高中数学名师张鹤-高中数学幽默的话
第三章 3.1 3.1.1
基础巩固
一、选择题
1．下列四个命题中，正确的命题共有( )
①坐标平面内的任意一条直线均有倾斜角与斜率；
②直线的倾斜角的取值范围是[0°，180°]；
③若一条直线的斜率为tanα，则此直线的倾斜角为α；
④若一条直线的倾斜角为α，则此直线的斜率为tanα.
A．0个
C．2个
[答案] A
[解析]
序号
①、④
②
正误
×
×
理由
倾斜角为90°时，斜率不存在，故①、④不正确
倾斜角的范围是[0°，180°)，故②不正确
虽然直线的斜率为tanα，但只有当α∈[0°，180°)时，α才是直线
③
×
的倾斜角，故③不正确
2．已知点A(1,2)，在x轴上存在一点P，使直线PA的倾斜角
为135°，则点P的坐标为
( )
A．(0,3)
C．(3,0)
[答案] C
0－2
[解析]
由题意可设P的坐标为(m,0)，则＝tan135°＝－1，解得m＝3.
m－1
3．若直线l的向上方向与y轴的正方向成30°角，则直线l的倾斜角为( )
A．30°
C．30°或150°
[答案] D
[解析]
如图，直线l有两种情况，故l的倾斜角为60°或120°.
B．60°
D．60°或120°
B．(0，－1)
D．(－1,0)
B．1个
D．3个
4．直线l的倾斜角是斜率为
A．1
23
C．
3
[答案] B
[解析]
∵tanα＝
3
，0°≤α<180°，∴α＝30°，
3
3
的直线的倾斜角的2倍，则l的斜率为( )
3
B．3
D．－3
∴2α＝60°，∴k＝tan2α＝3.故选B．
5．如下图，已知直
线l
1
，l
2
，l
3
的斜率分别为k
1
，
k
2
，k
3
，则( )
A．k
1
C．k
3
[答案] D
[解析] 可由直线的倾斜程度，结合倾斜角与斜率的关系求解．设直线l
1
，l2
，l
3
的倾斜
角分别是α
1
，α
2
，α
3
，由图可知α
1
>90°>α
2
>α
3>0°，
所以k
1
<0
. <
br>6．已知点A(1,3)，B(－2，－1)．若过点P(2,1)的直线l与线段AB相交，则直线l的
斜
率k的取值范围是( )
1
A．k≥
2
1
C．k≥或k≤－2
2
[答案] D
[解析]
过点P(2,1)的直线可以看作绕P(2,1)进行旋转运动，通过
画图可求得k的取值范围．由已知
直线l恒过定点P(2,1)，如图．
B．k≤－2
1
D．－2≤k≤
2
B．k
3
D．k
1
若l与线段AB相交，则k
PA
≤k≤k
PB
，
11
∵k
PA
＝－2，k
PB
＝，∴－2≤k≤.
22
[点评] 确定平面直角坐标系内的一条直线位置的几何要素是：一个点P和一个倾斜角<
br>α，二者缺一不可．本题过点P(2,1)的直线的位置是不确定的，用运动变化的观点看问题是
数形结合的技巧．
二、填空题
7．求经过下列两点的直线斜率，并判断其倾斜角是0°，还是锐角、钝角或直角．
(1)C(18,8)，D(4，－4)，斜率为_________，倾斜角为_________；
(2)C(－1,2)，D(3,2)，斜率为_________，倾斜角为_________；
11
(3)C(0，－)，D(，0)(ab<0)斜率为_________，倾斜角为__
_______.
ba
6a
[答案] (1) 锐角 (2)0 0° (3)
钝角
7b
8．设P为x轴上的一点，A(－3,8)，B(2,14)，若PA的斜率是PB
的斜率的两倍，则点
P的坐标为_________.
[答案] (－5,0)
[解析] 设P(x,0)为满足题意的点，则k
PA
＝
解得x＝－5.
三、解答题
9．在同一坐标平面内，画出满足下列条件的直线：
(1)直线l
1
过原点，斜率为1；
2
(2)直线l
2
过点(3,0)，斜率为－；
3
2
(3)直线l
3
过点(－3,0)，斜率为；
3
(4)直线l
4
过点(3,1)斜率不存在．
[解析] 14814
，k
PB
＝，于是＝2×，
－3－x2－x－3－x2－x<
br>8
10．如右图，菱形OBCD的顶点
O与坐标原点重合，一边在x轴的
正半轴上．已知∠BOD＝60°，求菱形各边和两条对角线所在直线
的倾斜
角及斜率．
利用菱形的性质：对边平
行且相等，对角线平分一求各直线利用斜率定
[分析]
组内对角，两条对角线互
→
倾斜角
→
义求斜率
相垂直
[解析] 因为OD∥BC，∠BOD＝60°，所以直线OD，BC的斜率角都是60
°，斜率k
OD
＝k
BC
＝tan60°＝3.
因为OB与x轴重
合，DC＝OB，所以直线OB，DC的倾斜角都是0°，斜率k
OB
＝k
DC
＝tan0°＝0.
由菱形的性质，知∠COD＝30°，∠OBD＝60°，
所以直线
OC的倾斜角为30°，斜率k
OC
＝tan30°＝
直线BD的倾斜角为∠DBx＝
180°－60°＝120°，
斜率k
BD
＝tan120°＝－3.
规
律总结：解决几何图形中直线的倾斜角与斜率的综合问题时，要善于利用几何图
形的几何性质，解题时要
注意倾斜角是几何图形中的夹角还是它的邻补角；也可以利用经过
两点的直线的斜率公式，先求斜率，再
求倾斜角．
能力提升
一、选择题
1．设直线l过坐标原点，它的倾斜角为α，如果将l绕坐标原点按逆时针方向旋转45°，
3
；
3
得到直线l
1
，那么l
1
的倾斜角为( )
A．α＋45°
B．α－135°
C．135°－α
D．当0°≤α<
135°时，倾斜角为α＋45°；当135°≤α<180°时，倾斜角为α－135°
[答案]
D
[分析] 画出图象辅助理解，由于条件中未指明α的范围，所以需综合考虑α的可能取
值
，以使旋转后的直线的倾斜角在[0°，180°)内．
[解析] 根据题意，画出图形，如图所示：
因为0°≤α<180°，显然A，B，C未分类讨论，均不全面，不合题意．通过画图(如
图所
示)可知：
当0°≤α<135°，l
1
的倾斜角为α＋45°； <
br>当135°≤α<180°时，l
1
的倾斜角为45°＋α－180°＝α－135°.
故选D．
规律总结：求直线的倾斜角主要根据定义来求，其关键是根据题意画出图形，找准<
br>倾斜角，有时要根据情况分类讨论．
2．经过两点A(2,1)，B(1，m
2
)的直线l的倾斜角为锐角，则m的取值范围是( )
A．m＜1
C．－1＜m＜1
[答案] C
[解析] 设直线l的倾斜角为α，则
m
2
－1
k
AB
＝＝tanα＞0.
1－2
∴1－m
2
＞0，解得－1＜m＜1.
3．已知A(1,2
3＋1)，B(－1,1)，若直线l的倾斜角是直线AB倾斜角的一半，则直线l
的斜率为( )
B．m＞－1
D．m＞1或m＜－1
A．1
C．3
[答案] B
[解析]
∵k
AB
＝
B．
3
3
D．不存在
23
＋1－1
＝3，∴直线AB的倾斜角为60°，则直线l的倾斜角为30°.
1－?－1?3
.
3
其斜率k＝tan30°＝
4．若直线l的斜率为k，倾斜角为
α，若60°＜α＜135°，则k的取值范围是( )
A．(－1，3)
C．[－1，3]
[答案] B
[解析] 当60°＜α＜90°时，斜率的取值
范围是(3，＋∞)；当90°＜α＜135°时，斜率
的取值范围是(－∞，－1)，故选B．
[点评]
求斜率的范围时，应把倾斜角的范围分成两部分，即0°≤α＜90°和90°＜α＜
180°.
二、填空题
5．已知直线l
1
的斜率为3，若直线l
2
和
l
1
关于y轴对称，则直线l
2
的斜率为_________；
若直
线l
2
和l
1
关于直线y＝x对称，则直线l
2
的斜率为_
________.
[答案] －3
3
3
B．(－∞，－1)∪(3，＋∞)
D．(－∞，－1]∪[3，＋∞)
11
6．若三点A(3,3)，B(a,0)，C(0，b)(ab≠0)共线，则＋＝______
___.
ab
1
[答案]
3
[解析]
由于点A，B，C共线，则k
AB
＝k
AC
，
0－3b－3
111
所以＝.所以ab＝3a＋3b.即＋＝.
ab3
a－30－3
三、解答题
7．直线l的斜率为k＝1－m
2
(m∈R)，求直线l的倾斜角的取值范围．
π
[解析] k＝1－m
2
≤1，所以当k∈[0,1]时，倾斜角α∈[0
，]；当k∈(－∞，0)时，倾斜角
4
πππ
α∈(
，π)，故倾斜角的范
围是[0，]∪(，π)．
242
8．已知两点A(－3,4)，B(3,2)，过点P(1
,0)的直线l与线段AB有公共点．
(1)求直线l的斜率k的取值范围；
(2)求直线l的倾斜角α的取值范围．
[分析] 结合图形考虑，l的倾斜角应介于直线PB与直线PA的倾斜角之间，要特别注
意，
当l的倾斜角小于90°时，有k≥k
PB
；当l的倾斜角大于90°时，则有k≤k
PA
．
[解析]
如图，由题意可知，直线PA的斜率k
PA
＝
2－0
＝1，
3－1
＝－1，
－3－1
4－0
直线PB的斜率k
PB
＝
(1)要使l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k的取值范围是k≤－1，或k≥1.
(2)由题
意可知直线l的倾斜角介于直线PB与PA的倾斜角之间，又直线PB的倾斜角是
45°，直线PA的倾
斜角是135°，
故α的取值范围是45°≤α≤135°.
[点评] 这里要注意斜率k
的范围不是－1≤k≤1，因为直线l经过的区域包含与x轴垂
直的直线．本题一般是设想直线l绕点P
旋转，考查这时直线l的倾斜角和斜率的变化规律，
通过对l的斜率的变化规律的分析，不难发现kPA
与k
PB
是两个关键的数据．