高中数学 必修二 第一章 1.2 1.2.3课后习题

第一章 1.2 1.2.3
基础巩固
一、选择题
1．下列关于用斜二测画法画直观图的说法中，正确的是( )
A．水平放置的正方形的直观图不可能是平行四边形
B．平行四边形的直观图仍是平行四边形
C．两条相交直线的直观图可能是平行直线
D．两条垂直的直线的直观图仍互相垂直
[答案] B
[解析]
选项 正误 理由
斜二测画法保持平行性不变，正方形的直观图是平行四边形，故选项A
A

错误
B

平行四边形的对边平行，则在直观图中仍然平行，故选项B正确
斜二测画法保持相交性不变，故两条相交直线的直观图仍是相交直线，
C

故选项C错误
D

两条垂直直线的直观图应是夹角为45°的两条相交直线，故选项D错误
[点评] 斜二测画法主要保留了原图的三个性质：①保平行；②保共点；③保平行线段
的长度比．
2．给出以下关于斜二测直观图的结论，其中正确的个数是( )
①角的水平放置的直观图一定是角．
②相等的角在直观图中仍相等．
③相等的线段在直观图中仍然相等．
④若两条线段平行，则在直观图中对应的两条线段仍然平行．
A．0
C．2
[答案] C
[解析] 由斜二测画法规则可知，直观图保持线段的平行 性，∴④对，①对；而线段的
长度，角的大小在直观图中都会发生改变，∴②③错．
3．如图，用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为一个正方形，则原来图

B．1
D．3

形的形状是( )

[答案] A
[解析] 由斜二测画法可知，与y′轴平行的线段在原图中为在直观图中的2倍．故可
判断A正确．
4 ．一个建筑物上部为四棱锥，下部为长方体，且四棱锥的底面与长方体的上底面尺寸
一样，已知长方体的 长、宽、高分别为20 m,5 m,10 m，四棱锥的高为8 m，若按
比例画出它的直观图，那么直观图中，长方体的长、宽、高和棱锥的高应分别为( )
A．4 cm,1 cm, 2 cm,1.6 cm
C．4 cm,0.5 cm,2 cm,1.6 cm
[答案] C
[解析] 由比例尺可知长方体的长、宽、高和四棱锥的高分别为4 cm,1 cm,2 cm和1.6
cm，再结合斜二测画法，可知直观图的相应尺寸应分别为4 cm,0.5 cm,2 cm,1.6 cm.
5．在下列选项中，利用斜二测画法，边长为1的正三角形ABC的直观图不是全等三角
形的一组是( )
B．4 cm,0.5 cm,2 cm,0.8 cm
D．2 cm,0.5 cm,1 cm,0.8 cm
的

[答案] C
h
[解析] C中前者画成斜二测直观图时，底AB不变，原来高h变为，后者画成斜二测2
1
直观图时，高不变，边AB变为原来的.
2
6．如图，一个水平放 置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45°、腰和上底长均
为1的等腰梯形，则这个平面图形的面 积是( )
12
A．＋
22
C．1＋2

B．1＋
2

2
D．2＋2

[答案] D
[解析] 如图所示，

∵A′D′∥B′C′，
∴AD∥BC
．

∵∠A′B′C′＝45°，
∴∠ABC＝90°.
∴AB⊥BC
．

∴四边形ABCD是直角梯形．
其中，AD＝A′D′＝1，BC＝B′C′＝1＋2，AB＝2，
∴S
梯形
ABCD
＝2＋2.
[规律总结] (1)已知一个平面图形，求其直观图的面积．
解决此类问题的关键是利用斜二测画法画出直观图，然后利用面积公式求解．
(2)已知平面图形的直观图求原图形的面积．
解决此类问题时，应根据所给的直观图确定原 图形中线与线间的关系、长度、夹角，从
而具体研究原图形的面积．
由直观图还原为原图是画 直观图的逆过程，有两个量发生了变化，一是∠x′O′y′由
45°恢复为∠xOy＝90°，二是与 O′y′平行的线段，在平面xOy中的长度是原来的2倍．
二、填空题
7．斜二测画法中 ，位于平面直角坐标系中的点M(4,4)在直观图中的对应点是M′，则
点M′的坐标为______ ____ ________，点M′的找法是__________ ________.
[答案] M′(4,2) 在坐标系x′O′y′中，过点(4,0)和y′轴平行的直线与过点(0,2)
和x ′轴平行的直线的交点即是点M′.
[解析] 在x′轴的正方向上取点M
1
，使O
1
M
1
＝4，在y′轴上取点M
2
，使O′M
2< br>＝2，
过M
1
和M
2
分别作平行于y′轴和x′轴的直线，则 交点就是M′.

8．如右图，水平放置的△ ABC的斜二测直观图是图中的△A′B′C′，已知A′C′
＝6，B′C′＝4，则AB边的实际长 度是__________ ________.
[答案] 10
[解析] 由斜二测画法 ，可知△ABC是直角三角形，且∠BCA＝90°，AC＝6，BC＝4×2
＝8，则AB＝AC2
＋BC
2
＝10.

三、解答题
9．如图所示， 四边形ABCD是一个梯形，CD∥AB，CD＝AO＝1，三角形AOD为等腰
直角三角形，O为AB 的中点，试求梯形ABCD水平放置的直观图的面积．

[解析] 在梯形ABCD中，AB ＝2，高OD＝1，由于梯形ABCD水平放置的直观图仍为
1
梯形，且上底CD和下底AB的 长度都不变，如图所示，在直观图中，O′D′＝OD，梯形
2
的高D′E′＝
212 32
，于是梯形A′B′C′D′的面积为×(1＋2)×＝.
4248
10．一个 几何体，它的下面是一个圆柱，上面是一个圆锥，并且圆锥的底面与圆柱的上
底面重合，圆柱的底面直径 为3 cm，高为4 cm，圆锥的高为3 cm，画出此几何体的直观图．
[分析] 这个几何体是一个简单的组合体，可以先画出下部的圆柱，再画出上部的圆锥．
[画法]
(1)画轴．如图1所示，画x轴、z轴，使∠xOz＝90°.
(2)画圆柱的两底面，在x轴上取A、B两点，使AB的长度等于3 cm，且OA＝OB
．
选
择椭圆模板中适当的椭圆过A，B两点，使它为圆柱的下底面．在Oz上截取点O′，使OO ′
＝4 cm，过O′作Ox的平行线O′x′，类似圆柱下底面的作法作出圆柱的上底面．
(3)画圆锥的顶点．在Oz上截取点P，使PO′等于圆锥的高3 cm.
(4)成图．连接A′A，B′B，PA′，PB′，整理得到此几何体的直观图．如图2所示．

[方法提炼]
画旋转体直观图的 关键是画图的直观图，即作两个圆的直观图，平行于z轴的线段的长
度保持不变．
能力提升
一、选择题
1．利用斜二测画法得到：
①三角形的直观图是三角形；②平行四边形 的直观图是平行四边形；③正方形的直观图
是正方形；④菱形的直观图是菱形．
以上说法正确的是( )
A．①
C．③④
[答案] B
[解析] 根据画法规则，平行性保持不变，与y轴平行的线段长度减半．
2．如图，正方形O′A′B′C′的边长为1 cm，它是水平放置的一个平面图形的直观
图，则原图形的周长是( )
B．①②
D．①②③④

A．8 cm
C．2(1＋3)cm
[答案] A
[解析] 根据直观图的画法可知，在原几何图形中，OABC为平行四边形， 且有OB⊥OA，
OB＝22，OA＝1，所以AB＝3.从而原图的周长为8.
3．下图甲所示为一平面图形的直观图，则此平面图形可能是乙图中的( )
B．6 cm
D．2(1＋2)cm

[答案] C
[解析] 按斜二测画法规则，平行于x轴或x轴上的线段的长度在新坐标系中不变，平
1
行于y轴或在y轴上的线段在新坐标系中变为原来的，并注意到∠xOy＝90°，∠x′O′y′2
＝45°，将图形还原成原图形知选C．
4．下图是水平放置的三角形的直观图，D为 △ABC中BC的中点，则原图形中AB，AD，
AC三条线段中( )

A．最长的是AB，最短的是AC
B．最长的是AC，最短的是AB
C．最长的是AB，最短的是AD
D．最长的是AC，最短的是AD
[答案] B
[解析] 因为AB∥y轴，BC∥x轴，根据斜二侧画法规则，在原图中应有AB⊥BC，所
以△ABC为B＝90°的直角三角形，所以在AB，AD，AC三条线段中AC最长，AB最短．
二、填空题

5．如图，是△AOB用斜二测画法画出的直观图，则△AOB的面积是__________
________.
[答案]
16

[解析] 由图易知△AOB中，底边OB＝4，
又∵底边OB的高为8，
1
∴面积S＝×4×8＝16.
2

6．如右图所示，四边形OA BC是上底为2，下底为6，底角为45°的等腰梯形，用斜二
侧画法，画出这个梯形的直观图O′A′ B′C′，在直观图中梯形的高为__________
________.
[答案]
2

2

[解析] 因为OA＝6，CB＝2，所以OD＝2.又因 为∠COD＝45°，所以CD＝2.梯形的直
观图如右图，则C′D′＝1.所以梯形的高C′E′＝
三、解答题
7．如图所示，已知几何体的三视图，用斜二测画法画出它的直观图．
2
.
2

[分析]
由三视图画出空间几何体的直观图 应先由三视图确定出空间几何体，再由斜二测画法画
出其直观图．
[解析] 由几何体的三视 图可知，这个几何体是一个圆台，画法：①画轴．画x轴、y
轴、z轴，使∠xOy＝45°，∠xOz ＝90°.②画圆台的两底面，取底面⊙O和上底面⊙O′的长为
俯视图中的大圆和小圆的直径，画出⊙ O与⊙O′.③取OO′为正视图的高度．④成图．如
图，整理得到三视图表示的几何体的直观图．

8．如图是一个几何体的三视图，用斜二测画法画出它的直观图．


[解析] (1)画轴．如图①，画x轴、y轴、z轴，
使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°.
(2)画底面，利用斜二测画法画出底面ABCD ，在z轴上截取OO′，使OO′等于三视
图中相应高度，过O′作Ox的平行线O′x′，Oy的平行 线O′y′，利用O′x′与O′y′
画出上底面A′B′C′D′.
(3)画正四棱锥顶点，在Oz上截取点P，使PO′等于三视图中相应的高度．
(4)成图 ．连接PA′、PB′、PC′、PD′、A′A，B′B、C′C、D′D，整理得到三
视图表示的几 何体的直观图如图②所示．