高中数学 必修二 第二章 2.1 2.1.3、4课后习题

第二章 2.1 2.1.3、4
基础巩固
一、选择题
1．正方体的六个面中相互平行的平面有( )
A．2对
C．4对
[答案] B
2．三棱台ABC－A′B′C′的一条侧棱AA′所在直线与平面BCC′B ′之间的关系是
( )
B．3对
D．5对

A．相交
C．直线在平面内
[答案] A
[解析] 由棱台的定义知，棱台的所有侧棱所在 的直线都交于同一点，而任一侧面所在
的平面由两条侧棱所在直线所确定，故这条侧棱与不含这条侧棱的 任意一个侧面所在的平面
都相交．
3．若直线a∥平面α，直线b∥平面α，则a与b的位置关系是( )
A．平行
C．异面
[答案] D
[解析] 如图所示，长方体ABCD－A
1< br>B
1
C
1
D
1
中，A
1
B
1
∥平面AC，A
1
D
1
∥平面AC，有A
1
B< br>1
∩A
1
D
1
＝A
1
；又D
1C
1
∥平面AC，有A
1
B
1
∥D
1
C
1
；取
BB
1
和CC
1
的中点M，N，则MN∥ B
1
C
1
，则MN∥平面AC，有A
1
B
1
与
MN异面，故选D．
4．如果直线a∥平面α，那么直线a与平面α内的( )
A．唯一一条直线不相交
C．仅与一组平行直线不相交
[答案] D

B．平行
D．平行或直线在平面内
B．相交
D．以上都有可能
B．仅两条相交直线不相交
D．任意一条直线都不相交

[解析] 根据直线和平面平行定义，易知排除A、B．对于C，仅有一组平行线不相交，
不正 确，应排除C．与平面α内任意一条直线都不相交，才能保证直线a与平面α平行，∴
D正确．
5．平面α∥平面β，直线a∥α，则( )
A．a∥β B．a在面β上
C．a与β相交 D．a∥β或a?β
[答案] D
[解析] 如图(1)满足a∥α，α∥β，此时a∥β；
如图(2)满足a∥α，α∥β，此时a?β，故选D．

6．已知平面α内有无数条直线都与平面β平行，那么( )
A．α∥β B．α与β相交
C．α与β重合 D．α∥β或α与β相交
[答案] D
[解析] 如右图，设α∩β＝l，则在α内与l平行的直线可以有无数条
a
1
，a
2
，…，a
n
，…，它们是一组平行线．这时a
1
， a
2
，…，a
n
，…与平
面β都平行，但此时α∩β＝l.
二、填空题
7.如图，在正方体ABCD－A
1
B
1
C< br>1
D
1
中判断下列位置关系：

(1)AD
1所在的直线与平面BCC
1
的位置关系是__________ ________. < br>(2)平面A
1
BC
1
与平面ABCD的位置关系是________ __ ________.
[答案] 平行 相交
8．(2015·四川成都七中月考)

两个不重合的平面可以把空间分成__________ ________部分．
[答案] 三或四
[解析] 两平面平行时，把空间分成三部分．两平面相交时，把空间分成四部分．
三、解答题
9.如 右图所示，在正方体ABCD－A
1
B
1
C
1
D
1
中，M、N分别是A
1
B
1
和BB
1
的中点，试判
断
(1)AM所在的直线与平面ABCD的位置关系？
(2)CN所在的直线与平面ABCD的位置关系？
(3)AM所在的直线与平面CDD
1
C
1
的位置关系？
(4)CN所在的直线与平面CDD
1
C
1
的位置关系？
[解析] (1)AM所在的直线与平面ABCD相交．
(2)CN所在的直线与平面ABCD相交．
(3)AM所在的直线与平面CDD
1
C
1
平行．
(4)CN所在的直线与平面CDD
1
C
1
相交．
10. 如图所示，已知平面α∩β＝l，点A∈α，点B∈α，点C∈β，且A?l，B?l，直线AB
与l不 平行，那么平面ABC与平面β的交线与l有什么关系？证明你的结论．

[解析] 平面ABC与平面β的交线与l相交．
证明：∵AB与l不平行，且AB?α，l?α，
∴AB与l一定相交．设AB∩l＝P，
则P∈AB，P∈l.
又∵AB?平面ABC，l?β，
∴P∈平面ABC，P∈β.
∴点P是平面AB C与平面β的一个公共点，而点C也是平面ABC与平面β的一个公共
点，且P，C是不同的两点，
∴直线PC就是平面ABC与平面β的交线．
即平面ABC∩平面β＝PC，而PC∩l＝P，

∴平面ABC与平面β的交线与l相交．
能力提升
一、选择题
1．直线a在平面γ外，则( )
A．a∥γ
C．a∩γ＝A
[答案] D
[解析] 直线α在平面γ外，包括两种情况，一种是平行，另一种相交，故选D．
2．若平面α∥平面β，则( )
A．平面α内任一条直线与平面β平行
B．平面α内任一条直线与平面β内任一条直线平行
C．平面α内存在一条直线与平面β不平行
D．平面α内一条直线与平面β内一条直线有可能相交
[答案] A
3．若三个平面两两相交，且三条交线互相平行，则这三个平面把空间分成( )
A．5部分
C．7部分
[答案] C
[解析] 垂直于交线的截面如图，把空间分成7部分，故选C．
B．6部分
D．8部分
B．a与γ至少有一个公共点
D．a与γ至多有一个公共点

4．若平面α外不共线的三点到平面α的距离相等，则该三点确定的平面β与α的关系
是( )
A．相交
C．相交或平行
[答案] C
[解析] 如图(1)，α∥β.如图(2)，α与β相交．
B．平行
D．以上都不是

二、填空题
5．下列命题正确的有__________ ________.
①若直线与平面有两个公共点，则直线在平面内；
②若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α；
③若直线l与平面α相交，则l与平面α内的任意直线都是异面直线；
④如果两条异面直线中的一条与一个平面平行，则另一条直线一定与该平面相交；
⑤若直线l与平面α平行，则l与平面α内的直线平行或异面；
⑥若平面α∥平面β，直线a?α，直线b?β，则直线a∥b.
[答案] ①⑤
[解析] ①显然是正确的；②中，直线l还可能与α相交，所以②是错误的；③中，直
线l和 平面α内过l与α交点的直线都相交而不是异面，所以③是错误的；④中，异面直线
中的另一条直线和该 平面的关系不能具体确定，它们可以相交，可以平行，还可以在该平面
内，所以④是错误的；⑤中，直线 l与平面α没有公共点，所以直线l与平面α内的直线没
有公共点，即它们平行或异面，所以⑤是正确的 ；⑥中，分别在两个平行平面内的直线可以
平行，也可以异面，所以⑥是错误的．
6．将一个长方体的四个侧面和两个底面延展成平面后，可将空间分成__________
________部分．
[答案] 27
三、解答题
7．已知三个平面α，β，γ，如果α∥β，γ∩α＝a，γ∩β＝b，且直线c?β，c∥b.
(1)判断c与α的位置关系，并说明理由；
(2)判断c与a的位置关系，并说明理由．
[解析] (1)c∥α，因为α∥β，所以α与β没有公共点．又c?β，所以c与α无公共点，
所以c∥α.
(2)c∥a，因为α∥β，所以α与β没有公共点．又γ∩α＝a，γ∩β＝b，则a?α，b?β，
且a，b?γ，所以a，b没有公共点．由于a，b都在平面γ内，因此a∥b.又c∥b，所以c∥a.
8．如图，在正方体ABCD－A
1
B
1
C
1
D
1
中，E是AA
1
的中点，画出过D
1
，C，E 的平面
与平面ABB
1
A
1
的交线，并说明理由．

[解析] 如图，取AB的中点F，连接EF，A
1
B，CF.
∵E是AA
1
的中点，∴EF∥A
1
B
．

在正方体ABCD－A
1
B
1
C
1
D
1
中，A
1
D
1
∥BC，A
1
D
1
＝BC，
∴四边形A
1
BCD
1
是平行四边形．
∴A
1
B∥CD
1
，∴EF∥CD
1
.
∴E，F，C，D
1
四点共面．
∵E∈平面ABB
1
A
1
，E∈平面D
1
CE，
F∈平面ABB
1
A
1
，F∈平面D
1
CE，
∴平面ABB
1
A
1
∩平面D
1
CE＝EF. < br>∴过D
1
，C，E的平面与平面ABB
1
A
1
的交线 为EF.