高中数学 必修二 第二章 2.1 2.1.2课后习题

第二章 2.1 2.1.2
基础巩固
一、选择题
1．异面直线是指( )
A．空间中两条不相交的直线
B．分别位于两个不同平面内的两条直线
C．平面内的一条直线与平面外的一条直线
D．不同在任何一个平面内的两条直线
[答案] D
[解析] 对于A，空间两条不相交的直线有两种可能，一是平行(共
面)，另一个是异面．∴A应排除．
对于B，分别位于两个平面内的直线，既可能平行也可能相交也可
异面，如右图，就是相交的情况，∴ B应排除．
对于C，如右图的a，b可看作是平面α内的一条直线a与平面α外的一条直线b，显然它们是相交直线，∴C应排除．只有D符合定义．∴应选D．
规律总结：解答这类立体几何的命 题的真假判定问题，一方面要熟练掌握立体几何
中的有关概念和公理、定理；另一方面要善于寻找特例， 构造相关特例模型，能快速、有效
地排除相关的选择项．
2．正方体ABCD－A
1
B
1
C
1
D
1
中，与对角线AC
1
异面的棱有( )
A．3条
C．6条
[答案] C
[解析] 画一个正方体，不难得出有6条．
3．若a、b是异面直线，b、c是异面直线，则( )
A．a∥c
C．a、c相交
[答案] D
[解析] a、b、c的位置关系有下面三种情况，如图所示，由图形分析可得答案为D．
B．a、c是异面直线
D．a、c平行或相交或异面
B．4条
D．8条

4．空间两个角α、β的两边对应平行，若α＝60°，则β为( )
A．60°
C．30°
[答案] D
[解析] 由等角定理知α、β相等或互补．
所以β＝60°或120°.
5．空间四边形ABCD中，E、F分别为AC、BD中点，若 CD＝2AB，EF⊥AB，则EF
与CD所成的角为( )
A．30°
C．60°
[答案] A
[解析] 取AD的中点H，连FH、EH，在△EFH中 ∠EFH＝90°，
B．45°
D．90°
B．120°
D．60°或120°

HE＝2HF，从而∠FEH＝30°，
故选A．
6．下列命题中，正确的结论有( )
①如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那 么这两个角相等；②如果两条相交
直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角 )相等；③如果一个角
的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补；④如果两条直线同 时平行于
第三条直线，那么这两条直线互相平行．
A．1个
C．3个
[答案] B
[解析] ②④是正确的．
二、填空题
7．如图所示，在三棱锥P－ABC的六条棱所在的直线中，异面直线共有________对．
B．2个
D．4个

[答案] 3
[解析] AP与BC异面、BP与AC异面、PC与AB异面．
8 ．如图所示，六棱柱ABCDEF－A
1
B
1
C
1
D
1
E
1
F
1
中，底面是正六边形．

(1)A
1
F
1
与BD所成角的度数为________.
(2)C
1
F
1
与BE所成角的度数为________.
[答案] 30° 60°
三、解答题
9．如图，正方体ABCD－A
1
B
1
C
1
D
1
中，E，F，G分别是棱CC
1
，BB
1
，DD
1
中点．

求证：∠BGC＝∠FD
1
E.
[分析]
利用平行公理证明两角对应的边平行，再利用等角定理证明两角相等．
[解析] 因为E，F ，G分别是正方体的棱CC
1
，BB
1
，DD
1
的中点，所 以CE綊GD
1
，
BF綊GD
1
.所以四边形CED
1G与四边形BFD
1
G均为平行四边形．所以GC∥D
1
E，GB∥D< br>1
F.
因为∠BGC与∠FD
1
E的方向相同，所以∠BGC＝∠FD
1
E.
10．如图，等腰直角三角形ABC中，∠A＝90°，BC＝2，DA⊥A C，DA⊥AB，若DA
＝1，且E为DA的中点．求异面直线BE与CD所成角的余弦值．

[分析] 根据异面直线所成角的定义，我们可以选择适当的点，分别引BE与DC的平
行线， 换句话说，平移BE(或CD)．设想平移CD，沿着DA的方向，使D移向E，则C移

向AC的中点F，这样BE与CD所成的角即为∠BEF或其补角，解△EFB即可获解．
[解析] 取AC的中点F，连接BF、EF，在△ACD中，E、F分别是AD、AC的中点，
∴EF∥CD，
∴∠BEF即为所求的异面直线BE与CD所成的角(或其补角)．
115
在Rt△EAB中，AB＝1，AE＝AD＝，∴BE＝.
222
1112
在Rt△AEF中，AF＝AC＝，AE＝，∴EF＝.
2222
15
在Rt△ABF中，AB＝1，AF＝，∴BF＝.
2212
EF
24
10
在等腰△EBF中，cos∠FEB＝＝＝，
BE
5
10
2
∴异面直线BE与CD所成角的余弦值为
10
.
10
能力提升
一、选择题
1．分别和两条异面直线都相交的两条直线的位置关系是( )
A．异面
C．平行
[答案] D
[解析] 如图所示，a、b是异面直线，AB、AC都 与a、b相交，AB、
AC相交；AB、DE都与a、b相交，AB、DE异面．
2．已知a、b、c均是直线，则下列命题中，必成立的是( )
A．若a⊥b，b⊥c，则a⊥c
B．若a与b相交，b与c相交，则a与c也相交
C．若a∥b，b∥c，则a∥c
D．若a与b异面，b与c异面，则a与c也是异面直线
[答案] C
[解析] 由平行公理可知C正确，而其他可举反例说明错误．
3．空间四边形的对角线互相垂直且相等，顺次连接这个四边形各边中点，所组成的四
边形是( )
B．相交
D．异面或相交

A．梯形
C．平行四边形
[答案] D
B．矩形
D．正方形
[解析] ∵E、F、G、H分别为中点，如图．
1
∴FG綊EH綊BD，
2
1
HG綊EF綊AC，
2
又∵BD⊥AC且BD＝AC，
∴FG⊥HG且FG＝HG，∴四边形EFGH为正方形．
4．点E、F分别是三棱锥P－A BC的棱AP、BC的中点，AB＝6，PC＝8，EF＝5，则
异面直线AB与PC所成的角为( )
A．60°
C．30°
[答案] D
[解析] 如图，取PB的中点G，连结EG、FG，则
11
EG綊AB，GF綊PC，则∠EGF(或 其补角)即为AB与PC所成的
22
11
角，在△EFG中，EG＝AB＝3，FG＝ PC＝4，EF＝5，所以∠EGF＝
22
90°.
二、填空题
5．如图 正方体ABCD－A
1
B
1
C
1
D
1
中， 与AD
1
异面且与AD
1
所成的角为90°的面对角线(面
对角线是 指正方体各个面上的对角线)共有________条．
B．45°
D．90°

[答案] 1
[解析] 与AD
1
异面的面对角线分别为：A
1< br>C
1
，B
1
C，BD，BA
1
，C
1
D，其中只有B
1
C
和AD
1
所成的角为90°.
6． 如图所示，E、F、G、H分别是空间四边形ABCD各边AB、BC、CD、DA的中点，
若BD＝2 ，AC＝4，则四边形EFGH的周长为________.

[答案] 6
[解析]

1
EH綊BD
2
?
1
?EH＝FG＝BD＝1，
?
2
1
FG綊BD
?
2
1
同理EF＝GH＝AC＝ 2，
2
∴四边形EFGH的周长为6.
三、解答题
7．如图，在空间四 边形ABCD中，AD＝BC＝2，E、F分别是AB、CD的中点，若EF
＝3，求异面直线AD、B C所成角的大小．

[解析] 如图，取BD的中点M，连接EM、FM.
11
因为E、F分别是AB、CD的中点，所以EM綊AD，FM綊BC，则∠EMF或其补角就< br>22
是异面直线AD、BC所成的角．
AD＝BC＝2，所以EM＝MF＝1，
在等腰△MEF中，过点M，作MH⊥EF于H，
13
在Rt△MHE中，EM＝1，EH＝EF＝，
22
则sin∠EMH＝
3
，于是∠EMH＝60°，
2

则∠EMF＝2∠FMH＝120°.
所以异面直线AD、BC所成的角为∠EMF的补角，即异面直线AD、BC所成的角为60°. 8．如图，两个三角形ABC和A′B′C′的对应顶点的连线AA′，BB′，CC′交于
同一点 O，且
AOBOCO2
＝＝＝.
OA′OB′OC′
3
(1)求证 ：AB∥A′B′，AC∥A′C′，BC∥B′C′；
(2)求的值．
S
△A
′
B
′
C
′
S
△
ABC
[ 分析]
用平面几何知识可以证明两条直线平行；用等角定理可以证明两个角相等，从而可以证
明两个三角形相似．
AOBO2
[解析] (1)证明：因为AA′与BB′交于点O，且 ＝＝，所以AB∥A′B′.
OA′OB′
3
同理AC∥A′C′，BC∥B′C′.
(2)解：因为A′B′∥AB，AC∥A′C′，且AB和A′B′，AC和A′C′方向相反．
所以∠BAC＝∠B′A′C′.同理∠ABC＝∠A′B′C′，所以△ABC∽△A′B′C′，
且
ABAO2
＝＝.
A′B′OA′
3
S
△ABC
24
所以＝()
2
＝.
9
S
△
A
′
B
′
C
′
3
[点评] 空间等角定理是空间 几何体中衡量角的关系的依据，考查时方向有二：一是直
接利用定理判断角的关系；二是利用角的相等证 明三角形相似．解答时要注意角的两边是否
平行及角的方向，其中方向容易被忽略，证明时要特别注意回 答时要作出说明．