高中数学必修2全册课时同步练习题及答案

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第一章 空间几何体
§1.1 空间几何体的结构
1.1.1 柱、锥、台、球的结构特征

【课时目标】 认识柱、锥、台、球的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简
单物体的结构．


1．一般地，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共
边都________________，由这些面所围成的多面体叫做棱柱．
2．一般地，有一个 面是多边形，其余各面都是________________________________，
由 这些面所围成的多面体叫做棱锥．
3．以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成 的旋转体叫
________．
4．以直角三角形的一条________所在直线为旋转轴 ，其余两边旋转形成的面围成的旋
转体叫做圆锥．
5．(1)用一个___________ _____________的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分叫做
棱台．
(2)用一个________于圆锥底面的平面去截圆锥，底面和截面之间的部分叫做圆台．
6．以半圆的________所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体叫做球体，简
称球．


一、选择题
1．棱台不具备的性质是( )
A．两底面相似 B．侧面都是梯形
C．侧棱都相等 D．侧棱延长后都交于一点
2．下列命题中正确的是( )
A．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱
B．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱
C．有两个面平行，其余各面都 是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行
的几何体叫棱柱
D．用一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分组成的几何体叫棱台
3．下列说法正确的是( )
A．直角三角形绕一边旋转得到的旋转体是圆锥
B．夹在圆柱的两个截面间的几何体还是一个旋转体
C．圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台
D．通过圆台侧面上一点，有无数条母线
4．下列说法正确的是( )
A．直线绕定直线旋转形成柱面
B．半圆绕定直线旋转形成球体
C．有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台
D．圆柱的任意两条母线所在的直线是相互平行的
5．观察下图所示几何体，其中判断正确的是( )

1

A．①是棱台 B．②是圆台
C．③是棱锥 D．④不是棱柱
6．纸制的正方体的六个面根 据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北，现在沿该
正方体的一些棱将正方体剪开，外面朝上展平， 得到右侧的平面图形，则标“△”的面的方
位是( )



A． 南 B．北 C．西 D．下

二、填空题
7．由若干个平面图形围成的几何体称为多面体，多面体最少有________个面．
8．将等边三角形绕它的一条中线旋转180°，形成的几何体是________．
9．在 下面的四个平面图形中，哪几个是侧棱都相等的四面体的展开图？其序号是
________．


三、解答题
10．如图所示为长方体ABCD—A′B′C′D′，当 用平面BCFE把这个长方体分成两
部分后，各部分形成的多面体还是棱柱吗？如果不是，请说明理由； 如果是，指出底面及侧
棱．













11．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，轴截面的面积等于392 cm
2
，母线
与轴的夹角是45°，求这个圆台的高、母线长和底面半径．






2

能力提升
12．下列四个平面图形中，每个小四 边形皆为正方形，其中可以沿两个正方形的相邻边
折叠围成一个正方体的图形的是( )

13．如图，在底面半径为1，高为2的圆柱上A点处有一只蚂蚁，它要围绕圆柱由A点
爬到B 点，问蚂蚁爬行的最短距离是多少？














1．学习本节 知识，要注意结合集合的观点来认识各种几何体的性质，还要注意结合动
态直观图从运动变化的观点认识 棱柱、棱锥和棱台的关系．
2．棱柱、棱锥、棱台中的基本量的计算，是高考考查的热点，要注意转化 ，即把三维
图形化归为二维图形求解．
在讨论旋转体的性质时轴截面具有极其重要的作用，它 决定着旋转体的大小、形状，旋
转体的有关元素之间的关系可以在轴截面上体现出来．轴截面是将旋转体 问题转化为平面问
题的关键．
3．几何体表面距离最短问题需要把表面展开在同一平面上，然 后利用两点间距离的最
小值是连接两点的线段长求解．








3

第一章 空间几何体
§1．1 空间几何体的结构
1．1．1 柱、锥、台、球的结构特征
答案
知识梳理
1．互相平行
2．有一个公共顶点的三角形
3．圆柱
4．直角边
5．(1)平行于棱锥底面 (2)平行
6．直径
作业设计
1．C [用棱台的定义去判断．]
2．C [A、B的反例图形如图所示，D显然不正确．]

3．C [圆锥是直角三角形绕直角边旋转得到的，如果绕斜边旋转就不是圆锥，A不正
确，圆 柱夹在两个平行于底面的截面间的几何体才是旋转体，故B不正确，通过圆台侧面
上一点，有且只有一条 母线，故D不正确．]
4．D [两直线平行时，直线绕定直线旋转才形成柱面，故A错误．半圆以直 径所在直
线为轴旋转形成球体，故B不正确，C不符合棱台的定义，所以应选D．]
5．C 6．B 7．4 8．圆锥 9．①②
10．解 截面BCFE右侧部分是棱柱，因为它满足棱柱的定义．
它是三棱柱BEB′—CFC′，其中△BEB′和△CFC′是底面．
EF，B′C′，BC是侧棱，
截面BCFE左侧部分也是棱柱．
它是四棱柱ABEA′—DCFD′．
其中四边形ABEA′和四边形DCFD′是底面．
A′D′，EF，BC，AD为侧棱．
11．解


4

圆台的轴截面如图所示，设圆台上、下底面半径分别为x cm和3x cm ，延长AA
1
交OO
1
的延长线于点S．在Rt△SOA中，∠ASO＝45 °，
则∠SAO＝45°．
1
∴SO＝AO＝3x cm，OO
1
＝2x cm．∴(6x＋2x)·2x＝392，解得x＝7，∴圆台的高OO
1
2
＝14 cm，母线长l＝2OO
1
＝142 cm，底面半径分别为7 cm和21 cm．
12．C
13．解 把圆柱的侧面沿AB剪开，然后展开成为平面图形——矩形，如图所示， 连接
AB′，则AB′即为蚂蚁爬行的最短距离．

∵AB＝A′B′＝2，AA′为底面圆的周长，且AA′＝2π×1＝2π，
∴AB′＝

A′B′
2
＋AA′
2
＝4＋?2π ?
2
＝21＋π
2
，
即蚂蚁爬行的最短距离为21＋π
2
．

5

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1.1.2 简单组合体的结构特征

【课时目标】 1．正确认识由柱 、锥、台、球组成的简单几何体的结构特征．2．能运
用这些结构特征描述现实生活中简单物体的结构．


1．定义：由____________________组合而成的几何体叫做简单组合体．
2．组合形式



一、选择题
1．如图，由等腰梯形 、矩形、半圆、圆、倒三角形对接形成的轴对称平面图形，若将
它绕轴l旋转180°后形成一个组合体 ，下面说法不正确的是( )

A．该组合体可以分割成圆台、圆柱、圆锥和两个球体
B．该组合体仍然关于轴l对称
C．该组合体中的圆锥和球只有一个公共点
D．该组合体中的球和半球只有一个公共点
2．右图所示的几何体是由哪个平面图形通过旋转得到的( )


3．以钝角三角形的较小边所在的直线为轴，其他两边旋转一周所得到的几何体是( )
A．两个圆锥拼接而成的组合体
B．一个圆台
C．一个圆锥
D．一个圆锥挖去一个同底的小圆锥
4．将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在的直线旋转一周，所得的几何体是由( )
A．一个圆台、两个圆锥构成
B．两个圆台、一个圆锥构成
C．两个圆柱、一个圆锥构成
D．一个圆柱、两个圆锥构成
5．如图，将装有水的长方体水槽固定底面一边后倾斜一个小角度，则倾斜后水槽中的

6

水形成的几何体是( )

A．棱柱 B．棱台
C．棱柱与棱锥组合体 D．不能确定
6．如图所 示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱上底面为底面，下底面圆心为顶点
的圆锥而得到的组合体，现用 一个竖直的平面去截这个组合体，则截面图形可能是( )

A．(1)(2) B．(1)(3)
C．(1)(4) D．(1)(5)
二、填空题
7．下列叙述中错误的是________．(填序号)
①以直角三角形的一边为轴旋转所得的旋转体是圆锥；
②以直角梯形的一腰为轴旋转所得的旋转体是圆台；
③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆；
④用一个平面去截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台．
8．如图所示为一空间几何体的竖直截面 图形，那么这个空间几何体自上而下可能是
__________________．


9．以任意方式截一个几何体，各个截面都是圆，则这个几何体一定是________．
三、解答题
10．如图是一个数学奥林匹克竞赛的奖杯，请指出它是由哪些简单几何体组合而成的．





11．如图所示几何体可看作由什么图形旋转360°得到？画出平面图形和旋转轴．



7

能力提升
12．一个三棱锥的各棱长均相等，其内部有一个内切球，即 球与三棱锥的各面均相切(球
在三棱锥的内部，且球与三棱锥的各面只有一个交点)，过一条侧棱和对边 的中点作三棱锥
的截面，所得截面图形是( )

13．已知圆锥的底面半径为r ，高为h，且正方体ABCD－A
1
B
1
C
1
D
1
内接于圆锥，求这
个正方体的棱长．



















组合体的结构特征有两种组成：
(1)是由简单几何体拼接而成；
(2)是由简单几何体截去一部分构成．要仔细观察组合体 的组成，柱、锥、台、球是最
基本的几何体．







1．1．2 简单组合体的结构特征 答案

知识梳理
1．简单几何体 2．截去或挖去一部分
作业设计
1．A 2．A 3．D 4．D 5．A

8

6．D [一个圆柱挖去一个圆锥 后，剩下的几何体被一个竖直的平面所截后，圆柱的轮
廓是矩形除去一条边，圆锥的轮廓是三角形除去一 条边或抛物线的一部分．]
7．①②③④ 8．圆台和圆柱(或棱台和棱柱) 9．球体
10．解 将该几何体分解成简单几何体可知，它是由一个球、一个四棱柱和一个四棱台
组合而成．
11．解 先画出几何体的轴，然后再观察寻找平面图形．旋转前的平面图形如下：
12．B
13．


解 如图所示，过内接正方体的一组对棱作圆锥的轴截面，设圆 锥内接正方体的棱长为
x，则在轴截面中，正方体的对角面A
1
ACC
1的一组邻边的长分别为x和2x．
因为△VA
1
C
1
∽△VMN，
解得
2x
h－x
＝，
2rh
所以2hx＝2rh－2rx，
2rh
解得x＝．
2r＋2h
即圆锥内接正方体的棱长为




2rh
．
2r＋2h

9

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§1.2 空间几何体的三视图和直观图
1.2.1 中心投影与平行投影
1.2.2 空间几何体的三视图

【课时目标】 1．知道空间几何体的三视图的 概念，初步认识简单几何体的三视图．2．会
画出空间几何体的三视图并会由空间几何体的三视图画出空 间几何体．


1．平行投影与中心投影的不同之处在于：平行投影的投影线是__ __________，而中心
投影的投影线________________．
2．三视 图包括____________、____________和____________，其中几何体的____________和____________高度一样，____________与_____ _______长度一样，
____________与____________宽度一样．


一、选择题
1．下列命题正确的是( )
A．矩形的平行投影一定是矩形
B．梯形的平行投影一定是梯形
C．两条相交直线的投影可能平行
D．一条线段中点的平行投影仍是这条线段投影的中点
2．如图所示的一个几何体，哪一个是该几何体的俯视图( )


3．如图所示，下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是( )
A．①② B．①③ C．①④ D．②④
4．一个长方体去掉一个小长方体，所得几 何体的正视图与侧视图分别如图所示，则该
几何体的俯视图为( )



10

5．如图所示的正方体中，M、N分别是AA1
、CC
1
的中点，作四边形D
1
MBN，则四边
形D
1
MBN在正方体各个面上的正投影图形中，不可能出现的是( )


6．一个长方体去掉一角的直观图如图所示，关于它的三视图，下列画法正确的是( )


二、填空题
7．根据如图所示俯视图，找出对应的物体．

(1)对应________；(2)对应________；
(3)对应________；(4)对应________；
(5)对应________．
8．若一个三棱柱的三视图如图所示，则这个三棱柱的高(两 底面之间的距离)和底面边
长分别是________和________．


9．用小正方体搭成一个几何体，如图是它的正视图和侧视图，搭成这个几何体的小正

11

方体的个数最多为________个．



三、解答题
10．在下面图形中，图(b)是图(a)中实物画出的正 视图和俯视图，你认为正确吗？如果
不正确，请找出错误并改正，然后画出侧视图(尺寸不作严格要求) ．









11．如图是截去一角的长方体，画出它的三视图．












能力提升
12．如图，螺栓是棱柱和圆柱的组合体，画出它的三视图．



12

13．用小立方体搭成一个几何体，使它的正视图和俯视图如图所示，搭建这样的 几何体，
最多要几个小立方体？最少要几个小立方体？










在绘制三视图时，要注意以下三点：
1．若两相邻物体的表面相交，表面的交线是它们的原分界线，在 三视图中，分界线和
可见轮廓都用实线画出，不可见轮廓用虚线画出．
2．一个物体的三视图 的排列规则是：俯视图放在正视图的下面，长度和正视图一样．侧
视图放在正视图的右面，高度和正视图 一样，宽度和俯视图一样，简记为“长对正，高平齐，
宽相等”．
3．在画物体的三视图时应注意观察角度，角度不同，往往画出的三视图不同．



§1．2 空间几何体的三视图和直观图
1．2．1 中心投影与平行投影
1．2．2 空间几何体的三视图
答案
知识梳理
1．平行的 交于一点
2．正视图 侧视图 俯视图 侧视图 正视图 俯视图 正视图 侧视图 俯视图
作业设计
1．D [因为当平面图形与投射线平行时，所得投影是线段，故A，B错．又因为点的
平行投 影仍是点，所以相交直线的投影不可能平行，故C错．由排除法可知，选项D正确．]
2．C
3．D [在各自的三视图中①正方体的三个视图都相同；②圆锥有两个视图相同；③三

13

棱台的三个视图都不同；④正四棱锥有两个视图相同．]
4．C

[由三视图中的正、侧视图得到几何体的直观图如图所示，所以该几何体的俯视图为
C．]
5．D 6．A
7．(1)D (2)A (3)E (4)C (5)B
8．2 4
解析 三棱柱的高同侧视图的高，侧视图的宽度恰为底面正三角形的高，故底边长为4．
9．7
10．解 图(a)是由两个长方体组合而成的，正视图正确，俯视图错误，俯视图应 该画
出不可见轮廓线(用虚线表示)，侧视图轮廓是一个矩形，有一条可视的交线(用实线表示)，正确画法如图所示．

11．解 该图形的三视图如图所示．

12．解 该物体是由一个正六棱柱和一个圆柱组合而成的，正视图反映正六棱柱的三个
侧面和 圆柱侧面，侧视图反映正六棱柱的两个侧面和圆柱侧面，俯视图反映该物体投影后是
一个正六边形和一个 圆(中心重合)．它的三视图如图所示．

13．解 由于正视图中每列的层数即是俯视图中 该列的最大数字，因此，用的立方块数
最多的情况是每个方框都用该列的最大数字，即如图①所示，此种 情况共用小立方块17块．

而搭建这样的几何体用方块数最少的情况是每列只要有一个最大 的数字，其他方框内的
数字可减少到最少的1，即如图②所示，这样的摆法只需小立方块11块．

14

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1.2.3 空间几何体的直观图

【课时目标】 1．了解斜二测画法 的概念．2．会用斜二测画法画出一些简单的平面图
形和立体图形的直观图．3．通过观察三视图和直观 图，了解空间图形的不同表示形式及不
同形式间的联系．


用斜二测画法画水平放置的平面图形直观图的步骤：
(1)在已知图形中取互相______ __的x轴和y轴，两轴相交于点O．画直观图时，把它们
画成对应的x′轴与y′轴，两轴交于点O′ ，且使∠x′O′y′＝45°(或135°)，它们确定
的平面表示水平面．
(2)已知图 形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成________于x′轴或y′
轴的线段． (3)已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度________，平行于y轴的线
段 ，长度为原来的________．


一、选择题
1．下列结论：
①角的水平放置的直观图一定是角；
②相等的角在直观图中仍然相等；
③相等的线段在直观图中仍然相等；
④两条平行线段在直观图中对应的两条线段仍然平行．
其中正确的有( )
A．①② B．①④
C．③④ D．①③④
2．具有如图所示直观图的平面图形ABCD是( )
A．等腰梯形 B．直角梯形
C．任意四边形 D．平行四边形
3．如图，正方形O′A′B′C′的边长为1 cm，它是水平放置的一个平面图形的直观
图，则原图的周长是( )

A．8 cm B．6 cm
C．2(1＋3) cm D．2(1＋2) cm
4．下面每个选项的2个边长为1的正△ABC的直观图不是全等三角形的一组是( )


15

5．如图甲所示为一个平面图形的直观图，则此平面图形可能是图乙中的( )

6．一个水平放置的平面图形的直观图是一个底角为45°，腰和上底长均为1的等腰梯
形，则该平面图 形的面积等于( )
122
A．＋ B．1＋
222
C．1＋2 D．2＋2
二、填空题
7．利用斜二测画法得到：
①三角形的直观图是三角形；
②平行四边形的直观图是平行四边形；
③正方形的直观图是正方形；
④菱形的直观图是菱形．
以上结论中，正确的是______________．(填序号)
8．水平放置的△ABC的斜二测直观图如图所示，已知A′C′＝3，B′C′＝2，则AB
边上的中线的实际长度为____________．

9．如图所示，为一个水平放置的正 方形ABCO，它在直角坐标系xOy中，点B的坐标
为(2,2)，则在用斜二测画法画出的正方形的 直观图中，顶点B′到x′轴的距离为____．
三、解答题
10．如图所示，已知几何体的三视图，用斜二测画法画出它的直观图．


16

11．如图所示，梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝4 cm，CD＝2 cm，∠DAB＝30°，AD
＝3 cm，试画出它的直观图．








能力提升
12．已知正三角形ABC的边长为a，求△ABC的直观图△A′B′C′的面积．










1 3．在水平放置的平面α内有一个边长为1的正方形A′B′C′D′，如图，其中的对
角线A′C′在 水平位置，已知该正方形是某个四边形用斜二测画法画出的直观图，试画出
该四边形的真实图形并求出其 面积．












17

直观图与原图形的关系
1．斜二测画法是联系直观图和原图形的桥梁，可根据它们之间的可逆关系寻找它们的
联系；在 求直观图的面积时，可根据斜二测画法，画出直观图，从而确定其高和底边等，而
求原图形的面积可把直 观图还原为原图形；此类题易混淆原图形与直观图中的垂直关系而出
错，在原图形中互相垂直的直线在直 观图中不一定垂直，反之也是．所以在求面积时应按照
斜二测画法的规则把原图形与直观图都画出来，找 出改变量与不变量．用斜二测画法画出的
水平放置的平面图形的直观图的面积是原图形面积的
2
倍．
4

2．在用斜二测画法画直观图时，平行线段仍然平行，所画平行线 段之比仍然等于它的
真实长度之比，但所画夹角大小不一定是其真实夹角大小．

1．2．3 空间几何体的直观图 答案

知识梳理
(1)垂直 (2)平行 (3)不变 一半
作业设计
1．B [由斜二测画法的规则判断．]
2．B
3．A [

根据直观图的画法，原几何图形如图所示，四边形O ABC为平行四边形，OB＝22，
OA＝1，AB＝3，从而原图周长为8 cm．]
4．C [可分别画出各组图形的直观图，观察可得结论．]
5．C
6．D [如 图1所示，等腰梯形A′B′C′D′为水平放置的原平面图形的直观图，作
D′E′∥A′B′交B′ C′于E′，由斜二测直观图画法规则，直观图是等腰梯形
A′B′C′D′的原平面图形为如图2所示 的直角梯形ABCD，且AB＝2，BC＝1＋2，
AD＝1，所以S
ABCD
＝2＋ 2．

图1 图2]
7．①②
解析 斜二测画法得到的图形与原图形中的线线相交、相对线线平行关系不会改变，因
此三角形的直观图是三角 形，平行四边形的直观图是平行四边形．
8．2．5

18

解析 由直观图知，原平面图形为直角三角形，且AC＝A′C′＝3，BC ＝2B′C′＝
4，计算得AB＝5，所求中线长为2．5．
2

2
解析
9．

2122
画出直观图，则B′到x′轴的距离为
·OA＝OA＝
．
2242
10．解 (1)作出长方体的直观图ABCD－A
1
B
1
C
1
D
1
，如图a所示；
(2)再以上底面A
1
B
1
C
1
D
1
的对角线交点为原点建立x′，y′ ，z′轴，如图b所示，在
z′上取点V′，使得V′O′的长度为棱锥的高，连接V′A
1< br>，V′B
1
，V′C
1
，V′D
1
，
得到四 棱锥的直观图，如图b；
(3)擦去辅助线和坐标轴，遮住部分用虚线表示，得到几何体的直观图，如图c．

11．解 (1)如图a所示，在梯形ABCD中，以边AB所在的直线为x轴，点A为原点，
建立平面直角坐标系xOy．如图b所示，画出对应的x′轴，y′轴，使∠x′O′y′＝45°．
(2)在图a中，过D点作DE⊥x轴，垂足为E．在x′轴上取A′B′＝AB＝4 cm，A′E′
31
＝AE＝
3≈2．598 cm；过点E′作E′D′∥y′轴， 使E′D′＝ED，再过点D′作
22
D′C′∥x′轴，且使D′C′＝DC＝2 cm．
(3)连接A′D′、B′C′，并擦去x′轴与y′轴及其他一些辅助线，如图c所示，则
四 边形A′B′C′D′就是所求作的直观图．

12．解 先画出正三角形ABC，

19

然后再画出它的水平放置的直观图，
如图所示．由斜二测画法规则知
B′C′＝a，O′A′＝
垂足为M，
则A′M＝O′A′·sin 45°＝
326
a×
＝
a．
428
3
a．
4
过A′引A′M⊥x′轴，

116
∴S
△
A
′
B
′
C
′
＝B ′C′·A′M＝a×a
228
6
＝
a
2
．
16
13．

解 四边形ABCD的真实图形如图所示，
∵A′C′在水平位置，A′B′C′D′为正方形，
∴∠D′A′C′＝∠A′C′B′＝45°，
∴在原四边形ABCD中，
DA⊥AC，AC⊥BC，∵DA＝2D′A′＝2，
AC＝A′C′＝2，∴S
四边形ABCD
＝AC·AD＝22．



20

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§1.3 空间几何体的表面积与体积
1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积与体积

【课时目标】 1．了解柱体、锥体、台体的表面积与体 积的计算公式．2．会利用柱体、
锥体、台体的表面积与体积公式解决一些简单的实际问题．


1．旋转体的表面积
名称
圆柱

圆锥


图形 公式
底面积：S
底
＝________
侧面积：S
侧
＝________
表面积：S＝2πr(r＋l)
底面积：S
底
＝________
侧面积：S
侧
＝________
表面积：S＝________
上底面面积：
S
上底
＝____________
下底面面积：
S
下底
＝____________
侧面积：S
侧
＝__________
表面积：
S＝________________
圆台

2．体积公式
(1)柱体：柱体的底面面积为S，高为h，则V＝______．
(2)锥体：锥体的底面面积为S，高为h，则V＝______．
1
(3)台体： 台体的上、下底面面积分别为S′、S，高为h，则V＝(S′＋S′S＋S)h．
3


一、选择题
1．用长为4、宽为2的矩形做侧面围成一个高为2的圆柱，此圆柱的轴截面面积为( )
842
A．8 B． C． D．
πππ
2．一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的全面积与侧面积的比为( )
1＋2π1＋4π1＋2π1＋4π
A． B． C． D．
2 π4ππ2π
3．中心角为135°，面积为B的扇形围成一个圆锥，若圆锥的全面积为A，则A∶B等
于( )
A．11∶8 B．3∶8 C．8∶3 D．13∶8
4．已知直角三角形的两直角边长为a、b，分别以这两条直角边所在直线为轴，旋转所
形成的 几何体的体积之比为( )
A．a∶b B．b∶a C．a
2
∶b
2
D．b
2
∶a
2

5．有一个几何体的三视图及其尺寸如图(单位：cm)，则该几何体的表面积和体积分别
为( )

21

A．24π cm
2,
12π cm
3

C．24π cm
2,
36π cm
3


D．以上都不正确
6．三视图如图所示的几何体的全面积是( )
B．15π cm
2,
12π cm
3


113
A．7＋2 B．＋2 C．7＋3 D．
22

二、填空题
7．一个长方体的长、宽、高分别为9,8,3，若在上面钻一个圆柱形孔后其表 面积没有变
化，则孔的半径为________．
8．圆柱的侧面展开图是长12 cm，宽8 cm的矩形，则这个圆柱的体积为
________________ cm
3
．
9．已知某几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸(单位：cm) ，可得这个几何
体的体积是________．





三、解答题
10．圆台的上、下底面半径分别为10 cm和20 cm．它的侧面展开图扇 环的圆心角为180°，
那么圆台的表面积和体积分别是多少？(结果中保留π)








11．已知正四棱台(上、下底是正 方形，上底面的中心在下底面的投影是下底面中心)上
底面边长为6，高和下底面边长都是12，求它的 侧面积．


22

能力提升
12．一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )

A．2π＋23 B．4π＋23
2323
C．2π＋ D．4π＋
33
13．有一塔形几何体由3个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个
顶点是 下层正方体上底面各边的中点．已知最底层正方体的棱长为2，求该塔形的表面积(含
最底层正方体的底 面面积)．









1．在解决棱锥、棱台的侧面积、表面积及体积问题时往往将已知条件归结到一个直角
三角形中 求解，为此在解此类问题时，要注意直角三角形的应用．
2．有关旋转体的表面积和体积的计算要充分 利用其轴截面，就是说将已知条件尽量归
结到轴截面中求解．而对于圆台有时需要将它还原成圆锥，再借 助相似的相关知识求解．
3．柱体、锥体、台体的体积之间的内在关系为
11
S′ ＝SS′＝0
V
柱体
＝Sh――→
V
台体
＝
h(S ＋SS′＋S′)――→V
锥体
＝
Sh．
33
4．“补形”是求体 积的一种常用策略，运用时，要注意弄清补形前后几何体体积之间

23

的数量关系．


§1．3 空间几何体的表面积与体积
1．3．1 柱体、锥体、台体的表面积与体积
答案
知识梳理
1．πr
2
2πrl πr
2
πrl πr(r＋l) πr′
2
πr
2
π(r′＋r)l
π(r′
2
＋r
2
＋r′l＋rl)
1
2．(1)Sh (2)Sh
3
作业设计
4
1．B [易知2πr＝4，则2r＝
，
π
48
所以轴截面面积＝
×2＝
．]
ππ
2．A [设底面半径为r，侧面积＝4π
2
r
2
，全面积为＝2πr
2＋4π
2
r
2
，其比为：
1＋2π
．]
2π
3．A [设圆锥的底面半径为r，母线长为l，
38
则2πr＝
πl，则l＝
r，所以
43
8118A＝
πr
2
＋πr
2
＝
πr
2
，B＝
πr
2
，得A∶B＝11∶8．]
333
1
4．B [以 长为a的直角边所在直线旋转得到圆锥体积V＝
πb
2
a，以长为b的直角边所
3
1
在直线旋转得到圆锥体积V＝
πa
2
b．]
3
5．A [该几何体是底面半径为3，母线长为5的圆锥，易得高为4，表面积和体积分
别为24π cm
2,
12π cm
3
．]
6．A [图中的几何体可看成是一 个底面为直角梯形的直棱柱．直角梯形的上底为1，
下底为2，高为1，棱柱的高为1．可求得直角梯形 的四条边的长度为1,1,2，2，表面积S
1
表面
＝2S
底
＋S< br>侧面
＝
(1＋2)×1×2＋(1＋1＋2＋2)×1＝7＋2．]
2
7．3
解析 由题意知，
圆柱侧面积等于圆柱上、下底面面积和，
即2πr×3＝2πr
2
，所以r＝3．
288192
8．或
ππ
6
解析 (1)12为底面圆周长，则2πr＝12，所以r＝
， π
288
3
?
6
?
2
·
所以V＝π·
8＝(cm)．
?
π
?
π
4
(2)8为底面圆周 长，则2πr＝8，所以r＝
，
π
192
?
4
?
2
·
3
)．
所以V＝π·
12＝ (cm
?
π
?
π

24

8 000
9． cm
3

3
解析 由三视图知该几何体为四棱锥．由俯视图知，底面积S＝400，高h＝20，
18 000
V＝Sh＝ cm
3
．
33
10．解

如图所示，设圆台的上底面周长为c，因为扇环的圆心角是180°，
故c＝π·SA＝2π×10，
所以SA＝20，同理可得SB＝40，
所以AB＝SB－SA＝20，
∴S
表面积
＝S
侧
＋S
上
＋S
下

2
＝π(r
1
＋r
2
)·AB＋πr
2
1
＋πr
2

＝π(10＋20)×20＋π×10
2
＋π×20
2
＝1 100π(cm
2
)．
故圆台的表面积为1 100π cm
2
．
h＝AB
2
－?OB－O
1
A?
2
＝20
2
－10
2
＝103，
1
2
V＝
πh(r
2
1
＋r
1
r
2
＋r
2
)
3
17 0003
＝
π×103×(10
2
＋10×20＋ 20
2
)＝
π (cm
3
)．
33
7 0003
即圆台的表面积为1 100π cm
2
，体积为
π cm
3
．
3
11．

解 如图，E、E
1分别是BC、B
1
C
1
的中点，O、O
1
分别是下、上 底面正方形的中心，
则O
1
O为正四棱台的高，则O
1
O＝12．
1
连接OE、O
1
E
1
，则OE＝AB
2
11
＝
×12＝6，O
1
E
1
＝A
1
B
1
＝3．
22
过E
1
作E
1
H⊥OE，垂足为H，
则E< br>1
H＝O
1
O＝12，OH＝O
1
E
1
＝3 ，
HE＝OE－O
1
E
1
＝6－3＝3．
在Rt△E< br>1
HE中，E
1
E
2
＝E
1
H
2< br>＋HE
2
＝12
2
＋3
2

＝3
2
×4
2
＋3
2
＝3
2
×17，
所以E
1
E＝317．

25

1
所以S
侧
＝4×
×(B
1
C
1
＋BC )×E
1
E
2
＝2×(12＋6)×317＝10817．
12．C [该空间几何体为一圆柱和一四棱锥组成，圆柱的底面半径为1，高为2，体积
12 3
为2π，四棱锥的底面边长为2，高为3，所以体积为
×(2)
2
×3＝< br>，所以该几何体
33
23
的体积为2π＋．]
3
13．解 易知由下向上三个正方体的棱长依次为2，2，1．
考虑该几何体在水平面的投影，可知其水平面的面 积之和为下底面积最大正方体的底面
面积的二倍．
∴S
表
＝2S
下
＋S
侧

＝2×2
2
＋4×[2
2
＋(2)
2
＋1
2
]＝36．
∴该几何体的表面积为36．



26

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1.3.2 球的体积和表面积

【课时目标】 1．了解球 的体积和表面积公式．2．会用球的体积和表面积公式解决实
际问题．3．培养学生的空间想象能力和思 维能力．

1．球的表面积
设球的半径为R，则球的表面积S＝________ ，即球的表面积等于它的大圆面积的
________倍．
2．球的体积
设球的半径为R，则球的体积V＝________．



一、选择题
1．一个正方体与一个球表面积相等，那么它们的体积比是( )
6ππ
A． B．
62
2π
3π
C． D．
2
π
2．把球的表面积扩大到原来的2倍，那么体积扩大到原来的( )
A．2倍 B．22倍
3
C．2倍 D．2倍
3．正方体的内切球和外接球的体积之比为( )
A．1∶3 B．1∶3
C．1∶33 D．1∶9
4．若三个球的表面积之比为1∶2∶3，则它们的体积之比为( )
A．1∶2∶3 B．1∶2∶3
C．1∶22∶33 D．1∶4∶7
5．长方体的一个顶 点上的三条棱长分别为3,4,5，且它的8个顶点都在同一个球面上，
则这个球的表面积为( )
A．25π B．50π
C．125π D．以上都不对
6．一个圆锥与一个球的体积相等，圆锥的底面半径是球半径的3倍，圆锥的高与球半
径之比为( )
A．4∶9 B．9∶4
C．4∶27 D．27∶4

二、填空题
7 ．毛泽东在《送瘟神》中写到：“坐地日行八万里”．又知地球的体积大约是火星的
8倍，则火星的大圆 周长约________万里．
8．将一钢球放入底面半径为3 cm的圆柱形玻璃容器中，水面升高4 cm，则钢球的半
径是________．
9．(1)表面积相等的正方体和球中，体积较大的几何体是________；
(2)体积相等的正方体和球中，表面积较小的几何体是________．


27

三、解答题
10．如图所示，一个圆锥形的空杯子上放着一个直径为8 cm的半球形的冰淇淋，请你
设计 一种这样的圆锥形杯子(杯口直径等于半球形的冰淇淋的直径，杯子壁厚忽略不计)，使
冰淇淋融化后不 会溢出杯子，怎样设计最省材料？










11．有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角形，在容器内放 一个半径为r的铁
球，并注入水，使水面与球正好相切，然后将球取出，求这时容器中水的深度．










能力提升
12．已知棱长都相等的正三棱锥内接于一个球，某学生画出了四个过球心的平面截 球与
三棱锥所得的图形，如图所示，则( )

A．以上四个图形都是正确的
B．只有(2)(4)是正确的
C．只有(4)是错误的
D．只有(1)(2)是正确的
13．有三个球，第一个球内切于正方体，第二个球与这个正 方体各条棱相切，第三个球
过这个正方体的各个顶点，求这三个球的表面积之比．










28

1．利用球的半径、球心到截面圆的距离、截面圆的半径可构成直角三角形，进行相关
计算．
2．解决球与其他几何体的切接问题，通常作截面，将球与几何体的各量体现在平面图
形中，再 进行相关计算．
3．解答组合体问题要注意知识的横向联系，善于把立体几何问题转化为平面几何问题 ，
运用方程思想与函数思想解决，融计算、推理、想象于一体．


1．3．2 球的体积和表面积 答案

知识梳理
4
1．4πR
2
4 2．
πR
3

3
作业设计
1．A [先由面积相等得到棱长a和半径r的关系a＝
为
6π
．]
6
2．B [由面积扩大的倍数可知半径扩大为原来的2倍，则体积扩大到原来的22倍．]
3．C [关键要清楚正方体内切球的直径等于棱长a，外接球的直径等于3a．]
4．C [由表面积之比得到半径之比为r
1
∶r
2
∶r
3
＝1∶2 ∶3，从而得体积之比为
V
1
∶V
2
∶V
3
＝1∶ 22∶33．]
5．B [外接球的直径2R＝长方体的体对角线＝
高)．]
14
6．A [设球半径为r，圆锥的高为h，则
π(3r)
2
h＝
πr
3
，可得h∶r＝4∶9．]
33
7．4
解析 地 球和火星的体积比可知地球半径为火星半径的2倍，日行8万里指地球大圆的
42
周长，即2π R
地球
＝8，故R
地球
＝
(万里)，所以火星的半径为
万里 ，其大圆的周长为4万
ππ
里．
8．3 cm
4
解析 设球的半径为r，则36π＝
πr
3
，可得r＝3 cm．
3
9．(1)球 (2)球
解析 设正方体的棱长为a，球的半径为r．
4
(1)当6a
2
＝4πr
2
时，V
球
＝
πr
3
＝
3

6π
r，再由体积公式求得体积比
3
a
2
＋b
2
＋c
2
(a、b、c分别是长、宽、< br>6
33
a>a
＝V
正方体
；
π
29

3
π
4
32
(2)当a
＝
πr
时，S
球
＝4πr＝6
a
2
<6a
2
＝S
正方体．

36
3
10．解 要使冰淇淋融化后不会溢出杯子，则必须
1414
V
圆锥
≥V
半球
，V
半球
＝
×
πr
3
＝
×
π×4
3
，
2323
111
V
圆锥
＝
Sh＝< br>πr
2
h＝
π×4
2
×h．
333
114
依题意：
π×4
2
×h≥×
π×4
3
，解得h≥8 ．
323
即当圆锥形杯子杯口直径为8 cm，高大于或等于8 cm时，冰淇淋融化后不会溢出杯子．
又因为S
圆锥侧
＝πrl＝πr
制造的杯子最省材料．
11．解 由题意知，圆锥的轴截面为正三角形，如图所示为圆锥的轴截面．
h
2
＋r
2
，
当圆锥高取最小值8时，S
圆锥侧
最小，所以高为8 cm时，

根据切线性质知，当球在容器内时，水深为3r，水面的半径为3r，则容器内水的体积
145
为V＝V
圆锥
－V
球
＝
π·(3r)
2
·3r－< br>πr
3
＝
πr
3
，而将球取出后，设容器内水的深度为h，则
333
3131
水面圆的半径为
h，从而容器内水的体积是V′＝
π ·(
h)
2
·h＝
πh
3
，由V＝V′，得h
33 39
3
＝
15r．
3
即容器中水的深度为
15r．
12．C [正四面体的任何一个面都不能外接于球的大圆(过球心的截面圆)．]
13．解 设正方体的棱长为a．如图所示．
①正方体的内切球球心是正方体的中心，切点是正方体六个面的中心 ，经过四个切点及
a
2
球心作截面，所以有2r
1
＝a，r
1
＝
，所以S
1
＝4πr
2
1
＝πa
．
2

②球与正方体的各棱的切点在每条棱的中点，过球心作正方体的对角面得截面，2 r
2
＝2
a，r
2
＝
2
2
＝2πa
2
．
a，所以S
2
＝4πr
2
2
3
2
a，所以S
3
＝4πr
2
3
＝3πa
．
2
③正方体的各个顶点在球面上，过球心作正方体的对角面得截面，所以有2r
3
＝3 a，
r
3
＝


30
综上可得S
1
∶S
2
∶S
3
＝1∶2∶3．

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第二章 点、直线、平面之间的位置关系
§2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系
2.1.1 平 面

【课时目标】 掌握文 字、符号、图形语言之间的转化，理解公理1、公理2、公理3，
并能运用它们解决点共线、线共面、线 共点等问题．


1．公理1：如果一条直线上的________在一个平面内， 那么________________在此平
面内．
符号：________________________________．
2．公理2 ：过________________________________的三点，____________ ____一个平
面．
3．公理3：如果两个不重合的平面有________公共点，那么它 们有且只有________过
该点的公共直线．
符号：________________________________．
4．用符号语言表示下列语句：
(1)点A在平面α内但在平面β外：______________．
(2)直线l经过面α内一点A，α外一点B：________________________．
(3)直线l在面α内也在面β内：____________．
(4)平面α内的两条直线M、n相交于A：________________________．


一、选择题
1．下列命题：
①书桌面是平面；
②8个平面重叠起来，要比6个平面重叠起来厚；
③有一个平面的长是50 M，宽是20 M；
④平面是绝对的平、无厚度，可以无限延展的抽象数学概念．
其中正确命题的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
2．若点M在直线b上，b在平面β内，则M、b、β之间的关系可记作( )
A．M∈b∈β B．M∈b?β
C．M?b?β D．M?b∈β
3．已知平面α与平面β、γ都相交，则这三个平面可能的交线有( )
A．1条或2条 B．2条或3条
C．1条或3条 D．1条或2条或3条
4．已知α、β为平面，A、B、M、N为点，a为直线，下列推理错误的是( )
A．A∈a，A∈β，B∈a，B∈β?a?β
B．M∈α，M∈β，N∈α，N∈β?α∩β＝MN
C．A∈α，A∈β?α∩β＝A
D．A、B、M∈α，A、B、M∈β，且A、B、M不共线?α、β重合
5．空间中可以确定一个平面的条件是( )
A．两条直线 B．一点和一直线
C．一个三角形 D．三个点

31

6．空间有四个点，如果其中任意三个点不共线，则经过其中三个点的平面有( )
A．2个或3个 B．4个或3个
C．1个或3个 D．1个或4个

二、填空题
7．把下列符号叙述所对应的图形(如图)的序号填在题后横线上．
(1)A
?
α，a?α________．
(2)α∩β＝a，PD∈α且P
?
β________．
(3)a?α，a∩α＝A________．
(4)α∩β＝a，α∩γ＝c，β∩γ＝b，a∩b∩c＝O________．
8．已知 α∩β＝M，a?α，b?β，a∩b＝A，则直线M与A的位置关系用集合符号表示
为_______ _．
9．下列四个命题：
①两个相交平面有不在同一直线上的三个公共点；
②经过空间任意三点有且只有一个平面；
③过两平行直线有且只有一个平面；
④在空间两两相交的三条直线必共面．
其中正确命题的序号是________．

三、解答题
10．如图，直角梯形ABDC中，AB∥CD，AB>CD，S是直角梯形AB DC所在平面外一
点，画出平面SBD和平面SAC的交线，并说明理由．










11．如图所 示，四边形ABCD中，已知AB∥CD，AB，BC，DC，AD(或延长线)分别与
平面α相交于E ，F，G，H，求证：E，F，G，H必在同一直线上．





32

能力提升
12．空间中三个平面两两相交于三条直线，这三条直线两两不平行，证明此三条直 线必
相交于一点．













13．如图，在正方体ABCD－A
1
B
1
C
1
D
1
中，对角线A
1
C与平面BDC
1
交于点O，AC、
BD交于点M，E为AB的中点，F为A A
1
的中点．
求证：(1)C
1
、O、M三点共线；(2)E、C 、D
1
、F四点共面；
(3)CE、D
1
F、DA三线共点．



















1 ．证明几点共线的方法：先考虑两个平面的交线，再证有关的点都是这两个平面的公
共点．或先由某两点 作一直线，再证明其他点也在这条直线上．
2．证明点线共面的方法：先由有关元素确定一个基本平面，再证其他的点(或线)在这

33

个平面内；或先由部分点线确定平面，再由其他点线确定平面 ，然后证明这些平面重合．注
意对诸如“两平行直线确定一个平面”等依据的证明、记忆与运用． 3．证明几线共点的方法：先证两线共点，再证这个点在其他直线上，而“其他”直线
往往归结为平 面与平面的交线．


第二章 点、直线、平面之间的位置关系
§2．1 空间点、直线、平面之间的位置关系
2．1．1 平 面
答案
知识梳理
1．两点 这条直线 A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α?l?α
2．不在一条直线上 有且只有
3．一个 一条 P∈α，且P∈β?α∩β＝l，且P∈l
4．(1)A∈α，A?β (2)A∈α，B?α且A∈l，B∈l (3)l?α且l?β (4)M?α，n?α且
M∩n＝A
作业设计
1．A [由平面的概念，它是平滑 、无厚度、可无限延展的，可以判断命题④正确，其
余的命题都不符合平面的概念，所以命题①、②、③ 都不正确，故选A．]
2．B 3．D
4．C [∵A∈α，A∈β，
∴A∈α∩β．
由公理可知α∩β为经过A的一条直线而不是A．
故α∩β＝A的写法错误．]
5．C
6．D [四点共面时有1个平面，四点不共面时有4个平面．]
7．(1)C (2)D (3)A (4)B
8．A∈M
解析 因为α∩β＝M，A∈a?α，所以A∈α，同理A∈β，故A在α与β的交线M上．
9．③
10．解 很明显，点S是平面SBD和平面SAC的一个公共点，即点S在交线上，由于
AB >CD，则分别延长AC和BD交于点E，如图所示．

∵E∈AC，AC?平面SAC，
∴E∈平面SAC．
同理，可证E∈平面SBD．
∴点E在平面SBD和平面SAC的交线上，连接SE，
直线SE是平面SBD和平面SAC的交线．

34

11．证明 因为AB∥CD，所以AB，CD确定平面AC，AD∩α＝H，因为H∈平面AC，H∈α，由公理3可知，H必在平面AC与平面α的交线上．同理F、G、E都在平面AC与
平面α 的交线上，因此E，F，G，H必在同一直线上．
12．证明

∵l
1
?β，l
2
?β，l
1
P
l
2
，
∴l
1
∩l
2
交于一点，记交点为P．
∵P∈l
1
?β，P∈l
2
?γ，
∴P∈β∩γ＝l
3
，
∴l
1
，l
2
，l
3
交于一点．
13．证明 (1)∵C
1
、O、M∈平面BDC
1
，
又 C
1
、O、M∈平面A
1
ACC
1
，由公理3知，点C1
、O、M在平面BDC
1
与平面A
1
ACC
1
的交线上，
∴C
1
、O、M三点共线．
(2)∵E，F分别是AB，A
1
A的中点，
∴EF∥A
1
B．
∵A
1
B∥CD
1
，
∴EF∥CD
1
．
∴E、C、D
1
、F四点共面．
(3)由(2)可知：四点E、C、D
1
、F共面．
1
又∵EF＝
A
1
B．
2
∴D
1
F，CE为相交直线，记交点为P．
则P∈D
1
F?平面ADD
1
A
1
，P∈CE?平面ADCB．
∴P∈平面ADD
1
A
1
∩平面ADCB＝AD．
∴CE、D
1
F、DA三线共点．



35

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2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系

【课时目标】 1．会 判断空间两直线的位置关系．2．理解两异面直线的定义，会求两
异面直线所成的角．3．能用公理4解 决一些简单的相关问题．


1．空间两条直线的位置关系有且只有三种：____ __________、________________、
________________．
2．异面直线的定义
________________________________的两条直线叫做异面直线．
3．公理4：平行于同一条直线的两条直线____________．
4．等角定理：空间 中如果两个角的两边分别对应________，那么这两个角________或
________．
5．异面直线所成的角：直线a，b是异面直线，经过空间任一点O，作直线a′，b′，
使_ _______，________，我们把a′与b′所成的______________叫做异面直线a与 b所成
的角(或夹角)．
如果两条直线所成的角是________，那么我们就说这两条异 面直线互相垂直，两条异面
直线所成的角的取值范围是________．


一、选择题
1．分别在两个平面内的两条直线间的位置关系是( )
A．异面 B．平行
C．相交 D．以上都有可能
2．若a和b是异面直线，b和c是异面直线，则a和c的位置关系是( )
A．异面或平行 B．异面或相交
C．异面 D．相交、平行或异面
3．分别和两条异面直线平行的两条直线的位置关系是( )
A．一定平行 B．一定相交
C．一定异面 D．相交或异面
4．空间四边形的两条对角线相互垂直，顺次连接四边中点的四边形一定是( )
A．空间四边形 B．矩形
C．菱形 D．正方形
5．给出下列四个命题：
①垂直于同一直线的两条直线互相平行；
②平行于同一直线的两直线平行；
③若直线a，b，c满足a∥b，b⊥c，则a⊥c； < br>④若直线l
1
，l
2
是异面直线，则与l
1
，l2
都相交的两条直线是异面直线．
其中假命题的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
6．如图所示，已知三棱锥A－BCD中，M 、N分别为AB、CD的中点，则下列结论正
确的是( )

36

1
A．MN≥(AC＋BD)
2
1
B．MN≤(AC＋BD)
2
1
C．MN＝(AC＋BD)
2
1
D．MN<(AC＋BD)
2

二、填空题
7．空间两个角α、β，且α与β的两边对应平行且α＝60°，则β为________．
8．已知正方体ABCD—A′B′C′D′中：
(1)BC′与CD′所成的角为________；
(2)AD与BC′所成的角为________．
9．一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论：
①AB⊥EF；
②AB与CM所成的角为60°；
③EF与MN是异面直线；
④MN∥CD．
以上结论中正确结论的序号为________．






三、解答题
10．空间四边形ABCD中，AB＝CD且AB与CD所 成的角为30°，E、F分别是BC、
AD的中点，求EF与AB所成角的大小．









37

11．已知棱长为a的正方体ABCD－A
1
B
1
C
1
D
1
中，M，N分别是棱CD、AD的中点．
求证：(1)四边形MNA
1
C
1
是梯形；









(2)∠DNM＝∠D
1
A
1
C
1
．

















能力提升
12．如图所示 ，G、H、M、N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，
MN是异面直线的图形有_ _______(填序号)．

13．正方体AC
1
中，E、F分别是面A
1
B
1
C
1
D
1
和AA
1
DD
1
的中心，则EF和CD所成的
角是( )
A．60° B．45° C．30° D．90°



1． 判定两直线的位置关系的依据就在于两直线平行、相交、异面的定义．很多情况下，
定义就是一种常用的 判定方法．另外，我们解决空间有关线线问题时，不要忘了我们生活中

38

的模型，比如说教室就是一个长方体模型，里面的线线关系非常丰富，我们要 好好地利用它，
它是我们培养空间想象能力的好工具．
2．在研究异面直线所成角的大小时， 通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直
线所成的角．将空间问题向平面问题转化，这是我们学习 立体几何的一条重要的思维途径．需
要强调的是，两条异面直线所成角的范围为(0°，90°]，解题 时经常结合这一点去求异面直线
所成的角的大小．
作异面直线所成的角，可通过多种方法平移 产生，主要有三种方法：①直接平移法(可
利用图中已有的平行线)；②中位线平移法；③补形平移法( 在已知图形中，补作一个相同的
几何体，以便找到平行线)．


2．1．2 空间中直线与直线之间的位置关系 答案

知识梳理
1．相交直线 平行直线 异面直线
2．不同在任何一个平面内
3．互相平行
4．平行 相等 互补
5．a′∥a b′∥b 锐角(或直角) 直角 (0°，90°]
作业设计
1．D
2．D [异面直线不具有传递性，可以以长方体为载体加以说明a、b异面，直线c的位
置可如图所示．]
3．D
4．B [

易证四边形EFGH为平行四边形．
又∵E，F分别为AB，BC的中点，
∴EF∥AC，
又FG∥BD，
∴∠EFG或其补角为AC与BD所成的角．
而AC与BD所成的角为90°，
∴∠EFG＝90°，
故四边形EFGH为矩形．]

5．B [①④均为假命题．①可举反例，如a、b、c三线两两垂直．
④如图甲时，c、d与异面直线l1
、l
2
交于四个点，此时c、d异面，一定不会平行；

39

当点A在直线a上运动(其余三点不动)，会出现点A与B重 合的情形，如图乙所示，
此时c、d共面相交．
]
6．D
1
[如图所示，取BC的中点E，连接ME、NE，则ME＝AC，
2
1
NE＝BD，
2
1
所以ME＋NE＝
(AC＋BD)．
2
在△MNE中，有ME＋NE>MN，
1
所以MN<
(AC＋BD)．]
2
7．60°或120°
8．(1)60° (2)45°
解析


连接BA′，则B A′∥CD′，连接A′C′，则∠A′BC′就是BC′与CD′所成的
角．
由△A′BC′为正三角形，
知∠A′BC′＝60°，
由AD∥BC，知AD与BC′所成的角就是∠C′BC．
易知∠C′BC＝45°．
9．①③


解析 把正方体平面展开图还原到原来的正方体，如图所示，AB⊥EF，EF与MN是

40

异面直线，AB∥CM，MN⊥CD，只有①③正确．
10．解 取AC的中点G，
连接EG、FG，
则EG∥AB，GF∥CD，

且由AB＝CD知EG＝FG，
角．
∵AB与CD所成的角为30°，
∴∠EGF＝30°或150°．

∴∠GEF(或它的补角)为EF与AB所成的 角，∠EGF(或它的补角)为AB与CD所成的
由EG＝FG知△EFG为等腰三角形，当∠EGF＝ 30°时，∠GEF＝75°；
当∠EGF＝150°时，∠GEF＝15°．
故EF与AB所成的角为15°或75°．
11．证明 (1)如图，连接AC，
在△ACD中，
∵M、N分别是CD、AD的中点，
∴MN是三角形的中位线，
1
∴MN∥AC，MN＝AC．
2
由正方体的性质得：AC∥A
1
C
1
，AC＝A
1
C
1
．
1
∴ MN∥A
1
C
1
，且MN＝A
1
C
1
，即 MN≠A
1
C
1
，
2
∴四边形MNA
1
C
1
是梯形．
(2)由(1 )可知MN∥A
1
C
1
，又因为ND∥A
1
D
1< br>，
∴∠DNM与∠D
1
A
1
C
1
相等或互补． 而∠DNM与∠D
1
A
1
C
1
均是直角三角形的锐角，
∴∠DNM＝∠D
1
A
1
C
1
．
12．②④

解析 ①中HG∥MN．③中GM∥HN且GM≠HN，
∴HG、MN必相交．
13．B [

41

连接B
1
D
1
，则E为B
1
D
1
中点，
连接AB
1
，EF∥AB
1
，

又CD ∥AB，∴∠B
1
AB为异面直线EF与CD所成的角，即∠B
1
AB＝45 °．]


42

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2.1.3 空间中直线与平面之间的位置关系
2.1.4 平面与平面之间的位置关系

【课时目标】 1．会对直线和平面的位置关系进行分类．2． 会对平面和平面之间的位
置关系进行分类．3．会用符号或图形把直线和平面、平面和平面的位置关系正 确地表示出
来．


1．一条直线a和一个平面α有且仅有_______ _________________三种位置关系．(用符
号语言表示)
2．两平面α与β有且仅有________和________两种位置关系(用符号语言表示)．


一、选择题
1．已知直线a∥平面α，直线b?α，则a与b的位置关系是( )
A．相交 B．平行
C．异面 D．平行或异面
2．若有两条直线a，b，平面α满足a∥b，a∥α，则b与α的位置关系是( )
A．相交 B．b∥α
C．b?α D．b∥α或b?α
3．若直线M不平行于平面α，且M?α，则下列结论成立的是( )
A．α内的所有直线与M异面
B．α内不存在与M平行的直线
C．α内存在唯一的直线与M平行
D．α内的直线与M都相交
4．三个互不重合的平面把空间分成6部分时，它们的交线有( )
A．1条 B．2条
C．3条 D．1条或2条
5．平面α∥β，且a?α，下列四个结论：
①a和β内的所有直线平行；
②a和β内的无数条直线平行；
③a和β内的任何直线都不平行；
④a和β无公共点．
其中正确的个数为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
6．教室内有一根直尺，无论怎样放置，在地面上总有这样的直线与直尺所在的直线
( )
A．异面 B．相交 C．平行 D．垂直

二、填空题
7．正方体ABCD－A
1
B
1
C
1
D
1
中，E、F分别为AA
1
和BB
1
的中点，则 该正方体的六个表
面中与EF平行的有______个．
8．若a、b是两条异面直线，且a ∥平面α，则b与α的位置关系是__________________．
9．三个不重合的平面，能把空间分成n部分，则n的所有可能值为______________．

三、解答题

43

10．指出图中的图形画法是否正确，如不正确，请改正．
(1)如图，直线a在平面α内．

(2)如图，直线a和平面α相交．

(3)如图，直线a和平面α平行．
















11．如图，平面α、β、γ满足α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，判断a与b、a与β的关系并证明你的结论．









能力提升
12．若不在同一条直线上的三点A、B、C到平面α的距离相等，且A 、B、CD∈α，
则面ABC与面α的位置关系为__________．
13．正方体AB CD—A
1
B
1
C
1
D
1
中，点Q是棱D D
1
上的动点，判断过A、Q、B
1
三点的
截面图形的形状．







44

1．解决 本节问题首先要搞清直线与平面各种位置关系的特征，利用其定义作出判断，
要有画图意识，并借助于空 间想象能力进行细致的分析．
在选择题中常用排除法解题．
2．正方体是一个特殊的图形， 当点、线、面关系比较复杂时，可以寻找正方体作为载
体，将它们置于其中，立体几何的直线与平面的位 置关系都可以在这个模型中得到反映．因
而人们给它以“百宝箱”之称．


2．1．3 空间中直线与平面之间的位置关系
2．1．4 平面与平面之间的位置关系
答案

知识梳理
1．a?α，a∩α＝A或a∥α
2．α∥β α∩β＝l
作业设计
1．D 2．D 3．B 4．D 5．C
6．D [若尺 子与地面相交，则C不正确；若尺子平行于地面，则B不正确；若尺子放
在地面上，则A不正确．所以选 D．]
7．3 8．b?α，b∥α或b与α相交 9．4,6,7,8
10．解 (1)(2)(3)的图形画法都不正确．正确画法如下图：
(1)直线a在平面α内：

(2)直线a与平面α相交：

(3)直线a与平面α平行：

11．解 由α∩γ＝a知a?α且a?γ，
由β∩γ＝b知b?β且b?γ，
∵α∥β，a?α，b?β，∴a、b无公共点．
又∵a?γ且b?γ，∴a∥b．
∵α∥β，∴α与β无公共点，
又a?α，∴a与β无公共点，∴a∥β．

45

12．平行或相交
13．解
图(1)
如图(1)所示；

由点Q在线段DD
1
上移动，当点Q与点D< br>1
重合时，截面图形为等边三角形AB
1
D
1
，
当点 Q与点D重合时，截面图形为矩形AB
1
C
1
D，如图(2)所示；
图(2)
当点Q不与点D，D
1
重合时，
截面图形为等腰梯形AQRB
1
，如图(3)所示．

图(3)



46

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§2.2 直线、平面平行的判定及其性质
2.2.1 直线与平面平行的判定

【课时目标】 1．理解直线与平面平行的判定定理的含义．2．会 用图形语言、文字语
言、符号语言准确描述直线与平面平行的判定定理，并知道其地位和作用．3．能运 用直线
与平面平行的判定定理证明一些空间线面关系的简单问题．


1．直线与平面平行的定义：直线与平面______公共点．
2．直线与平面平行的判定定理：
______________一条直线与_______ _________的一条直线平行，则该直线与此平面平
行．用符号表示为____________ ________________．


一、选择题
1．以下说法(其中a，b表示直线，α表示平面)
①若a∥b，b?α，则a∥α；
②若a∥α，b∥α，则a∥b；
③若a∥b，b∥α，则a∥α；
④若a∥α，b?α，则a∥b．
其中正确说法的个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
2．已知a，b是两条相交直线，a∥α，则b与α的位置关系是( )
A．b∥α B．b与α相交
C．b?α D．b∥α或b与α相交
3． 如果平面α外有两点A、B，它们到平面α的距离都是a，则直线AB和平面α的位
置关系一定是( )
A．平行 B．相交
C．平行或相交 D．AB?α
4．在空间四边形ABCD中，E、F分别是AB和BC上的点，若AE∶EB＝CF∶ FB＝1∶
3，则对角线AC和平面DEF的位置关系是( )
A．平行 B．相交
C．在内 D．不能确定
5．过直线l外两点，作与l平行的平面，则这样的平面( )
A．不存在 B．只能作出一个
C．能作出无数个 D．以上都有可能
6．过平行六面体AB CD－A
1
B
1
C
1
D
1
任意两条棱的中 点作直线，其中与平面DBB
1
D
1
平
行的直线共有( )
A．4条 B．6条 C．8条 D．12条

二、填空题
7．经过直线外一点有________个平面与已知直线平行．
8．如图，在长方体ABC D－A
1
B
1
C
1
D
1
的面中：

47

(1)与直线AB平行的平面是________；
(2)与直线AA
1
平行的平面是______；
(3)与直线AD平行的平面是______．
9．在正方体ABCD－A
1
B
1
C
1
D
1
中，E为DD
1
的中点， 则BD
1
与过点A，E，C的平面的
位置关系是______．

三、解答题
10．如图所示，在正方体ABCD—A
1
B
1
C
1
D
1
中，E、F分别是棱BC、C
1
D
1< br>的中点．
求证：EF∥平面BDD
1
B
1
．







11．如图所示，P是?ABCD所 在平面外一点，E、F分别在PA、BD上，且PE∶EA＝
BF∶FD．
求证：EF∥平面PBC．










能力提升
12．下列四个正方体图形中，A、B 为正方体的两个顶点，M、N、P分别为其所在棱的
中点，能得出AB∥面MNP的图形的序号是___ _____．(写出所有符合要求的图形序号)


13．正方形ABCD与正方形 ABEF所在平面相交于AB，在AE，BD上各有一点P，Q，
且AP＝DQ．求证PQ∥平面BCE ．(用两种方法证明)

48

直线与平面平行的判定方法
(1)利用定义：证明直线a与平面α没有公共点．这一点直接证 明是很困难的，往往借
助于反证法来证明．
(2)利用直线和平面平行的判定定理：a?α， a∥b，b?α，则a∥α．使用定理时，一定要
说明“不在平面内的一条直线和平面内的一条直线平行 ”，若不注明和平面内的直线平行，
证明过程就不完整．因此要证明a∥平面α，则必须在平面α内找一 条直线b，使得a∥b，从
而达到证明的目的．证明线线平行时常利用三角形中位线、平行线分线段成比 例定理等．


§2．2 直线、平面平行的判定及其性质
2．2．1 直线与平面平行的判定
答案
知识梳理
1．无
2．平面外 此平面内 a?α，b?α，且a∥b?a∥α
作业设计
1．A [①a?α也可能成立；②a，b还 有可能相交或异面；③a?α也可能成立；④a，
b还有可能异面．]
2．D 3．C 4．A 5．D
6．D

[如图所示，与BD平行的有4条，与BB
1
平行的有4条，四边形GHFE的对角线与
面BB
1
D
1
D 平行，同等位置有4条，总共12条，故选D．]
7．无数
8．(1)平面A
1
C
1
和平面DC
1
(2)平面BC
1
和平面DC
1
(3)平面B
1
C和平面A
1
C
1


49

9．平行
解析 设BD的中点为F，则EF∥BD
1
．
10．证明 取D
1
B
1
的中点O，
连接OF，OB．
11
∵OF綊B
1
C
1
，BE綊B
1
C
1
，
22

∴OF綊BE．
∴四边形OFEB是平行四边形，
∴EF∥BO．
∵EF?平面BDD
1
B
1
，
BO?平面BDD
1
B
1
，
∴EF∥平面BDD
1
B
1
．
11．证明 连接AF延长交BC于G，连接PG．
在?ABCD中，
易证△BFG∽△DFA．
GFBFPE
∴
＝＝，
FAFDEA
∴EF∥PG．
而EF?平面PBC，
PG?平面PBC，
∴EF∥平面PBC．
12．①③

13．证明 方法一 如图(1)所示，作PM∥AB交BE于M，作QN∥AB交BC于N，
连接MN．
∵正方形ABCD和正方形ABEF有公共边AB，
∴AE＝BD．
又∵AP＝DQ，∴PE＝QB．
PMPEQNBQ
又∵PM∥AB∥QN，∴＝，＝．
ABAEDCBD
∴PM綊QN．
∴四边形PQNM是平行四边形．∴PQ∥MN．
又MN?平面BCE，PQ?平面BCE，∴PQ∥平面BCE．

50

方法二 如图(2)所示，连接AQ并延长交BC(或其延长线)于K，连接EK．
DQAQ
∵KB∥AD，∴
＝．∵AP＝DQ，AE＝BD，
BQQK
∴BQ＝PE．
DQAPAQAP
∴
＝．∴＝．∴PQ∥EK．
BQPEQKPE
又PQ?面BCE，EK?面BCE，∴PQ∥面BCE．



51

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2.2.2 平面与平面平行的判定

【课时目标】 1．理 解平面与平面平行的判定定理的含义．2．能运用平面与平面平行
的判定定理，证明一些空间面面平行的 简单问题．


1．平面α与平面β平行是指两平面________公共点．若α ∥β，直线a?α，则a与β
的位置关系为________．
2．下面的命题在“____ ____”处缺少一个条件，补上这个条件，使其构成真命题(M，n
为直线，α，β为平面)，则此条 件应为________．


m?α
n?α
?
?
m∥β
?
?α∥β
n∥β
?

?

一、选择题
1．经过平面α外的两个点作该平面的平行平面，可以作出( )
A．0个 B．1个
C．0个或1个 D．1个或2个
2．α和β是两个不重合的平面，在下列条件中，可判定α∥β的是( )
A．α内有无数条直线平行于β
B．α内不共线三点到β的距离相等
C．l、M是平面α内的直线，且l∥α，M∥β
D．l、M是异面直线且l∥α，M∥α，l∥β，M∥β
3．给出下列结论，正确的有( )
①平行于同一条直线的两个平面平行；
②平行于同一平面的两个平面平行；
③过平面外两点，不能作一个平面与已知平面平行；
④若a，b为异面直线，则过a与b平行的平面只有一个．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．若不在同一直线上的三点A、B、C到平面α的距离相等，且AD∈α，则( )
A．α∥平面ABC
B．△ABC中至少有一边平行于α
C．△ABC中至多有两边平行于α
D．△ABC中只可能有一边与α相交
5．正 方体EFGH—E
1
F
1
G
1
H
1
中，下 列四对截面中，彼此平行的一对截面是( )


52

A．平面E
1
FG
1
与平面EGH
1

B．平面FHG
1
与平面F
1
H
1
G
C．平面F
1
H
1
H与平面FHE
1

D．平面E
1
HG
1
与平面EH
1
G
6．两个平面平行的条件是( )
A．一个平面内一条直线平行于另一个平面
B．一个平面内两条直线平行于另一个平面
C．一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面
D．两个平面都平行于同一条直线
二、填空题
7．已知直线a、b，平面α、β， 且a∥b，a∥α，α∥β，则直线b与平面β的位置关系
为______．
8．有下列几个命题：
①平面α内有无数个点到平面β的距离相等，则α∥β；
②α∩γ＝a，α∩β＝b，且a∥b(α，β，γ分别表示平面，a，b表示直线)，则γ∥β；
③平面α内一个三角形三边分别平行于平面β内的一个三角形的三条边，则α∥β；
④平面α内的一个平行四边形的两边与平面β内的一个平行四边形的两边对应平行，
则α∥β．其中正确的有________．(填序号)
9．如图所示，在正方体ABCD— A
1
B
1
C
1
D
1
中，E、F、G、H分 别是棱CC
1
、C
1
D
1
、D
1
D、CD的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M满足________时，
有MN∥平面B
1
BDD
1
．



三、解答题
10．如图所示，在正方体ABCD－A
1
B
1
C
1
D
1
中，S是B
1
D
1
的中点，< br>E、F、G分别是BC、DC和SC的中点．求证：平面EFG∥平面
BDD
1
B
1
．








11．如图所示，B为△ACD所在平面外一点，M，N，G分别为△ABC，△ABD，△ BCD
的重心．
(1)求证：平面MNG∥平面ACD；
(2)求S
△
MNG
∶S
△
ADC
．



53

能力提升 < br>12．三棱柱ABC－A
1
B
1
C
1
，D是BC上一 点，且A
1
B∥平面AC
1
D，D
1
是B
1
C
1
的中点．
求证：平面A
1
BD
1
∥平面AC
1
D．













13．如图所示，在正方体ABCD—A
1
B
1
C
1
D
1
中，O为底面ABCD的中心，P是DD
1< br>的
中点，设Q是CC
1
上的点，问：当点Q在什么位置时，平面D
1< br>BQ∥平面PAO?












判定或证明面面平行的方法
(1)面面平行的定义；
(2)面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线平行于 另一个平面，那么这
两个平面平行；
(3)两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行．


54

2．2．2 平面与平面平行的判定 答案

知识梳理
1．无 a∥β 2．M，n相交
作业设计
1．C 2．D 3．B 4．B 5．A 6．C 7．b∥β或b?β
8．③
解析 ①不正确， 当两平面相交时，在一个平面两侧分别有无数点满足条件；②不正确，
当平面β与γ相交时也可满足条件 ；③正确，满足平面平行的判定定理；④不正确，当两平
面相交时，也可满足条件．
9．M∈线段FH
解析 ∵HN∥BD，HF∥DD
1
，
HN∩HF＝H，BD∩DD
1
＝D，
∴平面NHF∥平面B
1
BDD
1
，
故线段FH上任意点M与N连接，
有MN∥平面B
1
BDD
1
．
10．

证明 如图所示，连接SB，SD，
∵F、G分别是DC、SC的中点，
∴FG∥SD．
又∵SD?平面BDD
1
B
1
，FG?平 面BDD
1
B
1
，
∴直线FG∥平面BDD
1
B
1
．
同理可证EG∥平面BDD
1
B
1
，
又∵EG?平面EFG，
FG?平面EFG，
EG∩FG＝G，
∴平面EFG∥平面BDD
1
B
1
．
11．(1)证明 (1)连接BM，BN，BG并延长分别交AC，AD，CD于P，F，H．
∵M，N，G分别为△ABC，△ABD，△BCD的重心，
BMBNBG
则有＝＝＝2，
MPNFGH
且P，H，F分别为AC，CD，AD的中点．

55

连接PF，FH，PH，有MN∥PF．
又PF?平面ACD，MN?平面ACD，
∴MN∥平面ACD．
同理MG∥平面ACD，MG∩MN＝M，
∴平面MNG∥平面ACD．
MGBG2
(2)解 由(1)可知
＝＝，
PHBH3
2
∴MG＝PH．
3
11
又PH＝
AD，∴MG＝AD．
23
11
同理NG＝
AC，MN＝CD．
33
∴△MNG∽△ACD，其相似比为1∶3．
∴S
△
MNG
∶S
△
ACD
＝1∶9．
12．

证明 连接A
1
C交AC
1
于点E，
∵四边形A
1
ACC
1
是平行四边形，
∴E是A
1
C的中点，连接ED，
∵A
1
B∥平面AC
1
D，ED?平面AC
1
D，
∴A
1
B与ED没有交点，
又∵ED?平面A
1
BC，A
1
B?平面A
1
BC，
∴ED∥A
1
B．
∵E是A
1
C的中点，∴D是BC的中点．
又∵D
1
是B
1
C
1
的中点，
∴BD< br>1
∥C
1
D，A
1
D
1
∥AD，
∴BD
1
∥平面AC
1
D，A
1
D
1
∥平 面AC
1
D．
又A
1
D
1
∩BD
1＝D
1
，∴平面A
1
BD
1
∥平面AC
1D．
13．解 当Q为CC
1
的中点时，
平面D
1
BQ∥平面PAO．
∵Q为CC
1
的中点，P为DD
1
的中点，
∴QB∥PA．
∵P、O为DD
1
、DB的中点，∴D
1
B∥PO．
又PO∩PA＝P，D
1
B∩QB＝B，
D
1
B∥平面PAO，QB∥平面PAO，
∴平面D
1
BQ∥平面PAO．


56

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2.2.3 直线与平面平行的性质

【课时目标】 1．能应用文字语 言、符号语言、图形语言准确地描述直线与平面平行
的性质定理．2．能运用直线与平面平行的性质定理 ，证明一些空间线面平行关系的简单问
题．

直线与平面平行的性质定理：
一条直线与一个平面平行，则____________________________________ _．
(1)符号语言描述：________________．
(2)性质定理的作用：
可以作为________________平行的判定方法，也提供了一种作________的方法 ．


一、选择题
1．a，b是两条异面直线，P是空间一点，过P作平面与a，b都平行，这样的平面( )
A．只有一个 B．至多有两个
C．不一定有 D．有无数个
2．两条直线都和一个平面平行，则这两条直线的位置关系是( )
A．平行 B．相交
C．异面 D．以上均可能
3．如图，在四面体ABCD中，若截面PQMN是正方形，则在下列命题中，错误的为( )

A．AC⊥BD
B．AC∥截面PQMN
C．AC＝BD
D．异面直线PM与BD所成的角为45°
4．如图所示，长方体ABCD－A
1< br>B
1
C
1
D
1
中，E、F分别是棱AA
1< br>和BB
1
的中点，过EF
的平面EFGH分别交BC和AD于G、H，则HG与 AB的位置关系是( )

A．平行 B．相交
C．异面 D．平行和异面
5．直线a∥平面α，α内有n条直线交于一点，则这n条直线中与直线a平行的直线( )
A．至少有一条 B．至多有一条
C．有且只有一条 D．没有
6．如图所示，平面α∩β＝l
1
，α∩γ＝l
2
，β∩ γ＝l
3
，l
1
∥l
2
，下列说法正确的是( )


57

A．l
1
平行于l< br>3
，且l
2
平行于l
3

B．l
1
平行于l
3
，且l
2
不平行于l
3

C．l
1
不平行于l
3
，且l
2
不平行于l
3

D．l
1
不平行于l
3
，但l
2
平行于l
3
二、填空题
7．设M、n是平面α外的两条直线，给出三个论断：
①M∥n；②M ∥α；③n∥α．以其中的两个为条件，余下的一个为结论，构造三个命题，
写出你认为正确的一个命题 ：______________．(用序号表示)
8．如图所示，ABCD—A
1
B
1
C
1
D
1
是棱长为a的正方体，M、N分别是下底面的 棱A
1
B
1
、
a
B
1
C
1
的中点，P是上底面的棱AD上的一点，AP＝，过P，M，N的平面交上底面于PQ，
3
Q 在CD上，则PQ＝________．


9．已知(如图)A、B、C、D四点 不共面，且AB∥α，CD∥α，AC∩α＝E，AD∩α＝F，
BD∩α＝H，BC∩α＝G，则四边 形EFHG的形状是______．
三、解答题
10．ABCD是平行四边形，点P是平面 ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一
点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH，
求证：AP∥GH．







11．如图所示，三棱锥A—BCD被一平面所截，截面为平行四边形EFGH．
求证：CD∥平面EFGH．

58

能力提升
12．如图所示 ，在空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是四边上的点，它们共面，
并且AC∥平面EFGH， BD∥平面EFGH，AC＝M，BD＝n，当四边形EFGH是菱形时，AE∶
EB＝______．


13．如图所示，P为平行四边形ABCD所在平面外一点，M、N分别为AB、 PC的中点，
平面PAD∩平面PBC＝l．
(1)求证：BC∥l；
(2)MN与平面PAD是否平行？试证明你的结论．











直线与平面平行判定定理 和直线与平面平行性质定理经常交替使用，也就是通过线线平
行推出线面平行，再通过线面平行推出新的 线线平行，复杂的题目还可继续推下去．可有如
下示意图：
线线
平行


59
在平面内作
或找一直线

――→
线面平行
经过直线作或找平
面与平面相交的交线
――→
线线
平行．

2．2．3 直线与平面平行的性质 答案

知识梳理
过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行
(1)

a∥α
?
?
a?β
?
?a∥b (2)直线和直线 平行线
β∩α＝b
?
?
作业设计
1．C 2．D
3．C [∵截面PQMN为正方形，
∴PQ∥MN，PQ∥面DAC．
又∵面ABC∩面ADC＝AC，PQ?面ABC，∴PQ∥AC，
同理可证QM∥BD．故有选项A、B、D正确，C错误．]
4．A [∵E、F分别是AA
1
、BB
1
的中点，∴EF∥AB．
又AB?平面EFGH，EF?平面EFGH，
∴AB∥平面EFGH．
又AB?平面ABCD，平面ABCD∩平面EFGH＝GH，
∴AB∥GH．]
5．B [设这n条直线的交点为P，则点P不在直线a上，那么直线a和点P确定一个
平面β ，则点P既在平面α内又在平面β内，则平面α与平面β相交，设交线为直线b，则
直线b过点P．又直 线a∥平面α，则a∥b．很明显这样作出的直线b有且只有一条，那么
直线b可能在这n条直线中，也 可能不在，即这n条直线中与直线a平行的直线至多有一条．]
6．A [∵l
1
∥l
2
，l
2
?γ，l
1
?γ，
∴l
1
∥γ．
又l
1
?β，β∩γ＝l
3
，
∴l
1
∥l
3

∴l
1
∥l
3
∥l
2
．]
7．①②?③(或①③?②)
解析 设过M的平面β与α交于l．
∵M∥α，∴M∥l，∵M∥n，∴n∥l，
∵n?α，l?α，∴n∥α．
22
8．a
3
解析 ∵MN∥平面AC，平面PMN∩平面AC＝PQ，
2a
∴MN∥PQ，易知DP＝DQ＝
，
3
22a
故PQ＝PD
2
＋DQ
2
＝2DP＝．
3
9．平行四边形
解析 平面ADC∩α＝EF，且CD∥α，
得EF∥CD；

60

同理可证GH∥CD，EG∥AB，FH∥AB．
∴GH∥EF，EG∥FH．
∴四边形EFGH是平行四边形．
10．证明 如图所示，连接AC交BD于O，连接MO，
∵ABCD是平行四边形，

∴O是AC中点，又M是PC的中点，
∴AP∥OM．
根据直线和平面平行的判定定理，
则有PA∥平面BMD．
∵平面PAHG∩平面BMD＝GH，
根据直线和平面平行的性质定理，
∴AP∥GH．
11．证明 ∵四边形EFGH为平行四边形，∴EF∥GH．
又GH?平面BCD，EF?平面BCD．
∴EF∥平面BCD．
而平面ACD∩平面BCD＝CD，EF?平面ACD，
∴EF∥CD．
而EF?平面EFGH，CD?平面EFGH，
∴CD∥平面EFGH．
12．M∶n
解析 ∵AC∥平面EFGH，∴EF∥AC，GH∥AC，
BEAE
∴EF＝HG＝M·
，同理EH＝FG＝n·．
BAAB
BEAE
∵EFGH是菱形，∴M·
＝n·，
BAAB
∴AE∶EB＝M∶n．
13．(1)证明 因为BC∥AD，AD?平面PAD，
BC?平面PAD，所以BC∥平面PAD．
又平面PAD∩平面PBC＝l，BC?平面PBC，
所以BC∥l．

(2)解 MN∥平面PAD．

61

证明如下：
如图所示，取DC的中点Q．
连接MQ、NQ．
因为N为PC中点，
所以NQ∥PD．
因为PD?平面PAD，NQ?平面PAD，所以NQ∥平面PAD．同理MQ∥平面PAD．
又NQ?平面MNQ，MQ?平面MNQ，
NQ∩MQ＝Q，所以平面MNQ∥平面PAD．
所以MN∥平面PAD．






62

【
若缺失公式、图片现象属于系统读取不成功，文档内容齐全完整，请放心下载。
】

2.2.4 平面与平面平行的性质

【课时目标】 1．会用图形语言 、文字语言、符号语言准确地描述平面与平面平行的
性质定理．2．能运用平面与平面平行的性质定理， 证明一些空间面面平行关系的简单命题．

1．平面与平面平行的性质定理
如果两 个平行平面同时和第三个平面相交，________________________________．
(1)符号表示为：________________?a∥b．
(2)性质定理的作用：
利用性质定理可证________________，也可用来作空间中的平行线．
2．面面平行的其他性质
α∥β
?
?
?
?(1)两平面平 行，其中一个平面内的任一直线平行于____________________，即
?
a? α
?
________，可用来证明线面平行；
(2)夹在两个平行平面间的平行线段________；
(3)平行于同一平面的两个平面________．



一、选择题
1．下列说法正确的是( )
A．如果两个平面有三个公共点，那么它们重合
B．过两条异面直线中的一条可以作无数个平面与另一条直线平行
C．在两个平行平面中，一个平面内的任何直线都与另一个平面平行
D．如果两个平面平行，那么分别在两个平面中的两条直线平行
2．设平面α∥平面β，直线a?α，点B∈β，则在β内过点B的所有直线中( )
A．不一定存在与a平行的直线
B．只有两条与a平行的直线
C．存在无数条与a平行的直线
D．存在惟一一条与a平行的直线
3．如图所示， P是三角形ABC所在平面外一点，平面α∥平面ABC，α分别交线段PA、
PB、PC于A′、B′ 、C′，若PA′∶AA′＝2∶3，则S
△
A
′
B
′
C< br>′
∶S
△
ABC
等于( )


A．2∶25 B．4∶25
C．2∶5 D．4∶5
4．α，β，γ为三个不重合的平面，a，b，c为三条不同的直线，则有下列命题，不正 确
的是( )
a∥c
?
a∥γ
?
??
?
?a∥b; ②
?
?a∥b； ①
??
b∥c
?
b∥γ
?


63

α∥c
?
α∥γ
?
??
??
?α∥β； ③?α∥β； ④
??
β∥c
?
β∥γ
?
α∥c
?
α∥γ
?
??
??
?a∥α． ⑤?α∥a; ⑥
?
a∥c
?
a∥γ
?
?
A．④⑥ B．②③⑥
C．②③⑤⑥ D．②③
5．设α∥β，A∈α，B∈β ，C是AB的中点，当A、B分别在平面α、β内运动时，那么
所有的动点C( )
A．不共面
B．当且仅当A、B分别在两条直线上移动时才共面
C．当且仅当A、B分别在两条给定的异面直线上移动时才共面
D．不论A、B如何移动，都共面
6．已知平面α∥平面β，P是α，β外一点，过点P的直 线M与α，β分别交于点A，C，
过点P的直线n与α，β分别交于点B，D，且PA＝6，AC＝9， PD＝8，则BD的长为( )
24
A．16 B．24或
5
C．14 D．20

二、填空题
7．分别在两个平行平面的两个三角形，
(1)若对应顶点的连线共点，那么这两个三角形具有______关系；
(2)若对应顶点的连线互相平行，那么这两个三角形具有________关系．
8．过正 方体ABCD－A
1
B
1
C
1
D
1
的三个 顶点A
1
、C
1
、B的平面与底面ABCD所在平面的
交线为l，则 l与A
1
C
1
的位置关系是________．
9．已知平面α∥ β∥γ，两条直线l、M分别与平面α、β、γ相交于点A、B、C与D、E、
DE2
F．已知 AB＝6，＝，则AC＝________．
DF5




三、解答题
10．如图所示，已知正方体ABCD－A
1
B
1C
1
D
1
中，面对角线AB
1
、BC
1
上分别有两点E、
F，且B
1
E＝C
1
F．求证：EF∥平面AB CD．












64

11．如图，在三棱柱ABC－A
1
B
1
C
1< br>中，M是A
1
C
1
的中点，平面AB
1
M∥平面BC
1
N，AC∩
平面BC
1
N＝N．
求证：N为AC的中点．








能力提升
12．如图所示，在底面是平行四边形的四棱锥P－ABCD中，点E在 PD上，且PE∶
ED＝2∶1，在棱PC上是否存在一点F，使BF∥平面AEC？并证明你的结论．











13．如图所示，在棱长为2的正方体ABCD－A
1
B
1
C
1
D
1
中，A
1
B
1
的中点是P，过 点A
1
作与截面PBC
1
平行的截面，能否确定截面的形状？如果能，求出截 面的面积．










65

1．在空间平行的判断与证明时要注意线线、线面、面面平行关系的转化过程：

2．强调两个问题
(1)一条直线平行于一个平面，就平行于这个平面内的一切直线，这种说 法是不对的，
但可以认为这条直线与平面内的无数条直线平行．
(2)两个平面平行，其中一 个平面内的直线必定平行于另一个平面，但这两个平面内的
直线不一定相互平行，也有可能异面．




2．2．4 平面与平面平行的性质 答案

知识梳理
1．那么它们的交线平行
(1)

α∥β
?
?
α∩γ＝a
?
(2)线线平行
β∩γ＝b
?
?
2．(1)另一个平面 a∥β (2)相等 (3)平行
作业设计
1．C [由两平面平行的定义知：一平面内的任何直线与另一平面均无交点，所以选C．]
2．D [直线a与B可确定一个平面γ，
∵B∈β∩γ，∴β与γ有一条公共直线b．
由线面平行的性质定理知b∥a，所以存在性成立．
因为过点B有且只有一条直线与已知直线a平行，
所以b惟一．]
3．B [面α∥面ABC，面PAB与它们的交线分别为A′B′，AB，∴AB∥A′B′，
同理B′C′∥BC，
易得△ABC∽△A′B′C′，
A′B′
2PA′
2
4
S
△
A
′
B
′
C
′
∶S
△
ABC
＝()
＝(
)
＝．]
ABPA25
4．C [由公理4及平行平面的传递性知①④正确．举反例知②③⑤⑥不正确． ②中a，
b可以相交，还可以异面；③中α，β可以相交；⑤中a可以在α内；⑥中a可以在α内．]
5．D [

66

如图所示，A′ 、B′分别是A、B两点在α、β上运动后的两点，此时AB中点变成A′B′
中点C′，连接A′B， 取A′B中点E．连接CE、C′E、AA′、BB′、CC′．
则CE∥AA′，∴CE∥α．
C′E∥BB′，∴C′E∥β．
又∵α∥β，∴C′E∥α．
∵C′E∩CE＝E．
∴平面CC′E∥平面α．
∴CC′∥α．所以不论A、B 如何移动，所有的动点C都在过C点且与α、β平行的平
面上．]
6．B [当P点在平面α 和平面β之间时，由三角形相似可求得BD＝24，当平面α和
24
平面β在点P同侧时可求得 BD＝．]
5
7．(1)相似 (2)全等
8．平行 [由面面平行的性质可知第三平面与两平行平面的交线是平行的．]
DEABDF5
9．15 [由题可知
＝
?AC＝·AB＝×6＝15．]
DFACDE2
10．证明 方法一 过E、F分别作AB、BC的垂线，EM、FN分别交AB、BC于M、
N，连接MN．
∵BB
1
⊥平面ABCD，
∴BB
1
⊥AB，BB
1
⊥BC，

∴EM∥BB
1
，FN∥BB
1
，
∴EM∥FN， ∵AB
1
＝BC
1
，B
1
E＝C
1
F ，
∴AE＝BF，又∠B
1
AB＝∠C
1
BC＝45°，
∴Rt△AME≌Rt△BNF，
∴EM＝FN．
∴四边形MNFE是平行四边形，
∴EF∥MN．
又MN?平面ABCD，EF?平面ABCD，
∴EF∥平面ABCD．
方法二

67

过E作EG∥AB交BB
1
于G，连接GF，
B
1
EB< br>1
GC
1
FB
1
G
∴
＝，B
1E＝C
1
F，B
1
A＝C
1
B，∴
＝， B
1
AB
1
BC
1
BB
1
B
∴FG∥B
1
C
1
∥BC．
又∵EG∩FG＝G，AB∩BC＝B，
∴平面EFG∥平面ABCD．
又EF?平面EFG，
∴EF∥平面ABCD．
11．证明 ∵平面AB
1
M∥平面BC
1
N，
平面ACC
1
A
1
∩平面AB
1
M＝AM， 平面BC
1
N∩平面ACC
1
A
1
＝C
1N，
∴C
1
N∥AM，又AC∥A
1
C
1
，
∴四边形ANC
1
M为平行四边形，
11
∴AN綊C
1
M＝A
1
C
1
＝AC，
22
∴N为AC的中点．
12．解

当F是棱PC的中点时，BF∥平面AEC，证明如下：

取PE的中点M，连接FM，则FM∥CE， ①
1
由EM＝PE＝ED，知E是MD的中点，设BD∩AC＝O，则O为BD的中点，连接
2
OE，则 BM∥OE， ②
由①②可知，平面BFM∥平面AEC，又BF?平面BFM，
∴BF∥平面AEC．
13．解 能．取AB，C
1
D
1
的中点M，N，连接A
1
M，MC，CN，NA
1
，

∵A
1
N∥PC< br>1
且A
1
N＝PC
1
，
PC
1
∥MC，PC
1
＝MC，

68

∴四边形A
1
MCN是平行四边形，
又∵A
1
N∥PC
1
，A
1
M∥BP，
A
1
N∩A
1
M＝A
1
，C
1
P∩PB＝ P，
∴平面A
1
MCN∥平面PBC
1
，
因此，过点A
1
与截面PBC
1
平行的截面是平行四边形．
连接MN，作A
1
H⊥MN于点H，
∵A
1
M＝A
1
N＝5，MN＝22，
∴A
1
H＝3．
∴S△A
1
MN＝
1
2
×22×3＝6．
故S?A
1
MCN＝2S△A
1
MN＝26．

69

【
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§2.3 直线、平面垂直的判定及其性质
2.3.1 直线与平面垂直的判定

【课时目标】 1．掌握直线与平面垂直的定义．2．掌握直线与平 面垂直的判定定理并
能灵活应用定理证明直线与平面垂直．3．知道斜线在平面上的射影的概念，斜线与 平面所
成角的概念．

1．直线与平面垂直
(1)定义：如果直线l与平 面α内的________________直线都________，就说直线l与平
面α互相垂直， 记作________．直线l叫做平面α的________，平面α叫做直线l的________．
(2)判定定理
文字表述：一条直线与一个平面内的__________________ ______都垂直，则该直线与此
平面垂直．

符号表述：

l⊥a
l⊥b
?
?

?l⊥α．
?

?

?
2．直线与平面所成的角
(1)

定义：平面的一条斜线和它在平面上的________所成的_____ ___，叫做这条直线和这个
平面所成的角．
如图所示，________就是斜线AP与平面α所成的角．
(2)当直线AP与平面垂直时，它们所成的角的度数是90°；
当直线与平面平行或在平面内时，它们所成的角的度数是________；
线面角θ的范围：________．


一、选择题
1．下列命题中正确的个数是( )
①如果直线l与平面α内的无数条直线垂直，则l⊥α；
②如果直线l与平面α内的一条直线垂直，则l⊥α；
③如果直线l不垂直于α，则α内没有与l垂直的直线；
④如果直线l不垂直于α，则α内也可以有无数条直线与l垂直．
A．0 B．1 C．2 D．3
2．直线a⊥直线b，b⊥平面β，则a与β的关系是( )
A．a⊥β B．a∥β
C．a?β D．a?β或a∥β

70

3．空间四边形ABCD的四边相等，则它的两对角线AC、BD的关系是( )
A．垂直且相交 B．相交但不一定垂直
C．垂直但不相交 D．不垂直也不相交
4．如图所示，定点A和B都在平面α内，定点P?α，PB⊥α，C是平面α内 异于A和
B的动点，且PC⊥AC，则△ABC为( )
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．无法确定
5．如图所示，PA⊥平面ABC，△ABC中BC⊥AC，则图中直角三角形的个数为( )
A．4 B．3 C．2 D．1
6．从平面外一点 向平面引一条垂线和三条斜线，斜足分别为A，B，C，如果这些斜线
与平面成等角，有如下命题：
①△ABC是正三角形；②垂足是△ABC的内心；
③垂足是△ABC的外心；④垂足是△ABC的垂心．
其中正确命题的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
7．在正方体ABCD－A
1
B
1
C
1
D
1
中，

(1)直线A
1
B与平面ABCD所成的角是________；
(2)直线A1
B与平面ABC
1
D
1
所成的角是________； (3)直线A
1
B与平面AB
1
C
1
D所成的角是__ ______．
8．在直三棱柱ABC—A
1
B
1
C
1< br>中，BC＝CC
1
，当底面A
1
B
1
C
1< br>满足条件________时，有
AB
1
⊥BC
1
(注：填上 你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情况)．
9．如图所示，在正方体ABCD－A1
B
1
C
1
D
1
中，M、N分别是棱AA1
和AB上的点，若∠
B
1
MN是直角，则∠C
1
MN ＝________．

三、解答题
10．如图所示，在正方体ABCD—A1
B
1
C
1
D
1
中，E、F分别是棱B
1
C
1
、B
1
B的中点．
求证：CF⊥平面EAB．



71

11．如图所示，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱PA垂直于底面，E 、
F分别是AB，PC的中点，PA＝AD．
求证：(1)CD⊥PD；
(2)EF⊥平面PCD．




能力提升
12．如图所示，在正方体ABCD－A
1
B
1
C
1
D1
中，P为DD
1
的中点，O为ABCD的中心，
求证B
1O⊥平面PAC．









13．如图所示，△ABC中，∠ABC＝90°，SA⊥平面ABC，过点A向SC和SB 引垂线，
垂足分别是P、Q，求证：(1)AQ⊥平面SBC；
(2)PQ⊥SC．












72

1．运用化归思想，将直线与平面垂直 的判定转化为直线与平面内两条相交直线的判定，
而同时还由此得到直线与直线垂直．即“线线垂直?线 面垂直”．
2．直线和平面垂直的判定方法
(1)利用线面垂直的定义．
(2)利用线面垂直的判定定理．
(3)利用下面两个结论：
①若a∥b，a⊥α，则b⊥α；
②若α∥β，a⊥α，则a⊥β．
3．线线垂直的判定方法
(1)异面直线所成的角是90°．
(2)线面垂直，则线线垂直．




§2．3 直线、平面垂直的判定及其性质
2．3．1 直线与平面垂直的判定
答案

知识梳理
1．(1)任意一条 垂直 l⊥α 垂线 垂面
(2)两条相交直线 a?α b?α a∩b＝A
2．(1)射影 锐角 ∠PAO
(2)0° [0°，90°]
作业设计
1．B [只有④正确．]
2．D
3．C [取BD中点O，连接AO，CO，
则BD⊥AO，BD⊥CO，
∴BD⊥面AOC，BD⊥AC，
又BD、AC异面，∴选C．]
4．B [易证AC⊥面PBC，所以AC⊥BC．]
PA⊥BC
?
?
?
5．A [
?
?
?
AC⊥BC
?
BC?平面ABC
?
?
?BC⊥平面PAC?BC⊥PC，
∴直角三角形有△PAB、△PAC、△ABC、△PBC．]
6．A [PO⊥面ABC．
则由已知可得，△PAO、△PBO、△PCO全等，
OA＝OB＝OC，
O为△ABC外心．

PA⊥平面ABC
?
?


73

只有③正确．]
7．(1)45° (2)30° (3)90°
解析

(1)由线面角定义知∠A
1
BA为A< br>1
B与平面ABCD所成的角，∠A
1
BA＝45°．
(2)连接A
1
D、AD
1
，交点为O，
则易证A
1
D⊥面ABC
1
D
1
，所以A
1
B在面ABC
1
D
1
内的射影为OB，
∴A
1
B与面ABC< br>1
D
1
所成的角为∠A
1
BO，
1
∵A
1
O＝A
1
B，
2
∴∠A
1
BO＝30°．
(3)∵A
1
B⊥A B
1
，A
1
B⊥B
1
C
1
，
∴ A
1
B⊥面AB
1
C
1
D，即A
1
B与面 AB
1
C
1
D所成的角为90°．
8．∠A
1
C
1
B
1
＝90°
解析
如图所示，连接B
1
C，
由BC＝CC
1
，可得BC
1
⊥B
1
C，

因此，要证AB
1
⊥BC
1
，则只要证明BC
1
⊥平面AB
1
C，
即只要证AC⊥BC
1
即可，由直三棱柱可知，只要证AC⊥BC即可．
因 为A
1
C
1
∥AC，B
1
C
1
∥BC，故 只要证A
1
C
1
⊥B
1
C
1
即可． (或者能推出A
1
C
1
⊥B
1
C
1
的 条件，如∠A
1
C
1
B
1
＝90°等)
9．90°
解析 ∵B
1
C
1
⊥面ABB
1
A
1
，
∴B
1
C
1
⊥MN．
又∵MN⊥B
1
M，
∴MN⊥面C
1
B
1
M，
∴MN⊥C
1
M．
∴∠C
1
MN＝90°．
10．证明 在平面B
1
BCC
1
中，
∵E、F分别是B
1
C
1
、B
1
B的中点，
∴△BB
1
E≌△CBF，
∴∠B
1
BE＝∠BCF，
∴∠BCF＋∠EBC＝90°，∴CF⊥BE，

74

又AB⊥平面B
1
BCC
1
，CF?平面B
1
BC C
1
，
∴AB⊥CF，AB∩BE＝B，∴CF⊥平面EAB．
11．证明 (1)∵PA⊥底面ABCD，
∴CD⊥PA．
又矩形ABCD中，CD⊥AD，且AD∩PA＝A，
∴CD⊥平面PAD，
∴CD⊥PD．

(2)取PD的中点G，连接AG，FG．
又∵G、F分别是PD，PC的中点，
1
∴GF綊CD，∴GF綊AE，
2
∴四边形AEFG是平行四边形，
∴AG∥EF．
∵PA＝AD，G是PD的中点，
∴AG⊥PD，∴EF⊥PD，
∵CD⊥平面PAD，AG?平面PAD．
∴CD⊥AG．∴EF⊥CD．
∵PD∩CD＝D，∴EF⊥平面PCD．
12．证明 连接AB
1
，CB
1
，设AB＝1．
∴AB
1
＝CB
1
＝2，

∵AO＝CO，∴B
1
O⊥AC．
连接PB
1
．
3
22
∵OB
2
1
＝OB
＋BB
1
＝< br>，
2
9
22
PB
2
1
＝PD
1< br>＋B
1
D
1
＝
，
4
3
OP
2
＝PD
2
＋DO
2
＝，
4
22
∴O B
2
1
＋OP
＝PB
1
．∴B
1
O⊥PO ，

又∵PO∩AC＝O，
∴B
1
O⊥平面PAC．

75

13．证明 (1)∵SA⊥平面ABC，BC?平面ABC，
∴SA⊥BC．
又∵BC⊥AB，SA∩AB＝A，
∴BC⊥平面SAB．
又∵AQ?平面SAB，
∴BC⊥AQ．又∵AQ⊥SB，BC∩SB＝B，
∴AQ⊥平面SBC．
(2)∵AQ⊥平面SBC，SC?平面SBC，
∴AQ⊥SC．
又∵AP⊥SC，AQ∩AP＝A，
∴SC⊥平面APQ．∵PQ?平面APQ，∴PQ⊥SC．


76

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2.3.2 平面与平面垂直的判定

【课时目标】 1．掌握二面角的 概念，二面角的平面角的概念，会求简单的二面角的
大小．2．掌握两个平面互相垂直的概念，并能利用 判定定理判定两个平面垂直．


1．二面角：从一条直线出发的________________所组成的图形叫做二面
角 ．________________叫做二面角的棱．________________________叫 做二面角的面．
2．二面角的平面角

如图：在二面角α－l－β的棱l上任取一 点O，以点O为________，在半平面α和β内
分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA 和OB构成的________叫做二面角的平面角．
3．平面与平面的垂直
(1)定义： 如果两个平面相交，且它们所成的二面角是________________，就说这两个
平面互相垂 直．
(2)面面垂直的判定定理
文字语言：一个平面过另一个平面的________，则 这两个平面垂直．符号表示：
?
a⊥β
?
?
?α⊥β．
?

?


一、选择题
1．下列命题：
①两个相交平面组成的图形叫做二面角；
②异面直线a、b分别和一个二面角的两个面垂直， 则a、b组成的角与这个二面角的平
面角相等或互补；
③二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面内作射线所成角的最小角；
④二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系．
其中正确的是( )
A．①③ B．②④ C．③④ D．①②
2．下列命题中正确的是( )
A．平面α和β分别过两条互相垂直的直线，则α⊥β
B．若平面α内的一条直线垂直于平面β内两条平行线，则α⊥β
C．若平面α内的一条直线垂直于平面β内两条相交直线，则α⊥β
D．若平面α内的一条直线垂直于平面β内无数条直线，则α⊥β
3．设有直线M、n和平面α、β，则下列结论中正确的是( )
①若M∥n，n⊥β，M?α，则α⊥β；
②若M⊥n，α∩β＝M，n?α，则α⊥β；
③若M⊥α，n⊥β，M⊥n，则α⊥β．
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
4．过两点与一个已知平面垂直的平面( )
A．有且只有一个 B．有无数个
C．有且只有一个或无数个 D．可能不存在
5．在边长为1的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，把菱形沿对角线AC折起，使 折起后BD

77

3
，则二面角B－AC－D的余弦值为( )
2
11223
A． B． C． D．
3232
6．在正四面体P－ABC中， D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，下面四个结论中不
成立的是( )
A．BC∥面PDF B．DF⊥面PAE
C．面PDF⊥面ABC D．面PAE⊥面ABC

二、填空题
7．过正方形ABCD的顶点A作线段AP ⊥平面ABCD，且AP＝AB，则平面ABP与平
面CDP所成的二面角的度数是________．
8．如图所示，已知PA⊥矩形ABCD所在的平面，图中互相垂直的平面有________对．
＝

9．已知α、β是两个不同的平面，M、n是平面α及β之外的两条不同直线，给出四个
论断：
①M⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④M⊥α．
以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结 论，写出你认为正确的一个命题：
________________．

三、解答题
10．如图所示，在空间四边形ABCD中，AB＝BC，CD＝DA，E、F、 G分别为CD、
DA和对角线AC的中点．
求证：平面BEF⊥平面BGD．





11．如图所示，四棱锥P—ABCD的底面ABCD是边 长为1的菱形，∠BCD＝60°，E
是CD的中点，PA⊥底面ABCD，PA＝3．
(1)证明：平面PBE⊥平面PAB；
(2)求二面角A—BE—P的大小．






78

能力提升
12．如图，在直三棱柱ABC—A< br>1
B
1
C
1
中，E、F分别是A
1
B、A< br>1
C的中点，点D在B
1
C
1
上，A
1
D⊥ B
1
C．
求证：(1)EF∥平面ABC；
(2)平面A
1
FD⊥平面BB
1
C
1
C．










13．如图，在三棱锥P—ABC中，PA⊥底面ABC，PA＝AB，∠ABC＝60°，∠BCA＝ 90°，
点D、E分别在棱PB、PC上，且DE∥BC．
(1)求证：BC⊥ 平面PAC．
(2)是否存在点E使得二面角A—DE—P为直二面角？并说明理由．







1．证明两个平面垂直的主要途径
(1)利用面面垂直的定义，即如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直，又这两个平
面与第 三个平面相交所得的两条交线互相垂直，就称这两个平面互相垂直．
(2)面面垂直的判定定理，即如 果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平
面互相垂直．
2．利用面面垂直的判定 定理证明面面垂直时的一般方法：先从现有的直线中寻找平面
的垂线，若图中存在这样的直线，则可通过 线面垂直来证明面面垂直；若图中不存在这样的
直线，则可通过作辅助线来解决，而作辅助线则应有理论 依据并有利于证明，不能随意添加．

79

3．证明两 个平面垂直，通常是通过证明线线垂直→线面垂直→面面垂直来实现的，因
此，在关于垂直问题的论证中 要注意线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化．每一垂直
的判定都是从某一垂直开始转向另一垂直， 最终达到目的的．


2．3．2 平面与平面垂直的判定 答案

知识梳理
1．两个半平面 这条直线 这两个半平面
2．垂足 ∠AOB
3．(1)直二面角 (2)垂线 a?α
作业设计
1．B [①不符合二面角定义，③从运动的角度演示可知，二面角的平面角不是最小角．故
选B．]
2．C
3．B [②错，当两平面不垂直时，在一个平面内可以找到无数条直线与两个平面的交
线垂直．]
4．C [当两点连线与平面垂直时，有无数个平面与已知平面垂直，当两点连线与平面
不垂直 时，有且只有一个平面与已知平面垂直．]
5．B [

如图所示，由二面角的定义知∠BOD即为二面角的平面角．
∵DO＝OB＝BD＝
∴∠BOD＝60°．]
6．C [
3
，
2
如图所示，∵BC∥DF，
∴BC∥平面PDF．
∴A正确．
由BC⊥PE，BC⊥AE，
∴BC⊥平面PAE．
∴DF⊥平面PAE．
∴B正确．
∴平面ABC⊥平面PAE(BC⊥平面PAE)．
∴D正确．]

80

7．45°
解析 可将图形补成以AB、AP为棱的正方体，不难求出二面角的大小为45°．
8．5
解析 由PA⊥面ABCD知面PAD⊥面ABCD，面PAB⊥面ABCD，
又PA⊥AD，PA⊥AB且AD⊥AB，
∴∠DAB为二面角D—PA—B的平面角，
∴面DPA⊥面PAB．又BC⊥面PAB，
∴面PBC⊥面PAB，同理DC⊥面PDA，
∴面PDC⊥面PDA．
9．①③④?②(或②③④?①)
10．证明 ∵AB＝BC，CD＝AD，G是AC的中点，
∴BG⊥AC，DG⊥AC，
∴AC⊥平面BGD．
又EF∥AC，∴EF⊥平面BGD．
∵EF?平面BEF，∴平面BEF⊥平面BGD．
11．(1)证明 如图所示，连接BD，由ABCD是菱形且∠BCD＝60°知，△BCD是等边
三角形．
因为E是CD的中点，所以BE⊥CD．
又AB∥CD，所以BE⊥AB．
又因为PA⊥平面ABCD，
BE?平面ABCD，
所以PA⊥BE．而PA∩AB＝A，
因此BE⊥平面PAB．
又BE?平面PBE，
所以平面PBE⊥平面PAB．

(2)解 由(1)知，BE⊥平面PAB，PB?平面PAB，
所以PB⊥BE．又AB⊥BE，
所以∠PBA是二面角A—BE—P的平面角．
PA
在Rt△PAB中，tan∠PBA＝＝3，则∠PBA＝60°．
AB
故二面角A—BE—P的大小是60°．
12．证明 (1)由E、F分别是A
1
B、A
1
C的中点知EF∥BC．
因为EF?平面ABC．
BC?平面ABC．
所以EF∥平面ABC．
(2)由三棱柱ABC—A
1
B
1
C
1
为直三棱柱知CC< br>1
⊥平面A
1
B
1
C
1
．
又A< br>1
D?平面A
1
B
1
C
1
，故CC
1
⊥A
1
D．

81

又因为 A
1
D⊥B
1
C，CC
1
∩B
1
C＝C， 故A
1
D⊥平面BB
1
C
1
C，又A
1
D ?平面A
1
FD，所以
平面A
1
FD⊥平面BB
1
C
1
C．
13．(1)证明 ∵PA⊥底面ABC，
∴PA⊥BC．
又∠BCA＝90°，
∴AC⊥BC．
又∵AC∩PA＝A，∴BC⊥平面PAC．
(2)解 ∵DE∥BC，又由(1)知，
BC⊥平面PAC，
∴DE⊥平面PAC．
又∵AE?平面PAC，PE?平面PAC，
∴DE⊥AE，DE⊥PE．
∴∠AEP为二面角A—DE—P的平面角．
∵PA⊥底面ABC，
∴PA⊥AC，∴∠PAC＝90°．
∴在棱PC上存在一点E，
使得AE⊥PC．
这时∠AEP＝90°，
故存在点E，使得二面角A—DE—P为直二面角．


82

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2.3.3 直线与平面垂直的性质

【课时目标】 1．理解直线和平 面垂直的性质定理，并能用文字、符号和图形语言描
述定理．2．能够灵活地应用线面垂直的性质定理证 明相关问题．3．理解并掌握“平行”与
“垂直”之间的相互转化．

直线与平面垂直的性质定理
文字语言 垂直于同一个平面的两条直线________
a⊥α
?
?
?
?________
符号语言
?
b⊥α
?


图形语言
①线面垂直?线线平行
②作平行线

作用

一、选择题
1．下列说法正确的是( )
A．若l上有无数个点不在平面α内，则l∥α
B．若直线l与平面α垂直，则l与α内的任一直线垂直
C．若E、F分别为△ABC中AB、BC边上的中点，则EF与经过AC边的所有平面平行
D．两条垂直的直线中有一条和一个平面平行，则另一条和这个平面垂直
2．若M、n表示直线，α表示平面，则下列命题中，正确命题的个数为( )
??
m∥n
?
m⊥α
?
?
?n⊥α； ②
?
?M∥n； ①
?
m⊥α
?
n⊥α
??
m⊥α
?
m∥α
?
??
?
?M⊥n; ④
?
?n⊥α． ③
?
n∥α
?
m⊥n
??
A．1 B．2 C．3 D．4
3．已知直线PG⊥平面α于G，直线EF?α，且PF⊥EF于F，那 么线段PE，PF，PG
的大小关系是( )
A．PE>PG>PF B．PG>PF>PE
C．PE>PF>PG D．PF>PE>PG
4．PA垂直于以AB为直径的圆所在平面，C为圆上异于A，B的任一点，则下列关系
不正确 的是( )





A．PA⊥BC B．BC⊥平面PAC
C．AC⊥PB D．PC⊥BC
5．下列命题：
①垂直于同一直线的两条直线平行；

83

②垂直于同一直线的两个平面平行；
③垂直于同一平面的两条直线平行；
④垂直于同一平面的两平面平行．
其中正确的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
6．在△ABC所在的平面α外有一点P，且PA＝PB＝PC，则P在α内的射影是△ABC
的( )
A．垂心 B．内心 C．外心 D．重心
二、填空题
7．线段AB在平面α的同侧，A、B到α的距离分别为3和5，则AB的中点到 α的距
离为________．
8．直线a和b在正方体ABCD－A
1
B
1
C
1
D
1
的两个不同平面内，使a∥b成立的条件是________．(只填序号)
①a和b垂直于正方体的同一个面；②a和b在正方体两个相对 的面内，且共面；③a
和b平行于同一条棱；④a和b在正方体的两个面内，且与正方体的同一条棱垂直 ．
9．如图所示，平面ABC⊥平面ABD，∠ACB＝90°，CA＝CB，△ABD是正三角形， O
为AB中点，则图中直角三角形的个数为________．
三、解答题
10． 如图所示，在正方体ABCD—A
1
B
1
C
1
D
1
中，M是AB上一点，N是A
1
C的中点，
MN⊥平面A
1
DC．
求证：(1)MN∥AD
1
；
(2)M是AB的中点．









11．如图所 示，设三角形ABC的三个顶点在平面α的同侧，AA′⊥α于A′，BB′⊥α
于B′，CC′⊥α于 C′，G、G′分别是△ABC和△A′B′C′的重心，求证：GG′⊥α．







84

能力提升
12．如图，△ABC为正三角形，E C⊥平面ABC，DB⊥平面ABC，CE＝CA＝2BD，M
是EA的中点，N是EC的中点，
求证：平面DMN∥平面ABC．









13．如图所示，在直三棱柱ABC－A
1
B
1
C
1
中，AC⊥BC，AC＝BC＝CC
1
，M，N分别是A
1
B，B
1
C
1
的中点．
(1)求证：MN⊥平面A
1
BC；
(2)求直线BC
1
和平面A
1
BC所成的角的大小．








1．直线和平面垂直的性 质定理可以作为两条直线平行的判定定理，可以并入平行推导
链中，实现平行与垂直的相互转化，即线线 垂直?线面垂直?线线平行?线面平行．
2．“垂直于同一平面的两条直线互相平行”、“垂直于同一 直线的两个平面互相平行”
都是真命题．但“垂直于同一直线的两条直线互相平行”、“垂直于同一平面 的两个平面互
相平行”都是假命题．


2．3．3 直线与平面垂直的性质 答案


85

知识梳理
平行 a∥b
作业设计
1．B [由线面垂直的定义知B正确．]
2．C [①②③正确，④中n与面α可能有：n?α或n∥α或相交(包括n⊥α)．]
3．C [由于PG⊥平面α于G，PF⊥EF，
∴PG最短，PF∴有PG4．C [PA⊥平面ABC，得PA⊥BC，A正确；
又BC⊥AC，∴BC⊥面PAC，∴BC⊥PC，B、D均正确．
∴选C．]
5．B [由线线、线面垂直与平行的性质知②③正确，选B．]
6．C [设P在平面α内的射影为O，易证△PAO≌△PBO≌△PCO?AO＝BO＝CO．]
7．4
解析 由直线与平面垂直的性质定理知AB中点到α距离为以3和5为上、下底的直角
梯形的中位线的长．
8．①②③
解析 ①为直线与平面垂直的性质定理的应用，②为面面平行的性质，③为公理4的应
用．
9．6
解析 由题意知CO⊥AB，
∴CO⊥面ABD，∴CO⊥OD，
∴直角三角形为△CAO，△COB，△ACB，△AOD，△BOD，△COD．
10．证明 (1)∵ADD
1
A
1
为正方形，
∴AD
1
⊥A
1
D．
又∵CD⊥平面ADD
1
A
1
，∴CD⊥AD
1
．
∵A
1
D∩CD＝D，∴AD
1
⊥平面A
1
DC．
又∵MN⊥平面A
1
DC，
∴MN∥AD
1
．

(2)连接ON，在△A
1
DC中，
A
1
O＝OD，A
1
N＝NC．
11
∴ON綊CD綊AB，
22
∴ON∥AM．
又∵MN∥OA，
∴四边形AMNO为平行四边形，∴ON＝AM．

86

11
∵ON＝AB，∴AM＝AB，∴M是AB的中点．
22
11．证明

连接AG并延长交BC于D，连接A′G′并延长交B′C′于D′，连接DD′，由
AA′⊥α，BB′⊥α，CC′⊥α，得AA′∥BB′∥CC′．
∵D、D′分别为BC和B′C′的中点，
∴DD′∥CC′∥BB′，∴DD′∥AA′，
∵G、G′分别是△ABC和△A′B′C′的重心，
AG
A′G′
∴
＝，∴GG′∥AA′，
GD
G′D′
又∵AA′⊥α，∴GG′⊥α．
12．证明 ∵M、N分别是EA与EC的中点，∴MN∥AC，
又∵AC?平面ABC，MN?平面ABC，
∴MN∥平面ABC，
∵DB⊥平面ABC，EC⊥平面ABC，
∴BD∥EC，四边形BDEC为直角梯形，
∵N为EC中点，EC＝2BD，
∴NC綊BD，∴四边形BCND为矩形，
∴DN∥BC，
又∵DN?平面ABC，BC?平面ABC，
∴DN∥平面ABC，
又∵MN∩DN＝N，
∴平面DMN∥平面ABC．
13．

(1)证明 如图所示，由已知BC⊥AC，BC⊥CC
1
，得BC⊥平面ACC1
A
1
．
连接AC
1
，则BC⊥AC
1
．
由已知，可知侧面ACC
1
A
1
是正方形，所以A
1
C⊥AC
1
．
又BC∩A
1
C＝C，
所以AC
1
⊥平面A
1
BC．
因为侧面ABB
1
A
1
是正方形，M是A
1
B的中点，连接AB
1
， 则点M是AB
1
的中点．
又点N是B
1
C
1
的中 点，则MN是△AB
1
C
1
的中位线，所以MN∥AC
1
． 故MN⊥平面

87

A
1
BC．
(2)解 如图所示，因为AC
1
⊥平面A
1
BC，设AC
1
与A
1
C相交于点D，
连接BD，则∠C
1
BD为直线 BC
1
和平面A
1
BC所成的角．
2
a，BC
1
＝2a．
2
C
1
D1
在Rt△BDC
1
中，sin ∠C
1
BD＝
＝，
BC
1
2
设AC＝BC＝CC
1
＝a，则C
1
D＝
所以∠C
1
BD＝30°，
故直线BC
1
和平面A
1
BC所成的角为30°．

88

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2.3.4 平面与平面垂直的性质

【课时目标】 1．理 解平面与平面垂直的性质定理．2．能应用面面垂直的性质定理证
明空间中线、面的垂直关系．3．理解 线线垂直、线面垂直、面面垂直的内在联系．


1．平面与平面垂直的性质定理： 两个平面垂直，则一个平面内________于________的
直线与另一个平面垂直．
用符号表示为：α⊥β，α∩β＝l，a?α，a⊥l?________．
2．两个重要结论：
(1)如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二 个平面的直线在
________________________．
图形表示为：
符号表示为：α⊥β，A∈α，A∈a，a⊥β?________．
(2)已知平面α⊥平面β，a?α，a⊥β，那么________(a与α的位置关系)．


一、选择题
1．平面α⊥平面β，直线a∥α，则( )
A．a⊥β B．a∥β
C．a与β相交 D．以上都有可能
2．平面α∩平面β＝l，平面γ⊥α，γ⊥β，则( )
A．l∥γ B．l?γ
C．l与γ斜交 D．l⊥γ
3．若平面α与平面β不垂直，那么平面α内能与平面β垂直的直线有( )
A．0条 B．1条 C．2条 D．无数条
4．设α－l－β是直二面角，直线a?α，直线b?β，a，b与l都不垂直，那么( )
A．a与b可能垂直，但不可能平行
B．a与b可能垂直，也可能平行
C．a与b不可能垂直，但可能平行
D．a与b不可能垂直，也不可能平行
5．已知两个平面互相垂直，那么下列说法中正确的个数是( )
①一个平面内的直线必垂直于另一个平面内的无数条直线
②一个平面内垂直于这两个平面交线的直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线
③过一个平面内一点垂直于另一个平面的直线，垂足必落在交线上
④过一个平面内的任意一点作交线的垂线，则此直线必垂直于另一个平面
A．4 B．3 C．2 D．1
ππ
6．如图所示，平面α⊥ 平面β，A∈α，B∈β，AB与两平面α、β所成的角分别为和．过
46
A、B分别作两平面 交线的垂线，垂足分别为A′、B′，则AB∶A′B′等于( )

89

A．2∶1 B．3∶1 C．3∶2 D．4∶3
二、填空题
7．若α⊥β，α∩β＝l，点P∈α，PD∈l，则下列命题中正 确的为________．(只填序号)
①过P垂直于l的平面垂直于β；
②过P垂直于l的直线垂直于β；
③过P垂直于α的直线平行于β；
④过P垂直于β的直线在α内．
8．α、β、γ是两两垂直的三个平面，它们交于点O，空间 一点P到α、β、γ的距离分
别是2 cM、3 cM、6 cM，则点P到O的距离为________．
9．在斜三棱柱ABC－A
1
B1
C
1
中，∠BAC＝90°，BC
1
⊥AC，则点C
1
在底面ABC上的射
影H必在__________．
三、解答题
10．如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC．
求证：BC⊥AB．











11．如图所示，P是四边形ABCD所在平面外的一点， 四边形ABCD是∠DAB＝60°且
边长为a的菱形．侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面 ABCD．
(1)若G为AD边的中点，求证：BG⊥平面PAD；
(2)求证：AD⊥PB．











90

能力提升
12．如图所示，四棱锥P—ABCD的底面是边长为a的菱形，∠BCD＝120 °，平面PCD
⊥平面ABCD，PC＝a，PD＝2a，E为PA的中点．求证：平面EDB⊥平面A BCD．









13．如图所示，在多面体P—ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥DC，△PAD是等边三角形，已知BD＝2AD＝8，AB＝2DC＝45．
(1)设M是PC上的一点，
求证：平面MBD⊥平面PAD；
(2)求四棱锥P—ABCD的体积．








1．面面垂直的性质定理是判断线面垂直的又一重要定理，应用时应注意：
(1)两平面垂直；(2)直线必须在一个平面内；
(3)直线垂直于交线．
2．此定理另一应用：由一点向一个平面引垂线，确定垂足位置是求几何体高的依据．


2．3．4 平面与平面垂直的性质 答案

知识梳理
1．垂直 交线 a⊥β
2．(1)第一个平面内 a?α (2)a∥α
作业设计
1．D

91

2．D

[在γ面内取一点O，
作OE⊥m，OF⊥n，
由于β⊥γ，γ∩β＝m，
所以OE⊥面β，所以OE⊥l，
同理OF⊥l，OE∩OF＝O，
所以l⊥γ．]
3．A [若存在1条，则α⊥β，与已知矛盾．]
4．C 5．B
6．A

[如图：
由已知得AA′⊥面β，
π
∠ABA′＝
，
6
π
BB′⊥面α，∠BAB′＝
，
4
32
设AB＝a，则BA′＝
a，BB′＝a，
22
1AB2
在Rt△BA′B′中，A′B′＝
a，∴
＝．]
2
A′B′
1
7．①③④
解析 由性质定理知②错误．
8．7 cm
解析 P到O的距离恰好为以2 cm,3 cm,6 cm为长、宽、高的长方体的对角线的长．
9．直线AB上
解析 由AC⊥BC
1
，AC⊥AB，
得AC⊥面ABC
1
，又AC?面ABC，
∴面ABC
1
⊥面ABC．
∴C
1
在面ABC上的射影H必在交线AB上．
10．证明
在平面PAB内，作AD⊥PB于D．
∵平面PAB⊥平面PBC，

92

且平面PAB∩平面PBC＝PB．
∴AD⊥平面PBC．
又BC?平面PBC，
∴AD⊥BC．
又∵PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，
∴PA⊥BC，∴BC⊥平面PAB．
又AB?平面PAB，∴BC⊥AB．
11．证明

(1)连接PG，由题知△PAD为正三角形，G是AD的中点，
∴PG⊥AD．
又平面PAD⊥平面ABCD，
∴PG⊥平面ABCD，∴PG⊥BG．
又∵四边形ABCD是菱形且∠DAB＝60°，∴BG⊥AD．
又AD∩PG＝G，∴BG⊥平面PAD．
(2)由(1)可知BG⊥AD，PG⊥AD．
所以AD⊥平面PBG，所以AD⊥PB．
12．证明 设AC∩BD＝O，
连接EO，
则EO∥PC．∵PC＝CD＝a，
PD＝2a，∴PC
2
＋CD
2
＝PD
2
，
∴PC⊥CD．
∵平面PCD⊥平面ABCD，CD为交线，
∴PC⊥平面ABCD，
∴EO⊥平面ABCD．
又EO?平面EDB，
∴平面EDB⊥平面ABCD．

13．(1)证明 在△ABD中，∵AD＝4，BD＝8，AB＝45，
∴AD
2
＋BD
2
＝AB
2
．∴AD⊥BD．

93

又∵面PAD⊥面ABCD，面PAD∩面ABCD＝AD，
BD?面ABCD，
∴BD⊥面PAD，又BD?面BDM，∴面MBD⊥面PAD．
(2)解
过P作PO⊥AD，
∵面PAD⊥面ABCD，
∴PO⊥面ABCD，
即PO为四棱锥P—ABCD的高．
又△PAD是边长为4的等边三角形，
∴PO＝23．
在底面四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝2DC，
∴四边形ABCD为梯形．
4×8
85
在Rt△ADB中，斜边AB边上的高为＝，
5
45
此即为梯形的高．
∴S
四边形ABCD
＝
25＋45
85
×
＝24．
25

1
∴V
P—ABCD
＝×24×23＝163．
3


94

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第三章 直线与方程
§3.1 直线的倾斜角与斜率
3.1.1 倾斜角与斜率

【课时目标】 1．理解直线的倾斜角和斜率的概念．2．掌握求直线斜率的 两种方法．3．了
解在平面直角坐标系中确定一条直线的几何要素．

1．倾斜角与斜率的概念

倾
斜
角
斜
率

表示或记法
α
k＝tan α
定义
当直线l与 x轴________时，我们取________作为基准，x轴________与
直线l____ ____________之间所成的角叫做直线l的倾斜角．当直线l与x
轴平行或重合时，我们规定 它的倾斜角为0°
直线l的倾斜角α(α≠90°)的____________
2．倾斜角与斜率的对应关系
图示

倾斜角
(范围)
斜率
(范围)

α＝0°
0

0°<α<90°
大于0

α＝____
斜率不
存在

90°<α<180°
小于0
一、选择题
1．对于下列命题
①若α是直线l的倾斜角，则0°≤α<180°；
②若k是直线的斜率，则k∈R；
③任一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率；
④任一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角．
其中正确命题的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
2．斜率为2的直线经过点A(3,5)、B(a,7)、C(－1，b)三点，则a、b的值为( )
A．a＝4，b＝0 B．a＝－4，b＝－3
C．a＝4，b＝－3 D．a＝－4，b＝3
3．设直线l过坐 标原点，它的倾斜角为α，如果将l绕坐标原点按逆时针方向旋转45°，
得到直线l
1
，那么l
1
的倾斜角为( )
A．α＋45°
B．α－135°
C．135°－α
D．当0°≤α<135°时，倾斜角为α＋ 45°；当135°≤α<180°时，倾斜角为α－135°
4．直线l过原点(0,0)，且不过第三象限，那么l的倾斜角α的取值范围是( )
A．[0°，90°] B．[90°，180°)
C．[90°，180°)或α＝0° D．[90°，135°]

95

5．若图中直线l
1
、l
2
、l
3
的斜率分别为k
1
、k
2
、k
3
，则( )
A．k
1
2
3
B．k
3
1
2

C．k
3
2
1
D．k
1
3
2

6．直线mx＋ny－1＝0同时过第一、三、四象限的条件是( )
A．mn>0 B．mn<0
C．m>0，n<0 D．m<0，n<0

二、填空题
7．若直线AB与y轴的夹角为60°，则直线AB的倾斜角为________ ____，斜率为
____________．
8．如图，已知△ABC为等腰三角形，且底 边BC与x轴平行，则△ABC三边所在直线
的斜率之和为________．


9．已知直线l的倾斜角为α－20°，则α的取值范围是____________________ ____．

三、解答题
10．如图所示，菱形ABCD中，∠BAD＝60°， 求菱形ABCD各边和两条对角线所在直
线的倾斜角和斜率．








11．一条光线从点A(－1,3)射向x轴， 经过x轴上的点P反射后通过点B(3,1)，求P点
的坐标．












96

能力提升
y
12．已知实数x，y满足y＝－2x＋8，当2≤x≤3时，求的最大值和最小值．
x









f?a?f?b?f?c?
13．已知函数f(x)＝log
2
(x＋1)， a>b>c>0，则，，的大小关系是
abc
________________．


1．利用直线上两点确定直线的斜率，应从斜率存在、不存在两方面入手分类讨论，斜
率不存在的情况在解题中容易忽视，应引起注意．
2．三点共线问题：(1)已知三点A，B，C， 若直线AB，AC的斜率相同，则三点共线；
(2)三点共线问题也可利用线段相等来求，若|AB|＋ |BC|＝|AC|，也可断定A，B，C三点共线．
3．斜率公式的几何意义：在解题过程中，要注 意开发“数形”的转化功能，直线的倾
斜角与斜率反映了某一代数式的几何特征，利用这种特征来处理问 题更直观形象，会起到意
想不到的效果．


第三章 直线与方程
§3．1 直线的倾斜角与斜率
3．1．1 倾斜角与斜率
答案
知识梳理
1．相交 x轴 正向 向上方向 正切值
2．90°
作业设计
1．C [①②③正确．]
?
?
k
AC
＝2，
2．C [由题意，得
?
?
?
k
AB
＝2，
解得a＝4，b＝－3．]

＝2，
?
－1－3
?
即
?
7－5
＝2.
?
a－3
?
b－5


3．D [因为0°≤α<180° ，显然A，B，C未分类讨论，均不全面，不合题意．通过画
图(如图所示)可知：

97

当0°≤α<135°时，倾斜角为α＋45°；
当135°≤α<180°时，倾斜角为45°＋α－180°＝α－135°．]

4．C [倾斜角的取值范围为0°≤α<180°，直线过原点且不过第三象限，切勿忽略x轴
和y轴．]
5．D [由图可知，k
1
<0，k
2
>0，k
3
>0，
且l
2
比l
3
的倾斜角大．∴k
1
3
2
．]
m1m
6．C [由题意知，直线与x轴不垂直，故n≠0．直 线方程化为y＝－x＋
，则－
>0，
nnn
1
且
<0，即m >0，n<0．]
n
33
7．30°或150° 或－ 8．0
33
9．20°≤α<200°
解析 因为直线的倾斜角的范围是[0°，180°)，
所以0°≤α－20°<180°，解之可得20°≤α<200°．
10．解 α
AD
＝α
BC
＝60°，α
AB
＝α
DC
＝0°， α
AC
＝30°，α
BD
＝120°．
k
AD
＝ k
BC
＝3，k
AB
＝k
CD
＝0，k
AC
＝
11．解 设P(x,0)，则k
PA
＝
k
PB
＝3－0
3
，k
BD
＝－3．
3
3
＝－，
－1－x
x＋1
1－0
1
＝，依题意，
3－x3－x
由光的反射定律得k
PA
＝－k
PB
，
31
即＝，解得x＝2，即P(2,0)．
x＋13－x
12．解

y
y－0
＝其意义表示点(x，y)与原点连线的直线的斜率．
x
x－0
点(x，y)满足y＝－2x＋8，且2≤x≤3，则点(x，y)在线段AB上，并 且A、B两点的
2
坐标分别为A(2,4)，B(3,2)，如图所示．则k
OA＝2，k
OB
＝
．
3
y2
所以得的最大值为2，最小值为．
x3
f?c?f?b?f?a?
13．>>
cba

98

f?x?
解析 画出函数的草图如图，
可视为过原点直线的斜率．
x




99

【
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3.1.2 两条直线平行与垂直的判定

【课时目标】 1 ．能根据两条直线的斜率判定两条直线是否平行或垂直．2．能根据两
条直线平行或垂直的关系确定两条 直线斜率的关系．

1．两条直线平行与斜率的关系
(1)对于两条不重合的直线 l
1
，l
2
，其斜率分别为k
1
、k
2
， 有l
1
∥l
2
?________．
(2)如果直线l
1
、l
2
的斜率都不存在，并且l
1
与l
2
不重合， 那么它们都与________垂直，
故l
1
________l
2
．
2．两条直线垂直与斜率的关系
(1)如果直线l
1
、l
2< br>的斜率都存在，并且分别为k
1
、k
2
，那么l
1
⊥ l
2
?__________．
(2)如果两条直线l
1
、l2
中的一条斜率不存在，另一个斜率是零，那么l
1
与l
2
的位 置关系
是________．



一、选择题
1．有以下几种说法：(l
1
、l
2
不重合)
①若直线l
1
，l
2
都有斜率且斜率相等，则l
1
∥l
2；
②若直线l
1
⊥l
2
，则它们的斜率互为负倒数；
③两条直线的倾斜角相等，则这两条直线平行；
④只有斜率相等的两条直线才一定平行．
以上说法中正确的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．0
2．以A(－1,1)、B(2，－1)、C(1,4)为顶点的三角形是( )
A．锐角三角形
B．钝角三角形
C．以A点为直角顶点的直角三角形
D．以B点为直角顶点的直角三角形
3．已知A(1,2)，B(m,1)，直线AB与直线y＝0垂直，则m的值( )
A．2 B．1 C．0 D．－1
4．已知A (m,3)，B(2m，m＋4)，C(m＋1,2)，D(1,0)，且直线AB与直线CD平行，则m
的值为( )
A．1 B．0 C．0或2 D．0或1 5．若直线l
1
、l
2
的倾斜角分别为α
1
、α
2
，且l
1
⊥l
2
，则有( )
A．α
1
－α
2
＝90° B．α
2
－α
1
＝90°
C．|α
2
－α
1
|＝90° D．α
1
＋α
2
＝180°
6．顺次连接A(－4,3)，B(2,5)，C(6,3)，D(－3,0)所构成的图形是( )
A．平行四边形 B．直角梯形
C．等腰梯形 D．以上都不对

二、填空题
7．如果直线l
1
的斜率为a，l
1
⊥l
2
，则直线l
2
的斜率为________． 8．直线l
1
，l
2
的斜率k
1
，k
2
是关于k的方程2k
2
－3k－b＝0的两根，若l
1
⊥l
2，则b＝
________；若l
1
∥l
2
，则b＝_____ ___．

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