北师版高中数学目录-长沙高中数学老师待遇
1．（2014?山东）如图，四棱锥P﹣ABCD中，AP⊥平面PCD，AD∥BC，AB=
BC=AD，E，F分别为线段AD，
PC的中点．
（Ⅰ）求证：AP∥平面BEF；
（Ⅱ）求证：BE⊥平面PAC．
解答： 证明：（Ⅰ）连接CE，则
∵AD∥BC，BC=AD，E为线段AD的中点，
∴四边形ABCE是平行四边形，BCDE是平行四边形，
设AC∩BE=O，连接OF，则O是AC的中点，
∵F为线段PC的中点，
∴PA∥OF，
∵PA?平面BEF，OF?平面BEF，
∴AP∥平面BEF；
（Ⅱ）∵BCDE是平行四边形，
∴BE∥CD，
∵AP⊥平面PCD，CD?平面PCD，
∴AP⊥CD，
∴BE⊥AP，
∵AB=BC，四边形ABCE是平行四边形，
∴四边形ABCE是菱形，
∴BE⊥AC，
∵AP∩AC=A，
∴BE⊥平面PAC．
3．（2014?湖北）在四棱锥P﹣ABCD中，侧面PCD⊥底面ABCD，PD⊥CD，E为PC
中点，底面ABCD是直角梯
形，AB∥CD，∠ADC=90°，AB=AD=PD=1，CD=2．
（Ⅰ）求证：BE∥平面PAD；
（Ⅱ）求证：BC⊥平面PBD；
（Ⅲ）设Q为侧棱PC上一点，，试确定λ的值，使得二面角Q﹣BD﹣P为45°．
解答： 解：（Ⅰ）取PD的中点F，连接EF，AF，
∵E为PC中点，∴EF∥CD，且，
在梯形ABCD中，AB∥CD，AB=1，
∴EF∥AB，EF=AB，∴四边形ABEF为平行四边形，
∴BE∥AF，∵BE?平面PAD，AF?平面PAD，
∴BE∥平面PAD．（4分）
（Ⅱ）∵平面PCD⊥底面ABCD，PD⊥CD，∴PD⊥平面ABCD，
∴PD⊥AD．（5分）
如图，以D为原点建立空间直角坐标系D﹣xyz．
则A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，2，0），P（0，0，1）．（6分）
，，
∴，BC⊥DB，（8分）
又由PD⊥平面ABCD，可得PD⊥BC，
∴BC⊥平面PBD．（9分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，平面PBD的法向量为，（10分）
∵，，且λ∈（0，1）
∴Q（0，2λ，1﹣λ），（11分）
设平面QBD的法向量为=（a，b，c），，，
由，，得
，
∴，（12分）
∴，（13分）
因λ∈（0，1），解得．（14分）
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．（2014?江苏）如图，在三棱锥P﹣ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点，已知PA⊥
AC，PA=6，
BC=8，DF=5．求证：
（1）直线PA∥平面DEF；
（2）平面BDE⊥平面ABC．
解答：
证明：（1）∵D、E为PC、AC的中点，∴DE∥PA，
又∵PA?平面DEF，DE?平面DEF，
∴PA∥平面DEF；
（2）∵D、E为PC、AC的中点，∴DE=PA=3；
又∵E、F为AC、AB的中点，∴EF=BC=4；
∴DE
2
+EF
2
=DF
2
，
∴∠DEF=90°，
∴DE⊥EF；
∵DE∥PA，PA⊥AC，∴DE⊥AC；
∵AC∩EF=E，∴DE⊥平面ABC；
∵DE?平面BDE，∴平面BDE⊥平面ABC．
13．（2012?江苏）如图，在直三
棱柱ABC﹣A
1
B
1
C
1
中，A
1
B<
br>1
=A
1
C
1
，D，E分别是棱BC，CC
1
上的点（点D
不同
于点C），且AD⊥DE，F为B
1
C
1
的中点．求证：
（1）平面ADE⊥平面BCC
1
B
1
；
（2）直线A
1
F∥平面ADE．
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解答：
解：（1）∵三棱柱ABC﹣A
1<
br>B
1
C
1
是直三棱柱，
∴CC
1
⊥平面ABC，
∵AD?平面ABC，
∴AD⊥CC
1
又∵AD⊥DE，DE、CC
1
是平面B
CC
1
B
1
内的相交直线
∴AD⊥平面BCC
1
B
1
，
∵AD?平面ADE
∴平面ADE⊥平面BCC
1
B
1
；
（2）∵△A
1
B
1
C
1
中，A
1
B
1
=A
1
C
1
，F为B
1
C
1
的中点
∴A
1
F⊥B
1
C
1
，
∵CC
1
⊥平面A
1
B
1
C
1
，A
1
F
?平面A
1
B
1
C
1
，
∴A
1
F⊥CC
1
又∵B
1
C
1
、CC
1
是平面BCC
1
B
1
内的相交直线
∴A
1
F⊥平面BCC
1
B
1
又∵AD⊥平面BCC
1
B
1
，
∴A
1
F∥AD
∵A
1
F?平面ADE，AD?平面ADE，
∴直线A
1
F∥平面ADE．
16．（2010?深圳模拟）如图，在四棱
锥S﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱SD⊥底面ABCD，E、F分别是
AB、SC的中点
（1）求证：EF∥平面SAD
（2）设SD=2CD，求二面角A﹣EF﹣D的大小．
解答： （1）如图，建立空间直角坐标系D﹣xyz．
设A（a，0，0），S（0，0，b），则B（a，a，0），C（0，a，0），
．
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，
取SD的中点
SAD，
所以EF∥平面SAD．
，则．平面SAD，EF?平面
（2）不妨设A（1，0，0），则B（1，1，0），C（0，1，
0），S（0，0，2），，．EF
中点，，
又，，
所以向量和的夹角等于二面角A﹣EF﹣D的平面角．
所以二面角A﹣EF﹣D的大小为．
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，
．
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