数学必修二练习题及答案

（数学2必修）第一章 空间几何体
[基础训练A组]
一、选择题
1．有一个几何体的三视图如下图所示，这个几何体应是一个( )
A.棱台 B.棱锥 C.棱柱 D.都不对








主视图 左视图 俯视图
2．棱长都是
1
的三棱锥的表面积为（ ）
A.
3
B.
23
C.
33
D.
43

3．长方体的一个顶点上三条棱长分别是
3,4,5
， 且它的
8
个顶点都在
同一球面上，则这个球的表面积是（ ）
A．
25
?
B．
50
?
C．
125
?
D．都不对
4．正方体的内切球和外接球的半径之比为（ ）
A．
3:1
B．
3:2
C．
2:3
D．
3:3

0
5．在△ABC中，
AB?2,BC?1.5,?ABC?120
,
若使之绕 直线
BC
旋转一周，
则所形成的几何体的体积是（ ）
A.
9753
?
B.
?
C.
?
D.
?

2222
6．底面是菱形 的棱柱其侧棱垂直于底面，且侧棱长为
5
，它的对角线的长
分别是
9
和
15
，则这个棱柱的侧面积是（ ）
A．
130
B．
140
C．
150
D．
160

二、填空题
1．一个棱柱至少有 _____个面，面数最少的一个棱锥有 ________个顶点，
顶点最少的一个棱台有 ________条侧棱。
2．若三个球的表面积之比是
1:2:3
，则它们的体积之比是_____________。
3．正方体
AB CD?A
1
B
1
C
1
D
1

中，
O
是上底面
ABCD
中心，若正方体的棱长为
a
，
则三棱锥
O?AB
1
D
1
的体积为_____________。
4．如图，
E,F
分别为正方体的面
ADD
1
A
1
、面
BCC
1
B
1
的中心，则四边形
BFD
1
E
在该正方体的面上的射影可能是____________。 < br>5．已知一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是
2
、
3
、
6
，这个
长方体的对角线长是___________；若长方体的共顶点的三个侧面面积 分别
为
3,5,15
，则它的体积为___________.
三、解答题
1．养路处建造圆锥形仓库用于贮藏食盐（供融化高速公路上的积雪之用），

已 建的仓库的底面直径为
12M
，高
4M
，养路处拟建一个更大的圆锥形仓库， 以存放更多
食盐，现有两种方案：一是新建的仓库的底面直径比原来大
4M
（高不变） ；二是高度增加
4M
(底面直径不变)。
（1） 分别计算按这两种方案所建的仓库的体积；
（2） 分别计算按这两种方案所建的仓库的表面积；
（3） 哪个方案更经济些？










2．将圆心角为
120
，面积为
3
?
的扇形，作为圆锥的侧面，求圆锥的表面积和体积
0



.

（数学2必修）第一章 空间几何体
[综合训练B组]
一、选择题
1．如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底面为
45
，
腰和上底均为
1
的等腰梯形，那么原平面图形的面积是（ ）
0
A．
2?
C．
2
B．
1?2

2
2?2
D．
1?2

2
2．半径为
R
的半圆卷成一个圆锥，则它的体积为（ ）
A．
3355
?
R
3
B．
?
R
3
C．
?
R
3
D．
?
R
3

248248
3．一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长为
2cm
，
则球的表面积是（ ）
Ａ．
8
?
cm
Ｂ．
12
?
cm
2

22

2

Ｃ．
16
?
cm
Ｄ．
20
?
cm

4．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的
3
倍，母线长为
3
，
圆台的侧面积为
84
?
，则圆台较小底面的半径为（ ）
A．
7
Ｂ．
6
Ｃ．
5
Ｄ．
3

5．棱台上、下底面面积之比为
1:9
,则棱台的中截面分棱台成
两部分的体积之比是( )
A．
1:7
Ｂ．
2:7
Ｃ．
7:19
Ｄ．
5:16

6．如图，在多面体
ABCDEF
中，已知平面ABCD
是
边长为
3
的正方形，
EFAB
,
E F?
3
,且
EF
与平面
2
EF
C
B
ABCD
的距离为
2
，则该多面体的体积为（ ）
9
A． Ｂ．
5

2
15
Ｃ．
6
Ｄ．
2
D
A
二、填空题
1．圆台的较小底面半径为
1
，母线长为
2
，一条母线和底面的一条半径有交点且成
60
,
则圆台的侧面积为____________。
2．
Rt?ABC
中，AB?3,BC?4,AC?5
，将三角形绕直角边
AB
旋转一周所成
的几何体的体积为____________。
3．等体积的球和正方体,它们的表面积的 大小关系是
S
球
___
S
正方体

4．若长方体的 一个顶点上的三条棱的长分别为
3,4,5
，从长方体的一条对角线的一个
端点出发,沿表面运动到另一个端点,其最短路程是______________。
5． 图（1）为长方体积木块堆成的几何体的三视图，此几何体共由________块木块堆成;
图（2）中的三视图表示的实物为_____________。


0
图（1）

6．若圆锥的表面积为
a
平方米，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面的
直径为_______________。
三、解答题
1.有一个正四棱台形状的 油槽，可以装油
190L
，假如它的两底面边长分别等于
60cm
和
40cm
，求它的深度为多少
cm
？



















2．已知圆台的上下底面半径分别是
2,5
,且侧面面积等于两底面面积之和,
求该圆台的母线长.




.

（数学2必修）第一章 空间几何体
[提高训练C组]
一、选择题
1．下图是由哪个平面图形旋转得到的（ ）






A B C D
2．过圆锥的高的三等分点作平行于底面的截面，它们把圆锥侧面分成的三部分
的面积之比为（ ）
A.
1:2:3
B.
1:3:5

C.
1:2:4
D.
1:3:9

3．在棱长为
1
的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方形，
则截去
8
个三棱锥后 ，剩下的几何体的体积是（ ）
2
B.
3
4
C. D.
5
A.
7

6
5

6
4．已知圆柱与圆锥的底面积相等，高也相等，它们的体积
分别为
V1
和
V
2
，则
V
1
:V
2
?
（ ）
A.
1:3
B.
1:1

C.
2:1
D.
3:1

5．如果两个球的体积之比为
8:27
,那么两个球的表面积之比为( )
A.
8:27
B.
2:3

C.
4:9
D.
2:9

6．有一个几何体的三视图及其尺 寸如下（单位
cm
），则该几何体的表面积及体积为：
5
6


A.
24
?
cm
，
12
?
cm
B.
15
?
cm
，
12
?
cm
C.
24
?
cm
，
36
?
cm
D. 以上都不正确
22
2222



二、填空题
1. 若圆锥的表面积是
15
?
，侧面展开图的圆心角 是
60
，则圆锥的体积是_______。
2.一个半球的全面积为
Q
，一个圆柱与此半球等底等体积，则这个圆柱的全面积是 .
3．球的半径扩大为原来的
2
倍,它的体积扩大为原来的 _________ 倍.
4．一个直径为
32
厘米的圆柱形水桶中放入一个铁球，球全部没入水中后，水 面升高
9
厘米
则此球的半径为_________厘米.
5．已知棱台的上 下底面面积分别为
4,16
，高为
3
,则该棱台的体积为_________ __。


0

三、解答题
1. （如图）在底半 径为
2
，母线长为
4
的圆锥中内接一个高为
3
的圆柱，
求圆柱的表面积








2．如图，在四边形
ABCD
中，
?DAB?90
，?ADC?135
，
AB?5
，
CD?22
，
AD?2
，求四边形
ABCD
绕
AD
旋转一周所成几何体的表面积及体积.

00

数学2（必修）第一章 空间几何体 [基础训练A组]
一、选择题
1. A 从俯视图来看，上、下底面都是正方形，但是大小不一样，可以判断是棱台
2.A 因为四个面是全等的正三角形，则
S
表面积
?4S
底面 积
?4?
3.B 长方体的对角线是球的直径，
3
?3
4
l?3
2
?4
2
?5
2
?52,2R?52 ,R?
52
,S?4
?
R
2
?50
?

2
4.D 正方体的棱长是内切球的直径，正方体的对角线是外接球的直径，设棱长是
a

a3a
,3a?2r
外接球
，r
外接球
?,r
内切球
：r
外接球
?1：3

22
13
5.D
V?V< br>大圆锥
?V
小圆锥
?
?
r
2
(1?1.5? 1)?
?

32
222222
6.D 设底面边长是
a
，底面的两条对角线分别为
l
1
,l
2
，而
l1
?15?5,l
2
?9?5,


a?2 r
内切球
，r
内切球
?
222
22222
而
l
1
?l
2
?4a,
即
15?5?9?5?4a,a?8 ,S
侧面积
?ch?4?8?5?160

二、填空题
1.
5,4,3
符合条件的几何体分别是：三棱柱，三棱锥，三棱台
333333
2.
1:22:33

r
1
:r< br>2
:r
3
?1:2:3,r
1
:r
2
:r< br>3
?1:(2):(3)?1:22:33

3.
1
3
a
画出正方体，平面
AB
1
D
1
与对角线
A
1
C
的交点是对角线的三等分点，
6
311331
3
a,V?Sh???2a
2
??a
三棱锥
O?AB
1
D
1
的高
h?
333436
或：三棱锥
O?AB
1
D
1
也可以看成三棱锥
A?OB
1D
1
，显然它的高为
AO
，等腰三
角形
OB
1
D
1
为底面。
2,bc?3,ac?6,
则
abc?6,c?3,a?2,c?1

4. 平行四边形或线段
5．
6
设
ab?
l?3?2?1?6

2
15
设ab?3,bc?5,ac?15
则
(abc)?225,V?abc?15

三、解答题
1．解：（1）如果按方案一，仓库的底面直径变成
16M
,则仓库的体积
11256
?
16
?
V
1
?Sh??
?
?
??
?4?
?
(M
3
)

333
?
2
?
如果按方案二，仓库的高变成
8M
，则仓库的体积
11288
?
12
?
V
2
?Sh??
?
?
??
?8?
?
(M
3
)

333
?
2
?
（2）如果按方案一，仓库的底面直径变成
16M
,半径为< br>8M
.
棱锥的母线长为
l?8?4?45

则仓库的表面积
S
1
?
?
?8?45?325
?
(M)

如果按方案二，仓库的高变成
8M
.
棱锥的母线长为
l?8?6?10
则仓库的表面积
22
2
22
2
2
S
2
?
?
?6?10?60
?
(M
2
)

S
2
?S
1

?
方案二比方案一更加经济

2.

解：设扇形的半径和圆锥的母线都为
l
，圆锥的半径为
r
，则
120
2
2
?

?
l?3
?
,l?3
；
?3?2
?
r,r?1
；
3603
（3）
QV
2
?V
1
，

S
表面积
?S
侧面
?S
底面
?
?
rl?
?
r?4
?
,


V?< br>2
1122
Sh??
?
?1
2
?22?
?< br>
333
第一章 空间几何体 [综合训练B组]
一、选择题
1
(1?2?1)?2?2?2

2
R3R13
,V??
r
2
h?
?
R
3
2.A
2
?
r?
?
R,r?,h?
22324
3.B 正方体的顶点都在球面上，则球为正方体的外接球，则
23?2R
，
1.A 恢复后的原图形为一直角梯形
S?
2

R?3,S?4
?
R?12
?

4.A
S< br>侧面积
?
?
(r?3r)l?84
?
,r?7

5.C 中截面的面积为
4
个单位，
V
1
1?2?47
??

V
2
4?6?919
6.D 过点
E,F
作底面的垂面，得两个体积相等的四棱锥和一个三棱柱，
131315
V?2???3?2??3?2??

34222
二、填空题
1.
6
?
画出圆台，则r
1
?1,r
2
?2,l?2,S
圆台侧面
?
?
(r
1
?r
2
)l?6
?

2.
16
?
旋转一周所成的几何体是以
BC
为半径，以
AB
为高的圆锥，
11
33
43V
33
3.
?
设
V?
?
R?a,a?
3
V,R?
3
，
34
?

V?
?
r
2
h?
?
?4
2
?3?16
?


S
正
?6a?6V?
22
2
3
2
3
216 V
2
,S
球
?4
?
R
2
?
336
?
V
2
?
3
216V
2

22
4.
74
从长方体的一条对角线的一个端点出发,沿表面运动到另一个端点,有两种方案

4?(3?5)?80,或5?(3?4)?74

5.（1）
4
（2）圆锥
23
?
a
设圆锥的底面的半径为
r
，圆锥的母线为
l
，则由
?
l?2
?
r
得
l?2r
，
3
?
a3
?
a
23
?
a
2
2
?
而
S
圆锥表
?
?
r?
?
r?2r?a
，即
3
?
r?a,r?< br>，即直径为
3
?
3
?
3
?
6．
三、解答题
13V
(S?SS
'
?S
'
)h,h?

''
3
S?SS?S
3?190000

h??75

3600?2400?1600
1. 解：
V?

2. 解：
?
(2?5)l?
?
(2
2
?5
2
),l?
29

7
空间几何体 [提高训练C组]
一、选择题
1.A 几何体是圆台上加了个圆锥，分别由直角梯形和直角三角形旋转而得
2.B 从此圆锥可以看出三 个圆锥，
r
1
:r
2
:r
3
?1:2:3,l1
:l
2
:l
3
?1:2:3,


S
1
:S
2
:S
3
?1:4:9,S
1< br>:(S
2
?S
1
):(S
3
?S
2
)?1:3:5

3.D
V
正方体
?8V
三棱锥
?1?8?????
4.D
V
1
:V
2
?(Sh):(Sh)?3:1

111115
?

322226
1
3
5.C
V
1
:V
2
?8:27,r
1
:r
2?2:3,S
1
:S
2
?4:9

6.A 此几何 体是个圆锥，
r?3,l?5,h?4,S
表面
?
?
?3?
?
?3?5?24
?

2
1
V?
?
?3
2
?4?12
?

3
二、填空题
1．
253
1
?
设圆锥的底 面半径为
r
，母线为
l
，则
2
?
r?
?< br>l
，得
l?6r
，
7
3
1515
S?
?
r
2
?
?
r?6r?7
?
r
2
?15
?
，得
r?
，圆锥的高
h?35?

77
111515253
V?
?
r
2
h?
?
? ?35??
?

33777
Q
10

Q

S
全
?2
?
R
2
?
?
R
2
?3
?
R
2
?Q,R?
3
?
9
2221010

V?
?
R
3
?
?
R
2
?h,h?R,S?2
?
R
2
?2
?
R?R?
?
R
2
?Q

33339
3.
8

r
2
?2r
1
,V
2
?8V
1

4
4.
12

V?Sh?
?
r
2
h?
?
R
3
,R?
3
64?27?12

3
11
5.
28

V?(S?SS
'
? S
'
)h??(4?4?16?16)?3?28

33
2.
三、解答题
1.解：圆锥的高
h?4?2?23
，圆柱的底面半径
r?1
，

22
S
表面
?2S
底面
?S侧面
?2
?
?
?
?3?(2?3)
?
　　2. 解：
S
表面
?S
圆台底面
?S
圆台侧面
?S
圆锥侧面

?
?
?5
2
?
?
?(2?5)?32?
?
?2?22


?25(2?1)
?

11
?
?
(r
1< br>2
?r
1
r
2
?r
2
2
)h??
r
2
h
33

V?V
圆台
?V
圆锥

148
?
?
3