(完整版)必修2--圆与方程知识点归纳总结

必修2
圆与方程

1. 圆的标准方程：以点
C(a ,b)
为圆心，
r
为半径的圆的标准方程是
(x?a)
2
? (y?b)
2
?r
2
.
特例：圆心在坐标原 点，半径为
r
的圆的方程是：
x
2
?y
2
?r2
.
2. 点与圆的位置关系：
(1). 设点到圆心的距离为d，圆半径为r：
a.点在圆内 d＜r； b.点在圆上 d=r； c.点在圆外 d＞r
(2). 给定点
M(x
0
,y
0
)
及圆
C:(x?a)
2
?(y?b)
2
?r
2
.
①
M
在圆
C
内
?(x
0
? a)
2
?(y
0
?b)
2
?r
2

（x
0
?a)
2
?(y
0
?b)
2
?r
2
②
M
在圆
C
上
?
③
M
在圆
C
外
?(x
0
?a)
2
?(y< br>0
?b)
2
?r
2

（3）涉及最值：
① 圆外一点
B
，圆上一动点
P
，讨论
PB
的最值
PB
min
?BN?BC?r

PB
max
?BM?BC?r


② 圆内一点
A
，圆上一动点
P
，讨论
PA
的最值


PA
min
?AN?r?AC


PA
max
?AM?r?AC


思考：过此
A
点作最短的弦？（此弦垂直
AC
）

3. 圆的一般方程：
x
2
?y
2
?Dx?Ey?F?0
.
?
DE
?
(1) 当
D?E?4F?0
时，方程表示一个圆 ，其中圆心
C
?
?,?
?
，半径
r?
22
??
22
D
2
?E
2
?4F
.
2
1

必修2
(2) 当
D
2
?E
2
?4F?0
时，方程表示一个点
?
?
?DE
?
,?
?
.
22
??
(3) 当
D
2
?E
2
?4F?0
时，方程不表示任何图形. 注：方程
Ax
2
?Bxy?Cy
2
?Dx?Ey?F?0
表示圆的充要条件是：
B?0
且
A?C?0
且
D
2
?E
2
?4AF?0
.

4. 直线与圆的位置关系：
直线
Ax?By?C?0
与圆
(x?a)
2
?(y?b )
2
?r
2

圆心到直线的距离
d?
Aa?Bb?C
A?B
22

1）
d?r?直线与圆相离?无交点
；
2）
d?r?直线与圆相切?只有一个交点
；
3）
d?r?直线与 圆相交?有两个交点
；弦长|AB|
=
2
r
2
?d
2

r
d
d=r
r
d


还可以利用直线方程与圆的方程联立方程组
?
的个数来判断：
（1）当
??0
时，直线与圆有2个交点，，直线与圆相交；
（2）当
??0
时，直线与圆只有1个交点，直线与圆相切；
（3）当
??0
时，直线与圆没有交点，直线与圆相离；

5. 两圆的位置关系
2222
（1）设两圆
C
1
:(x?a
1
)?(y?b
1
)?r
1
与圆
C
2
:(x ?a
2
)?(y?b
2
)?r
2
，
22
?
Ax?By?C?0
?
x?y?Dx?Ey?F?0
22
求解，通 过解
圆心距
d?(a
1
?a
2
)?(b
1
?b
2
)

①
d?r
1
?r
2
?外离?4条公切线
；
②
d?r
1
?r
2
?外切?3条公切线
；
③ r
1
?r
2
?d?r
1
?r
2
?相交 ?2条公切线
；
22

2

必修2
④
d?r
1
?r
2
?内切?1条公切线
；
⑤
0?d?r
1
?r
2
?内含?无公切线
；

外离 外切 相交 内切
（2）两圆公共弦所在直线方程
22
圆C
1
：
x?y?D
1
x?E
1
y?F
1
?0
，
22
圆
C
2
：
x?y?D
2
x?E
2
y?F
2
?0
，
则
?
D
1
?D
2
?
x??
E
1
?E
2
?
y?
?
F
1
?F
2
?
?0
为两相交圆公共弦方程.
补充说明：
① 若
C
1
与
C
2
相切，则表示其中一条公切线方程；
② 若
C
1
与
C
2
相离，则表示连心线的中垂线方程.

（3）圆系问题
2222
过两圆
C
1
：
x?y?D
1
x?E
1
y?F
1
?0
和
C
2
：
x?y?D
2
x?E
2
y?F
2< br>?0
交点的圆系
方程为
x
2
?y
2
?D1
x?E
1
y?F
1
?
?
x
2
?y
2
?D
2
x?E
2
y?F
2
?0< br>（
?
??1
）
补充：
① 上述圆系不包括
C
2
；
② 2）当
?
??1
时，表示过两圆交点的直线方程（公共弦）
③ 过直线Ax?By?C?0
与圆
x?y?Dx?Ey?F?0
交点的圆系方程为
22
??
x
2
?y
2
?Dx?Ey?F?
?
?
Ax?By?C
?
?0

6. 过一点作圆的切线的方程：
(1) 过圆外一点的切线：
①k不存在，验证是否成立
②k存在，设点斜式方程，用圆心到该直线距离
=
半径，即
?
y< br>1
?y
0
?k(x
1
?x
0
)
?< br>b?y
1
?k(a?x
1
)

?
R?
?
R
2
?1
?

3

必修2
求解k，得到切线方程【一定两解】
(2) 过圆上一点的 切线方程：圆(
x—a
)
+
(
y—b
)
=r
，圆上一点为(
x
0
，y
0
)，
则过此点的切线方程为 (
x
0
—a
)(
x—a
)
+
(
y
0
—b
)(
y—b
)
= r

特别地， 过圆
x
2
?y
2
?r
2
上一点
P(x0
,y
0
)
的切线方程为
x
0
x?y
0
y?r
2
.
7．切点弦
(1)过⊙
C
：(x?a)?(y?b)?r
外一点
P(x
0
,y
0
)
作⊙
C
的两条切线，切点分别为
A、B
，
2
则切点 弦
AB
所在直线方程为：
(x
0
?a)(x?a)?(y
0
?b)(y?b)?r

2
222
222

8. 切线长：
2
若圆的方程为(
x
?
a
)(
y
?
b
)=
r
，则过圆外一点
P
(
x
0< br>,
y
0
)的切线长为
22
d
=
(x
0
?a)
2
+(y
0
?b)
2
?r
2< br>．
9. 圆心的三个重要几何性质：
① 圆心在过切点且与切线垂直的直线上；
② 圆心在某一条弦的中垂线上；
③ 两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线。


4