高中数学 必修二 第三章 3.3 3.3.2课后习题

第三章 3.3 3.3.2
基础巩固
一、选择题
1．点M(1,2)关于y轴的对称点N到原点的距离为( )
A．2
C．5
[答案] C
[解析] N(－1,2)，|ON|＝?－1?
2
＋2
2
＝5.故选C．
B．1
D．5
2．已知A(2,1)，B(－1，b)，|AB|＝5，则b等于( )
A．－3
C．－3或5
[答案] C
[解析] 由两点间的距离公式知
|AB |＝
由5＝
?－1－2?
2
＋?b－1?
2
＝
b< br>2
－2b＋10，
b
2
－2b＋10，
B．5
D．－1或－3
解得b＝－3或b＝5.
3．一条平行于x轴的线段长是5个单位 ，它的一个端点是A(2,1)，则它的另一个端点B
的坐标为( )
A．(－3,1)或(7,1)
C．(－3,1)或(5,1)
[答案] A
[解析] ∵AB∥x轴，∴设B(a,1)，又|AB|＝5，∴a＝－3或7.
4．设点A在x轴上，点B在y轴上，AB的中点是P(2，－1)，则|AB|等于( )
A．5
C．25
[答案] C
[解析] 设A(x,0)、B(0 ，y)，由中点公式得x＝4，y＝－2，则由两点间的距离公式得|AB|
＝?0－4?
2< br>＋?－2－0?
2
＝20＝25.
5．△ABC三个顶点的坐标分别为A(－ 4，－4)、B(2,2)、C(4，－2)，则三角形AB边上
的中线长为( )

B．(2，－2)或(2,7)
D．(2，－3)或(2,5)
B．42
D．210

A．26
C．29
[答案] A
B．65
D．13
[解析] AB的中点D的坐标为D(－1，－1)．
∴|CD|＝
故选A．
6．已知三点A(3,2)，B(0,5)，C(4,6)，则△ABC的形状是( )
A．直角三角形
C．等腰三角形
[答案] C
[解析] |AB| ＝
|BC|＝
|AC|＝
?3－0?
2
＋?2－5?
2＝32，
B．等边三角形
D．等腰直角三角形
?－1－4?
2
＋?－1－?－2??
2
＝26；
?0－4?
2
＋?5－6?
2
＝17，
?3－4?
2
＋?2－6?
2
＝17，
∴|AC|＝|BC|≠|AB|，
且|AB|
2
≠|AC|
2
＋|BC|
2
.
∴△ABC是等腰三角形，不是直角三角形，也不是等边三角形．
二、填空题
7．已知点M(m，－1)，N(5，m)，且|MN|＝25，则实数m＝_________.
[答案] 1或3
[解析] 由题意得?m－5?
2
＋?－1－m?
2
＝25，解得m＝1或m＝3. < br>8．已知A(1，－1)，B(a,3)，C(4,5)，且|AB|＝|BC|，则a＝_______ __.
1
[答案]
2
[解析] ?a－1?
2
＋?3 ＋1?
2
＝?4－a?
2
＋?5－3?
2
，
1
解得a＝.
2
三、解答题
9．求证：等腰梯形的对角线相等．
[证明] 已知：等腰梯形ABCD
．

求证：AC＝BD
．

证明：以AB所在直线为x轴，以AB的中点为坐标原点建立如图平面直角坐标系．

设A(－a,0)、D(b，c)，由等腰梯形的性质知B(a,0)，C(－b，c)．
则 |AC|＝
|BD|＝
?－b＋a?
2
＋?c－0?
2
＝< br>?b－a?
2
＋?0－c?
2
＝
?a－b?
2
＋c
2
，
?a－b?
2
＋c
2
，
∴|AC|＝|BD|.
即：等腰梯形的对角线相等．
10．已知直线l
1
：2x＋y－6＝0和A(1，－1)，过点A作直线l
2
与已知直线交于点B且| AB|
＝5，求直线l
2
的方程．
[解析] 当直线l
2
的斜率存在时，设其为k，则

l
2
：y＋1 ＝k?x－1?
?
?
?
?(k＋2)x＝k＋7，
又由2x＋y－ 6＝0
?
?
k＋7k＋74k－2
而k≠－2，故解得x＝，所以B(，)，
k＋2k＋2k＋2
又由|AB|＝5，利用两点间距离公式得
k＋74k－2
3
2
?－1?＋?＋1?
2
＝5?k＝－，
4
k＋2k＋2
此时l
2
的方程为3x＋4y＋1＝0.
而当l
2
的斜率不存在时，l
2
的方程为x＝1.
此时点 B坐标为(1,4)，则|AB|＝|4－(－1)|＝5，也满足条件综上，l
2
的方程为3 x＋4y＋1
＝0或x＝1.
能力提升
一、选择题
1．已知点A(2,3)和B(－4,1)，则线段AB的长及中点坐标分别是( )
A．210，(1,2) B．210，(－1，－2)

C．210，(－1,2)
[答案] C
[解析] |AB|＝
选C．
D．210，(1，－2)
2－43＋1
?－4－2?＋?1－3?＝210，中点 坐标为(，)，即(－1,2)，故
22
22
2．已知两点P(m,1)和Q(1,2 m)之间的距离大于10，则实数m的范围是( )
4
A．－＜m＜2
5
4
C．m＜－2或m＞
5
[答案] B
[解析] 根据两点间的距离公式
|PQ|＝?m－1?
2
＋?1－2m?
2
＝
4
5m
2
－6m＋2＞10?5m
2
－6m－8＞0?m ＜－或m＞2.
5
4
B．m＜－或m＞2
5
4
D．－2＜m＜
5
3．两直线3ax－y－2＝0和(2a－ 1)x＋5ay－1＝0分别过定点A、B，则|AB|等于( )
A．
89

5
17
B．
5
11
D．
5
13
C．
5
[答案] C
2
[解析] 易得A(0，－2)，B(－1，)．
5
∴|AB|＝
213
?－1－0?
2
＋?＋2?
2
＝.
55
4．在直线2x－3y＋5＝0 上求点P，使P点到A(2,3)距离为13，则P点坐标是( )
A．(5,5)
C．(5,5)或(－1,1)
[答案] C
2x＋5
[解析] 设点P(x，y)，则y＝，
3
2x＋5
由|PA|＝13得(x－2)＋(－3)
2
＝13，
3
2
B．(－1,1)
D．(5,5)或(1，－1)
即(x－2)
2
＝9，解得x＝－1或x＝5，
当x＝－1时，y＝1，
当x＝5时，y＝5，∴P(－1,1)或(5,5)．

二、填空题
5．已知点A(5,2a－1)，B(a＋1，a－4)，若|AB|取得最小值 ，则实数a的值是_________.
1
[答案]
2
[解析] 由题意得|AB|＝
?5－a－1?
2
＋?2a－1－a＋4?
2
＝
取得最小值．
6．已知点A(4,12)，在x轴上的点P与点A的距离等于13，则点P 的坐标为_________.
[答案] (9,0)或(－1,0)
[解析] 设P(a,0)，则?a－4?
2
＋12
2
＝13，
2a
2
－2a＋25＝
1491
2?a－?
2
＋，所以当a＝时，|AB |
222
解得a＝9或a＝－1，∴点P的坐标为(9,0)或(－1,0)．
三、解答题
7．用坐标法证明定理：若四边形ABCD是长方形，则对平面内任一点M，等式 AM
2
＋CM
2
＝BM
2
＋DM
2
成立．
[解析] 以一个直角所在的两边为坐标轴，建立直角坐标系．
证明：如图，取长方形ABC D的两条边AB、AD所在的直线分别为x轴、y轴建立直角
坐标系．

设长方形A BCD的四个顶点分别为A(0,0)、B(a,0)、C(a，b)、D(0，b)．在平面上任取
一 点M(m，n)，
则有AM
2
＋CM
2
＝m
2
＋ n
2
＋(m－a)
2
＋(n－b)
2
，
BM2
＋DM
2
＝(m－a)
2
＋n
2
＋m
2
＋(n－b)
2
，
∴AM
2
＋CM
2
＝BM
2
＋DM
2
.
8．如下图所示，一个矩形花园里需要铺设两条笔直的小路，已知矩形花园的长AD＝5
m，宽AB＝3 m，其中一条小路定为AC，另一条小路过点D，问是否在BC上存在一点M，
使得两条小路AC与DM相互垂直？若存在，则求出小路DM的长．

[分析] 建立适当的坐标系，转几何问题为代数运算．
[解析] 以B为坐标原点，BC、BA所在直线为x、y轴建立如图所示的平面直角坐标系．

因为AD＝5 m，AB＝3 m，
所以C(5,0)，D(5,3)，A(0,3)．
设点M的坐标为(x,0)，因为AC⊥DM，
所以k
AC
·k
DM
＝－1，
即
3－03－0
·＝－1.
0－55－x
所以x＝3.2，即BM＝3.2，
即点M的坐标为(3.2,0)时，两条小路AC与DM相互垂直．
故在BC上存在一点M(3.2,0)满足题意．
由两点间距离公式得DM＝



3
?5－3.2?
2
＋?3－0?
2
＝34.
5