高中数学18题-高中数学人教版课标
函数的最值问题(高一
)
一.填空题:
1.
f(x)?3x?5,x?[3,6]
的最大值是 。
f(x)?
1<
br>x
,
x?
?
1,3
?
的最小值是 。
2.函数
y?12?4x?x
2
的最小值是
,最大值是
3.函数
y?
1
2x
2
?8x?10
的最大值是
,此时
x?
4.函数
y?
2x?
3
x?1
,x?
?
?3,?2
?
的最小值是
,最大值是
5.函数
y?x?
3
x
,x
?
?
?2,?1
?
的最小值是
,最大值是
6.函数y=
x?2
-
1
x?2
的最小值是
。
y?x?1?2x
的最大值是
7.函数y=|x+1|–|2-x|
的最大值是 最小值是 .
8.函数
f
?
x
?
?
2
x?1
在[2,6]上的最大值是
最小值是 。
9.函数y=
3?x
1?2x
(x
≥0)的值域是______________.
10.二次函数y=-x
2
+4x的最大值
11.
函数y=2x
2
-3x+5在[-2,2]上的最大值和最小值
。
12.函数y= -x
2
-4x+1在[-1 , 3]上的最大值和最小值
13.函数f(x)=
1
2x
2
?2x?5
1?x(1?x
)
的最大值是
y?
x
2
?x?1
的最大值是
14.已知f
(
x
)=x
2
-6x+8,x∈[1,a]并且
f<
br>(
x
)的最小值为
f
(
a
),则a的取值范围是
15.函数y=
–x
2
–2ax(0?x?1)的最大值是a
2
,那么实数a的取值范围是
16.已知f(x)=x
2
-2x+3,在闭区间[0,m]上有最大值3,最小值2
,则m的取值范围是
17. 若f(x)=
x
2
+ax+3在区间[1,4]有最大值10,则a的值为: <
br>18.若函数y=x
2
?3x?4的定义域为[0,m],值域为[?254,?4],
则m的取值范围是
19. 已知f(x)=-x
2
+2x+3 ,
x∈[0,4],若f(x)
?
m恒成立,m范围是 。
二、解答题
20.已知二次函数
f
(
x
)
?
a
x
2
?
2
ax
?
1
在
x
?
?
?
3
,2
?
上有最大值4,求实数 a 的值。
21.已知二次函数
f
(
x)
?
?
x
2
?
2
ax
?
1
?
a
在
x
?
?
0
,
1
?
上有最大值2,求
a
的值。
1
22.求函数y=x
2
-2ax-2在区间[0,2]上的最小值.
23..求函数y=2x
2
+x- 1在区间[t, t+2]上的最小值
24.已知二次函数
f(x)?ax
2
?(2a?1)x?1在区间
?
?
?
3
?
2
,2
?
?
?
上的最大值为3,求实数a的值。
2
函数的最大值和最小值问题(高一)
一.填空题:
1.函数
y?x
2
?4x?3,x?
?
?1,1
?
的最大值是
,最小值是 8;0
2.函数
y?12?4x?x
2
的最小值是
,最大值是 0;4
11
x?
的最大值是
,此时 ;2
2x
2
?8x?102
2x?
3911
4.函数
y?,x?
?
?3,?2
?
的最小值是
,最大值是 ;
x?123
31
5.函数
y?x?
,x?
?
?2,?1
?
的最小值是
,最大值是
?
;2
x2
11
6.函数y=
x?2
-的最小值是
。
y?x?1?2x
的最大值是
x?22
3.函数
y?
7.函数y=|x+1|–|2-x| 的最大值是
3 最小值是 -3 .
2
在[2,6]上的最大值是
最小值是 。
x?1
3?x
9.函数y=(x≥0)的值域是______________. <
br>1?2x
8.函数
f
?
x
?
?
10.二次函
数y=-x
2
+4x的最大值
11.
函数y=2x
2
-3x+5在[-2,2]上的最大值和最小值
。
12.函数y= -x
2
-4x+1在[-1 , 3]上的最大值和最小值
2x
2
?2x?5
1
13.函数f(x)=的最大值是
y?
的最大值是 6
1?x(1?x)
x
2
?x
?1
14.已知
f
(
x
)=x
2
-6x+8,x∈
[1,a]并且
f
(
x
)的最小值为
f
(
a
),则a的取值范围是 (1,3]
15.函数y=
–x
2
–2ax(0?x?1)的最大值是a
2
,那么实数a的取值范围是
(–1?a?0)
16.已知f(x)=x
2
-2x+3,在闭区间[0,m]上有
最大值3,最小值2,则m的取值范围是__m∈[1,2]
17. 若f(x)=
x+ax+3在区间[1,4]有最大值10,则a的值为:
-
2
9
4
18.若函数y=x
2
?3x?4的定
义域为[0,m],值域为[?254,?4],则m的取值范围是 [32,3]
19.
已知f(x)=-x
2
+2x+3 ,
x∈[0,4],若f(x)
?
m恒成立,m范围是 。
二、解答题
2
在
x
20.已知二次函数
a
x
?
?
?
3
,2
?
上有最大值4,求实数 a 的值。
f
(
x
)
??2ax?1
解:因为有固定的对称轴
x
?
?
1
,且
?
1
?
?
3
,
2
?
?
f
(2?
4
?
4
(1)若
a
>
0
时,则
)
即
8
a
?
1
∴
a
?
3
8
f
(?
(2)若
a
<
0
时,则
1
)
?
4
即
1
?
4
∴
a
?
?
3
a
?2
a
?
?
3
综上可知:
3
8
或
a
?
a
?
)
?
?
21.已知二次函数
f
(
x
x
?
2
ax
?
1
?
a
在
x
?
?
0
,
上有最大值2,求
a
的值。
1
?
2
解:分析:对称轴
a
与区间
?
0
,1
?
的相应位置分三种情况讨论:
x
?
a
?
?
1
(1)当
a
<
0
时,
f
(0
)
?
a
?
2
∴
?
1
3
2
2
f
(
a
)
?
a
?
a
(2)当
0?a?1
时,
a
?
a
?
1
?
2
即
?
1
无解;
?
a
(3)当
a
>
1
时,
f
(1
)
?
2
∴a=2. 综上可知:a=-1 或 a=2
22.求函数y=x
2
-2ax-2在区间[0,2]上的最小值.
解:对称轴x=a与区间[0,2] 的相应位置分三种情况讨论:
(1)a<0时,在区间[0,2]上单调递增,故ymin=-2
(2)0≤a≤2时,在对称轴处取最小值,故ymin=-a
2
-2
(3)a>2时,在区间[0,2]上单调递减,故ymin=2-4a,
综合可得,a<0时,ymin=-2
0≤a≤2时,ymin=-a
2
-2
a>2时,ymin=2-4a.
23..求函数y=2x
2
+x- 1在区间[t, t+2]上的最小值
解: 函数y= 2x
2
+ x-1 的对称轴是
x=
?
(1)当对称轴x=
1
4
1
2
?
1
4
在区间[ t , t+2 ] 的左侧时, 则 t
>
?
4
此时函数y= 2x+ x-1在区
间[ t , t+2
]上是增函数。所以,当x= t 时 y
min
= 2t
2
+ t-1
(2) 当对称轴x=
?
即
1
4
在区间[ t ,
t+2 ] 上时, 则 t
?
?
1
4
?
t+2
9
11
?
9
4
?
t
?
?
4
时,所以,当x=
?
4
时 y
min
=
?
8
1
4
(3)当对称轴x=
?
即t
<
?
9
4
在区间[ t , t+2 ] 的右侧时, 则
t+2<
?
1
4
时, 函数在区间[ t , t+2
]上是减函数。所以,当x=t+2 时 y
min
=2t
2
+9t+9
2
24.已知二次函数
f(x)?ax?(2a?1)x?1
在区间
?
?
?
3
?
,2
?
上的最大值为3,求实数a的值
。
2
??
分析:这是一个逆向最值问题,若从求最值入手,需分
a?0与
a?0
两大类五种情形讨论,过程繁
琐不堪。若注意到最大值总是在闭区间的端
点或抛物线的顶点处取到,因此先计算这些点的函数值,再检
验其真假,过程就简明多了。
解
:(1)令
f(?
2a?11
)?3
,得
a??
此时抛物线
开口向下,对称轴方程为
x??2
,且
2a2
1
?
3
?
?2?
?
?,2
?
,故
?
不合题意;
2
?
2
?
(2)令
f(2)?3
,得
a?
题意;
11
此时抛物线开口向上,闭区间的右端点距离对称轴较远,故
a?
符合
22
322
)?3
,得
a??
此时抛物线开口向下,
闭区间的右端点距离对称轴较远,故
a??
233
12
符合题意。综上,a?
或
a??
23
(3)若
f(?
4