数学必修二知识点归纳

高中数学必修 2 知识点总结

立体几何初步


'
特殊几何体表面积公式（

c 为底面周长， h 为高，
h
为斜高， l 为母线）


S
侧
S
正棱锥侧面
直棱柱侧面积

S
圆柱

ch








圆柱表

积








1

ch'


2



S



正棱台侧面积

1

(c
1

2



c
2
) h'

















2 rh


S


2 r

r

l


S

圆锥侧面

S
圆锥

积


rl


表

S
圆台侧面积

(r

R) l

S
圆台表

r
2

rl

Rl R
2


柱体、锥体、台体的体积公式


V
2
柱

Sh
1


V

1

V
锥
Sh


(S

'

'

台


S

S S)h

V
圆柱
Sh

r


h


V
3


3


圆台

1
(S
'
S
'
S S)h

1

(r
2


rR R
2
)h



3


3


4

（4）球体的表面积和体积公式：

V
球
=

R
3

； S
球面
=
4 R
2





3





第二章

直线与平面的位置关系

2.1

空间点、直线、平面之间的位置关系

1

平面含义：平面是无限延展的
2

三个公理：
（1）公理

1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内

.

符号表示为

A ∈L




B∈L => L

α

A




α ·



A∈α


L



B∈α


公理 1

作用： 判断直线是否在平面内 .


（2）公理

2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。

A

符号表示为： A、 B、C 三点不共线 => 有且只有一个平面α，

α ·
·
B


C

·

使

A∈α、 B∈α、 C∈α。


公理 2 作用： 确定一个平面的依据。



（3）公理 3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。
符号表示为： P∈α∩β => α∩β =L，且 P∈L



β



公理 3 作用： 判定两个平面是否相交的依据 .


2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系



α

P


·

L


1 空间的两条直线有如下三种关系：


相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；

共面直线



平行直线：同一平面内，没有公共点；


异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点。


2 公理 4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。


符号表示为：设 a、 b、c 是三条直线


a∥ b

=>a∥c



c∥ b


强调：公理 4 实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。


公理 4 作用： 判断空间两条直线平行的依据。


3 等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补

.


r

r

l



V
圆锥

1

r
2
h


3

4 注意点：





① a' 与 b' 所成的角的大小只由 a、 b 的相互位置来确定，与 O 的选择无关，为了简便，点

O 一般取在两直线中的一条上；

2

②

两条异面直线所成的角θ∈ (0 ， ) ；

③

当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作

④

两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形；

⑤

计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。

2.1.3 — 2.1.4 空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系

1、直线与平面有三种位置关系：

（1）直线在平面内

（2）直线与平面相交

（3）直线在平面平行


















a⊥ b；








—— 有无数个公共点

—— 有且只有一个公共点

—— 没有公共点

a

α来表示

指出：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用

a





α

a

∩α =A

a

∥α

2.2. 直线、平面平行的判定及其性质

2.2.1 直线与平面平行的判定

1、 直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。

简记为： 线线平行，则线面平行。




符号表示：

a

b

α

β

=> a

∥α

a∥b


2.2.2 平面与平面平行的判定










1、两个平面平行的判定定理：一个平面内的两条交直线与 另一个平面平行，则这两个平面平行。

符号表示：

a

b

β

β

β∥α

a∩b = P

a∥α

b∥α

2、判断两平面平行的方法有三种：


（ 1）用定义；

（ 2）判定定理；

（ 3）垂直于同一条直线的两个平面平行。

2.2.3 — 2.2.4 直线与平面、平面与平面平行的性质



1、直线与平面平行的性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与 该直线平行。

简记为： 线面平行则线线平行。





符号表示： a

∥α

a

β

a

∥b

α∩β = b

作用：利用该定理可解决直线间的平行问题。


2、两个平面平行的性质定 理：如果两个平行的平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。


符号表示： α∥β



α∩γ = a
β∩γ = b


a

∥b

作用：可以由平面与平面平行得出直线与直线平行


2.3 直线、平面垂直的判定及其性质

2.3.1 直线与平面垂直的判定


1、定义：如果直线 L 与平面α内的任意一条直线都垂直，


我们就说直线

L 与平面α互相垂直，
记作 L⊥α， 直线 L 叫做平面α的垂线，

平面α叫做直线 L 的垂面。如图，直线与平面垂直时



, 它们唯一公共点

P 叫做垂足。

P






a

L

2、直线与平面垂直的判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直， 则该直线与此平面垂直。

注意点：




a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；

b) 定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想。
2.3.2 平面与平面垂直的判定

1、二面角的概念：表示从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形


A


梭 l


β

B





α

2、二面角的记法：二面角α -l-

β或α -AB- β

3、两个平面互相垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。

2.3.3 — 2.3.4 直线与平面、平面与平面垂直的性质







1、直线与平面垂直的性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。

2、两个平面垂直的性质定理：

两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。

第三章

直线与方程

（1）直线的倾斜角


定义： x 轴正向 与直线 向上方向 之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地，当直线与


此，倾斜角的取值范围是

0°≤α＜ 180°


（2）直线的斜率




x 轴平行或重合时 ,我们规定它的倾斜角为 0 度。因

①定义： 倾斜角不是

90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。 直线的斜率常用 k 表示。即
k tan
。斜率反映直线与轴的倾斜程度。

当直线 l 与 x 轴平行或重合时 ,

α=0°, k = tan0


°=0;







当直线 l 与 x 轴垂直时 , α = 90 °, k 不存在 .

当

0 ,90
时，

k

0
；

：

当

90

,180

时，
k

0
；当
90

时，
k
不存在。

②过两点的直线的斜率公式


k

( x
1

y
2

x
2

x
1


y
1
x
2
)


（ P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1


≠ x2）

注意下面四点： (1) 当
1

x
2

时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为

(2) k 与 P
1
、P
2
的顺序无关；

(3) 以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得；

(4) 求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。

x
90°；

（3）直线方程


①点斜式：













y

y
1

k (x

x
1
)
直线斜率

k，且过点
x
1
, y
1

注意： 当直线的斜率为

0°时， k=0，直线的方程是 y=y
1
。



当直线的斜率为

90°时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示．但因

是 x=x
1
。


②斜截式：

③两点式：



l 上每一点的横坐标都等于






x
1
，所以它的方程

y

kx

b
，直线斜率为

k
，直线在

y

轴上的截距为

b

x

x
2

④截矩式：

x
y

y

y
1

y
2

y
1

x


2



1
（


x
1

x
1
x
2
, y
1
y
2

）直线两点

x , y

，


1 1
x , y

2


1
其中直线

l

与
x
轴交于点
( a,0)
,与

y

轴交于点
(0, b)
,即

l

与
x
轴、

y

轴的截距分别为
a,b
。

a b

⑤一般式：
Ax

○

By

C


○

0
（A，B

不全为

0）

2

特殊的方程如：













注意：

1

各式的适用范围






平行于 x 轴的直线：

y

（6）两直线平行与垂直


当
b
（b

为常数）；


平行于 y 轴的直线：
x























a
（

a

为常数）；























l
1
: y k
1
x

k
1

l
2

b
1

，
l
2
: y

1



k
2
x b
2

时，









l
1
l
2

l
1

k
2
,b
1

b
2

；


k
1
k
2

注意：利用斜率判断直线的平行与垂直时，要注意斜率的存在与否。

（7）两条直线的交点


l
1
: A
1
x B
1
y C
1

0 l
2
: A
2
x B
2
y C
2

交点坐标即方程组


A
1
x

B
1
y


C
1

A
2
x

B
2
y


C
2

；


0
0
相交










的一组解。

0

方程组无解

l
1

l
2

设
方程组有无数解

l
1

与
l
2

重合


（8）两点间距离公式：

则
A( x
1
, y
1
)，（B

x
2
, y
2
）
是平面直角坐标系中的两个点，

( y
2

y
1
)
2


一点



|AB|


( x
2

x
1
)
2



（ 9）点到直线距离公式：


（10）两平行直线距离公式



P x
0
, y
0



到直线
l
1
: Ax







By



C

0
的距离

d




Ax
0

By
0
C

A
2

B
2


已知两条平行线直线

l
1

和
l
2

的一般式方程为

l
1

：
Ax

By

C
1

，则

0

，








l
2
Ax

By

C
2


：
0 l
1
l
2


与的距离为

C
1

C
2

A
2

第四章











d






B
2

圆与方程

1、 圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆，定点为圆心，定长为圆的半径。


2、圆的方程


（1

）标准方程
x

点






a
2

y

b
2

r
2

，圆心

a,b
，半径为

r；

r
2

的位置关系：



M (x
0
, y
0
)
与圆
( x

a)
2


( y b)
2

当
( x
0

当


a)
2

( y
0

b)
2

>

r
2

，点在圆外

2
当
( x
0
a)

( y
0

b)
2

=
r

2

，点在圆上


( x
0

a)
2

( y
0

b)
2

<

r
2

，点在圆内



D
,

2










2
）一般方程

（

2

2
2
x

y
2


Dx

Ey

F

0

当
D


E

4 F

0
时，方程表示圆，此时圆心为


当

E

，半径为
r

2


1

D
2

E
2

4F

2






D

2

E
2

4

F

0

时，表示一个点；

2
当

E
2

4

F

0

时，方程不表示任何图形。


（

3）求圆方程的方法：
一般都采用待定系数法：先设后求。
确定一个圆需要三个独立条件，若 利用圆的标准方程，


D
需求出 a，b，r ；若利用一般方程，需要求出

D，E， F；


另外要注意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过原点，以此来确定圆心的位置。


3、直线与圆的位置关系：


直线与圆的位置关系有

相离，相切，相交 三种情况：













2




















（ 1 ）设直线
l : Ax


By C 0

，圆
2


C : x a

y


2

br


，圆心


C a, b
到

l

的距离为

d

Aa

Bb C

A
2




，则有


B
2


d r

l与C相离
；

d

r

l与 C相切
；
d r

l 与 C相交

（2）过圆外一点的切线

：① k 不存在，验证是否成立②

k 存在，设点斜式方程，用圆心到该直线距离

=半径，求解 k ，得到方程【一定

两解】


(3)过圆上一点的切线

4、圆与圆的位置关系：

设圆
2

方程：圆 (x-a)+(y-b)

2

2

2
2
=r

2
，圆上一点为 (x
0
，
y
0
)，则过此点的切线方程为 (x
0
-a)(x-a)+(y
0
-b)(y-b)= r
2

2

2

通过两圆半径的和（差） ，与圆心距（ d）之间的大小比较来确定。



C
1
: x a
1

y b
1

r
，

C

2

: x a
2

y b
2

R
2

两圆的位置关系常通过两圆半径的和（差）


，与圆心距（ d）之间的大小比较来确定。



当
d R r
时两圆外离，此时有公切线四条；

当
d R r
时两圆外切，连心线过切点，有外公切线两条，内公切线一条；

当
R

当
d

当
d



r

d R r
时两圆相交，连心线垂直平分公共弦，有两条外公切线；

R

r
时，两圆内切，连心线经过切点，只有一条公切线；

R

r
时，两圆内含；

当
d

0
时，为同心圆。

注意：已知圆上两点，圆心必在中垂线上；已知两圆相切，两圆心与切点共线

圆的辅助线一般为连圆心与切线或者连圆心与弦中点