高中数学必修1函数概念及性质知识点总结

数学必修1函数概念及性质（知识点总结）

（一）函数的有关概念
1．函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关 系f，使对于集合A
中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f： A→B为从集
合A到集合B的一个函数．记作： y=f(x)，x∈A．其中，x叫做自变量，x的取 值范围A
叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函
数的值域．
2
如果只给出解析式y=f(x)，而没有指明它的定义域，则 函数的定义域即是指能使这注意：○
3
函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式． 个式子有意义的实数的集合；○
定义域补充
能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义 域，求函数的定义域时列不等式组的主要
依据是：(1)分式的分母不等于零； (2)偶次方根的被开方数不小于零； (3)对数式的真数必
须大于零；(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1. (5)如果函数 是由一些基本函数通
过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合 .（6）指
数为零底不可以等于零 (6)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.
(又注意：求出不等式组的解集即为函数的定义域。)

2． 构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域
再注意：（1）构成函数三个要素是定义域、对应关系和 值域．由于值域是由定义域和对
应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称 这两个函数相等（或
为同一函数）（2）两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与 表示自变
量和函数值的字母无关。
相同函数的判断方法：①表达式相同；②定义域一致 (两点必须同时具备)
(见课本21页相关例2)
值域补充
(1)、函数的值域 取决于定义域和对应法则，不论采取什么方法求函数的值域都应先考虑其
定义域. (2).应熟悉掌 握一次函数、二次函数、指数、对数函数及各三角函数的值域，它是
求解复杂函数值域的基础. (3) .求函数值域的常用方法有：直接法、反函数法、换元法、配方
法、均值不等式法、判别式法、单调性法 等.
3. 函数图象知识归纳
(1)定义：在平面直角坐标系中，以函数 y=f(x) , (x∈A)中的x为横坐标，函数值y为纵坐标
的点P(x，y)的集合C，叫做函数 y=f(x),(x ∈A)的图象．
C上每一点的坐标(x，y)均满足函数关系y=f(x)，反 过来，以满足y=f(x)的每一组有序实数对
x
、
y为坐标的点(x，y)，均在C 上 . 即记为C={ P(x,y) | y= f(x) , x∈A }
图象C一般的是一条光 滑的连续曲线(或直线),也可能是由与任意平行与Y轴的直线最多只
有一个交点的若干条曲线或离散点 组成.
(2) 画法
A、描点法：根据函数解析式和定义域，求出x,y的一些对应值并列 表，以(x,y)为坐标在坐
标系内描出相应的点P(x, y)，最后用平滑的曲线将这些点连接起来.
B、图象变换法（请参考必修4三角函数）
常用变换方法有三种，即平移变换、伸缩变换和对称变换
(3)作用：
1、直观的看出函数的性质；2、利用数形结合的方法分析解题的思路。提高解题的速度。

1

发现解题中的错误。

4．快去了解区间的概念
（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；（2）无穷区间；（3）区间的数轴表示．
5．什么叫做映射
一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使 对于集合A中的
任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A?
B为
从集合A到集合B的一个映射。记作“f：A
?
B”
给 定一个集合A到B的映射，如果a∈A,b∈B.且元素a和元素b对应，那么，我们把元素
b叫做元素 a的象，元素a叫做元素b的原象
说明：函数是一种特殊的映射，映射是一种特殊的对应，①集合A、 B及对应法则f是确定
的；②对应法则有“方向性”，即强调从集合A到集合B的对应，它与从B到A的 对应关系
一般是不同的；③对于映射f：A→B来说，则应满足：（Ⅰ）集合A中的每一个元素，在集< br>合B中都有象，并且象是唯一的；（Ⅱ）集合A中不同的元素，在集合B中对应的象可以是
同一个 ；（Ⅲ）不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。

6． 常用的函数表示法及各自的优点：
1
函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等等，注意判断一个图○
2
解析法：必须注明函数的定义域；○
3
图象法：描点法作图要形是否是函数图象的依据；○
4
列表法：选取的自变注意：确定函数的 定义域；化简函数的解析式；观察函数的特征；○
量要有代表性，应能反映定义域的特征．
注意啊：解析法：便于算出函数值。列表法：便于查出函数值。图象法：便于量出函数值
补充一：分段函数 （参见课本P24-25）
在定义域的不同部分上有不同的解析表 达式的函数。在不同的范围里求函数值时必须把自变
量代入相应的表达式。分段函数的解析式不能写成几 个不同的方程，而就写函数值几种不同
的表达式并用一个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的 取值情况．
（1）分段函
数是一个函数，不要把它误认为是几个函数；（2）分段函数的定义域 是各段定义域的并集，值
域是各段值域的并集．
补充二：复合函数
如果y=f(u),(u∈M),u=g(x),(x∈A),则 y=f[g(x)]=F(x)，(x∈A) 称为f、g的复合函数。
例如:
y=2
y=2cos(X
2
+1)

7．函数单调性
（1）．增函数
设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任 意两个自变量x
1
，x
2
，
当x
1
2
时，都有f(x
1
)2
)，那么就说f(x)在区间D上是 增函数。区间D称为y=f(x)的单
调增区间 （睇清楚课本单调区间的概念）
如果对于区 间D上的任意两个自变量的值x
1
，x
2
，当x
1
2
时，都有f(x1)
＞
f(x2)，那么就说
f(x)在这个区间上 是减函数.区间D称为y=f(x)的单调减区间.
1
函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质； 注意：○
2
必须是对 于区间D内的任意两个自变量x
1
，x
2
；当x
1
2
时，总有f(x
1
)2
) ． ○
（2） 图象的特点

2
sinX

如果函数y =f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)
单调性 ，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的.
(3).函数单调区间与单调性的判定方法
(A) 定义法：
1
任取x
1
，x
2
∈D，且x
1
2
；○
2
作差f(x
1
)－f(x
2
)；○
3
变形（通常是因式分解和配方）
4
○；○
5
下结论定号（即判断差f(x
1
)－f(x
2
)的正负）；○（指出函数f(x)在给定的区间D上的单调 性）．
(B)图象法(从图象上看升降)_
(C)复合函数的单调性
复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x)，y=f(u)的单调性密切相关，其规律如下：
函数
u=g(x)
y=f(u)
y=f[g(x)]
单调性
增
增
增
增
减
减
减
增
减
减
减
增
注意：1、函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和在一起写
成其并集. 2、还记得我们在选修里学习简单易行的导数法判定单调性吗？

8．函数的奇偶性
（1）偶函数
一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=f(x )，那么f(x)就叫做偶函数．
（2）．奇函数
一般地，对于函数f(x)的定义域内的 任意一个x，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做奇函数．
1
函数是奇函数或 是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；注意：○
函数可能没有奇偶性,也可能既 是奇函数又是偶函数。
2
由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对 于定义域内的任意一○
个x，则－x也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）．
（3）具有奇偶性的函数的图象的特征
偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称．
1
首先确定函数的定义域，并判断其定义域总结：利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：○
2
确定f(－x)与f(x)的关系；
3
作出相应结论：是否关于原点对称；○○若f(－x) = f(x) 或 f(－
x)－f(x) = 0，则f(x)是偶函数；若f(－x) =－f(x) 或 f(－x)＋f(x) = 0，则f(x)是奇函数．
注意啊：函数定义域关于 原点对称是函数具有奇偶性的必要条件．首先看函数的定义域是否
关于原点对称，若不对称则函数是非奇 非偶函数.若对称，(1)再根据定义判定; (2)有时判定
f(-x)=±f(x)比较困难，可考 虑根据是否有f(-x)±f(x)=0或f(x)f(-x)=±1来判定; (3)利用定理，
或借助函数的图象判定 .

9、函数的解析表达式
（ 1）.函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的函数关系时，一是要求出
它们之间的对 应法则，二是要求出函数的定义域.
（2）.求函数的解析式的主要方法有：待定系数法、换元法、消 参法等，如果已知函数解析
式的构造时，可用待定系数法；已知复合函数f[g(x)]的表达式时，可 用换元法，这时要注意
元的取值范围；当已知表达式较简单时，也可用凑配法；若已知抽象函数表达式， 则常用解
方程组消参的方法求出f(x)

10．函数最大（小）值（定义见课本p36页）

3

1
利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值○
2
利用图象求函数的最大（小）○
3
利用函数单调性的判断函数的最大值○（小）值：如果函数 y=f(x)在区间[a，b]上单调递增，
在区间[b，c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b 处有最大值f(b)；如果函数y=f(x)在区间[a，b]
上单调递减，在区间[b，c]上单调递 增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b)；

11．解答数学应用题的关键有两点：
一是认真读题，缜密审题，确切理解题意，明确问题的 实际背景，然后进行科学的抽象、概
括，将实际问题归纳为相应的数学问题；
二是要合理选取 参变数，设定变元后，就要寻找它们之间的内在联系，选用恰当的代数式表
示问题中的关系，建立相应的 函数、方程、不等式等数学模型；最终求解数学模型使实际问
题获解.
函数的性质与函数图象的特点
函数性质
函数的图象
定义 图像特点
一般为一条连续曲线,也可能是由
若干条曲线或离散点组成.
图像左右存在的范围
图像上下存在的范围
图像关于原点对称
图像关于y轴对称
在区间［a,b］内，
图像从左到右上升
C?
?
P(x,y)|y?f(x),x?M
?

自变量x的取值范围
函数值y的取值范围
对任意的
x?M
都有
f(-x)=-f(x)
对任意的
x?M
都有
f(-x)=f(x)
对任意的
x
1
、
x
2?
?
a,b
?
?
M

当
x
1
<
x
2
时，都有f(
x
1
)x2
)
对任意的
x
1
、
x
2
?
?
a,b
?
?
M
,
当
x
1
<
x
2
时，都有f(
x
1
)>f(
x
2)
定义域 M
值域N
奇
偶
性

奇函数

偶函数

增函数
单 （递增区间）

调

减函数
性
（递减区间）
在区间［a,b］内，
图像从左到右下降
周期性
零点
正值区间
负值区间
在y轴上的截距
过定点
对任意的
x?M
，如果有非零常数
T,使得f(x+T)=f(x)
f(x)=0时x的值
f(x)>0时x的取值范围
f(x)<0时x的取值范围
f(0)的值
与参数无关的（
x
0
,y
0
）
自变量增加T时，图像重复出现
图像与x轴的交点的横坐标
图像位于x轴上方时，x所在的区
间
图像位于x轴下方时，x所在的区
间
图像与y轴的交点的纵坐标
图像上与参数无关的点

4

5