高中数学必修1函数单调性-最值-以及奇偶性

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函数专题：单调性与最值
一、增（减）函数
1.概念
一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变
量x
1
，x
2
，当x
1
2
时，都有 f(x
1
)2
)，那么就说f(x)在区间D上是增函数。
注意：
①函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；
②增（减）函数是相对于相应区间而言的，不能离开相应的区间讨论增减性。

二、判断函数单调性的常用方法
1、（图像法）根据函数图象说明函数的单调性．（直观）
例1、 如图是定义在区间[－5，5]上的函数
y=f(x)，根据图象说出函数的单调区间，以
及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？

2．利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤：
① 任取x
1
，x
2
∈D，且x
1
2
；
② 作差f(x
1
)－f(x
2
)；
③变形（通常是因式分解和配方）；
④定号（即判断差f(x
1
)－f(x
2
)的正负）；
⑤下结论（即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）．
例、证明函数
y?x?








.
1
在（0,1）上为减函数．
x

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例、判断函数
y
?
x
?
p
单调性.(p>0)
x



【归纳小结】
函数的单调性一般是先根据图象判 断，再利用定义证明．画函数图象通常借助计算机，
求函数的单调区间时必须要注意函数的定义域，单调 性的证明一般分五步：取 值 → 作 差
→ 变 形 → 定 号 → 下结论
3、直接法
对基本初等函数，如一次函数、二次函数、反比例函数可以直接写出它们的单调区间.
（1） 一次函数y=kx+b,当k>0时，增区间是（-∞，+∞）；当k<0时,减区间是（-∞，+∞）
（2）


〖针对性练习〗
1
1.函数
y??
的单调区间是（ ）
x
A．（-
?
，+
?
） B.（-
?
，0）和（1，
?
，）
C.（-
?
，1）和（1，
?
） D. （-
?
，1）
U
（1，
?
）
2. 若函数f(x)=|2x+a|的单调递增区间是[3,+
?
），求a的值。


.

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3．函数
y??x
2
?2x?3
的增区间是（ ）。
1
(??,?3)
D．
(?1,?)

3
A．[-3，-1] B．[-1,1] C．
?1?a??
4、已知函数
f(x)?x?




1
判断
f(x)
在区间〔0，1〕和（1，+
?
）上的单调性。
x
，
5、已知函数y=
f(x)
是定义在[-1, 2]上的增函数，且满足：f(a-1)>f(1-3a)，求实数a的取值范围。





6、已知f（x）=x
2
-2(1-a)x+2在（ -∞，4]上是减函数，求实数a的取值范围.





☆☆☆复合函数的单调性☆☆☆
1、定义：
设y=f(u),u=g(x),当x 在u=g(x)的定义域中变化时，u=g(x)的值在y=f(u)的定义域内变化，
因此变量x与y 之间通过变量u形成的一种函数关系，记为
y=f(u)=f[g(x)]称为复合函数，其中 x称为自变量，u为中间变量，y为因变量(即函
数)
2、复合函数f[g(x)]的单调 性与构成它的函数u=g(x)，y=f(u)的单调性密切相关，其规律如下：
函数
.
单调性

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u?g(x)

y?f(u)

增
增
增
增
减
减

减
增
减
减
减
增
y?f
?
g(x)
?


例、已知y?f(u)?u?1,u?g(x)??3x?2
，求
y?f
?
g(x )
?
的单调性。



例、已知
y?f(u)? u
2
?1,u?g(x)?x?1
，求函数
y?f
?
g(x )
?
的单调性。




〖针对性训练〗 1、已知
y?f(u)?u
2
?1,u?g(x)??x?1
，求函数< br>y?f
?
g(x)
?
的单调性。


< br>2、已知
f(x)?8?2x?x
2
，如果
g(x)?f(2?x2
)
，那么
g(x)
（ ）
A. 在区间（-1，0）上是减函数 B. 在区间（0，1）上是减函数
C. 在区间（-2，0）上是增函数 D. 在区间（0，2）上是增函数
3、已知函数f(x )=8+2x-x
2
,g(x)=f(2-x
2
),试求g(x)的单调区间 .

.

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三、函数的最大（小）值
1．函数最大（小）值定义
1）最大值：一般地，设函数
y?f(x)
的定义域为I，如果存在实数M满足：
（1）对于任意的
x?I
，都有
f(x)?M
； （2）存在< br>x
0
?I
，使得
f(x
0
)?M
．
那么，称M是函数
y?f(x)
的最大值．
2）最小值：一般地，设函数
y?f(x)
的定义域为I，如果存在实数M满足：
（1）对于任意的
x?I
，都有
f(x)?M
； （2）存在
x
0
?I
，使得
f(x
0
)?M
．
那么，称M是函数
y?f(x)
的最小值．
注意：
①函数最大（ 小）首先应该是某一个函数值，即存在
x
0
?I
，使得
f(x
0
)?M
；
②函数最大（小）应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的< br>x?I
，
f(x)?M(f(x)?m)
．
例、求函数
y? x
2
?2x?3当自变量x在下列范围内取值时的最值
．
①
?1?x?0
②
0?x?3
③
x?(??,??)







例、求函数
y?
2
x?1
在区间[2，6] 上的最大值和最小值．
.
都有

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例、设函数f(x)＝(x＋a)
2
对于任意实数t ∈R都有f(1－t)＝f(1＋t)．
(1)求a的值；
(2)如果x∈[0，5]，那 么x为何值时函数y＝f(x)有最小值和最大值?并求出最小值与最大值．










【针对性练习】
一、选择题
1．函数y＝4x－x
2
，x∈[0，3]的最大值、最小值分别为( )
(A)4，0
2．函数
y?
(A)
二、填空题
1．函数y＝2x
2
－4x－1 x∈(－2，3)的值域为______． 2．函数
y
?
1
2
1
x?x
2
(B) 2，0
的最小值为( )
(B)1
(C)3，0 (D)4，3
(C)2 (D)4
2
x
?
x
2
的值域为______．
.

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3、函数
y?x
2
?4x?5(x?< br>?
0,3
?
三、解答题
?
的值域是 。
?
2
x
,x?0
1．求函数
f(x)?
?
的值域．
?x,x?0
?







2． 已知函数f(x)在R上是减函数，对于任意的x,y∈R,总有f(x)+f(y) =f(x+y),f(1)=-23,求f(x)在[-3,3]
上的最值。






3、求函数y=




的值域.
.

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四、奇偶性
1.概念
一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f(x) ,那么函
数f(x)就叫做偶函数；如果都有f(-x)=-f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数 。
从图像的角度，图像关于y轴对称的函数是偶函数，关于原点对称的函数
是奇函数。 例.下面三个结论：①偶函数的图像一定与y轴相交；②奇函数的图像一定通过
原点；③偶函数的图 像关于y轴对称.其中正确的个数有几个？




2.判断函数奇偶性的一般步骤：
①求定义域，判断其定义域是否关于原点对称（不对称→非奇非偶）
②化简函数f(x)的解析式，并求f(-x)
③根据f(-x)与非f（x）的关系，判断函数f(x)的奇偶性
例、判断下列函数的奇偶性：
（1）f(x)=
（2）f(x)=




.

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3.奇（偶）函数的性质
①f(x)是偶函数，则f(-x)=f(x)=f(|x|)
②若奇函数在原点处有定义，则f(0)=0
③偶函数的和、差、积、商（分母不为零）仍为 偶函数；奇函数的和、差仍为
奇函数；奇数个奇函数的积、商为奇函数；一个奇函数与一个偶函数的积是 奇
函数。
④若函数f(x)为奇函数，则f(x)在关于原点对称的两个区间[a,b]和[ -b,-a]具有相同
的单调性；反之，偶函数具有相反的单调性。

例、设f(x )是奇函数，在（0，+∞）上是减函数，试证明f(x)在（-∞，0）上是
减函数.








.

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例、判断下列函数的奇偶性：
（1）y=ax+bx,(a,b≠0)
（2）y=ax(x
2
+1),a≠0





【针对性练习】
1. 已知f(x)=x
5
+ax
3< br>+bx-8,且f(-2)=10,求f(2).






2、设函数f（x）和g（x）分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的
是（）
A、f(x)+|g(x)|是偶函数 B、f(x)-|g(x)|是奇函数
C、|f(x)|+g(x)是偶函数 D、|f(x)|-g(x)是奇函数

3、判断函数f(x)=|x+a|-|x-a|,a∈R的奇偶性.
.

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4.设函数f(x)是定义在R 上的偶函数，且f(x+2)=f(x),当x∈[0,1]时，f(x)=x+1,求
f(32).






5.函数f(x)=1x-x的图像关于（
A、y轴对称
C、坐标原点对称
）
B、直线y=-x对称
D、直线y=x对称
.