高中数学 必修二 第二章 2.2 2.2.1课后习题

第二章 2.2 2.2.1
基础巩固
一、选择题
1．圆台的底面内的任意一条直径与另一个底面的位置关系是( )
A．平行 B．相交
C．在平面内 D．不确定
[答案] A
[解析] 圆台底面内的任意一条直径与另一个底面无公共点，则它们平行．
2．直线a、b是异面直线，直线a和平面α平行，则直线b和平面α的位置关系是(
A．b?α B．b∥α
C．b与α相交 D．以上都有可能
[答案] D
[解析] 可构建模型来演示，三种位置关系都有可能．
3．a∥b，且a与平面α相交，那么直线b与平面α的位置关系是( )
A．必相交 B．有可能平行
C．相交或平行 D．相交或在平面内
[答案] A
4．下列命题：
①如果一条直线不在平面内，则这条直线就与这个平面平行；
②过直线外一点，可以作无数个平面与这条直线平行；
③如果一条直线与平面平行，则它与平面内的任何直线平行．
其中正确命题的个数为( )
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
[答案] B
[解析] 只有②正确．
5．在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB和BC上的点，若AEEB＝CFFB ＝
则对角线AC和平面DEF的位置关系是( )
A．平行 B．相交
C．在平面内 D．异面
[答案] A
[解析] 如右图，由
AE
EB
＝
CF
FB
，

)
，

得AC∥EF.
又EF?平面DEF，AC?平面DEF，
∴AC∥平面DEF.
6．(2015 ·辽宁铁岭高一下学期测试)下列四个正方体图形中，A、B为正方体的两个顶点，
M、N、P分别为其 所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形的序号是( )

A．①③
C．①③
[答案] B
[解析] 对于选项①，取NP中点G，由三角形中位线 性质易证：MG∥AB，故①正确；
对于选项④，易证NP∥AB，故选B．
二、填空题 < br>7．过三棱柱ABC－A
1
B
1
C
1
的任意两条棱的 中点作直线，其中与平面ABB
1
A
1
平行的有
________条 ．
[答案] 6
[解析] 如图：
B．①④
D．②④
< br>DD
1
、EE
1
、DE、D
1
E
1
、DE
1
、ED
1
都平行于面ABB
1
A
1
.
8．如图，在正方体ABCD－A
1
B
1
C
1
D
1
中，M是A
1
D
1
的中点，则直线MD与平面A1
ACC
1
的位置关系是________.直线MD与平面BCC
1< br>B
1
的位置关系是________.

[答案] 相交 平行
[解析] 因为M是A
1
D
1< br>的中点，所以直线DM与直线AA
1
相交，所以DM与平面A
1
ACC
1
有一个公共点，所以DM与平面A
1
ACC
1
相交． < br>取B
1
C
1
中点M
1
，MM
1
綊C
1
D
1
，C
1
D
1
綊CD，
∴四边形DMM
1
C为平行四边形，∴DM綊CM
1
，
∴DM∥平面BCC
1
B
1
.
三、解答题
9． 如图所示，在正方体ABCD－A
1
B
1
C
1
D
1
中，S，E，G分别是B
1
D
1
，BC，SC的中点．求
证 ：直线EG∥平面BDD
1
B
1
.

[证明] 如图所示，连接SB
．

∵E，G分别是BC，SC的中点，
∴EG∥SB
．

又∵SB?平面BDD
1
B
1
，
EG?平面BDD
1
B
1
，
∴直线EG∥平面BDD
1
B
1
.
10．(2009·山 东高考改编)如图，在直四棱柱ABCD－A
1
B
1
C
1
D
1
中，底面ABCD为等腰
梯形，AB∥CD，E，E
1
分别是棱A D，AA
1
的中点，设F是棱AB的中点，证明：直线EE
1
∥平面FCC< br>1
.

[证明] 如下图，取A
1
B
1
的中点为F
1
.

连接FF
1
，C
1
F
1
，
由于FF
1
∥BB
1
∥CC
1
，
所以F
1
∈平面FCC
1
，
因此平面FCC
1
即为平面C
1
CFF
1
. 连接A
1
D，F
1
C，由于A
1
F
1
綊D
1
C
1
綊DC，
所以四边形A
1
DCF
1
为平行四边形，
因此A
1
D∥F
1
C
．

又EE
1
∥A
1
D，得EE
1
∥F
1
C
．

而EE
1
?平面FCC
1
，F
1
C?平面FC C
1
.
故EE
1
∥平面FCC
1
.
能力提升
一、选择题
1．与两个相交平面的交线平行的直线和这两个平面的位置关系是( )
A．平行
C．在这两个平面内
[答案] D
[解析] 与两个相交平面的交线平行的直线 与这两个平面的位置关系只有两种：一是在
这两个平面的某一个平面内；二是与这两个平面都平行． < br>2．如图所示，P为矩形ABCD所在平面外一点，矩形对角线交点为O，M为PB的中
点，给出 五个结论：①OM∥PD；②OM∥平面PCD；③OM∥平面PDA；④OM∥平面PBA；
⑤OM∥ 平面PBC
．
其中正确的个数有( )
B．都相交
D．至少和其中一个平行

A．1
C．3
B．2
D．4

[答案] C
[解析] 矩 形ABCD的对角线AC与BD交于O点，所以O为BD的中点．在△PBD中，
M是PB的中点，所以 OM是中位线，OM∥PD，则OM∥平面PCD，且OM∥平面PDA
．
因
为M∈P B，所以OM与平面PBA、平面PBC相交．
3.在长方体ABCD－A′B′C′D′中，下列直线与平面AD′C平行的是( )

A．DD′
C．C′D′
[答案] B
[解析] ∵A′B∥CD′，∴A′B∥平面AD′C
．

4．(2009·江西，5分)
如图，在四面体ABCD中，若截面PQMN是正方形，则在下列结论中错误的为( )
B．A′B
D．BB′

A．AC⊥BD；
B．AC∥截面PQMN；
C．AC＝BD；
D．异面直线PM与BD所成的角为45°.
[答案] C
[解析] 依题意得M N∥PQ，MN∥平面ABC，又MN、AC?平面ACD，且MN与AC
无公共点，因此有MN∥AC ，AC∥平面MNPQ.同理，BD∥PN.又截面MNPQ是正方形，因
此有AC⊥BD，直线PM与 BD所成的角是45°.综上所述，其中错误的是C，选C．
二、填空题
5．在四面体A－ BCD中，M、N分别是△ACD、△BCD的重心，则四面体的四个面中
与MN平行的是______ __.
[答案] 面ABD与面ABC
[解析] MN∥AB
．

6．如下图(1)，已知正方形ABCD，E，F分别是 AB，CD的中点，将△ADE沿DE折
起，如图(2)所示，则BF与平面ADE的位置关系是___ _____.

[答案] 平行
[解析] ∵E，F分别为AB，CD的中点，∴EB＝FD
．

又∵EB∥FD，
∴四边形EBFD为平行四边形，∴BF∥ED
．

∵DE?平面ADE，而BF?平面ADE，
∴BF∥平面ADE.
三、解答题
7．在如图所示的几何体中△ABC是任意三角形，AE∥CD，且AE＝AB＝2a，CD＝a，F为BE的中点，求证：DF∥平面ABC
．


1
[证明] 取AB中点G，连接FG，CG，则由题意可知FG綊AE，又
2
1
CD綊AE，
2
故FG綊CD，所以四边形CDFG为平行四边形，从而DF∥CG.
又∵DF?平面ABC，CG?平面ABC，∴DF∥平面ABC
．

8．如 图，正方体ABCD－A
1
B
1
C
1
D
1
中，点N在BD上，点M在B
1
C上，且CM＝DN，
求证：MN∥平面AA
1
B
1
B
．


[证明] 证法一：如图，作ME∥BC交B
1
B于E，作NF∥AD交AB于F，连接EF，则

EF?平面AA
1
B
1
B
．


MEB
1
MNFBN
∴＝，＝.
BCB
1
CAD BD
∵在正方体ABCD－A
1
B
1
C
1
D
1
中，CM＝DN，
∴B
1
M＝BN.
又∵B
1
M＝BN.
MEBNNF
又∵B
1
C＝BD，∴＝＝.
BCBDAD
∴ME＝NF.
又ME∥BC∥AD∥NF，
∴四边形MEFN为平行四边形．
∴MN∥EF，∴MN∥平面AA
1
B
1
B
．

证法二：如图，连接CN并延长交BA所在直线于点P，连接B
1
P.

则B
1
P?平面AA
1
B
1
B
．

DNCN
∵△NDC∽△NBP，∴＝.
NBNP
CMDNCN
又CM＝DN，B
1
C＝BD，∴＝＝.
MB
1
NBNP
∴MN∥B
1
P.
∵B
1
P?平面AA
1
B
1
B，∴MN∥平面AA
1
B
1
B
．

[探究] 欲利用判定定理证明线面平行，就是根据条件在 已知平面内去寻找“目标直
线”，从而找到构成平行关系的桥梁来完成过渡，寻找方法一是将线段平移到 已知平面内；

寻找方法二是通过一点作为投影中心，作出该直线在平面内的投影．