高中数学 必修二 第二章 2.3 2.3.3课后习题

第二章 2.3 2.3.3
基础巩固
一、选择题
1．△ABC所在的平面为α，直线l⊥AB，l⊥AC，直线m⊥BC，m⊥AC，则直线l，m
的 位置关系是( )
A．相交
C．平行
[答案] C
2．在正方 体ABCD－A
1
B
1
C
1
D
1
中，直线 l⊥平面A
1
C
1
，则有( )
A．B
1
B⊥l
C．B
1
B与l异面
[答案] B
[解析] 因为B
1
B⊥平面A
1
C
1
，又l⊥平面A
1
C
1
，则l∥B
1
B
．

3．(2013·浙江高考)
设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面．( )
A．若m∥α，n∥α，则m∥n
C．若m∥n，m⊥α，则n⊥α
[答案] C
4.如图，已知△ABC为直角三角形，其中∠ACB＝90°，M为AB的中点，PM垂直于△
ABC所在平面，那么( )
A．PA＝PB＞PC
B．PA＝PB＜PC
C．PA＝PB＝PC
D．PA≠PA≠PC
[答案] C
5．(20 15·杭州高二检测)如下图，设平面α∩β＝EF，AB⊥α，CD⊥α，垂足分别是B、
D，如果增 加一个条件，就能推出BD⊥EF，这个条件不可能是下面四个选项中的( )
B．若m∥α，m∥β，则α∥β
D．若m∥α，α⊥β，则m⊥β
B．B
1
B∥l
D．B
1
B与l相交
B．异面
D．不确定

A．AC⊥β
B．AC⊥EF

C．AC与BD在β内的射影在同一条直线上
D．AC与α、β所成的角相等
[答案] D
6．如图，正方体ABCD－A1
B
1
C
1
D
1
中，点P在侧面BCC
1
B
1
及其边界上运动，并且总
是保持AP⊥BD
1
，则 动点P的轨迹是( )
A．线段B
1
C
B．线段BC
1

C．BB
1
中点与CC
1
中点连成的线段
D．BC中点与B
1
C
1
中点连成的线段
[答案] A
[解析] ∵DD
1
⊥平面ABCD，
∴D
1
D⊥AC，
又AC⊥BD，∴AC⊥平面BDD
1
，
∴AC⊥BD
1
.同理BD
1
⊥B
1
C
．

又∵B
1
C∩AC＝C，
∴BD
1
⊥平面AB
1
C
．

而AP⊥BD
1
，∴AP?平面AB
1
C
．
又P∈平面BB
1
C
1
C，∴P点轨迹为平面AB
1
C 与平面BB
1
C
1
C的交线B
1
C
．
故选 A．
二、填空题
7．线段AB在平面α的同侧，A、B到α的距离分别为3和5，则AB的 中点到α的距
离为________.

[答案] 4
[解析] 如图， 设AB的中点为M，分别过A，M，B向α作垂线，垂足分别为A
1
，M
1
，
B
1
，则由线面垂直的性质可知，AA
1
∥MM
1
∥BB
1
，
四边形AA
1
B
1
B为直角梯形，
AA
1
＝3，BB
1
＝5，MM
1
为其中位线，

∴MM
1
＝4.
8．AB是 ⊙O的直径，点C是⊙O上的动点(点C不与A，B重合)，过动点C的直线
VC垂直于⊙O所在的平面 ，D，E分别是VA，VC的中点，则下列结论中正确的是________(填
写正确结论的序号)．
(1)直线DE∥平面ABC；
(2)直线DE⊥平面VBC；
(3)DE⊥VB；
(4)DE⊥AB
．

[答案] (1)(2)(3)
三、解答题
9．(2013·陕西)如图，四棱柱ABCD－A
1
B
1
C
1
D
1
的底面ABCD是正方形，O为 底面中心，
A
1
O⊥平面ABCD，AB＝AA
1
＝2.证明：A< br>1
C⊥平面BB
1
D
1
D
．


[分析] 先把线面垂直转化为线线垂直，再通过计算得出另一组线线垂直，最后可以
得到线面垂直．
[证明] ∵A
1
O⊥平面ABCD，∴A
1
O⊥BD
．

又底面ABCD是正方形，
∴BD⊥AC，∴BD⊥平面A
1
OC，∴BD ⊥A
1
C
．

又OA
1
是AC的中垂线，
2
∴A
1
A＝A
1
C＝2，且AC＝2，∴AC
2
＝AA
2
1
＋A
1
C，
∴△AA
1
C 是直角三角形，∴AA
1
⊥A
1
C
．

又BB1
∥AA
1
，∴A
1
C⊥BB
1
，∴A
1
C⊥平面BB
1
D
1
D
．

10．如 右图，已知四边形ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，M、
N分别是AB、PC的中点．
(1)求证：MN⊥AB；
(2)若PA＝AD，求证：MN⊥平面PCD
．

[证明] (1)取CD的中点E，连接EM、EN，
则CD⊥EM，且EN∥PD
．

∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD，
又AD⊥DC，PA∩AD＝A，
∴CD⊥平面PAD，
∴CD⊥PD，从而CD⊥EN.
又EM∩EN＝E，∴CD⊥平面MNE.
因此，MN⊥CD，而CD∥AB，
故MN⊥AB
．

(2)在Rt△PAD中有PA＝AD，
取PD的中点K，连接AK，KN，
1
则KN綊DC綊AM，且AK⊥PD
．

2
∴四边形AMNK为平行四边形，从而MN∥AK.
因此MN⊥PD
．
由(1)知MN⊥DC，又PD∩DC＝D，
∴MN⊥平面PCD
．

能力提升
一、选择题
1．(2015·深圳高一检测)
直线l垂直于梯形ABCD的两腰AB和CD，直线m垂直 于AD和BC，则l与m的位置
关系是( )
A．相交
C．异面
[答案] D
[解析] ∵AD∥BC，∴梯形ABCD确定一个平面α.
∵l⊥AB，l⊥CD，AB和CD相交．
∴l⊥α.由于AD∥BC，m⊥AD，m⊥BC，
B．平行
D．不确定

则m⊥α或m∥α或m?α或m与α相交，
则l∥m或l与m异面或l与m相交．
2．已知平面α与平面β相交，直线m⊥α，则( )
A．β内必存在直线与m平行，且存在直线与m垂直
B．β内不一定存在直线与m平行，不一定存在直线与m垂直
C．β内不一定存在直线与m平行，必存在直线与m垂直
D．β内必存在直线与m平行，不一定存在直线与m垂直
[答案] C
3．下列命题正确的是( )
a∥b
?
a⊥α
?
a⊥α
?
a∥α
?
????
????
?b⊥α. ①?b⊥α；② ?a∥b；③?b∥α；④
????
a⊥α
?
b⊥α
?
a⊥ b
?
a⊥b
?
A．①②
C．②③④
[答案] A
[解析] 由性质定理可得(1)(2)正确．
4．(2015·河北衡水中学六模) 如图，正方体AC
1
的棱长为1，过点A作平面A
1
BD的垂线，垂足为 H，则以下命题中，
错误的命题是( )
B．①②③
D．①②④


A．点H是△A
1
BD的垂心
C．AH的延长线经过点C
1
[答案] D
[解析] A中，△A
1
BD为等边三角形，∴四心合一，∵AB＝AA
1
＝AD，∴H到△A
1
BD各顶
点的距离相等，∴A正确；
易知CD
1
∥BA
1
，CB
1
∥DA
1
，又CD
1
∩CB
1< br>＝C，BA
1
∩DA
1
＝A
1
，∴平面CB
1
D
1
∥平面
A
1
BD，∴AH⊥平面CB
1D
1
，∴B正确；
连接AC
1
，则AC
1
⊥ B
1
D
1
，∵B
1
D
1
∥BD，
∴AC
1
⊥BD，同理，AC
1
⊥BA
1
，又BA
1
∩BD＝B，∴AC
1
⊥平面A
1
BD，
B．AH垂直于平面CB
1
D
1

D．直线AH和BB
1
所成角为45°

∴A、H、C
1
三点共线，∴C正确，利用排除法选D．
二、填空题
5．三棱锥P－ABC中，O是P在底面内的射影．
①若PA＝PB＝PC，则O是△ABC的________心；
②若P到△ABC三条边的距离相等，则O是△ABC的________心；
③若PA、PB、PC与底面ABC所成的角相等，则O是△ABC的________心．
[答案] ①外 ②内 ③外
6．△ABC的三个顶点A、B、C到平面α的距离分别为2 cm、3 cm、4 cm，且它们在α
的同侧，则△ABC的重心到平面α的距离为________.
[答案] 3 cm
[解析] 如图，设A、B、C在平面α上的射影分别为A′、B′、C′，

△ABC的重心为G，连接CG并延长交AB于中点E，
又设E、G在平面α上的射影分别为E′、G′，
15
则E′∈A′B′，G′∈C ′E′，EE′＝(A′A＋B′B)＝，CC′＝4，CGGE＝
22
在直角梯形EE′C′ C中，可求得GG′＝3.
三、解答题
7．(2015·江苏卷)如图，在直三棱柱ABC －A
1
B
1
C
1
中，已知AC⊥BC，BC＝CC
1
，设AB
1
的中点为D，B
1
C∩BC
1
＝E.
求证：(1)DE∥平面AA
1
C
1
C；
(2)BC
1
⊥AB
1
.
，

[答案] (1)详见解析；(2)详见解析．
[分析] (1 )由三棱锥性质知侧面BB
1
C
1
C为平面四边形，因此点E为B
1
C的中点，从而
由三角形中位线性质得DE∥AC，再由线面平行判定定理得DE∥平面AA< br>1
C
1
C
．

(2)因为直三棱柱ABC－A
1
B
1
C
1
中BC＝CC
1
，所以侧面BB1
C
1
C为正方形，因此BC
1
⊥
B
1
C，又AC⊥BC，AC⊥CC
1
(可由直三棱柱推导)，因此由线面垂直判定定理得AC⊥ 平面
BB
1
C
1
C，从而AC⊥BC
1
，再由线面 垂直判定定理得BC
1
⊥平面AB
1
C，进而可得BC
1
⊥ AB
1
.
[解析] (1)由题意知，E为B
1
C的中点，
又D为AB
1
的中点，因此DE∥AC
．

又因为DE?平 面AA
1
C
1
C，AC?平面AA
1
C
1
C，
所以DE∥平面AA
1
C
1
C
．

(2)因为棱柱ABC－A
1
B
1
C
1
是直三棱柱，
所以CC
1
⊥平面ABC
．

因为AC?平面ABC，所以AC⊥CC
1
.
又因为AC⊥BC，CC
1
?平面BCC
1
B
1
，
BC?平面BCC
1
B
1
，BC∩CC
1
＝C，
所以AC⊥平面BCC
1
B
1
，
又因为BC
1< br>?平面BCC
1
B
1
，所以B
1
C⊥AC
．

因为BC＝CC
1
，所以矩形BCC
1
B
1是正方形，因此BC
1
⊥B
1
C
．

因为AC ，B
1
C?平面B
1
AC，AC∩B
1
C＝C，所以BC< br>1
⊥平面B
1
AC
．

又因为AB
1
?平面B
1
AC，所以BC
1
⊥AB
1
.
8． (2015·浙江模拟)如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB＝BC＝2，AD
＝CD＝7，PA＝3，∠ABC＝120°.G为线段PC上的点．

(1)证明：BD⊥平面APC；
(2)若G为PC的中点，求DG与平面APC所成角的正切值；

PG
(3)若G满足PC⊥平面BGD，求的值．
GC
[解析] (1)证明：设点O为AC，BD的交点．
由AB＝BC，AD＝CD，得BD垂直平分线段AC
．

所以O为AC的中点，BD⊥AC
．

又因为PA⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，
所以PA⊥BD
．

又PA∩AC＝A，
所以BD⊥平面APC
．

(2)连接OG. 由(1)可知OD⊥平面APC，则DG在平面APC内的射影为OG，所以∠OGD
是DG与平面PA C所成的角．
13
由题意得OG＝PA＝.
22
在△ABC中，
因为AB＝BC，∠ABC＝120°，AO＝CO，
1
所以∠ABO＝∠ABC＝60°，
2
所以AO＝OC＝AB·sin60°＝3.

在Rt△OCD中，OD＝CD
2
－OC
2
＝2.
OD43
＝.
OG3
在Rt△OGD中，tan∠OGD＝
43< br>所以DG与平面APC所成角的正切值为.
3
(3)因为PC⊥平面BGD，OG?平面BGD，所以PC⊥OG.
在Rt△PAC中，PC＝?3?
2
＋?23?
2
＝15.

AC·OC215
所以GC＝＝.
PC5
315
从而PG＝，
5
PG3
所以＝.
GC2