.解答题
17.若截距为零,则直线方程为
2x-y=0
；
5分
若截距不为零，则直线方程为
x?y?3?0
.
7分
18. 解: (1)
?
点
O
（0，0），点
C
（1，3），
2分
?
OC
所在直线的斜率为
k
OC
?
3?0<
br>?3
. 4分
1?0
（2）在
?
OABC
中，
ABOC
,
?
CD
⊥
AB
，
?
CD
⊥
OC
. 6分
?
CD
所在直线的斜率为
k
CD
??
1
.
8分
3
10分
?
CD
所在
直线方程为
y?3??(x?1)，
即x?3y?10?0
. 12分
1
3
19. 解法1：
?
正四棱锥
V
-
A
BCD
中，
ABCD
是正方形，
111
AC?BD??6?3
(cm).
3分
222
11
??AC?BD??6?6?18
(cm
2
)
. 6分
22
?MC?
且
S
ABCD
?
VM是
棱锥的高
,
?
Rt△
VMC
中，
VM?VC
2<
br>?MC
2
?5
2
?3
2
?4
(cm).
9分
?
正四棱锥V－
ABCD
的体积为
S
AB
CD
?VM??18?4?24
(cm
3
) . 12分
解法2：
?
正四棱锥
V
-ABCD中，
ABCD
是正方形，
1
3
1
3
?
MC?
1AC?
1
BD?
1
?6?3
(cm).
222
且
AB?BC?
2
AC?32
(cm
) .
2
?
S
ABCD
?AB
2
?(32)2
?18
(cm
2
).
?
VM是棱锥的高
,
?
Rt△
VMC
中，
VM?VC
2
?MC
2
?5
2
?3
2
?4
(cm).
?
正四棱锥
V
-
ABCD
的体积为
S
ABCD
?VM??18?4?24
(cm
3
).
22.解：（1）在面ABCD
内过点
B
作
AC
的平行线
BE
，易知
BE
即为直线
l
，3
分
∵
AC
∥
AC
11
，
AC?平面ABCD
?A
1
C
1
?平面ABCD
平面A
1
C
1
B?平面ABCD=l
?AC
11
∥
l
，
5分
（2）易证
AC
1
B
⊥
B
11
⊥
面
DBB
1
D
1
，∴
AC
11
⊥
B
1
D
，同理可证
A
1
D
，
又
AC
1
B
=
A
11
?
A
1，∴
B
1
D
⊥面
A
1
BC
1
. 10
分
（3）
由正方体知，A1
B
1
?平面BB
1
C,
1
?V
B<
br>1
?A
1
BC
?V
A
1
?BB
1<
br>C
?S
?BB
1
C
?A
1
B
13
11
???BB
1
?B
1
C
1<
br>?A
1
B
1
32
a
3
?
6
1
3
1
3
14分
高一数学阶段测试题
二．
选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，请把答案涂在答
题卡上)
1.下列叙述中，正确的是（ ）
（A）因为
P?
?
,
Q?
?
，所以PQ
?
?
（B）因为P
?
?
，Q
?
?
，所以
?
?
?
=PQ
（C）因为AB
?
?
，C
?
AB，D
?
AB，所
以CD
?
?
（D）因为
AB?
?
，AB?
?
,所以
?
?
?
=AB
2.
如果直线ax+2y+2=0与直线3x-y-2=0平行，则系数a= ( )
A、 -3 B、-6 C、
?
3
2
D、
2
3
3棱长为
a
的正方体有一个内切球，该球的表面积为
（ ）
A、
?
a
2
B、2
?
a
2
C、3
?
a
2
D、
4
?
a
2
4.
若直线a与平面
?
不垂直，那么在平面
?
内与直线a垂直的直线（ ）
（A）只有一条 （B）无数条 （C）是平面
?
内的所有直线 （D）不存在
5. 倾斜角为135?，在
y
轴上的截距为
?1
的直线方程是（
）
A．
x?y?1?0
B．
x?y?1?0
C．
x?y?1?0
D．
x?y?1?0
6.
长方体的三个面的面积分别是
2、3、6
，则长方体的体积是（ ）．
A．
32
B．
23
C．
6
D．6
7.已知三条不同的直线
l
、
m
、
n
与两个不同的平面
?
、
?
，给出
下列四个命题：
①若
m
∥
l
，
n
∥
l
，则
m
∥
n
②若
m
⊥
?
，
m
∥
?，
则
?
⊥
?
③若
m
∥
?
，
n
∥
?
，则
m
∥
n
④若
m
⊥
?
，
?
⊥
?
，则
m
∥
?
或
m
?
?
其中假命题是（ ）．(A) ① (B)
② (C) ③ (D) ④
．．．
8
．如图是一个物体的三视图，则此物体的直观图是( )．
(第10题)
9．．如果一个水平放置的平面图形的斜二测直观图
是一个底角为45°，腰和上
底均为
1
的等腰梯形，那么原平面图形的面积是(
)．
A．2＋
2
B．
1＋2
2
C．
2＋2
2
D．
1＋2
10以A（1，3），B（-5,1）为端点的线段的垂直平分线
方程是（ ）
A 3x-y-8=0 B 3x+y+4=0
C
3x-y+6=0 D 3x+y+2=0
11如图，直线l
1、l
2
、l
3
的斜率分别为k
1
、k
2
、k
3
，
则必有
A.
k
1
B.
k
3
C.
k
1
D.
k
3
12.如图，A—
BCDE
是一个四棱锥，
AB
⊥平面
BCDE
，
且四边形
BCDE
为矩形，则图中互相垂直的平面共有（ ）
A．4组 B．5组 C．6组 D．7组
二．填空题：(本大题共4小题，每小题4分，共16分，
请把答案填在答题纸中的横线上)
13. 如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中
①
BM
与
ED
平行
②
CN
与
BE
异面
E
A
B
F
N
D
C
M
③
CN
与
BM
成
60
?
④
DM
与
BN
垂直
以上四个命题中，正确命题的序号是__________________
14一条光线从点P(4,3)射出,与x轴相交于点Q(2,0),经x轴反射,则反射光
线的方程为___________________
.
15．已知
正方方体
ABCD?A
'
B
1
C
1
D
1<
br>，
则
A
1
B
和平面
CDA
1
B<
br>1
所成角
的大小为__________________
<
br>16．一个直径为32厘米的圆柱形水桶中放入一个铁球，球全部没入水中后，
水面升高9厘米则
此球的半径为_________厘米
三．解答题:(本大题共6个题，请把解题过程填在答题纸中正确的位置上)
17．求过点P（1,2）且在x轴，y轴上截距相等的直线
y
方程.
18．（本小题满分12分）
如图，在
?
OABC
中，点
C
（1，3）．
O
C
B
D
1
A
x
（1）求
OC
所在直线的斜率；
（2）过点
C做
CD
⊥
AB
于点
D
，
求
CD
所在直线的方程．
19
．（本小题满分12分）如图，已知正四棱锥V－
ABCD
中，
AC与BD交于点M，
VM是棱锥的高
，若
AC?6cm
，
VC?5cm
，
V
求正四棱锥
V
-
ABCD
的体积．
20 如图：
AB
是⊙
O
的直径，
PA
垂直于⊙
O
所在的平面，
C
是圆周上不同于
A,B
的任意一点，
A
D
M
B
C
P
(1)求证：
BC?平面PAC
(2)求二面角P-BC-A.
C
A
O
B
21.（本小题满分12分）如图，在正方体
ABCD
－
A
1
D
1
B
1
C
1
A<
br>1
B
1
C
1
D
1
中，
E
、
F
为棱
AD
、
AB
的中点．
（1）求证：
EF
∥平面
CB
1
D
1
；
（2）求证：平面
CAA
1
C
1
⊥平面
CB
1
D
1
．
22.
（本小题满分14分）
如图，在棱长为
a
的正方体
A
1
B
1
C
1
D
1
?ABCD
中，
（1）
作出面
A
1
BC
1
与面
ABCD
的交线
l
，判断
l
与线
AC
11
位置关系，并给出证
明；
（2）证明
B
1
D
⊥面
A
1
BC
1
；
（3）求三棱锥
B
1
-A
1
C
1<
br>B
的体积.
A
E
D
F
B
C
参考答案
一.选择题 CBABD ,CCBAB, AD
二.填空题 13.③④14.
3x?2y?6?0
15.
30
?
16. 12
三.解答题
17.若截距为零,则直线方程为
2x-y=0
；
5
若截距不为零，则直线方程为
x?y?3?0
.
7
分
分
18. 解: (1)
?
点
O
（0，0），点
C
（1，3），
2分
?
OC
所在直线的斜率为
k
OC
?
3?0<
br>?3
. 4分
1?0
（2）在
?
OABC
中，
ABOC
,
?
CD
⊥
AB
，
?
CD
⊥
OC
. 6分
?
CD
所在直线的斜率为
k
CD
??
1
.
8分
3
10分
?
CD
所在
直线方程为
y?3??(x?1)，
即x?3y?10?0
. 12分
1
3
19. 解法1：
?
正四棱锥
V
-
A
BCD
中，
ABCD
是正方形，
111
AC?BD??6?3
(cm).
3分
222
11
??AC?BD??6?6?18
(cm
2
)
. 6分
22
?MC?
且
S
ABCD
?
VM是
棱锥的高
,
?
Rt△
VMC
中，
VM?VC
2<
br>?MC
2
?5
2
?3
2
?4
(cm).
9分
?
正四棱锥V－
ABCD
的体积为
S
AB
CD
?VM??18?4?24
(cm
3
) . 12分
解法2：
?
正四棱锥
V
-
ABCD
中，
ABCD
是正方形，
1
3
1
3
?
MC
?
1
AC?
1
BD?
1
?6?3
(cm).
222
且
AB?BC?
2
AC?32
(cm) .
2
?
S
ABCD
?AB
2
?(32)
2
?18
(cm
2
).
?
VM是棱锥的高
,
?<
br>Rt△
VMC
中，
VM?VC
2
?MC
2
?
5
2
?3
2
?4
(cm).
?
正四棱锥
V
-
ABCD
的体积为
S
ABCD?VM??18?4?24
(cm
3
).
22.解：（1）在面<
br>ABCD
内过点
B
作
AC
的平行线
BE
，易
知
BE
即为直线
l
，3
分
∵
AC
∥
AC
11
，
AC?平面ABCD
?A
1
C
1
?平面ABCD
平面A
1
C
1
B?平面ABCD=l
?AC
11
∥
l
，
5分
（2）易证
AC
1
B
⊥
B
11
⊥
面
DBB
1
D
1
，∴
AC
11
⊥
B
1
D
，同理可证
A
1
D
，
又
AC
1
B
=
A
11
?
A
1，∴
B
1
D
⊥面
A
1
BC
1
. 10
分
（3）
由正方体知，A1
B
1
?平面BB
1
C,
1
?V
B<
br>1
?A
1
BC
?V
A
1
?BB
1<
br>C
?S
?BB
1
C
?A
1
B
13
11
???BB
1
?B
1
C
1<
br>?A
1
B
1
32
a
3
?
6
1
3
1
3
14分
数学必修3 训练题
（全卷满分100 分，考试时间90 分钟）
一、选择题（本题共10 小题，每小题4 分，共40 分，将答案直接填在下表中）
题号
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案
（1）期中考试之后，班长算出了全班40 个人的平均分
M
，如果把
M
当成一个同学的
分数，
与原来的40 个人的分数一起，算出这41
个分数的平均分
N
，那么
M
∶
N
为（ ）
（A）40∶41 （B）1∶1 （C）41∶40 （D）2∶1
（2）要从容量为102 的总体中用系统抽样法随机抽取一个容量为9
的样本，则下列叙述
正
确的是（ ）
（A）将总体分成11
组，抽样距为9
（B）将总体分成9 组，抽样距为11
（C）从总体中剔除2
个个体后分11 组，抽样距为9
（D）从总体中剔除3 个个体后分9 组，抽样距为11
（3）信息保留比较完整的统计图是（ ）
（A）条形统计图 （B）折线统计图
（C）扇形统计图 （D）茎叶图
（4）把一个样本容量为100
的数据分组，分组后，组距与频数如下：
(
17,19
]
,1;
(
19,21
]
,1;
(
21,23
]
,3.(
23,25
]
,3;
(
25,27
]
,18
;
(
27,29
]
,16;
(
29,31
]
,28;
(
31,33
]
,30
；
根据累积频率分布，估计小于等于29 的数据大约占总数的（ ）
（A）42％
（B）58％ （C）40％ （D）16％
（5）用直接插入法把94
插入有序列50，62，70，89，100，104，128，162 中，
则该有序
列中的第1 个数和最后1 个数的序号分别变为（ ）
（A）1，8 （B）2，9
（C）1，9 （D）2，8
（6）用冒泡排序法将数列8，7，2，9，6
从小到大进行排序，经过（ ）趟排序才能完
成
（A）5 （B）4 （C）3 （D）2
（7）阅读程序：
i
:= 0,
s
:= 0
；
repeat
i
:=
i
+ 2
；
s
:=
s
+ 2
i
-1
；
until
i
? 8
；
输出
s
．
则运算结果为
（A）21 （B）24 （C）34 （D）36
（8）从1，2，3，4，5，6 这6 个数中，不放回地任意取两个数，每次取1
个数，则
所取
的两个数都是偶数的概率为（ ）
（A）
1
2
（B）
1
3
（C）
1
4
（D）
1
5
（9）如图，是由一个圆、一个三角形和一个长方形构成的组合体，每个图形涂
一种颜色，现用红、蓝两种颜色为其涂色，则三个形状颜色不全相同的概率
为（ ）
（A）
3
4
（B）
3
8
（C）
1
4
（D）
1
8
（10）将一个各个面上均涂有颜色的正方体锯成
n
3
(
n
? 3
)
个同样大小的小正方体，从
这些
小正方体中任取1
个，则其中三面都涂有颜色的概率为（ ）
（A）
3
1
n
（B）
3
4
n
（C）
3
8
n
（D）
2
1
n
二．填空题（本题共4 小题，每小题4 分，共16 分79797979797979）
（11）一个容量为10 的样本数据，分组后，组距与频数如下：
组距 （1，2
]
（2，3
]
（3，4
]
（4，5
]
（5，6
]
（6，7
]
频数 1 1 2 3 1 2
则样本落在区间（－∞，5
]
的频率是 ．
（12）某校有高级教师90 人，中级教师150
人，其他教师若干人.为了了解教师拓健康
状况，
从中抽取60 人进行体检.
已知高级教师中抽取了18 人， 则中级教师抽取了
人，该校共有教师 人.
（13）有一个简单的随机样本10，12，9，14，13，则样本的平均数
x
＝
，样本方
差
s
2
＝ ．
（14）有4
条线段，长度分别为1，3，5，7，从这四条线
段中任取三条，则所取三条线段能构成一个三角形的
概率为 ．
（15）将一条5 m 长的绳子随机地切成两条，事件
Q
表示
所切两段绳子都不短于1 m 的事件，则事件
Q
发生的
概率是 ．
（16）已知一个算法的程序框图如图所示，则输出的结果
为 ．
是 否
开始
输入
x
x
? 0
y
：＝
x
2
－1
y
：＝2
x
2
－5
输入
y
结束
三．解答题（本大题共6 小题，满分共44 分）
（17）（本小题满分9
分）
对某种品牌的灯泡进行寿命跟踪调查，统计如下：
寿命（h） 100~200
200~300 300~400 400~500 500~600
个数 320 30 80
40 30
（Ⅰ）列出频率分布表；
（Ⅱ）画出频率分布直方图；
（Ⅲ）求灯泡寿命在100h ~400h 的频率．
（18）（本小题满分9 分）
袋子中装有18 只球，其中8 只红球、5 只黑球、3 只绿球、2 只白球，从中任取1 球，
求：
（Ⅰ）取出红球或绿球的概率；
（Ⅱ）取出红球或黑球或绿球的概率．
（19）（本小题满分9 分）
如图，在边长为25cm 的正方形中挖去边长为18cm
的两个等腰直角三
角形，现有均匀的粒子散落在正方形中，问粒子落在中间带形区域的
概率是多少？
（20）（本小题满分9 分）
如图，一个计算装置有两个数据输入口Ⅰ、Ⅱ与一个运算结果输出口Ⅲ，当Ⅰ、Ⅱ分别
输入正整数
m
,
n
时，输出结果记为
f
(
m
,
n
)
，且计算装置运算原理如下：
①若Ⅰ、Ⅱ分别输入1，则
f
(1,1) = 1
；
②若Ⅰ输入固定的正整数，Ⅱ输入的正整数增大1，则输出结果比
原来增大3；
③若Ⅱ输入1，Ⅰ输入正整数增大1，则输出结果为原来的3 倍．
试求：
（Ⅰ）
f
(
m
,1)
的表达式
(
m
?N)
；
（Ⅱ）
f
(
m
,
n
)
的表达式
(
m
,
n
?N)
；
（Ⅲ）计算
f
(
7,7
)
，
f
(
8,8
)
，并说明是否存在正整数
n
，使得
f
(
n
,
n
)
＝2006？
输入口
输出口
m n
Ⅰ Ⅱ
Ⅲ
数学必修3
训练题
参考答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B D D A C C D D A C
二、填空题
（11）0.70
（12）30；300 （13）11.6；3.44
（14）
1
4
（15）
5
3
（16）
( )
( )
2
2
1 0 ,
2 5 0 .
x x
y
x x
ì? - ? = í
?? - <
三、解答题
（17）（Ⅰ）频率分布表：
（Ⅱ）频率分布直方图：
（Ⅲ）灯泡寿命在100h~400h 的频率为0.64＋0.06＋0.16
＝0.86．
（18）记事件
A
＝―从18 只球中任取1
球得红球‖，
B
＝―从18 只球中任取1 球得黑球‖，
C
＝―从18
只球中任取1 球得绿球‖，
D
＝―从18 只球中任取1 球得白球‖，
则
8
( )
18
P A
=
，
5
( )
18
P B
=
，
3
( )
18
P C
=
，
2
( )
18
P D
=
．
根据题意，
A
、
B
、
C
、
D
彼此互斥，有互斥事件概率加法公式得：
（Ⅰ）取出红球或绿球的概率为
P
（
A
＋
C
）＝
P
（
A
）＋
P（
C
）＝
8
18
＋
3
18
＝
11
18
．
（Ⅱ）解法1：取出红球或黑球或绿球的概率为：
P
（
A
＋
B
＋
C
）＝
P
（
A
）＋
P
（<
br>B
）＋
P
（
C
）＝
8
18
＋
5
18
＋
3
18
＝
8
9
．
解法2：―取出红球或黑球或绿球‖的对立事件是―取出白球‖，
所以
P
（
A
＋
B
＋
C
）＝1
-
P
（
D
）＝1
- 2
18
＝
16 8
18 9
=
．
寿命分组
频
数
频
率
频率
组距
[
100, 200
)
320 0.64 0.0064
[
200,300
)
30
0.06 0.0006
[
300, 400
)
80 0.16
0.0016
[
400,500
)
40 0.08
0.0008
[
500,600
]
30 0.06 0.0006
100 200 300 400 500 600
0.0064
0.0016
0.0006
0.0008
寿命∶h
频率
组距
0
（19）因为均匀的粒子落在正方形内任何一点是等可能的，所以符合几何概型的条件．
设
A
＝―粒子落在中间带形区域‖，则依题意得正方形面积为：25×25＝625．
又两个等腰直角三角形的面积为：2×
2
1
×18×18＝324，
∴ 带形区域的面积为：625－324＝301．
∴
301
( )
625
P A
=
．
（20）（Ⅰ）
f
(
m
,1
)
= 3
f
(
m
-1,1
)
= 3
2
f
(
m
- 2,1
)
=L= 3
m
-1
f
(
1,1
)
= 3
m
-1
．
（Ⅱ）
f
(
m
,
n
)
=
f
(
m
,
n
-1
)
+ 3 =
f
(
m
,
n
- 2
)
+ 3?2
f
(
m
,1
)
3
(
n
1
)
3
m
1
3
(
n
1
)
=L= + - =
-
+ -
．
（Ⅲ）
f
(
7,7
)
= 3
6
+18 = 747
，
f
(
8,8
)
=
3
7
+ 21 = 2208
，
由于
f
(
7,7
)
＜2006，
f
(
8,8
)
＞2006，
∴不存在正整数
n
，使得
f
(
n
,
n
)
＝
2006
高中数学必修4测试试卷
一.选择题：（共.40分）
1.
?
3
的正弦值等于
（
（A）
3
2
（B）
1
2
（C）
?
3
2
（D）
?
1
2
2．215°是 （
（A）第一象限角
（B）第二象限角
（C）第三象限角 （D）第四象限角
3．角
?
的终边过点P（4，－3），则
cos
?
的值为
（
（A）4 （B）－3 （C）
4
5
（D）
?
3
5
4．若sin
?
<0，则角
?
的终边在
（
）
）
）
）
（A）第一、二象限 （B）第二、三象限
（C）第二、四象限 （D）第三、四象限
5．函数y=cos2x的最小正周期是
（A）
?
（B）
（ ）
?
2
（C）
?
4
（D）
2
?
<
br>6．给出下面四个命题：①
AB?BA?
；②
AB?BC?AC
；③
AB
0 －AC?BC
；
④
0?AB?0
。其中正确的个数为
（A）1个 （B）2个
（ ）
（C）3个
（D）4个
（ ）
7．向量
a?(1,?2)
，
b?(2,1)
，则
（A）
a
∥
b
（B）
a
⊥
b
（C）
a
与
b
的夹角为60°
（D）
a
与
b
的夹角为30°
8.
化简
1?
sin
2
160?
的结果是
( )
（A）
cos160?
（B）
?cos160?
（C）
?cos160?
（D）
?cos160?
9．
函数
y?2sin(2x?
?
)cos[2(x?
?
)]
是
（ ）
?
?
的奇函数 （B） 周期为的偶函数
44
??
（C） 周期为的奇函数 （D） 周期为的偶函数
22
（A） 周期为
10．函数
y?Asin(
?
x?<
br>?
)
在一个周期内的图象如下，此
函数的解析式为
（ ）
?
2
?
)
（B）
y?2sin(2x?)
（A）
y?2sin(2x?
3
3
x
?
?
（C）
y?2sin(?)
（D）
y?2sin(2x?)
233
二.填空题：（共20分，请将答案直接填在题后的横线上。）
11．已知点A（2，－4），B（－6,2），则AB的中点M的坐标为 ；
12．若a?(2,3)
与
b?(?4,y)
共线，则
y
＝ ；
13．若
tan
?
?
1sin
?
?cos
?
，则
= ；
22sin
?
?3cos
?14．已知
a?1,b?2
，
a
与
b
的夹角为
?
，那么
a?b?a?b
= 。
3
15．函数
y
?
sin
2
x
?
2sinx
的值域是
y?
；
三．解答题（共.40分，解答题应写出文字说明、演算步骤或证明过程.）
16．
用五点作图法画出函数
y?1?sinx,x?
?
0,2
?
?
的简图.
17．求值：（1）
tan(?
23
?
)
；
（2）
sin75?
6
18. 已知
?
,
?为锐角，且cos
?
=
1
10
,cos
?
=<
br>1
5
，求
?
?
?
的值.
19．设
OA?(3,1)
，
OB?(?1,2)
，
OC?OB
，
B
C
∥
OA
，试求满足
。
OD?OA?OC
的
O
D
的坐标（O为坐标原点）
20.已知对任意平面向量
AB?
?
x,
y
?
，把
AB
绕其起点沿逆时针方向旋转?角得到
???
?
??
向量
AP?
?
xcos
?
?ysin
?
,xsin
?
?ycos
?
?
，叫做把点B绕点A逆时针方向旋<
br>．．．
转?角得到点P.
(1)已知平面内点A（2，1），点B（
2?42
，
1?22
）.把点B绕点A沿逆
．
时针方向旋转后得到点P，求点
P的坐标；
．．
4
(2)设平面内曲线C上的每一点绕坐标原点O沿顺时针
方向旋转后得到的点
．．．
4
的轨迹是曲线
x
2
?y
2
?3
，求原来曲线C的方程.
???
?
?
参考答案
一．选择题：
题号
1 2
答案
A C
3
C
4
D
5
A
6
B
7
B
8
B
9
C
10
A
二．填空题：
11.
（－2，－1）
12.
_
－6
__ 13._
－3
14.
21
15____
[－1,3]
___
三.解答题:
16.略
17.
解：（1）
tan(?
23
???
3
)?tan(?4
?
?)?tan?
6663
（2
）原式=
sin(45??30?)?sin45?cos30??cos45?sin30?
=
18.
23216?2
????
22224
解:
?
?
,
?
为锐角,且cos
?
?
?sin
?
?1?cos
2
?
?
11
,cos
?
?
105
3;
10
2
sin
?
?1?cos
2
?
?.
??
6'
5
?cos(
?
?
?
)?c
os
?
cos
?
?sin
?
sin
?
?<
br>9'
1132
????
105105
??
2
??
12'
2
?
?
?
?
?(0,
?)
3
?
?
?
?
?
?.
??
1
4'
4
?
?
OC?OB?0
?
(x,y)?(?1.2)?
0
19.
解：设
OC?(x,y)
，由题意得：
?
?
?
(x,y)?(?1,2)?
?
(3,1)
?
?<
br>?
BC?
?
OA
?
x?2y
?
x?14?
?
?
x?1?3
?
?
?
?OC?(14,7
)
y?7
?
?
y?2?
?
?
OD?OC?OA?(11,6)
???
20.
解:(1) 设P(x,y),
则
AP
?
?
x
?2,
y
?1
?
，
???
AB?42,?22
，
??
由题意，得：
???
????
??
AP?
?
42cos?22sin,42sin?22cos
?
?
?
6,2<
br>?
4444
??
∴ x-2=6，y-1=2，
∴x=8，y=3.
（2）设P（x，y）是曲
线C上任意一点，
OP
绕绕坐标原点O沿顺时针方向
旋转
???
?<
br>后，点P的坐标为（x’，y’），则：
4
?
2
??
?
?
x?y
?
x'?
x?x'co
s?y'sin
?
?
?
2
44
即
?
?
??
?
y'?
2
?
y?
x
?
?
y?x'sin?y'cos
?
44
?
2<
br>?
又因为
x'
2
?y'
2
?3
所以
1
?
x?y
?
2
?
1
?
y?x
?
2
?3
22
化简得：
y?
3
.
2x
高二数学必修5测试题
一．选择题（共12题，每题5分）
1．在ΔABC中，已知a=1，b=
3
, A=30°，则B等于
（ ）
A、60° B、60°或120° C、30°或150°
D、120°
2．等差数列{a
n
}中，已知
a
1
＝
A、50
B、49
1
，
a
2
?a
5
＝4，a
n
＝33，则n为 （ ）
3
C、48
D、47
3．已知等比数列{a
n
}的公比为2，前4项的和是1，则前8项的和为 （ ）
A、15
B、17 C、19 D、21
4．三个数a，b，c既是等差数列，又是等比数列，则a，b，c间的关系为 ( )
2
A、
b?a?c?b
B、
b?ac
C、
a?b?c
D、
a?b?c?0
5．在三角形ABC中，已知C =
120
，两边
a,b
是方程
x?3x?2?0
的两根，
02
则c等于
（ ）
A、
5
B、
7
C、
6．已知数列
?
a
n
?
的前n项和
S
n<
br>?2n
?
n?1
?
，则
a
5
的值为
（ ）
A、80 B、40 C、20 D、10
11
D、
13
7．若实数a
、b满足a+b=2，则3
a
+3
b
的最小值是
（ ）
A、18 B、6
C、2
3
D、2
4
3
8.若b<0
ab
?
C、a + c > b + d D、a－c > b－d
cd
9.数列
{
a
n
}
满足
a
n?1
?a
n
?n
，且
a
1
?1
，则
a
8
?
（
）．
A.29 B．28 C．27 D．26 <
br>10.为测量一座塔的高度，在一座与塔相距20米的楼的楼顶处测得塔顶的仰角为
30?
，测
得塔基的俯角为
45?
，那么塔的高度是（ ）米．
33
)
B．
20(1?)
C．
20(1?3)
D．
30
32
222211．在
?ABC
中，若
bsinC?csinB
?2bccosBco
sC
，则
?ABC
是 （ ）．
A．
20(1?
A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形
（
）．
A．5
D．等腰直角三角形
12．等差数列
{
a
n
}
满足
7a
5
??5a
9
，且
a1
??17
，则使数列前
n
项和
S
n
最小的<
br>n
等于
B．6 C．7 D．8
二．填空题（共4题，每题4分）
1
, 则A与B的大小关系是
。
1?a
14．若数列
?
a
n
?
的前<
br>n
项和
S
n
?n
2
?10n(n?1，，，23?<
br>，
)
则此数列的通项公式
．
1
?
15．在
△ABC
中，若
tanA?
，
C?150
，
BC?1
，则
AB?
．
3
16．
?
ABC
中，
a、b、c
分别是
?A、?B、?C
的对边，下列条件
①
b?26,c?15,C?23?
； ②
a?84,b?56,c?74
；
③
A?34?,B?56?,c?68
；
④
a?15,b?10,A?60?
能唯一确定
?ABC
的有
（写出所有正确答案的序号）．
13．已知0<2a<1,若A=1+a
2
,
B=
三．解答题（共6题，17,18,19,20,21每题12分，22题14分）
17
、已知等差数列前三项为
a,4,3a
，前
n
项的和为
s
n
，
s
k
＝2550.
（1）求
a
及
k
的值； （2）求
18、设
{
a
n
}
是一个公差为
d(d?0)
的
等差数列，它的前
10
项和
S
10
?110
，且满足
111
????
s
1
s
2
s
n
a
2
2
?a
1
a
4
．
求数列
{a
n
}
的通项公式．
19． 在
△ABC
中，
已知
B?45?
，
D
是
BC
上一点，
AD?5,A
C?7,DC?
，求
3
AB
的长．
A
BD
C
13
，
tanB?
．
45
（Ⅰ）求角
C
的大小；
（Ⅱ）若
△ABC
最大边的边长为
17
，求最小边的边长．
20．在
△ABC
中，
tanA?
21．某村计划建造一个室内面积为800
m
的矩形
蔬菜温室。在温室内，沿左．右两侧与
后侧内墙各保留1
m
宽的通道，沿前侧内墙保留
3
m
宽的空地。当矩形温室的边长各为多
少时？蔬菜的种植面积最大。最大种植面积
是多少？
2
32
.
（1）求数列{a
n
}的通项a
n
；
9
24
（2
）如果至少存在一个自然数m，恰使
a
m?1
，
a
m
2，a
m+1
+
这三个数依次成等差数列，
39
22.已知等比数
列{a
n
}满足a
1
+a
6
=11，且a
3
a
4
=
问这样的等比数列{a
n
}是否存在?若存在，求出通项公
式；若不存在，请说明理由.
答案
一选择题BABDB CBCAA CB
10
16. ②③④．
2
三．解答题17.（1）设该等
差数列为
?
a
n
?
，则
a
1
?
，
由已知有
a?3a?2?4
，
aa,
2
?a4,
3
?3a
一． 填空题13. A解得
a
1
?a?2
，公差
d?a
2
?a
1
?2
，将
s
k
＝2550代入公式
s
k
?ka
1
?
k(k?1)
?d
，得
2
k?50,k??50
（舍去）
?a?2,k?50
。
n(n?1)
1111
?d
，得
s
n
?n(n?1)
，
?
（2）由
s
n
?n?a
1
?
??
2
s<
br>n
n(n?1)nn?1
111
111
??
?
?
????
＝
n(n?1)
s
1
s
2
s
n
1?22?3
11111
)
＝
(1?)?(?)?
?
?(?
223nn?1
1
＝
1?
n?1
18. 解：设数列
{
a
n
}
的公差为
d
，则
a
2
?a
1
?d,a
4
?a
1
?3d
，
∵
a
2
2<
br>?a
1
a
4
，即
(a
1
?d)
2<
br>?a
1
(a
1
?3d)
，
整理，得
a1
2
?2a
1
d?d
2
?a
1
2?3a
1
d
∴
d(a
1
?d)?0
，
又
d?0
，∴
a
1
?d
，
10?9
d?55a
1
?110
，
2
∴
a
1
?d?2
，
又
S
10
?10a<
br>1
?
数列
{a
n
}
的通项公式为：
a
n
?a
1
?(n?1)d?2n
．
3
2
?5
2
?7
2
1
??
， <
br>19.解：在
?ADC
中，由余弦定理得
cos?ADC?
2?3?5
2
∵
?ADC?(0,
?
)
，∴
?ADC?120?
，
∴
?ADB?60?
，
在
?ABD
中，由正弦定理
得
AB?
20.解：（Ⅰ）∵
C?
?
?(A?B)
，
ADsin?ADB5sin60?56
??
．
sinBsin45?2
13
?
45
??1
．
?
tanC??tan(A?B)??
13
1??
45
又∵0?C?π
，
?C?
（Ⅱ）∵
C?
3
π
．
4
3
?
，
4
?AB
边最大，即
AB?17
又
tanA?tanB，A，B?(0，)
，
所以
?A
最小，
BC
边为最小边．
?
?
sinA1
?
tanA??，
?
?
π
?
由
?
cosA4
且
A?
?
0，
?
，
?2
?
?
sin
2
A?cos
2
A?1，
?
17
得
sinA?
．
17
ABBCABsinA
??2
．
由得：
BC?
sinCsinAsinC
所以，最小边
BC?2
．
21.解：设矩形温室的左侧边长为a m，后侧边长为b m，蔬菜的种植面积S
则
ab=800.
蔬菜的种植面积
S?(a?4)(b?2)?ab?4b?2a?8?808?2(a?2b).
所以
S?808?42ab?648(m
2
).
当a?2b,即a?40(m),b?20(m)时,S
最大值
?648(m
2).
答：当矩形温室的左侧边长为40m，后侧边长为20m时，蔬菜的种植面积最大，
最
大种植面积为648m
2
.
32
?
?
a
1
?a
1
q
5
?11,
1
a?,
??
??
1
3
?
a
1
?,
或
?
22.解：（1）由题意得
?
3
32
?
?
23
1
?
a
1
q?a
1
q?
?
q?
?
?
q?2.
9
?
?
2
?
1
n-1
321
n?1
1
6-n
()?
×2
或a
n
=·
∴a
n
=2.
3
323
1<
br>n-1
（2）对a
n
=·2
，若存在题设要求的m，则
3<
br>1
m-12
2
1
m-2
1
m
4
2（
·2
）
=··2+·2+.
33
3
3
9
∴（2<
br>m
）
2
-7·2
m
+8=0.
∴2
m
=8，m=3.
对a
n
=
1
6-
n
·2
，若存在题设要求的m，同理有（2
6-m
）
2
-1
1·2
6-m
-8=0.
3
而Δ=11
2
+16×8不是完全平方数，故此时所需的m不存在.
综上所述，满足条件的等比数列存在，且有a
n
=
1
n-1
·2.
3
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