高中数学必修二知识点总结讲解学习

高数学必修二知识
点总结
中

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第一章 空间几何体
一、空间几何体的结构
1.多面体：一般地，我们把由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体。围
成多面体的各个 多边形叫做多面体的面；相邻两个面的公共边叫做多面体的
棱；棱与棱的公共点叫做多面体的顶点。 < br>2.旋转体：我们把由一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的
封闭几何体叫做旋 转体。这条定直线叫做旋转体的轴。
棱柱：一般地，有两个面互相平行，其余各 面都是四边形，并且每相邻两
个各四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱
柱。棱柱中，两个互相平行的面叫做棱柱的底面，简称底；其余各
面叫做棱柱的侧面；相邻侧面的公共边 叫做棱柱的侧棱；侧面与底
面的公共顶点叫做棱柱的顶点。
柱 圆柱：以矩形的一边 所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围
成的旋转体叫做圆柱。旋转轴叫做圆柱的轴；垂直于轴的 边旋转而
成的圆面叫做圆柱的底面；平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱
的侧面；无论旋转到 什么位置，不垂直于轴的边都叫做圆柱侧面的
母线。
棱锥：一般地，有一个面 是多边形，其余各面都是由一个公共顶点的三
角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥，这个多边形面叫 做棱锥
的底面或底；有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥的侧面；各侧面
的公共
锥 顶点叫做棱锥的顶点；相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱。
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3 圆锥：以直角三角形的一天直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形
成的面所围成的旋转体叫做圆锥。
圆锥也有轴、底面、侧面、母线。
棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部
分，这样的多面体叫做棱台。原棱锥
台 的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面，棱台也有侧面、侧
棱、顶点。
圆台：用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分，叫
做圆台。 圆台也有轴、底面、侧面、母线。
球： 以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的 旋转体叫做
球体，简称球。半圆的圆心叫做球的球心，半圆的半径叫做球的半
径，半圆的直径叫 做球的直径。
二、空间几何体的三视图和直观图
1.投影：由于光的照射，在不透明物体后 面的屏幕上可以留下这个物体的影
子，这种现象叫做投影。其中我们把光线叫做投影线，把留下物体影子 的屏幕
叫做投影面。
2.中心投影：我们把光由一点向外散射形成的投影，叫做中心投影。
3.平行投影：我们把在一束平行光线照射下形成的投影，叫做平行投影。
4.三视图：光线 从几何体的前面向后面正投影，得到投影图，这种投影图叫做
几何体的正视图；光线从几何体的左面向右 面正投影，得到投影图，这种投影
图叫做几何体的侧视图；光线从几何体的上面向下面正投影，得到投影 图，这
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种投影图叫做几何体的俯视图。几何体的正视图、侧视图和俯视图统称为几何
体的三视图。 < br>5.斜二测画法：对于平面多边形，我们常用斜二测画法画它们的直观图。斜二
测画法是一种特殊 的平行投影画法。
斜二测画法原则：横不变，纵减半。
斜二测画法步骤：①在已知图形中取 互相垂直的
x
轴和
y
轴，两轴相交于点
O
。画直观图时，把 它们画成对应的
x'
轴与
y'
轴，两轴交于点
O'
，且使< br>?x'O'y'?45
o
（或135°），它们确定的平面表示水平面。
②已 知图形中平行于
x
轴或
y
轴的线段，在直观图中分别画成平行于
x'
轴或
y'
轴的线段。
③已知图形中平行于
x
轴的线段，在 直观图中保持原长度不变，平行于
y
轴的
线段，长度为原来的一半。
三、空间几何体的表面积与体积
面
积、体积
几 何 体
柱 体
锥 体
台 体
球 体
侧面积 表面积 体 积
S
侧面积
?2
?
rl

S
侧面积
?
?
rl

S
侧面积
?
?
rl?
?
r'l

S
表面积
?2
?
r（?r?l)

S
表面积
?
?
r（?r?l)

V?Sh

1
V?Sh

3
1
V?(S'?S'S?S)h

3
4
V?
?
R
3

3
S
表面积
?
?
?(r'
2
?r
2
?r'l?rl)< br>

S
表面积
=4
?
R
2

第二章 点、直线、平面之间的位置关系
1.平面：我们常常把水平的平面画成一个平行四边 形，用平行四边形表示平
面，平行四边形的锐角通常画成45°，且横变长等于其邻边长的2倍。如果一 个
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平面被另一个平面遮挡住，为了增强它的立体感，我们常把被遮挡部分用虚线
画出。
2.平面的表示：为了表示平面，我们常把希腊字母α，β，γ等写在代表平面的平
行四边形的一个角上 ；也可以用代表平面的平行四边形的四个顶点，或者相对
的两个顶点的大写英文字母作为这个平面的名称 。
3.补充：1个平面将空间分成2个部分；2个平面将空间分成3或4个部分；3
个平面将 空间分成4或6或7或8个部分。
4.异面直线：我们把不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。
5.空间两条直线的位置关系：
相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点。
共面直线
平行直线：同一平面内，没有公共点。
异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点。
6.异面直线所成的角：已知两条异面直线
a,b
，经过空间任一点
O
作直线
a'
∥
a
，
b'
∥
b
，我们把
a'
与
b'
所成的 锐角（或直角）叫做异面直线
a
与
b
所成的角
（或夹角）【规定：两 条直线平行时，两直线所成的角为0°】。如果两条异面
直线所成的角是直角，那么我们就说这两条直线 互相垂直。两条互相垂直的异
面直线
a,b
，记作
a?b
。
注意：①异面直线所成的角是空间中的线线角；②用平面角来刻画异面直线所
成的角；③异面直线所成 的角的范围是
?
0
o
,90
o
?
?
；④异 面直线所成的角与点
O
的位置无关；⑤选点
O
时，一般选在一条异面直线上， 再过该点作另一条直线
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的平行线，如果在特殊图形中，一般选端点或中点；⑥若两条异面直线所成的
角为90°，我们 称这两条异面直线相互垂直（以算代证）。
7.直线与平面的位置关系：
①直线在平面内——有无数个公共点；
②直线与平面相交——有且只有一个公共点（直线a
与平面
?
相交于点A，记
作
aI
?
?A）；
③直线与平面平行——没有公共点（直线
a
与平面
?
平行 ，记作
a
∥
?
）。
直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外。
8.两个平面之间的位置关系：
①两个平面平行——没有公共点（平面
?
与平面
?
平行，记作
?< br>∥
?
）；
②两个平面相交——有一条公共直线。
9.如果直线l
与平面
?
内的任意一条直线都垂直，我们就说直线
l
与平面< br>?
互相
垂直，记作
l?
?
。直线
l
叫做平面
?
的垂线，平面
?
叫做直线
l
的垂面。直线
与平面 垂直时，它们惟一的公共点P叫做垂足。
10. 直线和平面所成角：如图，一条直线PA和一个平面
?
相交，但不和这个平
面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点A叫 做斜足。过斜
线上斜足以外的一点向平面引垂线PO，过垂足O和斜足A的直线AO叫做斜
线在 这个平面上的射影。平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫
做这条直线和这个平面所成的角 。一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角
是直角；一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所 成的角是0°的角。
α
_

_

A
_

P
_

O
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11.二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面 角。这条直线
叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面。如右图二面角可记作二面
角?
?AB?
?
或二面角
P?AB?Q
或二面角
?
?l?
?
或二面角
P?l?Q
【注
oo
意：二面角是一个 面面角，范围是
?
?
0,180
?
?
】。在二面角
?
?l?
?
的棱
l
上任
_Q
_B

_P

_O

_M


_A
_N

_L

取一点O，以点O为垂足，在半平面< br>?
和
?
内分别作垂直于棱
l
的射线ON
和OM，则射 线ON和OM构成的∠NOM叫做二面角的平面角。一般地，两个
平面相交，如果它们所成的二面角是直 二面角，就说这两个平面互相垂直。
12. 公理：公理1：【文字语言】如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这
条直线在此平面内。
【符号语言】
A?l,B?l,且A?
?
,B?
?
?l?
?

注意：点动成线、线动成面。直线、平面都可以看成点的集合。点
P
在直 线
l
上，记作
P?l
;点
P
在直线
l
外， 记作
P?l
。如果直线
l
上的所有点都在平面α
内，就说直线
l
在平面α内，或者说平面α经过直线
l
，记作
l?
?
； 否则，就说
直线
l
在平面α外，记作
l?
?
。
文字语言
点A在直线L上
点A不在直线L
上
符号语言 图形语言
AL
α
_


β
_

A?l

A?l


A
L

点A在平面α内
A?
?

α
A

A
点A不在平面α内
A?
?

α

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直线L在平面α内
l?
?

L
α

L
直线L不在平面α
内
l?
?

α

公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。
作用：公理2刻画了平面特有的基本性质，它给出了一个确定平面的依据。
引申：推论①：经过直线和直线外一点，有且只有一个平面。
推论②：经过两条相交直线，有且只有一个平面。
推论③：经过两条平行直线，有且只有一个平面。
公理3：【文字语言】如果两个不重合的平 面有一个公共点，那么它们有且只
有一条过该点的公共直线。
【符号语言】
P??
,且P?
?
?
?
I
?
?l,且P?l

作用：①用来判断平面是否相交；②用来证明点共线；③用来证明线过点。
公理4：（平行公理）平行于同一条直线的两条直线互相平行。
作用：公理4表明，空间平行 于一条已知直线的所有直线都互相平行。它给出
了判断空间两条直线平行的依据。它表述的性质通常叫做 空间平行线的传递
性。
13.定理：①（等角定理）空间中如果两个角的两边分别对应平行， 那么这两个
角相等或互补。
②（直线与平面平行的判定）【文字语言】平面外一条直线与此平 面内的一条
直线平行，则该直线与此平面平行。（线线平行
?
线面平行）
【 符号语言】
a?
?
,b?
?
,且a
∥
b?a
∥
?

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③（平面与平面平行的判定）【文字语言】一个平面内的两条相交直 线与另一
个平面平行，则这两个平面平行。（线面平行
?
面面平行）
【符号 语言】
a?
?
,b?
?
,aIb?P,a
∥
?，
b
∥
?
?
?
∥
?

引申： 推论：如果一个平面内有两条相交直线分别与另一个平面内的两条相交
直线平行，那么这两个平面平行。
④（直线与平面平行的性质）一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一
平面与此平面的交 线与该直线平行。（线面平行
?
线线平行）
作用：直线与平面平行的性质定理揭示了直线与平面平行中蕴含着直线与直线
平行。
⑤（平面与平面平行的性质）如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么
它们的交线平行。（面面平 行
?
线线平行）
⑥（直线与平面垂直的判定）一条直线与一个平面内的两条相交直线 都垂直，
则该直线与此平面垂直。
⑦（平面与平面垂直的判定）一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂
直。
⑧（直线与平面垂直的性质）垂直于同一个平面的两条直线平行。
⑨（平面与平面垂直的性质 ）两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线
与另一个平面垂直。
14.补充：
①证线线平行的方法：Ⅰ.定义法；Ⅱ.线面平行的性质定理；Ⅲ.面面平行的性
质定理；Ⅳ.平行公 理
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②证线面平行的方法：Ⅰ.线面平行的判定定理；Ⅱ.定义法；Ⅲ.面面平
行证线面平行
③证面面平行的方法：Ⅰ.定义法；Ⅱ.面面平行的判定定理；Ⅲ.平面平
行的传递性
④三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射
影垂直，那么它也和这条垂线垂 直。
⑤三垂线定理逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂
直，那么它也 和这条斜线的射影垂直。
⑥射影长定理：Ⅰ.从平面外一点向平面所引的斜线段、垂线段中，垂线段最
短。
Ⅱ .如图（射影长定理图）：若
PA?PB
，则
OA?OB
；若
OA? OB
，则
α
A
B
P
O
射影长定理图
PA? PB
。
Ⅲ. 如图（射影长定理图）：若
PA?PB
，则
OA?O B
；若
P
PA?PB
，则
PA?PB
。
⑦最小角 定理：斜线和平面所成的角是这个斜线与平面内过斜足的
所有直线所成角中的最小角。（最小角定理图）
α
O
最小角定理图
A
b
2
?c
2
?a
2
cosA?
2bc
a
2
?c
2
?b
2
⑧余弦定理：
cosB?

2ac
a
2
?b
2
?c
2
cosC?
2ab
c
B
b< br>C
a
第三章 直线与方程
一、直线的倾斜角与斜率
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1.倾斜角： 当直线
l
与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴正向与直线
l
向上
方向之间所成的夹角
?
叫做直线
l
的倾斜角。当直线
l
与 x轴平行或重合时，我
们规定它的倾斜角为0°。则直线的倾斜角
?
的取值范围为0° ≤
?
＜180°。
2.确定一条直线的条件：直线上的一点和这个直线的倾斜角可以惟一确定一条
直线。
3.确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素是：直线上的一个定点以及
它的倾斜角。
4.坡度（倾斜程度）：日常生活中，我们用“升高量与前进量的比”表示倾斜面的
“坡度”（ 倾斜程度），即
坡度（比）=
升高量

前进量
5.斜率：一条直线的 倾斜角
?
的正切值叫做这条直线的斜率，我们用斜率表示
直线的倾斜程度。斜率常用小 写字母k表示，即
k?tan
?
。
注意：倾斜角是90°的直线没有斜率。
6.经过两点
P
1
?
x
1
,y
1
?
,P
2
?
x
2
,y
2
?
(x< br>1
?x
2
)
的直线的斜率公式为
k?
y
2< br>?y
1

x
2
?x
1
7.对于两条不重合的 直线
l
1
,l
2
，其斜率分别为
k
1
,k
2
，有
l
1
∥
l
2
?
k
1
?k
2

注意：若直线
l
1
和l
2可能重合时，我们得到
k
1
?k
2
?l
1
∥< br>l
2
或
l
1
与l
2
重合

8.如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于-1；反
之，如果它们的斜率之 积等于-1，那么它们互相垂直，即
l
1
?l
2
?k
1k
2
??1

9.两条直线垂直的条件：
l
1
?l
2
?k
1
k
2
??1或k
1
，k2
中一个为0，另一个不存在

二、直线的方程
1.直线的点斜式方程 （简称点斜式）：
y?y
0
?k(x?x
0
)

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【当直线l
的倾斜角为0°时，tan0°=0，即k=0，这是直线
l
与x轴平行或重合 ，
l
的方程就是
y?y
0
?0,或y?y
0
】 < br>注意：直线的点斜式方程仅适用于有斜率的情形，所以在求直线的方程时，应
先讨论直线有无斜率 。
2.截距：我们把直线
l
与x轴交点
?
a,0
?
的横坐标
a
叫做直线在x轴上的截距。
我们把直线
l
与y轴交点< br>?
0,b
?
的纵坐标b叫做直线
l
在y轴上的截距。
注意：截距不是距离，截距是数。
3.直线的斜截式方程（简称斜截式）：
y?kx?b

注意：直线的斜截式方程仅适用于有斜率的直线。
4.直线的两点式方程（简称两点式）：< br>y?y
1
x?x
1
?

y
2
?y< br>1
x
2
?x
1
注意：①直线的两点式方程不适用于没有斜率或 斜率为0的直线。
②若
P
1
P
2
没有两点式方程。当1
?
x
1
,y
1
?
,P
2
?
x
2
,y
2
?
中有
x
1
?x2
或
y
1
?y
2
时，直线
P
x
1
?x
2
时，直线
P
1
P
2
平行于x轴 ，直线方程为
x?x
1
?0
，或
x?x
1
；当y
1
?y
2
时，直线
P
1
P
2
平行于x轴，直线方程为
y?y
1
?0
，或
y?y
1。
xy
5.直线的截距式方程：
??1
?
a?0,b?0?

ab
注意：直线的截距式方程不适用于平行于x轴（或y轴）或过原点的直线。
6. 线段
P
1
P
2
的中点坐标公式：若点
P
1
,P
2
的坐标分别为
?
x
1
,y
1
?，
?
x
2
,y
2
?
，且线段
x
1
?x
2
2
P

1
P
2
的中点M的坐标为
?
x,y
?
，则
y
1
?y
2
y?
2
x?
7.直线的一般式 方程(简称一般式)：
Ax?By?C?0(其中A，B不同时为0）,k=-
A
(k ?0)

B
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8.在方程
Ax?By?C?0
中，
①当
A?0,C?0
时，方程表示的直线平行于x轴；
②当
B?0,C?0
时，方程表示的直线平行于y轴；
③当
A?0,B?0,C?0
时，方程表示的直线与x轴重合；
④当
A?0,B?0,C?0
时，方程表示的直线与y轴重合。
9.已知直 线
l
1
:A
1
x?B
1
y?C
1
?0
l
2
:A
2
x?B
2
y?C
2
?0
，则
①
l
1
∥
l
2
的充要条件是 ：
l
1
∥
l
2
?A
1
B
2
?A
2
B
1
?0且BC
12
-B
2
C< br>1
?0
?
或AC
12
?A
2
C
1< br>?0
?

②
l
1
⊥
l
2
的 充要条件是：
l
1
?l
2
?A
1
A
2?B
1
B
2
?0

三、直线的交点坐标与距离公式 < br>1.①若方程组有唯一解
?
l
1
与
l
2
相交 ，且有唯一交点；
②若方程组无解
?
l
1
∥
l
2
；
③若方程⑴与方程⑵可化成同一个方程
?
l
1
与
l
2重合。
引申：2.当
?
变化时，方程
A
1
x?B1
y?C
1
?
?
?
A
2
x?B
2
y?C
2
?
?0
表示直线束。
3.方程
A< br>1
x?B
1
y?C
1
?
?
?
A2
x?B
2
y?C
2
?
?0
表示过直线
A
1
x?B
1
y?C
1
?0
与直线
A< br>2
x?B
2
y?C
2
?0
交点的任意一条直线，但它 不能表示
A
2
x?B
2
y?C
2
?0
这条 直
线。
延展【常用结论】:4.过
l
1
:A
1
x ?B
1
y?C
1
?0
与
l
2
:A
2
x?B
2
y?C
2
?0
交点的直线
方程可设为< br>A
1
x?B
1
y?C
1
?
?
?A
2
x?B
2
y?C
2
?
?0
（不表 示
l
2
）或
A
2
x?B
2
y?C
2
?
?
?
A
1
x?B
1
y?C
1
?
?0
（不表示
l
1
）
5.与直线
Ax ?By?C?0
平行的直线方程可设为
Ax?By?m?0,(m?C)

6 .与直线
Ax?By?C?0
垂直的直线方程可设为
Bx?Ay?m?0

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7.两点P
12
|?
1
?
x
1
,y
1
?
,P
2
?
x
2
,y
2
?
间的距 离公式为：
|PP
?
x
2
?x
1
?
??
y
2
?y
1
?
22

8.原点O
?
0,0
?
与任一点
P
?
x,y
?
的距离公式为：
|OP|?x
2
?y
2

9.点< br>P
0
?
x
0
,y
0
?
到直线
Ax?By?C?0
的距离公式为：
d?
|Ax
0
?By
0
?C|
A?B
22

10.两条平行直线
Ax?By?C
1
?0
与
Ax?By?C
2
?0
间的距离为：d?
|C
1
?C
2
|
A?B
22

第四章 圆与方程
一、圆的方程
1.圆的标准方程：
?
x?a< br>?
?
?
y?b
?
?r
2

注意：①以方程的解为坐标的点都在圆上；②在圆上的点，它的坐标都是方程
的解。
2. 点在圆上
?
?
x?a
?
?
?
y? b
?
?r
2

点在圆内
?
?
x? a
?
?
?
y?b
?
?r
2

点在圆外
?
?
x?a
?
?
?
y?b
??r
2

3.单位圆：若
x
2
?y
2
?1
，则称其为单位圆。
4.圆的一般方程：
x
2
?y
2
?Dx?Ey?F?0
【注意：①当
D
2
?E
2
? 4F?0
时，方
1
?
DE
?
程
x
2
?y
2
?Dx?Ey?F?0
表示以
?
?,?
?
为圆心，
D
2
?E
2
?4F
为半径长
2
?
2
?
2
22
22
22
22
的圆；
?
DE
?
②当
D
2
?E
2
?4F?0< br>时，方程
x
2
?y
2
?Dx?Ey?F?0
表示一个 点
?
?,?
?
；
2
??
2
③当
D
2
?E
2
?4F?0
时，方程
x
2
?y
2
?Dx?Ey?F?0
不表示任何图形。】
二、直线、圆的位置关系
1.直线与圆的位置关系
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直线与圆相交，有两个公共点
?d?R?
方程组有两组不同实数解
(??0)

直线与圆相切，只有一个公共点
?d?R?
方程组有唯一实数解
(??0)

直线与圆相离，没有公共点
?d?R?
方程组无实数解
(??0)

2.求两圆公共弦所在直线方程的方法：将两圆方程相减。
3.求经过两圆交点的圆系方程：
x
2
?y
2
?D
1
x?E
1
y? F
1
?
?
(x
2
?y
2
?D
2< br>x?E
2
y?F
2
)?0

三、空间直角坐标系 < br>1.如图
OABC?D'A'B'C'
是单位正方体。以
O
为原点，分 别以射线
z
D'
C'
B'
C
B
y
OA,O C,OD'
的方向为正方向，以线段
OA,OC,OD'
的长为单位长，
A'
A
x
O
建立三条数轴：x轴、y轴、z轴。这是我们说建立了一个空间直角< br>坐标系
Oxyz
，其中点O叫做坐标原点，x轴、y轴、z轴叫做坐标
轴。通过 每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称
xOy
平面、
yOz
平面、
zOx
平面。
2. 数轴：一个点与一个实数一一对应。
平面直角坐标系：一个点与一个有序实数对一一对应。
空间直角坐标系：一个点与一个有序实数组一一对应。
3. 如图，设点M位空间的一个定点，过点M 分别作垂直于x轴、y轴
x
P
o
M'
z
R
M
y
和z轴的平面，依次交x轴、y轴和z轴于点P，Q和R.设点P，Q和
R在x轴、y轴和 z轴上的坐标分别是x，y和z，那么点M就对应唯一确定的
有序实数组
?
x,y,z
?
。
反过来，给定有序实数组
?
x,y,z
?
， 我们可以在x轴、y轴和z轴上依次取
坐标为x，y和z的点P，Q和R，分别过P，Q和R各作一个平 面，分别垂直
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于x轴、y轴和z轴，这三个平面的唯一的交点就是有序实数组
?
x,y,z
?
确定的
点M。
这样，空间一点M的坐标可以用有序实数组
?
x,y,z< br>?
来表示，有序实数组
?
x,y,z
?
叫做点M在此空间直角 坐标系中的坐标，记作M
?
x,y,z
?
。其中x叫点
M的横坐标， y叫做点M的纵坐标，z叫做点M的竖坐标。
4.
x
2
?y
2< br>?z
2
?r
2
表示的图形是球。
5.在空间直角坐标系Oxyz
中，任意一点
P
?
x,y,z
?
与原点间的距 离
|OP|?x
2
?y
2
?z
2

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