高中数学必修2第三章练习题及答案ABC卷

第三章 直线与方程
[基础训练A组]
一、选择题
1．设直 线
ax?by?c?0
的倾斜角为
?
，且
sin
?
?cos
?
?0
，则
a,b
满足（ ）
A．
a?b?1
B．
a?b?1
C．
a?b?0
D．
a?b?0

2．过点
P(?1,3)
且垂直于直线
x?2y?3?0
的直线方程为（ ）
A．
2x?y?1?0
B．
2x?y?5?0

C．
x?2y?5?0
D．
x?2y?7?0

3．已知过点
A(?2,m)
和
B (m,4)
的直线与直线
2x?y?1?0
平行，则
m
的值为
（ ）
A．
0
B．
?8
C．
2
D．
10

4．已知
ab?0,bc?0
，则直线
ax?by?c
通过（ ）
A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限
C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限
5．直线
x?1
的倾斜角和斜率分别是（ ）
A．
45
0
,1
B．
135
0
,?1
C．
90
0
，不存在 D．
180
0
，不存在
6．若方程
(2m
2
?m?3)x?(m
2
?m)y?4m ?1?0
表示一条直线，则实数
m
满足
（ ）
A．
m?0

C．
m?1

二、填空题
1．点
P(1,?1)
到直线
x?y?1?0
的距离是________________.
2．已知直线
l
1
:y?2x?3,
若
l
2
与
l
1
关于
y
轴对称，则
l
2
的方程为__________ ;若
l
3
与
l
1
关于
x
轴对称，则
l
3
的方程为_________;若
l
4
与
l
1
关于
y?x
对称，则
l
4
的方
程为______ _____;
3．若原点在直线
l
上的射影为
(2,?1)
，则< br>l
的方程为____________________。
4．点
P(x,y )
在直线
x?y?4?0
上，则
x
2
?y
2
的最小值是________________.
5．直线
l
过原点且平分
ABCD
的面积，若平行四边形的两个顶点为
B(1,4),D(5,0)
，则直 线
l
的方程为________________。

3
B．
m??

2

3
D．
m?1
，
m??
，
m?0

2
三、解答题

1．已知直线，
（1）系数为什么值时，方程表示通过原点的直线；
（2）系数满足什么关系时与坐标轴都相交；
（3）系数满足什么条件时只与
x
轴相交；
（4）系数满足什么条件时是
x
轴；
（5）设为直线上一点，
证明：这条直线的方程可以写成．




2．求经过直 线
l
1
:2x?3y?5?0,l
2
:3x?2y?3?0
的交点且平行于直线
2x?y?3?0
的直线方程。





3．经过点
A(1,2)
并且在两个坐标轴上的截距的绝对值相 等的直线有几条？请求
出这些直线的方程。







4．过点
A(?5,?4)
作一直线
l
，使它 与两坐标轴相交且与两轴所围成的三角形面
积为
5
．










第三章 直线与方程

[综合训练B组]
一、选择题
1．已知点
A(1,2), B(3,1)
，则线段
AB
的垂直平分线的方程是（ ）
A．
4x?2y?5
B．
4x?2y?5

C．
x?2y?5
D．
x?2y?5

1
2．若
A(?2,3),B(3,?2),C(,m)
三点共线 则
m
的值为（ ）
2
1
1
Ａ． Ｂ．
?
Ｃ．
?2
Ｄ．
2

2
2
3．直线在轴上的截距是（ ）
A． B．
?b
2
C． D．
4．直线
kx?y?1?3k
，当
k
变动时，所有直线都通过定点（ ）
A．
(0,0)
B．
(0,1)
C．
(3,1)
D．
(2,1)

5．直线
xc os
?
?ysin
?
?a?0
与
xsin
?
?ycos
?
?b?0
的位置关系是（ ）
A．平行 B．垂直 C．斜交 D．与
a,b,
?
的值有关
6．两直线
3x?y?3?0
与
6x?my?1?0
平行，则它们之 间的距离为（ ）
A．
4
B．
257
13
C．
13
D．
10

132620
7．已知点
A(2,3),B(?3,?2)
，若直线
l
过点
P(1,1)
与线段
AB
相交，则直线
l
的 斜
率
k
的取值范围是（ ）
A．
k?
33
3
B．
?k?2
C．
k?2或k?
D．
k?2

44
4
二、填空题
1．方程
x?y?1
所表示的图形的面积为_________。
2．与直 线
7x?24y?5
平行，并且距离等于
3
的直线方程是_________ ___。
3．已知点
M(a,b)
在直线
3x?4y?15
上，则
a
2
?b
2
的最小值为
4．将一 张坐标纸折叠一次，使点
(0,2)
与点
(4,0)
重合，且点
(7 ,3)
与点
(m,n)
重合，
则
m?n
的值是______ _____________。

５．设
a?b?k(k?0,k为常数)，则直线
ax?by?1
恒过定点 ．
三、解答题 1．求经过点
A(?2,2)
并且和两个坐标轴围成的三角形的面积是
1
的直线方程。



2．一直线被两直线
l
1
: 4x?y?6?0,l
2
:3x?5y?6?0
截得线段的中点是
P
点，
当
P
点分别为
(0,0)
，
(0,1)
时，求 此直线方程。



3． 函数在及之间的一段图象近似地看作直线，设，
证明：的近似值是：．






4．直线
y??
3

x?1
和
x
轴，y
轴分别交于点
A,B
，在线段
AB
为边在第一象限
3
1
内作等边△
ABC
，如果在第一象限内有一点
P(m,)
使得△
ABP
和△
ABC
2
的面积相等， 求
m
的值。










第三章 直线与方程
[提高训练C组]
一、选择题

1．如果直线
l
沿
x
轴负方向 平移
3
个单位再沿
y
轴正方向平移
1
个单位后，又回
到原来的位置，那么直线
l
的斜率是（ ）
A． B．
?3
C． D．
3

2．若都在直线上，则用表示为（ ）
A． B． C． D．
3．直线
l
与两直线
y?1< br>和
x?y?7?0
分别交于
A,B
两点，若线段
AB
的中点为

M(1,?1)
，则直线
l
的斜率为（ ）
3232
B． C．
?
D．
?

2323
4．△
ABC
中，点
A(4,?1)
,
AB
的中点为
M(3,2)
,重心为
P(4,2)
，则边
BC
的长为
A．
（ ）
A．
5
B．
4
C．
10

（ ）
D．
8

5．下列说法的正确的是




A．经过定点的直线都可以用方程表示
B．经过定点
A
?
0，b
?
的直线都可以用方程表示
C．不经过原点的直线都可以用方程表示
、P
2
?
x
2< br>，y
2
?
的直线都可以用方程表示 D．经过任意两个不同的点
P1
?
x
1
，y
1
?
6．若动点
P到点
F(1,1)
和直线
3x?y?4?0
的距离相等，则点
P
的轨迹方程为
（ ）
A．
3x?y?6?0
B．
x?3y?2?0
C．
x?3y?2?0
D．
3x?y?2?0

二、填空题
1．已知直线
l
1< br>:y?2x?3,l
2
与
l
1
关于直线
y??x对称，直线
l
3
⊥
l
2
，则
l
3的斜率
是______.
2．直线
x?y?1?0
上一点
P< br>的横坐标是
3
，若该直线绕点
P
逆时针旋转
90
0< br>得直
线
l
，则直线
l
的方程是 ． 3．一直线过点
M(?3,4)
，并且在两坐标轴上截距之和为
12
，这 条直线方程是____．
4．若方程
x
2
?my
2
?2x ?2y?0
表示两条直线，则
m
的取值是 ．
5．当
0?k?
1
时，两条直线
kx?y?k?1
、
ky ?x?2k
的交点在 象限．
2

三、解答题
1．经过点
M(3,5)
的所有直线中距离原点最远的直线方程是什么？






2．求经过点
P(1,2)
的 直线，且使
A(2,3)
，
B(0,?5)
到它的距离相等的直线方程。






3．已知点
A(1,1)< br>，
B(2,2)
，点
P
在直线
y?
最小值时
P
点的坐标。




4．求函数
f(x)?x
2
?2x?2?x
2
?4x?8
的最小值。








答案
第三章 直线和方程 [基础训练A组]
一、选择题
a
1.D
tan
?
??1,k??1,???1,a?b,a?b?0

b
2.A 设
2x?y?c?0,
又过点
P(?1,3)
，则
?2?3?c?0,c??1
，即
2x?y?1?0

3.B
k?
1
22
x
上，求
PA?PB
取得
2
4?macac
??2,m??8
4.C
y??x?,k???0,?0

m?2bbbb
5.C
x?1
垂直于
x
轴，倾斜角为
90
0
，而斜率不存在

6.C
2m
2
?m?3,m
2
?m
不能同时为
0

二、填空题
1.
1?(?1)?1
32
32

d?

?
2
2
2
2.
l
2:y??2x?3,l
3
:y??2x?3,l
4
:x?2y?3,
3.
2x?y?5?0

k
'
?
?1?0 1
??,k?2,y?(?1)?2(x?2)

2?02
4.
8

x
2
?y
2
可看成原点到直线上的点的距离的平方，垂直时最短：
d?
?4
2
?22
2
x
平分平行四边形
ABCD
的面积，则直线过
BD
的中点
(3,2)

3
三、解答题
5.
y?
1. 解：（1）把原点
(0,0)
代入，得
C?0
；（2）此时斜率存在且不为零
即
A?0
且
B?0
；（3）此时斜率不存在，且不与
y轴重合，即
B?0
且
C?0
；
（4）
A?C?0,
且
B?0

（5）证明：
P< br>?
x
0
，y
0
?
在直线上

?Ax
0
?By
0
?C?0,C??Ax
0
?By
0


?A
?
x?x
0< br>?
?B
?
y?y
0
?
?0
。
19
?
x?
?
?
2x?3y?5?0
47
?
1 3
2. 解：由
?
，得
?
，再设
2x?y?c?0
，则
c??

13
?
3x?2y?3?0
?
y?< br>9
?
13
?

2x?y?
47
?0
为所求。
13
3. 解：当截距为< br>0
时，设
y?kx
，过点
A(1,2)
，则得
k?2
，即
y?2x
；
xyxy
?1,
过点
A(1,2)
， 当截距不为
0
时，设
??1,
或
?
aaa?a
则得
a?3
，或
a??1
，即
x?y?3?0
，或
x?y?1?0

这样的直线有
3
条：
y?2x
，
x?y?3?0< br>，或
x?y?1?0
。
4
4. 解：设直线为
y?4?k( x?5),
交
x
轴于点
(?5,0)
，交
y
轴于点
(0,5k?4)
，
k
1416

S???5?5k?4?5,40??25k?10

2kk
得
25k
2
?30k?16?0
，或
25k
2
?5 0k?16?0

28
解得
k?,
或
k?

55

?2x?5y?10?0
，或
8x?5y?20?0
为所求。
第三章 直线和方程
[综合训练B组]
一、选择题
33
1.B 线段
AB
的中点为
(2,),
垂直平分线的
k?2
，
y??2(x?2),4x?2y?5?0

22
?2?3m?21
2.A
k
AB
?k
BC
,?,m?

1
3?22
?3
2
3.B 令
x?0,
则
y??b
2

?
x?3?0
4.C 由
kx?y?1?3k
得
k(x? 3)?y?1
对于任何
k?R
都成立，则
?

?
y?1?0
5.B
cos
?
?sin
??sin
?
?(?cos
?
)?0

6.D 把3x?y?3?0
变化为
6x?2y?6?0
，则
d?
1?(? 6)
6
2
?2
2
?
710

20
3
7.C
k
PA
?2,k
PB
? ,k
l
?k
PA
,或k
l
?k
PB

4
二、填空题
1.
2
方程
x?y?1
所表示的图形是一个正方形，其边长为
2

2.
7x?24y?70?0
，或
7x?24y?80?0

设直线为
7x?24y?c?0,d?
c?5
24?7
22
?3, c?70,或?80

15

5
3.
3

a
2
?b
2
的最小值为原点到直线
3x?4y?15
的距 离：
d?

4．
44
点
(0,2)
与点
(4,0)
关于
y?1?2(x?2)
对称，则点
(7,3)
与点
(m,n)

5
23
m?7
?
?
n ?3
m?
?1?2(?2)
?
?
?
2
?
5
2
也关于
y?1?2(x?2)
对称，则
?
，得
?

n?31
21
??
n?
??
?
?
2
5?
m?7
?
11
5.
(,)

ax?by? 1
变化为
ax?(k?a)y?1,a(x?y)?ky?1?0,

kk
?
x?y?0
对于任何
a?R
都成立，则
?

?
ky?1?0
三、解答题
1.解：设直线为
y?2?k(x?2 ),
交
x
轴于点
(
?2
?2,0)
，交
y
轴于点
(0,2k?2)
，
k
122

S???2?2k?2?1,4??2k?1

2kk
得
2k
2
?3k?2?0
，或
2k
2
?5k?2?0

1
解得
k??,
或
k??2

2

?x?3y?2?0
，或
2x?y?2?0
为所求。
?
4 x?y?6?0
24182418
2.解：由
?
得两直线交于
(?, )
，记为
A(?,)
，则直线
AP

23232323?
3x?5y?6?0
垂直于所求直线
l
，即
k
l?
424
，或
k
l
?

35
?y?
424
x
，或
y?1?x
，
35
即
4x?3y?0
，或
24x?5y?5?0
为所求。
1. 证明：
A,B,C
三点共线，
?k
AC
?k
AB

y
c
?f(a)
f(b)?f(a)
?

c?ab?a
c?a
[f(b)?f(a)]

?y
c
?f(a)?
b?a
c?a
[f(b)?f(a)]
即
y
c
?f(a)?
b?a
即

?f
?
c
?
的近似值是：

2. 解：由已知可得直线
CPAB
，设
CP
的方程 为
y??
3
x?c,(c?1)

3
则
3
1
c?13
x?3
过
P(m,)

? AB??3,c?3
，
y??
3
2
2
1
1?
3
1353
??m?3,m?

232
得
第三章 直线和方程 [提高训练C组]
一、选择题
1
1.A
tan
?
??

3
2.D
PQ?(a?c)
2
?(b?d)
2
?(a?c)
2
?m
2
(a?c)
2
?a?c1?m
2

3.D
A(?2,1),B(4,?3)
4.A
B(2,5),C(6,2),BC?5

5.D 斜率有可能不存在，截距也有可能为
0

6.B 点
F(1,1)
在直线
3x?y?4?0
上，则过点
F(1,1)
且垂直于已知直线的直线为
所求
二、填空题
1.
?2

l
1
:y?2x?3,l
2
:?x??2y?3,y?
131
x?,k
2
?,k
3
??2

222
2.
x?y?7?0

P(3,4)

l
的倾斜角为
45
0
?90
0
?135
0
, tan135
0
??1

3.
4x?y?16?0
，或
x?3y?9?0

设
y?4?k(x?3),y?0,x?
?4?4
?3;x?0,y?3k?4;?3?3k? 4?12

kk
41
3k??11?0,3k
2
?11k? 4?0,k?4,或k??

k3
k
?
x??0
?
ky?x?2k
?
?
k?1
,
?
4.
1
5.二
?

?
kx?y?k?1
?
y?
2 k?1
?0
?
k?1
?
三、解答题
1. 解：过点
M(3,5)
且垂直于
OM
的直线为所求的直线，即
33

k??,y?5??(x?3),3x?5y?52?0

55
2. 解：< br>x?1
显然符合条件；当
A(2,3)
，
B(0,?5)
在所 求直线同侧时，
k
AB
?4

?y?2?4(x?1),4x?y?2?0

4x?y?2?0
，或
x?1

3. 解：设
P(2t,t)
，
则
PA?PB?(2t?1)
2
?(t?1)
2
?(2t?2)
2
?(t?2)
2
?10t
2
?14t?10

当
t?
22
77
7
22
时，
PA?PB
取得最小值，即
P(,)

510
10
4. 解：
f(x)?(x?1)
2
?(0?1 )
2
?(x?2)
2
?(0?2)
2
可看作点
(x ,0)

到点
(1,1)
和点
(2,2)
的距离之和，作点
(1,1)
关于
x
轴对称的点
(1,?1)

?f(x)
min
?1
2
?3
2
?10