2020高考复习数学真题(含答案解析)

全国统一高考试卷试题
2017年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ）

一、选择题：本题共12小 题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选
项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）
A．1+2i

=（ ）

B．1﹣2i

C．2+i

D．2﹣i

2． （5分）设集合A={1，2，4}，B={x|x
2
﹣4x+m=0}．若A∩B={1}， 则B=（ ）

A．{1，﹣3}

B．{1，0}

C．{1，3}

D．{1，5}

3．（5分）我国古代数学名 著《算法统宗》中有如下问题：“远看巍巍塔七层，
红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯 ？”意思是：一座7层塔
共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的< br>顶层共有灯（ ）

A．1盏

B．3盏

C．5盏

D．9盏

4．（5分）如图，网格纸上小正方形的边 长为1，粗实线画出的是某几何体的三
视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体 的体积为
（ ）


A．90π

B．63π

C．42π

D．36π

5．（5分）设x，y满足约束条件，则z=2x+y的最小值是（ ）

A．﹣15

B．﹣9

C．1

第1页（共29页）
D．9

全国统一高考试卷试题
6．（5分）安排3名志愿者完成4项工作，每人至少 完成1项，每项工作由1
人完成，则不同的安排方式共有（ ）

A．12种

B．18种

C．24种

D．36种

7．（5分）甲、乙、丙、丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成 绩．老师说：
你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙
的成绩 ，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据
以上信息，则（ ）

A．乙可以知道四人的成绩

C．乙、丁可以知道对方的成绩

B．丁可以知道四人的成绩


D．乙、丁可以知道自己的成绩

8．（5分）执行如图的程序框图，如果输入的a=﹣1，则输出的S=（ ）


A．2

B．3

﹣
C．4

D．5

9．（5分）若双曲线C：
2
+y
2
= 4
=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线被圆（x﹣2）
所截得的弦长为2，则C的离心率为（ ）

第2页（共29页）

全国统一高考试卷试题
A．2

B．

C．

D．

10．（5分）已知直三棱柱ABC﹣A
1
B
1
C
1
中，∠ ABC=120°，AB=2，BC=CC
1
=1，则
异面直线AB
1
与BC
1
所成角的余弦值为（ ）

A．

B．

C．

D．

11．（5分）若x=﹣2是 函数f（x）=（x
2
+ax﹣1）e
x
﹣
1
的极值点，则 f（x）的极
小值为（ ）

A．﹣1

B．﹣2e
﹣
3

C．5e
﹣
3

D．1

?12．（5分）已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC 内一点，则
（+）的最小值是（ ）

B．﹣

C．﹣

D．﹣1

A．﹣2

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．（5分）一批产品的二 等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放
回地抽取100次．X表示抽到的二等品件数， 则DX= ．

14．（5分）函数f（x）=sin
2
x+cosx﹣（x∈[0，]）的最大值是 ．

= ．

15．（5分）等差数列{a
n
}的 前n项和为S
n
，a
3
=3，S
4
=10，则
1 6．（5分）已知F是抛物线C：y
2
=8x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交
y轴于点N．若M为FN的中点，则|FN|= ．

三、解答题：共70分。解答应 写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～
21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、2 3题为选考题，考生根
据要求作答．（一）必考题：共60分。

17．（12分）△ ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin（A+C）=8sin
2
．
（1）求cosB；

（2）若a+c=6，△ABC的面积为2，求b．



第3页（共29页）

全国统一高考试卷试题

18．（12分）海水养殖场进行某水产品 的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获
时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量（单位： kg），其频率分
布直方图如图：


（1）设两种养殖方法的箱产量相互独 立，记A表示事件“旧养殖法的箱产量低
于50kg，新养殖法的箱产量不低于50kg”，估计A的概 率；

（2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖
方法有关：


箱产量＜50kg



箱产量≥50kg



旧养殖法

新养殖法

（3）根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值 （精
确到0.01）．

附：

P（K
2
≥k）

k

K
2
=





第4页（共29页）

0.050

3.841

．
0.010

6.635

0.001

10.828

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19．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面
ABCD，A B=BC=AD，∠BAD=∠ABC=90°，E是PD的中点．

（1）证明：直线CE∥平面PAB；

（2）点M在棱PC上，且直线BM与底面A BCD所成角为45°，求二面角M﹣AB
﹣D的余弦值．







20．（12分）设O为坐标原点，动点M在椭圆C：
垂线， 垂足为N，点P满足
（1）求点P的轨迹方程；

（2）设点Q在直线x=﹣3上，且
l过C的左焦点F．






第5页（共29页）

+y
2
=1上，过M作x轴的
=．

?=1．证明：过点P且垂直于OQ的直线

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21．（12分）已知函数f（x）=ax
2
﹣ax﹣xlnx，且f（x ）≥0．

（1）求a；

（2）证明：f（x）存在唯一的极大值点x0
，且e
﹣
2
＜f（x
0
）＜2
﹣
2
．






（二）选考题：共10 分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，
则按所做的第一题计分。[选修4-4：坐标 系与参数方程]（10分）

22．（10分）在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建
立极坐标系，曲线C
1
的极坐标方程为ρcosθ=4．

（1）M为曲线C
1
上的动点，点P在线段OM上，且满足|OM|?|OP|=16 ，求点
P的轨迹C
2
的直角坐标方程；

（2）设点A的极坐标为（2，





[选修4-5：不等式选讲]（10分）

23．已知a＞0，b＞0，a
3
+b
3
=2．证明：

（1）（a+b）（a
5
+b
5
）≥4；

（2）a+b≤2．



），点B在曲线C
2
上，求△OAB面积的最大值．

第6页（共29页）

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2017年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ）

参考答案与试题解析



一、选择题：本题共12小题，每小题5 分，共60分。在每小题给出的四个选
项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）
A．1+2i


=（ ）

B．1﹣2i

C．2+i

D．2﹣i

【考点】A5：复数的运算．

【专题】11：计算题．

【分析】 分子和分母同时乘以分母的共轭复数，再利用虚数单位i的幂运算性质，
求出结果．

【解答】解：
故选：D．

【点评】本题考查两个复数代数形式的乘除法，虚 数单位i的幂运算性质，两个
复数相除，分子和分母同时乘以分母的共轭复数．



2．（5分）设集合A={1，2，4}，B={x|x
2
﹣4x+m=0 }．若A∩B={1}，则B=（ ）

A．{1，﹣3}


===2﹣i，

B．{1，0}

C．{1，3}

D．{1，5}

【考点】1E：交集及其运算．

【专题】34：方程思想；4O：定义法；5J：集合．

【分析】由交集的定义可得 1∈A且1∈B，代入二次方程，求得m，再解二次
方程可得集合B．

【解答】解：集合A={1，2，4}，B={x|x
2
﹣4x+m=0}．

若A∩B={1}，则1∈A且1∈B，

可得1﹣4+m=0，解得m=3，

第7页（共29页）

全国统一高考试卷试题
即有B={x|x
2
﹣4x+3=0}={1，3}．

故选：C．

【点评】本题考查集合的运算，主要是交集的求法，同时考查二次方程的 解法，
运用定义法是解题的关键，属于基础题．



3．（5分） 我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远看巍巍塔七层，
红光点点倍加增，共灯三百八十一， 请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔
共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的 2倍，则塔的
顶层共有灯（ ）

A．1盏


B．3盏

C．5盏

D．9盏

【考点】89：等比数列的前n项和．

【专题】34：方程思想；4O：定义法；54：等差数列与等比数列．

【分析】设 塔顶的a
1
盏灯，由题意{a
n
}是公比为2的等比数列，利用等比数列前n项和公式列出方程，能求出结果．

【解答】解：设塔顶的a
1
盏灯，

由题意{a
n
}是公比为2的等比数列，

∴S
7
=
解得a
1
=3．

故选：B．

【点评】本题考查等比数列的首项的求法，是基础题，解题时要认真审题 ，注
意等比数列的性质的合理运用．



4．（5分）如图，网格 纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三
视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后 所得，则该几何体的体积为
（ ）

=381，

第8页（共29页）

全国统一高考试卷试题

A．90π


B．63π

C．42π

D．36π

【考点】L!：由三视图求面积、体积．

【专题】11：计算题；31：数形结合；44：数形结合法；5Q：立体几何．

【 分析】由三视图可得，直观图为一个完整的圆柱减去一个高为6的圆柱的一
半，即可求出几何体的体积．

【解答】解：由三视图可得，直观图为一个完整的圆柱减去一个高为6的圆柱
的一半，

V=π?3
2
×10﹣?π?3
2
×6=63π，

故选：B．


【点评】本题考查了体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．



5．（5分）设x，y满足约束条件，则z=2x+y的最小值是（ ）

第9页（共29页）

全国统一高考试卷试题
A．﹣15


B．﹣9

C．1

D．9

【考点】7C：简单线性规划．

【专题】11：计算题；31：数形结合；35：转化思想；5T：不等式．

【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的最优解求解目标函数的最小
值即可．

【解答】解：x、y满足约束条件的可行域如图：

z=2x+y 经过可行域的A时，目标函数取得最小值，

由解得A（﹣6，﹣3），

则z=2x+y 的最小值是：﹣15．

故选：A．


【点评】本题考查线性规划的简单应用，考查数形结合以及计算能力．



6．（5分）安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1
人完成，则不同 的安排方式共有（ ）

A．12种


B．18种

C．24种

D．36种

【考点】D9：排列、组合及简单计数问题．

【专题】11：计算题；49：综合法；5O：排列组合．

【分析】把工作分成3组，然后安排工作方式即可．

【解答】解：4项工作分成3组，可得：=6，

安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，

第10页（共29页）

全国统一高考试卷试题
可得：6×
故选：D．

=36种．

【点评】本题考查排 列组合的实际应用，注意分组方法以及排列方法的区别，
考查计算能力．



7．（5分）甲、乙、丙、丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩．老师说：
你们四人中 有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙
的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家 说：我还是不知道我的成绩．根据
以上信息，则（ ）

A．乙可以知道四人的成绩

C．乙、丁可以知道对方的成绩


B．丁可以知道四人的成绩


D．乙、丁可以知道自己的成绩

【考点】F4：进行简单的合情推理．

【专题】2A：探究型；35：转化思想；48：分析法；5M：推理和证明．

【分析】根据四人所知只有自己看到，老师所说及最后甲说话，继而可以推出
正确答案

【解答】解：四人所知只有自己看到，老师所说及最后甲说话，

甲不知自己的成绩

→乙丙必有一优一良，（若为两优，甲会知道自己的成绩；若是两 良，甲也会知
道自己的成绩）

→乙看到了丙的成绩，知自己的成绩

→丁看到甲、丁也为一优一良，丁知自己的成绩，

给甲看乙丙成绩，甲不知道自已的 成绩，说明乙丙一优一良，假定乙丙都是优，
则甲是良，假定乙丙都是良，则甲是优，那么甲就知道自已 的成绩了．给乙
看丙成绩，乙没有说不知道自已的成绩，假定丙是优，则乙是良，乙就知道
自己 成绩．给丁看甲成绩，因为甲不知道自己成绩，乙丙是一优一良，则甲
丁也是一优一良，丁看到甲成绩， 假定甲是优，则丁是良，丁肯定知道自已
的成绩了

故选：D．

第11页（共29页）

全国统一高考试卷试题
【点评】 本题考查了合情推理的问题，关键掌握四人所知只有自己看到，老师
所说及最后甲说话，属于中档题．< br>


8．（5分）执行如图的程序框图，如果输入的a=﹣1，则输出的S=（ ）


A．2


B．3

C．4

D．5

【考点】EF：程序框图．

【专题】11：计算题；27：图表型；4B：试验法；5K：算法和程序框图．

【 分析】执行程序框图，依次写出每次循环得到的S，K值，当K=7时，程序终
止即可得到结论．

【解答】解：执行程序框图，有S=0，K=1，a=﹣1，代入循环，

第一次满足循环，S=﹣1，a=1，K=2；

满足条件，第二次满足循环，S=1，a=﹣1，K=3；

满足条件，第三次满足循环，S=﹣2，a=1，K=4；

第12页（共29页）

全国统一高考试卷试题
满足条件，第四次满足循环，S=2，a=﹣1，K=5；

满足条件，第五次满足循环，S=﹣3，a=1，K=6；

满足条件，第六次满足循环，S=3，a=﹣1，K=7；

K≤6不成立，退出循环输出S的值为3．

故选：B．

【点评】本题主要考查了程序框图和算法，属于基本知识的考查，比较基础．



9．（5分）若双曲线C：
2
+y
2
=4
﹣=1 （a＞0，b＞0）的一条渐近线被圆（x﹣2）
所截得的弦长为2，则C的离心率为（ ）

B．

A．2


C．

D．

【考点】KC：双曲线的性质；KJ：圆与圆锥曲线的综合．

【专题】11：计算题 ；35：转化思想；49：综合法；5D：圆锥曲线的定义、性
质与方程．

【分析】 通过圆的圆心与双曲线的渐近线的距离，列出关系式，然后求解双曲
线的离心率即可．

【解答】解：双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线不妨为：bx+ay=0，

圆（x﹣2）
2
+y
2
=4的圆心（2，0），半径为：2，

双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线被圆（x﹣2）
2
+y
2
=4所截得
的弦长为2，

可得圆心到直线的距离为：=，

解得：
故选：A．

，可得e
2
=4，即e=2．

【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，圆的方程的应用，考查计算能力．

第13页（共29页）

全国统一高考试卷试题


10．（5分）已知直三棱柱ABC﹣A
1
B
1
C
1
中，∠ABC=120°，AB=2，BC=CC
1
=1，则
异面直线A B
1
与BC
1
所成角的余弦值为（ ）

A．


B．

C．

D．

【考点】LM：异面直线及其所成的角．

【专题】31：数形结合；4O：定义法；5G：空间角．

【分析】【解法一】设M 、N、P分别为AB，BB
1
和B
1
C
1
的中点，得出AB
1
、BC
1
夹角为MN和NP夹角或其补角；根据中位线定理，结合余弦定理 求出AC、
MQ，MP和∠MNP的余弦值即可．

【解法二】通过补形的办法，把原来的直三棱柱变成直四棱柱，解法更简洁．

【解答 】解：【解法一】如图所示，设M、N、P分别为AB，BB
1
和B
1
C1
的中点，

则AB
1
、BC
1
夹角为MN和NP夹角或其补角

（因异面直线所成角为（0，
可知MN=AB
1
=
NP=BC
1< br>=；

，

]），

作BC中点Q，则△PQM为直角三角形；

∵PQ=1，MQ=AC，

△ABC中，由余弦定理得

AC
2
=AB
2
+B C
2
﹣2AB?BC?cos∠ABC

=4+1﹣2×2×1×（﹣）

=7，

∴AC=
∴MQ=
，

；

=；

在△MQP中，MP=
在△PMN中，由余弦定理得

第14页（共29页）

全国统一高考试卷试题
cos∠MNP==
]，

．

=﹣；

又异面直线所成角的范围是（0，
∴AB1
与BC
1
所成角的余弦值为
【解法二】如图所示，


补成四棱柱ABCD﹣A
1
B
1
C
1
D
1
，求∠BC
1
D即可；

BC
1
=
C1
D=
∴
，BD=
，

+BD
2
=，

=，

∴∠DBC
1
=90°，

∴cos∠BC
1
D=
故选：C．

=．


【点评】本题考查了空间中的两条异面直线所成角的计算问题，也考查了空间
中的平 行关系应用问题，是中档题．

第15页（共29页）

全国统一高考试卷试题


11．（5分）若x=﹣2是函 数f（x）=（x
2
+ax﹣1）e
x
﹣
1
的极值点，则f （x）的极
小值为（ ）

A．﹣1


B．﹣2e
3

﹣
C．5e
3

﹣
D．1

【考点】6D：利用导数研究函数的极值．

【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；53：导数的综合应用．

【分析】求出函数的导数，利用极值点，求出a，然后判断函数的单调性，求解
函数的极小值即可．
【解答】解：函数f（x）=（x
2
+ax﹣1）e
x
﹣1
，

可得f′（x）=（2x+a）e
x
﹣
1
+（x
2
+ax﹣1）e
x
﹣
1
，

x =﹣2是函数f（x）=（x
2
+ax﹣1）e
x
﹣
1
的极 值点，

可得：f′（﹣2）=（﹣4+a）e
﹣
3
+（4﹣2a﹣ 1）e
﹣
3
=0，即﹣4+a+（3﹣2a）=0．

解得a=﹣1．

可得f′（x）=（2x﹣1）e
x
﹣
1
+（x
2
﹣x﹣1）e
x
﹣
1
，

=（x
2
+x﹣2）e
x
﹣
1
，函数的极值点为：x=﹣ 2，x=1，

当x＜﹣2或x＞1时，f′（x）＞0函数是增函数，x∈（﹣2，1）时， 函数是减
函数，

x=1时，函数取得极小值：f（1）=（1
2
﹣ 1﹣1）e
1
﹣
1
=﹣1．

故选：A．

【点评】本题考查函数的导数的应用，函数的单调性以及函数的极值的求法，
考查计算能力．



12．（5分）已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点， 则
（+）的最小值是（ ）

B．﹣

C．﹣

D．﹣1

?
A．﹣2


【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算．

第16页（共29页）

全国统一高考试卷试题
【专题】31：数形结合；4R：转化法；5A：平面向量及应用．

【分析】根据条 件建立坐标系，求出点的坐标，利用坐标法结合向量数量积的
公式进行计算即可．

【解答】解：建立如图所示的坐标系，以BC中点为坐标原点，

则A（0，），B（﹣1，0），C（1，0），

=（﹣x，﹣y），=（﹣1﹣x，﹣y），
）
2
﹣]

=（1﹣x，﹣y），

设P（x，y），则
则?（+）=2x
2< br>﹣2y+2y
2
=2[x
2
+（y﹣
∴当x=0，y=
故选：B．

时，取得最小值2×（﹣）=﹣，


【点评】本题 主要考查平面向量数量积的应用，根据条件建立坐标系，利用坐
标法是解决本题的关键．



二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13． （5分）一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放
回地抽取100次．X表 示抽到的二等品件数，则DX= 1.96 ．


【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差．

【专题】11：计算题；35：转化思想；5I：概率与统计．

【分析】判断概率满足的类型，然后求解方差即可．

【解答】解：由题意可知，该事 件满足独立重复试验，是一个二项分布模型，
其中，p=0.02，n=100，

则DX=npq=np（1﹣p）=100×0.02×0.98=1.96．

第17页（共29页）

全国统一高考试卷试题
故答案为：1.96．

【点评】本题考查离散性随机变量的期望与方差的求法，判断 概率类型满足二
项分布是解题的关键．



14．（5分）函数f（x）=sin
2
x+

cosx﹣（x∈[0，]）的最大值是 1 ．

【考点】HW：三角函数的最值．

【专题】11：计算题；33：函数思想；4J： 换元法；51：函数的性质及应用；57：
三角函数的图像与性质．

【分析】同角的三角函数的关系以及二次函数的性质即可求出．

【解答】解：f（x ）=sin
2
x+
令cosx=t且t∈[0，1]，

则y=﹣t
2
+
当t=
t+=﹣（t﹣）
2
+1，

cosx﹣=1﹣cos
2
x+cosx﹣，

时，f（t）
max
=1，

即f（x）的最大值为1，

故答案为：1

【点评】本题考查了同角的三角函数的关系以及二次函数的性质，属于基础题



15．（5分）等差数列{a
n
}的前n项和为S
n
，a
3
=3，S
4
=10，则

= ．

【考点】85：等差数列的前n项和；8E：数列的求和．

【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；54：等差数列与等比数列．

【分析】利用已知条件求出等差数列的前n项和，然后化简所求的表达式，求
解即可．

【解答】解：等差数列{a
n
}的前n项和为S
n
，a
3< br>=3，S
4
=10，S
4
=2（a
2
+a
3
）=10，

可得a
2
=2，数列的首项为1，公差为1，

S
n
=

，=，

第18页（共29页）

全国统一高考试卷试题
则 =2[1﹣
．

++…+]=2（1﹣）=．

故答案为：
【点评】本题考查等差数列的求和 ，裂项消项法求和的应用，考查计算能力．



16．（5分）已知F是抛 物线C：y
2
=8x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交
y轴于点N．若M为FN 的中点，则|FN|= 6 ．


【考点】K8：抛物线的性质．

【专题】11：计算题；35：转化思想；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．

【分析】求出抛物线的焦点坐标，推出M坐标，然后求解即可．

【解答】解：抛物线 C：y
2
=8x的焦点F（2，0），M是C上一点，FM的延长线
交y轴于点N．若 M为FN的中点，

可知M的横坐标为：1，则M的纵坐标为：
|FN|=2|FM| =2
故答案为：6．

【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，考查计算能力．



三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～
21题为必考题，每个试 题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根
据要求作答．（一）必考题：共60分。

17．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin（A+C）=8si n
2
．

（1）求cosB；

（2）若a+c=6，△ABC的面积为2，求b．


，

=6．

【考点】GS：二倍角的三角函数；HP：正弦定理．

【专题】11：计算题；35：转化思想；4R：转化法；58：解三角形．

【分析 】（1）利用三角形的内角和定理可知A+C=π﹣B，再利用诱导公式化简sin
第19页（共29页 ）

全国统一高考试卷试题
（A+C），利用降幂公式化简8si n
2
，结合sin
2
B+cos
2
B=1，求出cosB，

（2）由（1）可知sinB=
出b．

【解答】解：（1）sin（A+C）=8sin
2
，

∴sinB=4（1﹣cosB），

∵sin
2
B+cos
2
B=1，

∴16（1﹣cosB）
2
+cos
2
B=1，

∴16（1﹣cosB）
2
+cos
2
B﹣1=0，

∴16（cosB﹣1）
2
+（cosB﹣1）（cosB+1）=0，

∴（17cosB﹣15）（cosB﹣1）=0，

∴cosB=；

，

，利用勾面积公式求出ac，再利用余弦定理即可求
（2）由（1）可知 sinB=
∵S
△
ABC
=ac?sinB=2，

∴ac=，

∴b
2
=a
2
+c
2
﹣2accosB=a
2
+c
2
﹣2××

=a
2
+c
2
﹣15=（a+c）
2
﹣2ac﹣15=36﹣17﹣15 =4，

∴b=2．

【点评】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的面 积公式，二倍角公式和
同角的三角函数的关系，属于中档题



1 8．（12分）海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获
时各随机抽取了100 个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg），其频率分
布直方图如图：

第20页（共29页）

全国统一高考试卷试题

（1）设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A表示事件“旧养殖法的箱产量低
于50kg，新养殖法 的箱产量不低于50kg”，估计A的概率；

（2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否 有99%的把握认为箱产量与养殖
方法有关：


箱产量＜50kg



箱产量≥50kg



旧养殖法

新养殖法

（3）根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值 （精
确到0.01）．

附：

P（K
2
≥k）

k

K
2
=

0.050

3.841

．

0.010

6.635

0.001

10.828

【考点】B8：频率分布直方图；BE ：用样本的数字特征估计总体的数字特征；
BL：独立性检验．

【专题】31：数形结合；44：数形结合法；5I：概率与统计．

【分析】（1） 由题意可知：P（A）=P（BC）=P（B）P（C），分布求得发生的频
率，即可求得其概率；
（2）完成2×2列联表：求得观测值，与参考值比较，即可求得有99%的把握
认为箱 产量与养殖方法有关：

（3）根据频率分布直方图即可求得其中位数．

第21页（共29页）

全国统一高考试卷试题
【解答】 解：（1）记B表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg”，C表示事件“新
养殖法的箱产量不低于5 0kg”，

由P（A）=P（BC）=P（B）P（C），

则旧养殖法的 箱产量低于50kg：（0.012+0.014+0.024+0.034+0.040）×5=0.62，< br>
故P（B）的估计值0.62，

新养殖法的箱产量不低于50kg：（0. 068+0.046+0.010+0.008）×5=0.66，

故P（C）的估计值为，

则事件A的概率估计值为P（A）=P（B）P（C）=0.62×0.66=0.4092；

∴A发生的概率为0.4092；

（2）2×2列联表：



旧养殖法

新养殖法

总计

则K
2
=
由15.705＞6.635，

∴有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关；

（3）由新养殖法的箱产量频率分布直方图中，箱产量低于50kg的直方图的面
积：

（0.004+0.020+0.044）×5=0.34，

箱产量低于55kg的直方图面积为：

（0.004+0.020+0.044+0.068）×5=0.68＞0.5，

故新养殖法产量的中位数的估计值为：50+
新养殖法箱产量的中位数的估计值52.35（kg）．< br>
【点评】本题考查频率分布直方图的应用，考查独立性检验，考查计算能力，
属于中档 题．



19．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAD为等 边三角形且垂直于底面
第22页（共29页）

箱产量＜50kg

62

34

96

≈15.705，

箱产量≥50kg

38

66

104

总计

100

100

200

≈52.35（kg），

全国统一高考试卷试题
ABCD，AB=BC=AD，∠BAD=∠ABC=90°，E是PD的中点．

（1）证明：直线CE∥平面PAB；

（2）点M在棱PC上，且直线BM与底面A BCD所成角为45°，求二面角M﹣AB
﹣D的余弦值．



【考点】LS：直线与平面平行；MJ：二面角的平面角及求法．

【专题】31：数 形结合；35：转化思想；49：综合法；5F：空间位置关系与距
离；5G：空间角．
【分析】（1）取PA的中点F，连接EF，BF，通过证明CE∥BF，利用直线与平面
平行的判 定定理证明即可．

（2）利用已知条件转化求解M到底面的距离，作出二面角的平面角，然后 求解
二面角M﹣AB﹣D的余弦值即可．

【解答】（1）证明：取PA的中点F，连接EF，BF，因为E是PD的中点，

所以EFAD，AB=BC=AD，∠BAD=∠ABC=90°，∴BC∥AD，

∴BCEF是平行四边形，可得CE∥BF，BF?平面PAB，CE?平面PAB，

∴直线CE∥平面PAB；

（2）解：四棱锥P﹣ABCD中，

侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB=BC=AD，

∠BAD=∠ABC=90°，E是PD的中点．

取AD的中点O，M在底面ABC D上的射影N在OC上，设AD=2，则AB=BC=1，
OP=，

∴∠PCO=60°，直线BM与底面ABCD所成角为45°，

可得：BN=MN，CN=

MN，BC=1，

第23页（共29页）

全国统一高考试卷试题
可得：1+BN
2
=BN
2
，BN=，MN=，

作NQ⊥AB于Q，连接MQ，AB⊥MN，

所以∠MQN就是二面角M﹣AB﹣D的平面角，MQ=
=，

=．


二面角M﹣AB﹣D的余弦值为：


【点评】本题考查直线与平 面平行的判定定理的应用，二面角的平面角的求法，
考查空间想象能力以及计算能力．



20．（12分）设O为坐标原点，动点M在椭圆C：
垂线，垂足为N， 点P满足
（1）求点P的轨迹方程；

（2）设点Q在直线x=﹣3上，且
l过C的左焦点F．


+y
2
=1上，过M作x轴的
=．

?=1．证明：过点P 且垂直于OQ的直线
【考点】J3：轨迹方程；KL：直线与椭圆的综合．

【专题】34：方程思想；48：分析法；5A：平面向量及应用；5B：直线与圆．

第24页（共29页）

全国统一高考试卷试题
【分析】 （1）设M（x
0
，y
0
），由题意可得N（x
0
，0）， 设P（x，y），运用向量
的坐标运算，结合M满足椭圆方程，化简整理可得P的轨迹方程；

（2）设Q（﹣3，m），P（cosα，sinα），（0≤α＜2π），运用向量的数量积
的坐标表示，可得m，即有Q的坐标，求得椭圆的左焦点坐标，求得OQ，
PF的斜率，由两直线垂直的 条件：向量数量积为0，即可得证．

【解答】解：（1）设M（x
0
，y< br>0
），由题意可得N（x
0
，0），

设P（x，y），由点 P满足
可得（x﹣x
0
，y）=
可得x﹣x
0
=0，y=< br>即有x
0
=x，y
0
=
代入椭圆方程
=．

（0，y
0
），

y
0
，

，

+y
2
=1，可得+=1，

即有点P的轨迹方程为圆x
2
+y
2
=2；

（2 ）证明：设Q（﹣3，m），P（
?=1，可得（cosα，
cosα，sinα），（0≤α ＜2π），

cosα，m﹣sinα）=1，

sinα）?（﹣3﹣
msinα﹣2sin
2
α=1，

即为﹣3cosα﹣2cos
2
α+
当α=0时，上式不成立，则0＜α＜2π，
解得m=
即有Q（﹣3，
椭圆
由
=3+3
?
，

），

+y
2
=1的左焦点F（﹣1，0），

=（﹣1﹣
cosα﹣3（1+
cosα，﹣sinα）?（﹣3，）

cosα）=0．

可得过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F．

另解：设Q（﹣3，t），P（m，n），由?=1，

可得（m，n）?（﹣3﹣m ，t﹣n）=﹣3m﹣m
2
+nt﹣n
2
=1，

又P在圆 x
2
+y
2
=2上，可得m
2
+n
2
=2 ，

即有nt=3+3m，

第25页（共29页）

全国统一高考试卷试题
又椭圆的左焦点F（﹣1，0），

?=（﹣1﹣m，﹣n）?（﹣3，t）=3+3m﹣nt

=3+3m﹣3﹣3m=0，

则⊥，

可得过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F．

【点评】本题考查轨迹方程的求 法，注意运用坐标转移法和向量的加减运算，
考查圆的参数方程的运用和直线的斜率公式，以及向量的数 量积的坐标表示
和两直线垂直的条件：向量数量积为0，考查化简整理的运算能力，属于中
档题 ．



21．（12分）已知函数f（x）=ax
2
﹣a x﹣xlnx，且f（x）≥0．

（1）求a；

（2）证明：f（x）存 在唯一的极大值点x
0
，且e
2
＜f（x
0
）＜2
2
．


﹣﹣
【考点】6D：利用导数研究函数的极值．

【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；53：导数的综合应用．

【分析】（1）通过分析可知f（x）≥0等价于h（x）=ax﹣a﹣lnx≥0，进而利用
h′（x ）=a﹣可得h（x）
min
=h（），从而可得结论；

（2）通过（1） 可知f（x）=x
2
﹣x﹣xlnx，记t（x）=f′（x）=2x﹣2﹣lnx，解不等式可知t（x）
min
=t（）=ln2﹣1＜0，从而可知f′（x）=0存在两根x
0
，x
2
，
利用f（x）必存在唯一极大值点x
0
及x
0
＜可知f（x
0
）＜，另一方面可知
f（x
0
）＞f（）=．

【解答】（1）解：因为f（x）=ax
2
﹣ax﹣xl nx=x（ax﹣a﹣lnx）（x＞0），

则f（x）≥0等价于h（x）=ax﹣a﹣lnx≥0，求导可知h′（x）=a﹣．

则当a≤0时h′（x）＜0，即y=h（x）在（0，+∞）上单调递减，

所以当 x
0
＞1时，h（x
0
）＜h（1）=0，矛盾，故a＞0．

因为当0＜x＜时h′（x）＜0、当x＞时h′（x）＞0，

第26页（共29页）

全国统一高考试卷试题
所以h（x）
min
=h（），

又因为h（1）=a﹣a﹣ln1=0，

所以=1，解得a=1；

另解：因为f（1）=0，所以f（x）≥0等价于f（x）在x＞0时的最小值为f（1），

所以等价于f（x）在x=1处是极小值，

所以解得a=1；

（ 2）证明：由（1）可知f（x）=x
2
﹣x﹣xlnx，f′（x）=2x﹣2﹣lnx，< br>
令f′（x）=0，可得2x﹣2﹣lnx=0，记t（x）=2x﹣2﹣lnx，则t′（x ）=2﹣，

令t′（x）=0，解得：x=，

所以t（x）在区间（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增，

所以t（x）
min
=t（）=ln2﹣1＜0，从而t（x）=0有解，即f′（x）=0存在两根
x
0
，x
2
，

且不妨设f′（x）在（0，x
0
）上为正、在（x
0
，x
2
）上为负、在（x
2
，+∞）上为
正，

所以f（x）必存在唯一极大值点x
0
，且2x
0
﹣2﹣lnx
0
=0，

所以f（x
0
）=﹣x
0
﹣x
0
lnx
0
=﹣x
0
+2 x
0
﹣2
）
max
=﹣
=x
0
﹣，

由x
0
＜可知f（x
0
）＜（x
0
﹣
由f′（）＜0可知x
0
＜＜，

+=；

所以f（x）在 （0，x
0
）上单调递增，在（x
0
，）上单调递减，

所以f（x
0
）＞f（）=；

综上所述，f（x）存在唯一的极大 值点x
0
，且e
﹣
2
＜f（x
0
）＜2
﹣
2
．

【点评】本题考查利用导数研究函数的极值，考查运算求解能力，考查 转化思
想，注意解题方法的积累，属于难题．



（二）选考题： 共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，
则按所做的第一题计分。[选修4-4 ：坐标系与参数方程]（10分）

第27页（共29页）

全国统一高考试卷试题
22．（10分）在直角坐标系xOy中，以坐标原点 为极点，x轴的正半轴为极轴建
立极坐标系，曲线C
1
的极坐标方程为ρcosθ=4 ．

（1）M为曲线C
1
上的动点，点P在线段OM上，且满足|OM|?| OP|=16，求点
P的轨迹C
2
的直角坐标方程；

（2）设点A的极坐标为（2，

），点B在曲线C
2
上，求△OAB面积的最大值．

【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程．

【专题】38：对应思想；49：综合法；5S：坐标系和参数方程．

【分析】（1 ）设P（x，y），利用相似得出M点坐标，根据|OM|?|OP|=16列方
程化简即可；

（2）求出曲线C
2
的圆心和半径，得出B到OA的最大距离，即可得出最大面积．< br>
【解答】解：（1）曲线C
1
的直角坐标方程为：x=4，

设P（x，y），M（4，y
0
），则
∵|OM||OP|=16，

∴
即（x
2
+y
2
）（1+
=16，

）=16，

，∴y
0
=，

∴x
4+2x
2
y
2
+y
4
=16x
2
，即 （x
2
+y
2
）
2
=16x
2
，

两边开方得：x
2
+y
2
=4x，

整理得：（x﹣2）
2
+y
2
=4（x≠0），

∴点P的轨迹C
2
的直角坐标方程：（x﹣2）
2
+y
2
= 4（x≠0）．

（2）点A的直角坐标为A（1，），显然点A在曲线C
2
上，|OA|=2，

=
．

，

∴曲线C
2
的圆心（2，0）到弦OA的距离d=
∴△AOB的最大面积S=|OA|?（2+）=2 +
【点评】本题考查了极坐标方程与直角坐标方程的转化，轨迹方程的求解，直
线与圆的位置关 系，属于中档题．



第28页（共29页）

全国统一高考试卷试题
[选修4-5：不等式选讲]（10分）

23．已知a＞0，b＞0，a
3
+b
3
=2．证明：

（1）（a+b）（a
5
+b
5
）≥4；

（2）a+b≤2．


【考点】R6：不等式的证明．

【专题】14：证明题；35：转化思想；49：综合法；5T：不等式．

【分析】（1）由柯西不等式即可证明，

（2）由a
3
+b
3
=2转化为
（
=ab，再由均值不等式可得：=ab≤
）
2，即可得到（a+b）
3
≤2，问题得以证明．

+）
2
=【解答】证明：（1）由柯西不等式得：（a+b）（a
5
+b
5
）≥（
（a
3
+b
3
）
2
≥4，

当且仅当=，即a=b=1时取等号，

（2）∵a
3
+b
3
=2，

∴（a+b）（a
2
﹣ab+b
2
）=2，

∴（a+b）[（a+b）
2
﹣3ab]=2，

∴（a+b）
3
﹣3ab（a+b）=2，

∴=ab，

=ab≤（
，

）
2
，

由均值不等式可 得：
∴（a+b）
3
﹣2≤
∴（a+b）
3
≤2，

∴a+b≤2，当且仅当a=b=1时等号成立．

【点评】本题考查了不等式的证明，掌握柯西不等式和均值不等式是关键，属
于中档题



第29页（共29页）