高中数学 必修二 第一章 1.1 1.1.1课后习题

第一章 1.1 1.1.1
基础巩固
一、选择题
1．下列说法正确的是( )
A．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱
B．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱
C．各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体
D．九棱柱有9条侧棱，9个侧面，侧面为平行四边形
[答案] D
[解析] A 、B都错，反例如图；若上、下底面是全等的菱形，各侧面是全等的正方形，
则不是正方体，知C错；根 据棱柱的定义，知D对．

2．下面多面体中，是棱柱的有( )

A．1个
C．3个
[答案] D
[解析] 根据棱柱的定义进行判定知，这4个图都满足．
3．有一个多面体，共有四个面围成，每一个面都是三角形，则这个几何体为( )
A．四棱柱
C．三棱柱
[答案] D
[解析] 四个面都是三角形的几何体只能是三棱锥．
4．下面描述中，不是棱锥的几何结构特征的为( )
A．三棱锥有四个面是三角形
B．棱锥都是有两个面是互相平行的多边形
C．棱锥的侧面都是三角形
D．棱锥的侧棱交于一点
[答案] B

B．2个
D．4个
B．四棱锥
D．三棱锥

5．以三棱台的顶点为三棱锥的顶点，这样可以把一个三棱台分成三棱锥的个数为( )
A．1
C．3
[答案] C
[解析] 如图所示，在三棱 台ABC－A
1
B
1
C
1
中，分别连接A
1
B，A
1
C，BC
1
，则将三棱台
分成3个三棱锥，即三棱锥A－ A
1
BC，B
1
－A
1
BC
1
，C－A< br>1
BC
1
.
B．2
D．4

6．下列图形经过折叠不能围成一个棱柱的是( )

[答案] B
二、填空题
7．下列几何体中，________是棱柱，________是棱锥，________是棱台．

[答案] ①③④ ⑥ ⑤
8．下列说法正确的是________.
①一个棱锥至少有四个面；
②如果四棱锥的底面是正方形，那么这个四棱锥的四条侧棱都相等；
③五棱锥只有五条棱；
④用与底面平行的平面去截三棱锥，得到的截面三角形和底面三角形相似．
[答案] ①④
[解析] ①正确．②不正确．四棱锥的底面是正方形，它的侧棱可以相等．也可以不等．③
不 正确．五棱锥除了五条侧棱外，还有五条底边，故共10条棱．④正确．

三、解答题
9．判断如图所示的几何体是不是棱台？为什么？

[分析] 观察图形→结合棱台的特征→判断
[解析] ①②③都不是棱台，因为 ①和③都不是由棱锥所截得的，故①③都不是棱台，
虽然②是由棱锥所截得的，但截面不和底面平行，故 不是棱台，只有用平行于棱锥底面的平
面去截棱锥，底面与截面之间的部分才是棱台．
10．根据下列关于空间几何体的描述，说出几何体的名称．
(1)由6个平行四边形围成的几何体；
(2)由7个面围成，其中一个面是六边形，其余6个面都是有一个公共顶点的三角形；
(3 )由5个面围成的几何体，其中上、下两个面是相似三角形，其余三个面都是梯形，
并且这些梯形的腰延 长后能相交于一点．
[分析]
根据几何体的结构特征，结合棱柱、棱锥、棱台的定义进行判断．
[解析] (1)这是一个上、下底面为平行四边形，四个侧面也是平行四边形的四棱柱(也
叫平行六面体)．
(2)六棱锥．
(3)三棱台．
[点评] 对几何体进行判断时，要充分发挥空间想象能力，必要时做几何模型通过演示
进行准确判断．
能力提升
一、选择题
1．(2015·聊城高一检测)
下面说法正确的是( )
A．棱锥的侧面不一定是三角形
B．棱柱的各侧棱长不一定相等
C．棱台的各侧棱延长必交于一点
D．用一个平面截棱锥，得到两个几何体，一个是棱锥，另一个是棱台
[答案] C
2．如果一个棱锥的各条棱长都相等，那么这个棱锥一定不是( )

A．三棱锥
C．五棱锥
[答案] D
B．四棱锥
D．六棱锥
[解析] 由题意可知，每个侧面均为等边三角形，每个 侧面的顶角为60°，如果是六棱
锥，因为6×60°＝360°，所以顶点会在底面上，因此不是六棱 锥．
3．用一个平面去截一个三棱锥，截面形状是( )
A．四边形
C．三角形或四边形
[答案] C
B．三角形
D．不可能为四边形

4．水平放置的正方体的六个面分别用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示，如图是一个正方体的表面展开图，若图中“2”在正方体的上面，则这个正方体的下面是( )
A．1
C．快
[答案] B
B．0
D．乐

[解析] 如图得到正方体，从图中可以看到“1”在正方体的后面，“快”在正方体的右
面， “乐”在前面，下面、左面均为“0”．
二、填空题
5．五棱柱中，不同在任何侧面且不同 在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那
么一个五棱柱的对角线共有________条．
[答案] 10
[解析] 在上底面选一个顶点，同时在下底选一个顶点，且这两个顶点不在 同一侧面上，
这样上底面每个顶点对应两条对角线，所以共有10条．

6．在正方体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何形体的4个顶点，这些几

何形体是________(写出所有正确结论的编号)．
①矩 形；②不是矩形的平行四边形；③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三
角形的四面体；④每个 面都是等边三角形的四面体；⑤每个面都是直角三角形的四面体．
[答案] ①③④⑤

[解析] 在如图正方体ABCD－A
1
B
1
C
1
D
1
中，若所取四点共面，则只能是正方体的表面
或对角面．
即正方形或长方形，∴①正确，②错误．
棱锥A－BDA
1
符合③，∴③正确；
棱锥A
1
－BDC
1
符合④，∴④正确；
棱锥A－A
1
B
1
C
1
符合⑤，∴⑤正确．
三、解答题

7．一个几何体的表面展开平面图如图．
(1)该几何体是哪种几何体；
(2)该几何体中与“祝”字面相对的是哪个面？与“你”字面相对的是哪个面？
[解析] (1)该几何体是四棱台；
(2)与“祝”相对的面是“前”，与“你”相对的面是“程”．

8．在一个长方体的容器中，里面装有少量水，现在将容器绕着某底部的一条棱倾斜，
在倾斜的过程中．

(1)水面的形状不断变化，可能是矩形，也可能变成不是矩形的平行四边形，对吗？
(2)水的形状也不断变化，可以是棱柱，也可能变为棱台或棱锥，对吗？
(3)如果倾斜时 ，不是绕着底部的一条棱，而是绕着其底部的一个顶点，上面的第(1)题
和第(2)题对不对？
[解析] (1)不对；水面的形状就是用一个与棱(倾斜时固定不动的棱)平行的平面截长方
体时截面的形状，因而可以是矩形，但不可能是其他非矩形的平行四边形．
(2)不对；水的形状就是 用与棱(将长方体倾斜时固定不动的棱)平行的平面将长方体截去
一部分后，剩余部分的几何体，此几何 体是棱柱，水比较少量，是三棱柱，水多时，可能是
四棱柱或五棱柱；但不可能是棱台或棱锥．
(3)①不对，只有一条棱着地水面才是矩形；②不对，只有一条棱着地水才是棱柱．