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高中数学 必修二 第二章 2.1 2.1.1课后练习题

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-19 15:33
tags:高中数学必修二课后习题答案

高中数学史上最难题-高中数学函数知识总结

2020年9月19日发(作者:瞿林)



第二章 2.1 2.1.1
基础巩固
一、选择题
1.空间中,可以确定一个平面的条件是( )
A.两条直线
C.一个三角形
[答案] C
2.如图所示,下列符号表示错误的是( )

A.l∈α
C.l?α
[答案] A
[解析] 观察图知:P?l,P∈α,l?α,则l∈α是错误的.
3.下面四个说法(其中A,B表示点,a表示直线,α表示平面):
①∵A?α,B?α,∴AB?α;
②∵A∈α,B?α,∴AB?α;
③∵A?a,a?α,∴A?α;
④∵A∈a,a?α,∴A∈α.
其中表述方式和推理都正确的命题的序号是( )
A.①④
C.④
[答案] C
[解析] ①错,应写为A∈α,B∈α;②错,应写为AB?α;③错,推理 错误,有可能A∈α;
④推理与表述都正确.
4.如图所示,平面α∩β=l,A,B∈α, C∈β且C?l,AB∩l=R,设过A,B,C三点的
平面为γ,则β∩γ等于( )
B.②③
D.③
B.P?l
D.P∈α
B.一点和一条直线
D.三个点

A.直线AC
C.直线CR
[答案] C

B.直线BC
D.以上都不对



[解析] 由C,R是平面β和γ的两个公共点,可知β∩γ=CR.
5.若一直线a在平面α内,则正确的图形是( )

[答案] A
6.下图中正确表示两个相交平面的是( )

[答案] D
[解析] A中无交线;B中不可见线没有画成虚线;C中虚、实线没按画图规则画,也
不正确.D的画法正确.画 两平面相交时,一定要画出交线,还要注意画图规则,不可见线
一般应画成虚线,有时也可以不画.
二、填空题
7.已知如图,试用适当的符号表示下列点、直线和平面的关系:

(1)点C与平面β:________.
(2)点A与平面α:________.
(3)直线AB与平面α:________.
(4)直线CD与平面α:________.
(5)平面α与平面β:________.
[答案] (1)C?β (2)A?α (3)AB∩α=B (4)CD?α (5)α∩β=BD
8.在正方体ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
中,下列说法正确的是________(填序号).
(1)直线AC
1
在平面CC
1
B
1
B内. (2)设正方体ABCD与A
1
B
1
C
1
D
1
的中心分别为O,O
1
,则平面AA
1
C
1
C与平 面BB
1
D
1
D
的交线为OO
1
.
(3 )由A,C
1
,B
1
确定的平面是ADC
1
B
1< br>.
(4)由A,C
1
,B
1
确定的平面与由A,C
1
,D确定的平面是同一个平面.
[答案] (2)(3)(4)



[解析] (1)错误.如图所示,点A?平面CC
1
B
1
B,所以直线AC
1
?平面CC
1
B
1
B



(2)正确.如图所示.
因为O∈直线AC?平面AA< br>1
C
1
C,O∈直线BD?平面BB
1
D
1
D,O
1
∈直线A
1
C
1
?平面
AA
1< br>C
1
C,O
1
∈直线B
1
D
1
?平 面BB
1
D
1
D,所以平面AA
1
C
1
C 与平面BB
1
D
1
D的交线为OO
1
.

(3)(4)都正确,因为AD∥B
1
C
1
且AD=B
1
C
1

所以四边形AB
1
C
1
D是平行四边形,
所以A,B
1
,C
1
,D共面.

三、解答题
9.求证:两两相交且不过同一点的三条直线必在同一个平面内.
[分析]

[解析] 已知:AB∩AC=A,AB∩BC=B,AC∩BC=C


求证:直线AB,BC,AC共面.
证明:方法一:因为AC∩AB=A,所以直线AB,A C可确定一个平面α.因为B∈AB,C
∈AC,所以B∈α,C∈α,故BC?α.因此直线AB,B C,AC都在平面α内,所以直线AB,BC,



AC共面.
方法二:因为A不在直线BC上,所以点A和直线BC可确定一个平面α.因为B ∈BC,
所以B∈α.又A∈α,同理AC?α,故直线AB,BC,AC共面.
方法三:因 为A,B,C三点不在同一条直线上,所以A,B,C三点可以确定一个平面
α.因为A∈α,B∈α, 所以AB?α,同理BC?α,AC?α,故直线AB,BC,AC共面.
规律总结:1.利用公理2 及三个推论,可以确定平面及平面的个数,公理中要求“不
共线的三点”,推论1要求“平面外一点”, 推论2要求“两条相交直线”,推论3要求“两
条平行线”,因此对公理、推论的条件和结论必须理解清 楚.
2.对于证明几个点(或几条直线)共面的问题,在由其中几个点(或几条直线)确定一个平面后,只要再证明其他点(或直线)也在该平面内即可.
10.如图所示,AB∥CD,AB∩α =B,CD∩α=D,AC∩α=E.求证:B,E,D三点共线.

[解析] ∵AB∥CD,
∴AB,CD共面,设为平面β,
∴AC在平面β内,即E在平面β内.
而AB∩α=B,CD∩α=D,AC∩α=E,
可知B,D,E为平面α与平面β的公共点,
根据公理3可得,B,D,E三点共线.
能力提升
一、选择题
1.(2015·天津武清月考)
下列说法正确的是( )
A.两两相交的三条直线确定一个平面
B.四边形确定一个平面
C.梯形可以确定一个平面
D.圆心和圆上两点确定一个平面



[答案] C
[解析] 因为梯形的两腰是相交直线,所以根据确定平面的条件,梯形应确定一个平面.
2.下列命题正确的是( )
A.两个平面如果有公共点,那么一定相交
B.两个平面的公共点一定共线
C.两个平面有3个公共点一定重合
D.过空间任意三点,一定有一个平面
[答案] D
[解析] 如果两个平面重合 ,则排除A、B;两个平面相交,则有一条交线,交线上任
取3个点都是两个平面的公共点,故排除C; 而D中的三点不论共线还是不共线,则一定
能找到一个平面过这3个点.
3.设P表示一个点 ,a、b表示两条直线,α、β表示两个平面,给出下列四个命题,
其中正确的命题是( )
①P∈a,P∈α?a?α
②a∩b=P,b?β?a?β
③a∥b,a?α,P∈b,P∈α?b?α
④α∩β=b,P∈α,P∈β?P∈b
A.①②
C.①④
[答案] D
[解析] 当a∩α=P时,P∈a,P∈α,但a?α,∴①错;
a∩β=P时,②错;如图∵a∥b,P∈b,∴P?a,∴由直线a与点P
确定唯一平面α,
又a∥b,由a与b确定唯一平面β,但β经过直线a与点P,∴β与α重合,∴b?α,故
③ 正确;
两个平面的公共点必在其交线上,故④正确,选D.
4.如图,α∩β=l,A∈α ,C∈β,C?l,直线AD∩l=D,过A,B,C三点确定的平面
为γ,则平面γ、β的交线必过( )
B.②③
D.③④




A.点A
C.点C,但不过点D
[答案] D
[解析] A、B、 C确定的平面γ与直线BD和点C确定的平面重合,故C、D∈γ,且C、
D∈β,故C,D在γ和β的 交线上.
二、填空题
5.过同一点的4条直线中,任意3条都不在同一平面内,则这4条直 线确定的平面的
个数是________.
[答案] 6
[解析] 如图.
B.点B
D.点C和点D

6.如图所示,A,B,C,D为不共面的四 点,E,F,G,H分别在线段AB,BC,CD,
DA上.

(1)如果EH∩FG=P,那么点P在直线________上.
(2)如果EF∩GH=Q,那么点Q在直线________上.
[答案] (1)BD (2)AC
[解析] (1)若EH∩FG=P,那么点P∈平面ABD,P∈平面BCD,而平面A BD∩平面BCD
=BD,所以P∈BD


(2)若EF∩GH=Q,则点 Q∈平面ABC,Q∈平面ACD,而平面ABC∩平面ACD=AC,
所以Q∈AC


三、解答题
7.在正方体ABCD-A
1
B
1
C1
D
1
中,E为AB的中点,F为AA
1
的中点,求证:




(1)E、C、D
1
、F、四点共面;
(2)CE、D
1
F、DA三线共点.
[证明] (1)分别连结EF、A
1
B、D
1
C,
∵E、F分别是AB和AA
1
的中点,
1
∴EF∥A
1
B且EF=A
1
B

< br>2
又∵A
1
D
1
綊B
1
C
1
綊BC,
∴四边形A
1
D
1
CB是平行四边形,
∴A
1
B∥CD
1
,从而EF∥CD
1
.
EF与CD
1
确定一个平面.
∴E、F、D
1
、C四点共面.
1
(2)∵EF綊CD
1

2
∴直线D
1
F和CE必相交.设D
1
F∩CE=P, < br>∵D
1
F?平面AA
1
D
1
D,P∈D
1< br>F,∴P∈平面AA
1
D
1
D


又CE?平面ABCD,P∈EC,∴P∈平面ABCD,
即P是平面ABCD与平面AA
1
D
1
D的公共点.
而平面ABCD∩平面AA
1
D
1
D=直线AD,
∴P∈直线AD(公理3),∴直线CE、D
1
F、DA三线共点.
8.( 2015·江苏淮安模拟)如图所示,在棱长为a的正方体ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
中,M,N
分别是AA
1
,D
1
C
1
的中点,过D,M,N三点的平面与正方体的下底面相交于直线l.

(1)画出直线l的位置;
(2)设l∩A
1
B
1
=P,求线段PB
1
的长.



[解析] (1)延长DM交D
1
A< br>1
的延长线于E,连接NE,则NE即为直线l的位置.


(2)∵M为AA
1
的中点,AD∥ED
1

∴AD=A
1
E=A
1
D
1
=a.
1
∵A
1
P∥D
1
N,且D
1
N=a,
2
11
∴A
1
P=D
1
N=a,
24< br>13
于是PB
1
=A
1
B
1
-A
1
P=a-a=a.
44



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