人教版高一数学必修1集合与函数概念教案1

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第一章 集合与函数概念
【1.1.1】集合的含义与表示
（1）集合的概念
集合中的元素具有确定性、互异性和无序性.
（2）常用数集及其记法
N
表示自然数集，
N
?
或
N
?
表示正整数集，
Z表示整数集，
Q
表示有理数集，
R
表示实数
集.
（3）集合与元素间的关系
对象
a
与集合
M
的关系是a?M
，或者
a?M
，两者必居其一.
（4）集合的表示法
①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合.
②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合.
③描述法：{
x
|
x
具有的性质}，其中
x
为集合的代表元素.
④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合.
（5）集合的分类
①含有有限个元素的集合叫做有限集.
②含有无限个元素的集合叫做无限集.
③不含有任何元素的集合叫做空集(
?
).
【1.1.2】集合间的基本关系
（6）子集、真子集、集合相等
名称 记号 意义 性质 示意图
(1)A
?
A
A(B)
A?B

子集
(或
B?A)

A中的任一
元素都属
于B
(2)
??A

(3)若
A?B
且
B?C
，则
A?C

(4)若
A?B
且
B?A
，则
A?B

B
或
A

1

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且
A?B
，
A
?
B
真子集
?
B中至少有
(1)
??A
（A为非空子集）
?
BA
（或B
?
A）
一元素不
?
(2) 若
A?B
且
B?C
，则
A?C

???

属于A
A中的任一
元素都属
集合
相等
(1)A
?
B
A(B)
A?B

于B，B中
的任一元
素都属于A
(2)B
?
A

（7）已知集合
A
有
n(n?1)
个元素，则它有
2
n
个子集，它有
2
n
?1
个真子集，它有
2
n< br>?1
个非空子
集，它有
2?2
非空真子集.
n
【1.1.3】集合的基本运算
（8）交集、并集、补集
名称 记号 意义
(1)
A
交集
性质 示意图
A?A

AB
AB

{x|x?A,
且
x?B}

(2)
A???

(3)
A
(1)
A
B?A
，
AB?B

A?A

A
B

并集
AB

{x|x?A,
或
x?B}

(2)
A??A

(3)
AB?A
，
AB?B


(1)
A(
U
A)??

(2)
A(
U
A)?U

补集
U
A

{x|x?U,且x?A}

(3)
U
(AB)?(
U
A)(
U
B)

(4)
U
(AB)?(
U
A)(
U
B)


【补充知识】含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法
（1）含绝对值的不等式的解法
2

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不等式 解集
|x|?a(a?0)

|x|?a(a?0)

{x|?a?x?a}

x|x??a
或
x?a}

把
ax?b
看成一个整 体，化成
|x|?a
，
|ax?b|?c,|ax?b|?c(c?0)

|x|?a(a?0)
型不等式来求解
（2）一元二次不等式的解法
判别式
??b?4ac

二次函数
2
??0

??0

??0

y?ax
2
?bx?c(a?0)
O
的图象
一元二次方程



ax
2
?bx?c?0(a?0)
的根
?b?b
2
?4ac
x
1,2
?

2a
（其中
x
1
?x
2
)

x
1
?x
2
??
b

2a
无实根
ax
2
?bx?c?0(a?0)
的解集
{x|x?x
1
或
x?x
2
}

{x|
x??
b
}

2a
R

ax
2
?bx?c?0(a?0)
的解集
{x|x
1
?x?x
2
}

?

?

〖〗函数及其表示
【知识回顾】
1、一次函数
f( x)
=
ax
＋
b
(
a
≠0)：定义域
R< br>，值域
R

2、反比例函数
f(x)
=
k
(
k
≠0)：定义域{
x
|
x
≠0}，值域{y | y≠0}
x
3、二次函数
f(x)
=
ax
2
＋< br>bx
＋
c
(
a
≠0)：定义域
R
，值域：
2
4ac?b
2
4ac?b
当
a
＞0时，｛
y
|
y
≥｝；当
a
＜0时，｛
y
|
y< br>≤｝.
4a
4a
3

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【1.2.1】函数的概念
（1）函数的概念
①设
A
、
B
是两个非空的数集，如果按照某种对应法则
f
，对于集合
A
中任何一个数
x
，在集
合
B
中都有唯 一确定的数
f(x)
和它对应，那么这样的对应（包括集合
A
，
B< br>以及
A
到
B
的对应法
则
f
）叫做集合
A
到
B
的一个函数，记作
f:A?B
．
②函数的三要素：定义域、值域和对应法则．
③只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数．
（2）区间的概念及表示法
①设
a,b
是两个实数，且
a?b
，满足
a?x?b
的实数
x
的集合叫做闭区间，记做
[a,b]
；满足
a?x?b< br>的实数
x
的集合叫做开区间，记做
(a,b)
；满足
a?x? b
，或
a?x?b
的实数
x
的集合
叫做半开半闭区间，分别 记做
[a,b)
，
(a,b]
；满足
x?a,x?a,x?b,x? b
的实数
x
的集合分别记
做
[a,??),(a,??),(??, b],(??,b)
．
注意：对于集合
{x|a?x?b}
与区间
(a,b)
，前者
a
可以大于或等于
b
，而后者必须
a?b
．
（3）求函数的定义域时，一般遵循以下原则：
①
f(x)
是整式时，定义域是全体实数．
②
f(x)
是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数．
③
f(x)
是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合．
④对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1．
⑤
y?tanx
中，
x?k
?
?
?
2
(k ?Z)
．
⑥零（负）指数幂的底数不能为零．
⑦若
f(x)
是由 有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等
函数的定义域的交集．
⑧对于求复合函数定义域问题，一般步骤是：若已知
f(x)
的定义域为
[a ,b]
，其复合函数
f[g(x)]
的定义域应由不等式
a?g(x)?b< br>解出．
4

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⑨对于含字母参数的函数，求其定义域，根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论．
⑩由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义．
（4）求函数的值域或最值
求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的．事实 上，如果在函数的值域中存
在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值．因此求函数的最值与 值域，其实质是相同
的，只是提问的角度不同．求函数值域与最值的常用方法：
①观察法：对于比较简单的函数，我们可以通过观察直接得到值域或最值．
②配方法：将函数 解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后根据变量的取值范围确定
函数的值域或最值．
③判别式法：若函数
y?f(x)
可以化成一个系数含有
y
的关于
x
的二次方程
a(y)x
2
?b(y)x?c(y)?0
，
则在
a(y)?0
时，由于
x,y
为实数，故必须有
??b(y)? 4a(y)?c(y)?0
，从而确定函数的值域或
最值．
④不等式法：利用基本不等式确定函数的值域或最值．
⑤换元法：通过变量代换达到化繁为简 、化难为易的目的，三角代换可将代数函数的最值问题
转化为三角函数的最值问题．
⑥反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值．
⑦数形结合法：利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值．
⑧函数的单调性法．
2
【1.2.2】函数的表示法
（5）函数的表示方法
表示函数的方法，常用的有解析法、列表法、图象法三种．
解析法：就是用数学表达式表示两 个变量之间的对应关系．列表法：就是列出表格来表示两个
变量之间的对应关系．图象法：就是用图象表 示两个变量之间的对应关系．
（6）映射的概念
①设
A
、
B是两个集合，如果按照某种对应法则
f
，对于集合
A
中任何一个元素，在 集合
B
中
都有唯一的元素和它对应，那么这样的对应（包括集合
A
，
B
以及
A
到
B
的对应法则
f
）叫做集合
A
到
B
的映射，记作
f:A?B
．
②给定 一个集合
A
到集合
B
的映射，且
a?A,b?B
．如果元素
a
和元素
b
对应，那么我们把
5

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元素
b
叫做元素
a
的象， 元素
a
叫做元素
b
的原象．
注意：
(1)A中的每一个元素都有象，且唯一；
(2)B中的元素未必有原象，即使有，也未必唯一；
(3)a的象记为f(a).
函数与映射的关系
函数是特殊的映射，映射是函数的推广。映射与函数概念间的关系可由下表给出：
映射
f:A?B

集合A，B可为任何集合，其元素可以是
函数的定义域和值域均为非空的数集
物，人，数等
对于集合A中任一元素
a
，在集合B中
都有唯一确定的像
对集合B中任一元素
b
，在集合A中不
一定有原像
对函数的定义域中每一个
x
，值域中都有
唯一确定的值与之对应
对值域中每一个函数值，在定义域中都
有确定的自变量的值与之对应
函数
y?f(x),x?A,y?B


〖〗函数的基本性质
【1.3.1】单调性与最大（小）值
（1）函数的单调性
①定义及判定方法
函数
定义
性质
如果对于属于定义域I内某个区
函数的
单调性
间上的任意两个自变量的值x
1
、x
2
，
当x．
f
．
(x)．
(x)，那么就1212
．．．．
．．．．．．．．．
说f(x)在这个区间上是增函数．
．．．

（1）利用定义
（2）利用已知函数的单调
性
（3）利用函数图象（在某
图象 判定方法
6

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如果对于属于定义域I内某个区
间上的任意两个自变 量的值x
1
、x
2
，
当x< 时，都有
．
f
．
(x)>f
．
(x)，那么
1212
．．．．
．．x
．．．．．．．
就说f(x)在这个区间上是减函数．
．．．

个区间图象上升为
增，下降为减）
（4）利用复合函数
②在公共定义域内 ，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减
函数为增函数，减函数减去一 个增函数为减函数．
③对于复合函数
y?f[g(x)]
，令
u?g(x)
，若
y?f(u)
为增，
u?g(x)
为增，则
y?f[g (x)]
为增；若
y?f(u)
为减，
u?g(x)
为减，则
y?f[g(x)]
为增；若
y?f(u)
为增，
u?g(x)
为 减，
则
y?f[g(x)]
为减；若
y?f(u)
为减，
u ?g(x)
为增，则
y?f[g(x)]
为减．
（2）打“√”函数
f(x)?x?
a
(a?0)
的图象与性质
x

f(x)
分别在
(??,?a]
、
[a,?? )
上为增函数，分别在
[?a,0)
、
(0,a]
上为减函数．
（3）最大（小）值定义
①一般地，设函数
y?f(x)
的定义域为
I
，如果存在实数
M
满足：
? 对于任意的
x?I
，都有
f(x)?M
；
? 存在
x0
?I
，使得
f(x
0
)?M
．那么，我们称
M
是函数
f(x)
的最大值，记作
f
max
(x)?M．
②一般地，设函数
y?f(x)
的定义域为
I
，如果存在实 数
m
满足：
7

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? 对于任意的
x?I
，都有
f(x)?m
；
? 存在
x
0
?I
，使得
f(x
0
)?m
．那么，我们称
m
是函数
f(x)
的最小值，记作
f
max
(x)?m
．
【1.3.2】奇偶性
（4）函数的奇偶性
①定义及判定方法
函数
定义
性质
如果对于函数f(x)定< br>义域内任意一个x，都有
f
．
(－x)=－f
．
(x)，那么 函数
．．．．．．．．．
．
函数的
f(x)叫做奇函数
．．．
奇偶性
如果对于函数f(x)定
义域内 任意一个x，都有
f
．
(－x)=f
．
(x)，那么函数f(x)< br>．．．．．．．．
叫做偶函数．
．．．


（1）利用定义（要先判断定义
域是否关于原点对称）
（2）利用图象（图象关于原点
对称）
（1）利用定义（要先判断定义
域是否关于原点对称）
（2）利用图象（图象关于y轴对
称）
图象 判定方法
②若函数
f(x)
为奇函数，且在
x?0
处有定义，则
f(0)?0
． ③奇函数在
y
轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在
y
轴两侧相对称 的区间增减性相反．
④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数 ），两个偶
函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．
〖补充知识〗函数的图象
（1）作图
利用描点法作图：
①确定函数的定义域； ②化解函数解析式；
③讨论函数的性质（奇偶性、单调性）； ④画出函数的图象．
利用基本函数图象的变换作图：
要准确记忆一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对 数函数、幂函数、三角函数等各
种基本初等函数的图象．
①平移变换
8

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h?0,左移h个单位k ?0,上移k个单位
y?f(x)????????y?f(x?h)y?f(x)????????y ?f(x)?k

h?0,右移|h|个单位k?0,下移|k|个单位
②伸缩变换
0?
?
?1,伸0?A?1,缩

y?f(x)?? ???y?f(
?
x)y?f(x)?????y?Af(x)

?
?1,缩A?1,伸
③对称变换
y轴
x轴
??y?f(?x)

y?f(x)????y??f(x)

y?f(x)? ?
直线y?x
原点
y?f(x)????y??f(?x)

y?f(x)?????y?f
?1
(x)

去掉y轴左边图象
y?f(x)????????????????y?f(|x|)

保留y轴右边图象，并作其关于y轴对称图象
保留x轴上方图象
y?f(x)???? ??????y?|f(x)|

将x轴下方图象翻折上去
（2）识图
对于 给定函数的图象，要能从图象的左右、上下分别范围、变化趋势、对称性等方面研究函数
的定义域、值域 、单调性、奇偶性，注意图象与函数解析式中参数的关系．
（3）用图
函数图象形象地显示 了函数的性质，为研究数量关系问题提供了“形”的直观性，它是探求解题
途径，获得问题结果的重要工 具．要重视数形结合解题的思想方法．

★热点考点题型探析
考点一：集合的定义及其关系
[例1]（2008年江西理）定义集合运算：
A?B ?
?
z|z?xy,x?A,y?B
?
．设
A?
?
1,2
?
,B?
?
0,2
?
，
则集合
A? B
的所有元素之和为（ ）
A．0； B．2； C．3； D．6
[解题思路]根据
A?B
的定义，让
x
在
A
中逐一取值，让
y
在
B
中逐一取值，
xy
在值就是
A?B
的
元素
[解析]：正确解答本题，必需清楚 集合
A?B
中的元素，显然，根据题中定义的集合运算知
A?B
=
?
0,2,4
?
，故应选择D
【名师指引】这类将新定义的运算引入集合的 问题因为背景公平，所以成为高考的一个热点，这时
要充分理解所定义的运算即可，但要特别注意集合元 素的互异性。
9

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[例2]．数集
X?
?
(2n?1)
?
,n?Z
?与
Y?
?
(4k?1)
?
,k?Z
?
之间的关 系是（ ）
A．
XY
； B．
YX
； C．
X?Y
； D．
X?Y

[解题思路]可有两种思 路：一是将
X
和
Y
的元素列举出来，然后进行判断；也可依选择支之间的关< br>系进行判断。
[解析] 从题意看，数集
X
与
Y
之间必然有 关系，如果A成立，则D就成立，这不可能；
同样，B也不能成立；而如果D成立，则A、B中必有一个成立，这也不可能，所以只能是C
【名师指引】新定义问题是高考的一个热点，解决这类问题的办法就是严格根据题中的定义，逐个
进行检 验，不方便进行检验的，就设法举反例。
考点二：集合的基本运算
[例3] 设集合
A?xx?3x?2?0
，
B?xx?2(a?1)x?(a?5)?0

（1）若
A?B?
?
2
?
，求实数
a
的值； （2）若
A?B?A
，求实数
a
的取值范围若
A?B?
?
2
?
，
[解题思路]对于含参数的集合的运算，首先解出不含参数的集合，然后根据已知条件求参数。
[解析]因为
A?xx?3x?2?0?
?
1,2
?
， < br>2
?
2
??
22
?
??
（1）由
A ?B?
?
2
?
知，
2?B
，从而得
2?4(a?1 )?(a?5)?0
，即
a
2
?4a?3?0
，解得
22< br>a??1
或
a??3

当
a??1
时，
B?xx
2
?4?0?
?
2,?2
?
，满足 条件；
当
a??3
时，
B?xx?4x?4?0?
?
2< br>?
，满足条件 所以
a??1
或
a??3

2
??
??
（ 2）对于集合
B
，由
??4(a?1)?4(a?5)?8(a?3)

因为
A?B?A
，所以
B?A

①当
??0
，即
a??3
时，
B?
?
，满足条件； ②当
??0，即
a??3
时，
B?
?
2
?
，满足条件；
22
1,2
?
才能满足条件， ③当
??0
，即
a ??3
时，
B?A?
?
5
?
?
1?2??2(a? 1)
?
a??
由根与系数的关系得
?
?
?
2
，矛盾 故实数
a
的取值范围是
a??3

2
?< br>1?2?a?5
?
a
2
?7
?
【名师指引】对于比较 抽象的集合，在探究它们的关系时，要先对它们进行化简。同时，要注意集
合的子集要考虑空与不空，不 要忘了集合本身和空集这两种特殊情况.
考点三：判断两函数是否为同一个函数
10

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[例4] 试判断以下各组函数是否表示同一函数?
（1）
f(x)?x
2
，
g(x)?
3
x
3
； （2）
f(x)?
2 n?1
x
x
，
g(x)?
?
?
1
?
?1
x?0,
x?0;

（3）
f(x)?
2n?1x
2n?1
，
g(x)?(
2n?1
x)
（4）
f(x)?
（n∈N
*
）；
x
x?1
，
g(x)?x
2
?x
； （5 ）
f(x)?x
2
?2x?1
，
g(t)?t
2
? 2t?1

[解题思路]要判断两个函数是否表示同一个函数，就要考查函数的三要素。
[解析] （1）由于
f(x)?x
2
?x
，
g(x)?< br>3
x
3
?x
，故它们的值域及对应法则都不相同，所以
x它们不是同一函数.（2）由于函数
f(x)?
?
1
的定义域为
(??,0)?(0,??)
，而
g(x)?
?
x
?
?1< br>x?0,
x?0;
的定义域为R，所以它们不是同一函数（.3）由于当n∈N
*
时，2n±1为奇数，∴
f(x)?
2n?1
x
2n?1
?x
，
g(x)?(
2n?1
x)
2n?1
?x
， 它们的定义域、值域及对应法则都相同，所以它们是同一函数.（4）由于
函数
f(x)?x< br>x?1
的定义域为
xx?0
，而
g(x)?
??
x< br>2
?x
的定义域为
?
xx?0或x??1
?
，
它们的定义域不同，所以它们不是同一函数.（5）函数的定义域、值域和对应法则都相同，所以它
们 是同一函数.
[答案]（1）、（2）、（4）不是；（3）、（5）是同一函数
【名师指 引】构成函数的三个要素是定义域、对应关系和值域．由于值域是由定义域和对应关系确
定的，所以，如 果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数为同一函数。第（5）小
题易错判断成它们是 不同的函数。原因是对函数的概念理解不透，在函数的定义域及对应法则f不变的
条件下，自变量变换字 母对于函数本身并无影响，比如
f(x)?x?1
，
f(t)?t?1
，22
f(u?1)?(u?1)
2
?1
都可视为同一函数.
考点四：求函数的定义域、值域
求值域的几种常用方法
1) 配方法：对于（可化 为）“二次函数型”的函数常用配方法，如求函数
y??sinx?2cosx?4
，
可变为
y??sinx?2cosx?4?(cosx?1)?2
解决
2) 基本函 数法：一些由基本函数复合而成的函数可以利用基本函数的值域来求，如函数
22
2
y ?log
1
(?x
2
?2x?3)
就是利用函数
y?log
1
u
和
u??x
2
?2x?3
的值域来求。
2
2
11

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3) 判别式法：通过对二次方程的实根的判别求值域。如求函数
y?
2x ?1
的值域，由
2
x?2x?2
2x?11
2
得
y x?2(y?1)x?2y?1?0
，若
y?0
，则得
x??
，所以
y?0
是函数
y?
2
2
x?2x?2
y?0
，则由
??[?2(y?1)]
2
?4y(2y?1)?0
得值域中的一个 值；若
3?133?13
3?133?13
?y?且y?0
，故所求值域是< br>[,]

22
22
2cosx?3
的值域，因为
co sx?1
2cosx?3555
，而
cosx?1?(0,2]
，所以
?y??2??(??,?]
，故
cosx?1cosx?1cosx?12
1y?(??,?]

2
3x
5) 利用基本不等式求值域：如求函数y?
2
的值域当
x?0
时，
y?0
；当
x?0
时，
x?4
4) 分离常数法：常用来求“分式型”函数的值域。如求函数
y ?
y?
3
4
x?
x
，若
x?0
，则
x?
44
?2x??4
xx
若
；
x?0
，则x?
444
33
??(?x?)?2(?x)?()?4
，从而得所求值 域是
[?,]

x?x?x
44
42
6) 利用函数的单调 性求求值域：如求函数
y?2x?x?2(x?[?1,2])
的值域因
1
y ?8x
3
?2x?2x(4x
2
?1)
，故函数
y?2x< br>4
?x
2
?2(x?[?1,2])
在
(?1,?)
上递减、在
2
11115
(?,0)
上递增、在
(0,)
上 递减、在
(,2)
上递增，从而可得所求值域为
[,30]

2228
7) 图象法：如果函数的图象比较容易作出，则可根据图象直观地得出函数的值域（ 求某些分段函
数的值域常用此法）。
[例5] 求下列函数的定义域：
（1）
y?




x?2x?15
（2）
f(x)?
x?3?3
2
(x?1)
0
x?x

12

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（3）
g
(
x
)=
x?1?1?x?2

（4）
y?
?x

2




（5）
y?
3
1?1?x




?
f
?
x
?
?
x ?
（7）
?
1
?
4x


?
?
3?2x




（9）
f
?
x
?
?4?x
2
?1
；




13
2x?3x?2
（6）
y?x
2
?3?5?x
2

8）
t是时间，距离
f
?
t
?
?60?3t
（10）
f
?
x
?
?
1
1?
1

1?
1
x

（

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[例6] 求抽象函数的定义域
1）设
f(x )
的定义域是[?3，
2
]，求函数
f(x?2)
的定义域。




2) 已知
y
=
f
(2
x
+1)的定义域为[-1，1]，求
f
(
x
)的定义域；




3) 已知
y
=
f
(< br>x
+3)的定义域为[1，3]，求
f
(
x
-1)的定义域.




4） 若函数
y?f(x)
的定义域为[ ?1，1]，求函数
y?f(x?)
+
f(x?)
定义域




1
4
1
4
[例7] 若函数
f
?
x
?
?




x?1
的定义域是
R
，求
m
的取值范围。
mx
2
?mx?3
3
14

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[例8] 求函数值域：
（1）
y?
5x?3
（2）
y??x
2
?x?2

x?3






（3）
y?
2x
2
?2 x?3
x
2
?x?1







（5）
y?
x2
?4x?3
2x
2
?x?1






（7）
y?
x
x?1




15
4）
y?4x?1?3x

6）
y?2x?x?1

（8）
y?x?
1
x

（
（

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[例9]已 知函数
y?x?4ax?2a?6(a?R)
，若
y?0
恒成立，求
f(a)?2?aa?3
的值域
[解题思路]应先由已知条件确定
a
取值范 围，然后再将
f(a)
中的绝对值化去之后求值域
[解析]依题意，
y?0
恒成立，则
??16a?4(2a?6)?0
，解得
?1?a?
所以
f(a)?2?a(a?3)??(a?)
2
?
2
2
3，
2
317319
，从而
f(a)
max
?f(?1 )?4
，
f(a)
min
?f()??
，
242
所 以
f(a)
的值域是
[?
19
4
,4]

【名师指引】求函数的值域也是高考热点，往往都要依据函数的单调性求函数的最值。
16
4