(完整版)高中数学必修一单元测试及答案

第一章 集合与函数概念
一、选择题
1．已知全集U＝{0，1，2}且
U
A＝{2}，则集合A的真子集共有( )．
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
2．设集合A＝{x|1＜x≤2}，B＝{ x|x＜a}，若A
?
B，则a的取值范围是( )．
A．{a|a≥1} B．{a|a≤1} C．{a|a≥2} D．{a|a＞2}
3．A＝{x| x
2
＋x－6＝0}，B＝{x|mx＋1＝0}，且
AUB?A
，则
m
的取值集合是( )．
A．
?
?
1
， －
1
?
?
B．
?
?
?
0， －
1
3
， －
1
?
2
?
?
C．
?
?
?
0，
1
3
， －
1
?
2
?
?
D．
?
?
1
?
3
，
1
?
?
32
?

2
?
?

4．设I为全集，集合M，N，P都是其子集，则图中的阴影部分表示的集合为( )．
A．M ∩(N∪P)
B．M ∩(P ∩
I
N)
C．P ∩(
I
N ∩
I
M )
(第4题)
D．(M ∩N)∪(M ∩P)
5．设全集U＝{(x，y)| x∈R，y∈R}，集合 M＝
?
?
y－3
?
?
(x，y)|
x－2
＝1
?
?
，
P＝{(x，y)|y≠x＋1}，那么
U
(M∪P)等于( )．
A．
?
B．{(2，3)}
C．(2，3) D．{(x，y)| y＝x＋1}
6．下列四组中的f(x)，g(x)，表示同一个函数的是( )．
A．f(x)＝1，g(x)＝x
0
B．f(x)＝x－1，g(x)＝
x
2
－1

x
C．f( x)＝x
2
，g(x)＝(
x
)
4
D．f(x)＝x
3
，g(x)＝
3
x
9

7．函数f(x)＝
1
x
－x的图象关于( )．
A．y轴对称 B．直线y＝－x对称
C．坐标原点对称 D．直线y＝x对称
8．函数f(x)＝
1
1＋x
2
(x∈R)的值域是( )．
A．(0，1) B．(0，1] C．[0，1) D．[0，1]
9．已知f(x)在R上是奇函数，f(x＋4)＝f(x)，当x∈(0，2)时， f(x)＝2x
2
，则f(7)＝(
A．－2 B．2 C．－98 D．98
第 1 页 共 26 页
)．

10．定义在区间(－∞，＋∞)的奇函数f(x)为增函数；偶函数g(x)在区间[ 0，＋∞)的图象与
f(x)的图象重合．设a＞b＞0，给出下列不等式：
①f(b)－f(－a)＞g(a)－g(－b)；②f(b)－f(－a)＜g(a)－g(－b)；
③f(a)－f(－b)＞g(b)－g(－a)；④f(a)－f(－b)＜g(b)－g(－a).
其中成立的是( )．
A．①与④
二、填空题
11．函数
y?x?1?x
的定义域是 ．
12．若f(x)＝ax＋b(a＞0)，且f(f(x))＝4x＋1，则f(3)＝ ．
13．已知函数f(x)＝ax＋2a－1在区间[0，1]上的值恒正，则实数a的取值范围是 ．
14．已知I＝{不大于15的正奇数}，集合M∩N＝{5，15}，(
I
M) ∩(
I
N)＝{3，13}，M ∩(
I
N)
＝{1，7}，则M＝ ，N＝ ．
15．已知集合A＝{x|－2≤x≤7}，B＝{x|m＋1＜x＜2m－ 1}且B≠
?
，若A∪B＝A，则m的取值
范围是_________．
1 6．设f(x)是R上的奇函数，且当x∈[0，＋∞)时，f(x)＝x(1＋x
3
)，那么 当x∈(－∞，0]时，
f(x)＝
．

三、解答题
17．已知A＝{x|x
2
－ax＋a
2
－19＝0}，B＝{ x |x
2
－5x＋6＝0}，C＝{x|x
2
＋2x－8＝0}，且
?
(A
∩B)，A∩C＝
?
，求
a
的值．





18．设A是实数集，满足若a∈A，则
B．②与③ C．①与③ D．②与④
1
∈A，a≠1且1 ∈ A．
1－a
(1)若2∈A，则A中至少还有几个元素？求出这几个元素．
(2)A能否为单元素集合？请说明理由．
(3)若a∈A，证明：1－


第 2 页 共 26 页
1
∈A．
a

19．求函数f(x)＝2x
2
－2ax＋3在区间[－1，1]上的最小值．








第 3 页 共 26 页

20．已知定义域为R的函数f(x)＝
－
2
x
＋b
2
x＋1
＋a
是奇函数．
(1)求a，b的值；
(2)若对任意的t∈R，不等式f(t
2
－2t)＋f(2t
2
－
k
)＜0恒成立，求
k
的取值范围．









第二章 基本初等函数(Ⅰ)

一、选择题
1．对数式log
2－3
(2＋
3
)的值是( )．
A．－1 B．0 C．1 D．不存在
2．当a＞1时，在同一坐标系中，函数y＝a
－
x
与y＝log
a
x的图象是( )．
A B C D
3．如果0＜a＜1，那么下列不等式中正确的是( )．
1
1
A．(1－a)
3
＞(1－a)
2
B．log
1
－
a
(1＋a)＞0
C．(1－a)
3
＞(1＋a)
2
D．(1－a)
1+
a
＞1
4．函数y＝log
a
x，y＝log
b
x，y＝log
c
x，y＝log
d
x的图
示，则a，b，c，d的大小顺序是( )．
A．1＜d＜c＜a＜b
B．c＜d＜1＜a＜b
第 4 页 共 26 页
(第4题)
象如图所

C．c＜d＜1＜b＜a
D．d＜c＜1＜a＜b
5．已知f(x
6
)＝log
2
x，那么f(8)等于( )．
A．
4

3
B．8 C．18 D．
1

2
?
1
?
6．如果函数f(x)＝x
2
－(a－1)x＋5在区间
?
，
那么实 数a的取值范围是( )．
1
?
上是减函数，
?
2
?
A． a≤2 B．a＞3 C．2≤a≤3 D．a≥3
7．函数f(x)＝2
－
x
－1的定义域、值域是( )．
A．定义域是R，值域是R B．定义域是R，值域为(0，＋∞)
C．定义域是R，值域是(－1，＋∞) D．定义域是(0，＋∞)，值域为R
8．已知－1＜a＜0，则( )．
aa
A．(0.2)
a
＜
?
?
1
?
?
2
?
?
＜2a
B．2
a
＜
?
?
1
?
?
＜(0.2)
a
?
2
?

aa
C．2a
＜(0.2)
a
＜
?
?
1
?
?2
?
?
D．
?
?
1
?
?< br>＜(0.2)
a
?
2
?
＜2
a

9．已知函数f(x)＝
?
?
(3a?1)x?4a，x≤ 1
是(－∞，＋∞)上的减函数，那么a
?
log
a
x， x＞ 1
的取值范围是(
A．(0，1) B．
?
?
1< br>?
?
0，
3
?
?
C．
?
?< br>11
?
?
7
，
3
?
?
D．< br>?
?
1
?
7
，1
?
?
?

10．已知y＝log
a
(2－ax)在［0，1］上是x的减函数，则a的取值范围 是( )．
A．(0，1) B．(1，2) C．(0，2) D．［2，＋∞)
二、填空题
11．满足2
－
x
＞2
x
的

x

的取值范围是 ．
12．已知函数f( x)＝log
0.5
(－x
2
＋4x＋5)，则f(3)与f(4)的大小关 系为 ．
13．
log
3
2
log
的值为_____．
2 7
64
14．已知函数f(x)＝
?
?
log
3
x ，
?
x＞0，
?
?
?
?
2
x
， x≤0，
则
f
?
1
?
?
f
?
?< br>?
?
9
?
?
?
?
?
的值为____ _．
15．函数y＝
log
0.5
(4x－3)
的定义域为 ．
16．已知函数f(x)＝a－
1
2
x
?1
，若f(x )为奇函数，则a＝________．
三、解答题
第 5 页 共 26 页
)．

17．设函数f(x)＝x
2
＋(lg a＋2)x＋lg b，满足f(－1)＝－2，且任取x∈R，都有f(x)≥2x，求实
数a，b的值．








18．已知函数f (x)＝lg(ax
2
＋2x＋1) ．
(1)若函数f (x)的定义域为R，求实数a的取值范围；
(2)若函数f (x)的值域为R，求实数a的取值范围．






19．求下列函数的定义域、值域、单调区间：
(1)y＝4
x
＋2
x
+1
＋1；
?
1
?
(2)y＝
??
?
3
?
x
2
－
3x＋2
．





20．已知函数 f(x)＝log
a
(x＋1)，g(x)＝log
a
(1－x)，其中a＞ 0，a≠1．
(1)求函数f(x)－g(x)的定义域；
(2)判断f(x)－g(x)的奇偶性，并说明理由；
第 6 页 共 26 页

(3)求使f(x)－g(x)＞0成立的x的集合．


第 7 页 共 26 页

第三章 函数的应用

一、选择题
1．下列方程在(0，1)内存在实数解的是( )．
A．x
2
＋x－3＝0
C．








B．
1
＋1＝0
x
1
x＋ln x＝0
2
D．x
2
－lg x＝0
2．若函数f(x)是定义在R上的偶 函数，在(－∞，0］上是减函数，且一个零点是2，则使得f(x)
＜0的x的取值范围是( )．
A．(－∞，－2］
C．(2，＋∞)










B．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
D．(－2，2)
3. 若函数f(x)＝ a
x
－x－a(a＞0且a
≠
1)有两个零点，则实数a的取值范围是( )．
A．{a|a＞1}









B．{a|a≥2}
D．{a|1＜a＜2} C．{a|0＜a＜1}
4．若函数f(x)的图象是连续不断的，且f(0)＞0，f(1)f( 2)f(4)＜0，则下列命题正确的是( )．
A．函数f(x)在区间(0，1)内有零点
B．函数f(x)在区间(1，2)内有零点
C．函数f(x)在区间(0，2)内有零点
D．函数f(x)在区间(0，4)内有零点
?
x
2
＋2x－3，x≤ 0
5. 函数f(x)＝
?
的零点个数为( ).
?
－2＋lnx，x＞0
A．0 B．1 C．2 D．3
6. 图中的图象所表示的函数的解析式为( ).
3
|x－1|(0≤x≤2)
2
33
B．y＝－|x－1|(0≤x≤2)
22
3
C．y＝－|x－1|(0≤x≤2)
2
A．y＝
D．y＝1－|x－1|(0≤x≤2)
7．当x∈(2，4)时，下列关系正确的是( )．
1
D．2
x
＜log
2
x
x
8．某种动物繁殖数量y(只 )与时间x(年)的关系为y＝alog
2
(x＋1)，设这种动物第1年有100只，
A．x
2
＜2
x
B．log
2
x＜x
2
C．log
2
x＜
第 8 页 共 26 页

则第7年它们繁殖到( )．
A．300只 B．400只 C．500只 D．600只
9．某商场出售一种商品，每天可卖1 000件，每件可获利4元 ．据经验，若这种商品每件每降价
0.1元，则比降价前每天可多卖出100件，为获得最好的经济效益 每件单价应降低( )元．
A．2元 B．2.5元 C．1元 D．1.5元
10．某市的一家报刊摊点，从报社买进一种晚报的价格是每份是0.20元，卖出的价 格是每份0.30
元，卖不掉的报纸可以以每份0.05元的价格退回报社．在一个月(30天计算)里 ，有20天每天卖出量
可达400份，其余10天每天只能卖出250份，但每天从报社买进的份数必须 相同，为使每月所获利润
最大，这个摊主每天从报社买进( )份晚报．
A．250
二、填空题
11．已知函数f(x)＝x
2
＋ax＋a－1的两个零点一个 大于2，一个小于2，则实数a的取值范围
是 ．
12．用100米扎篱笆墙的材料扎一个矩形羊圈，欲使羊的活动范围最大，则应取矩形长
米，宽 米.
13．在国内投寄平信，将每封信不超过20克重付邮资80分，超过20 克重而不超过40克重付邮
资160分，将每封信的应付邮资(分)表示为信重x(0＜x≤40)(克 )的函数，其表达式为 ．
14．为了预防流感，某学校对教室用药熏消 毒法进行消
物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间
?
1
?
正比；药物释放完毕后，y与t的函数关系式为
y?
??
?
16
?
t?a
B．400 C．300 D．350
毒．已知 药
t(小时)成
为常数)，
(a
如图所示，根据图中提供的信息，回答下列问 题：
(1)从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y(毫克)
t(小时)之间的函数关系式为 .
(2)据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那从药物 释
放开始，至少需要经过 小时后，学生才能回到教室.
15．已知f(x)＝ (x＋1)·|x－1|，若关于x的方程f(x)＝x＋m有三个不同的实数解，则实数m的
取值范围 ．
16．设正△ABC边长为2a，点M是边AB上自左至右的一个动
M的直线l垂直与AB ，设AM＝x，△ABC内位于直线l左侧的阴影
y表示成x的函数表达式为 ．
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(第14题)
与时间
点，过点
面积为y，

三、解答题
17．某农家旅游公司有客房300间，日房租每间为20元，每天都客满. 公司欲提高档次，并提高
租金，如果每间客房日房租每增加2元，客房出租数就会减少10间. 若不考虑其他因素，旅社将房间
租金提高到多少时，每天客房的租金总收入最高？








18．A市和B市分别有某种库存机 器12台和6台，现决定支援C市10台机器，D市8台机器．已知
从A市调运一台机器到C市的运费为 400元，到D市的运费为800元；从B市调运一台机器到C市
的运费为300元，到D市的运费为5 00元．
(1)若要求总运费不超过9 000元，共有几种调运方案？
(2)求出总运费最低的调运方案，最低运费是多少？






19．某地西红柿从2月1号起开始上市，通过市场调查，得到西红柿种植成本Q(单位：元100 kg)
与上市时间t(距2月1日的天数，单位：天)的数据如下表：
时间t
成本Q
50 110 250
150 108 150
(1)根据上表 数据，从下列函数中选取一个函数描述西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系：
Q＝at＋b，Q＝ at
2
＋bt＋c，Q＝a·b
t
，Q＝a·log
b
t；
(2)利用你选取的函数，求西红柿种植成本Q最低时的上市天数及最低种植成本．

第 10 页 共 26 页

20．设计一幅宣传画，要求画面面积为4 840 cm
2
，画面的宽与高的比为λ(λ＜1 )，画面的上、下各留
8 cm空白，左、右各留5 cm空白.怎样确定画面的高与宽尺寸，能使宣传画所用纸张面积最小?





期末测试题
考试时间：90分钟 试卷满分：100分
一、选择题：本大题共14小题，每小题4分，共56分．在每小题的4个选项中 ，只有一项是符
合题目要求的．
1．设全集U＝R，A＝{x|x＞0}，B＝{x|x＞1}，则A∩
U
B＝( )．
A．{x|0≤x＜1} B．{x|0＜x≤1} C．{x|x＜0} D．{x|x＞1}
2．下列四个图形中，不是以x为自变量的函数的图象是( )．
．．
第 11 页 共 26 页

A B C D
3．已知函数 f(x)＝x
2
＋1，那么f(a＋1)的值为( )．
A．a
2
＋a＋2 B．a
2
＋1 C．a
2
＋2a＋2 D．a
2
＋2a＋1
4．下列等式成立的是( )．
A．log
2
(8－4)＝log
2
8－log
2
4
C．log
2
2
3
＝3log
2
2




B．
log
2
8
8
＝
log
2

log
2
4
4
D．log
2
(8＋4)＝log< br>2
8＋log
2
4
5．下列四组函数中，表示同一函数的是( )．
A．f(x)＝|x|，g(x)＝
x
2

B．f(x)＝lg x
2
，g(x)＝2lg x
2
C．f(x)＝
x－1
，g(x)＝x＋1
x－1
D． f(x)＝
x＋1
·
x－1
，g(x)＝
x
2
－1

6．幂函数y＝x
α
(α是常数)的图象( ).
A．一定经过点(0，0)
C．一定经过点(－1，1)








B．一定经过点(1，1)
D．一定经过点(1，－1)
7．国内快递重量在1 000克以内的包裹邮资标准如下表：
运送距离x(km) O＜x≤500
邮资y(元) 5.00
500＜x≤1 000 1 000＜x≤1 500 1 500＜x≤2 000 …
6.00 7.00 8.00 …
如果某人从北京快递900克的包裹到距北京1 300 km的某地，他应付的邮资是( ).
A．5.00元 B．6.00元 C．7.00元 D．8.00元
8．方程2
x
＝2－x的根所在区间是( ).
A．(－1，0)
b
B．(2，3) C．(1，2) D．(0，1)
?
1
?
9．若log
2
a＜0，
??
＞1，则( ).
?
2
?
A．a＞1，b＞0









B．a＞1，b＜0
D．0＜a＜1，b＜0 C．0＜a＜1，b＞0
第 12 页 共 26 页

10．函数y＝
16－4
x
的值域是( ).
A．[0，＋∞) B．[0，4] C．[0，4) D．(0，4)
11．下 列函数f(x)中，满足“对任意x
1
，x
2
∈
(0，＋∞)，当x
1
＜x
2
时，都有f(x
1
)＞f(x
2
)的是( ).
A．f(x)＝
1

x












B．f(x)＝(x－1)
2

D．f(x)＝ln(x＋1) C ．f(x)＝e
x

12．奇函数f(x)在(－∞，0)上单调递增，若f(－1 )＝0，则不等式f(x)＜0的解集是( ).
A．(－∞，－1)∪(0，1) B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
C．(－1，0)∪(0，1) D．(－1，0)∪(1，＋∞)
13．已知函数f(x)＝
?
?
log< br>2
x，x＞0
，则f(－10)的值是
?
f(x＋3)，x≤ 0
( ).
A．－2 B．－1 C．0 D．1
1 4．已知x
0
是函数f(x)＝2
x
＋
1
1－x
的 一个零点．若x
1
∈(1，x
0
)，x
2
∈(x
0
，＋∞)，则有(
A．f(x
1
)＜0，f(x
2
)＜0 B．f(x
1
)＜0，f(x
2
)＞0
C．f(x
1
)＞0，f(x
2
)＜0 D．f(x
1
)＞0，f(x
2
)＞0
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．将答案填在题中横线上．
15．A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|x＞a}，若A
?
B，则a取值范围是 ．
16．若f(x)＝(a－2)x
2
＋(a－1)x＋3是偶函数，则函数f(x )的增区间是 ．
17．函数y＝
log
2
x－2
的定义域是 ．
x
2
－8
18．求满足
?
?
1
??
4
?
?
＞
4
－
2x
的x的取值集合 是 ．
三、解答题：本大题共3小题，共28分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19．(8分) 已知函数f(x)＝lg(3＋x)＋lg(3－x)．
(1)求函数f(x)的定义域；
(2)判断函数f(x)的奇偶性，并说明理由．





第 13 页 共 26 页
).

20．(10分)已知函数f(x)＝2|x＋1|＋ax(x∈R)．
(1)证明：当

a＞2时，f(x)在

R上是增函数．
(2)若函数f(x)存在两个零点，求a的取值范围．










21．(10分)某租赁公司拥有汽车100辆．当每辆车的月租金为3 000元时，可全部租出．当 每辆
车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆．租出的车每辆每月需要维护费150元，未 租出
的车每辆每月需要维护费50元．
(1)当每辆车的月租金定为3 600元时，能租出多少辆车？
(2)当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？
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参考答案
第一章 集合与函数的概念
一、选择题
1．A解析：条件
U
A＝{2}决定了集合A＝{0，1}，所 以A的真子集有
?
，{0}，{1}，故正确选
项为A．
∈
2 B，故不满足2．D解析：在数轴上画出集合A，B的示意图，极易否定A，B．当a＝2时，
条件A< br>?
B，所以，正确选项为D．
3．C解析：据条件A∪B＝A，得B
?
A，而A＝{－3，2}，所以B只可能是集合
?
，{－3}，{2}，
所以，m
的取值集合是C．
4．B解析：阴影部分在集合N外，可否A，D，阴影部分在集合M 内，可否C，所以，正确选项
为B．
5．B解析：集合M是由直线y＝x＋1上除去点(2， 3)之后，其余点组成的集合．集合P是坐标
平面上不在直线y＝x＋1上的点组成的集合，那么M < br>?
P就是坐标平面上除去点(2，3)外的所有点组
成的集合．由此
U
(M
?
P)就是点(2，3)的集合，即
U
(M
?
P)＝{(2，3)}．故正确选项为B．
6．D解析：判断同一函数的标准是两 函数的定义域与对应关系相同，选项A，B，C中，两函数
的定义域不同，正确选项为D．
7 ．C解析：函数f(x)显然是奇函数，所以不难确定正确选项为C．取特殊值不难否定其它选项．如
取 x＝1，－1，函数值不等，故否A；点(1，0)在函数图象上，而点(0，1)不在图象上，否选项D，点(0，－1)也不在图象上，否选项B．
8．B解析：当x＝0时，分母最小，函数值最大为1 ，所以否定选项A，C；当x的绝对值取值越
大时，函数值越小，但永远大于0，所以否定选项D．故正 确选项为B．
9．A解析：利用条件f(x＋4)＝f(x)可得，f(7)＝f(3＋4)＝f(3 )＝f(－1＋4)＝f(－1)，再根据
f(x)在R上是奇函数得，f(7)＝－f(1)＝－2× 1
2
＝－2，故正确选项为A．
10．C解析：由为奇函数图像关于原点对称，偶函 数图象关于y轴对称，函数f(x)，g(x)在区间
[0，＋∞)上图象重合且均为增函数，据此我们 可以勾画两函数的草图，进而显见①与③正确．故正确
选项为C．
二、填空题
11．参考答案：{x| x≥1}．解析：由x－1≥0且x≥0，得函数定义域是{x|x≥1}．
12．参考答案：
19
．解析：由f(f(x))＝af(x)＋b＝a
2< br>x＋ab＋b＝4x＋1，所以a
2
＝4，ab＋b＝1(a
3
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19
11
＞0)，解得a＝2，b＝，所以 f(x)＝2x＋，于是f(3)＝．
33
3
?
1
?
13．参考答案：
?
，
＋∞
?
．解析：a＝0时不满足条件，所以a≠0．
?
2
?
(1)当a＞0时，只需f(0)＝2a－1＞0； (2)当a＜0时，只需f(1)＝3a－1＞0．
?
1
?
综上得实数a的取值范围是
?
，
＋∞
?

．


?
2
?
14．参考答案：{1，5，7，15}，{5，9，11，15}．解析：根据条件I＝{1，3，5，7， 9，11，13，
15}，M∩N＝{5，15}，M∩(
I
N)＝{1，7}，得集 合M＝{1，5，7，15}，再根据条件(
I
M)∩(
I
N)＝
{ 3，13}，得N＝{5，9，11，15}．
15．参考答案：(2，4]．
－2
?
m＋1≥
?
解析：据题意得－2≤m＋1＜2m－1≤7，转化为不等式组
?
m＋1＜2m－1
，解得m的取值范围是
?
2m－1≤ 7
?
(2，4]．
16．参考答案：x(1－x
3
)． 解析：∵任取x∈(－∞，0]，有－x∈[0，＋∞)，
∴ f(－x)＝－x［1＋(－x)
3
］＝－x(1－x
3
)，
∵ f(x)是奇函数，∴ f(－x)＝－f(x)．
∴ f(x)＝－f(－x)＝x(1－x
3
)，
即当x∈(－∞，0]时，f(x)的表达式为f(x)＝x(1－x
3
)．
三、解答题
17．参考答案：∵B＝{x|x
2
－5x＋6＝0}＝{2，3}，
C＝{x|x
2
＋2x－8＝0}＝{－4，2}，
∴由A∩C＝
?
知，－4
A
，2
∈
A；
∈

由
?
(A∩B)知，3∈A．
∴3
2
－3a＋a
2
－19＝0，解得a＝5或a＝－2．
当a＝5时，A＝{x|x
2
－5x＋6＝0}＝B，与A∩C＝
?
矛盾．
当a＝－2时，经检验，符合题意．
18．参考答案：(1)∵ 2∈A，
1
1
＝＝－1∈A；
1－a
1－2
1
1
1
∴＝＝∈A；
1－a
1＋1
2
∴
第 16 页 共 26 页

∴
1
1
＝＝2∈A．
1
1－a
1 －
2
因此，A中至少还有两个元素：－1和
(2)如果A为单元素集合，则a＝
A不可能是单元素集．
(3)证明： a∈A?
1
．
2
1，整理得a
2
－a＋1＝0，该方程无实数解，故在实数范围内，
1－a
1－a
1
1
1
∈A? ∈A?∈A，即1－∈A．
1
a< br>1－a
1－a＋1
1－
1－a
2
a
?
a2
?
19．参考答案： f(x)＝2
?
x－
?
＋3－．
2
?
2
?
(1)当
a
＜－1，即a＜－2时，f(x)的最小值为f(－1)＝5＋2a；
2
a
2
a
?
a
?
(2)当－1≤≤1，即 －2≤a≤2时，f(x)的最小值为
f
??
＝3－；
2
2
?
2
?
(3)当
a
＞1，即a＞2时，f(x)的最小值为f(1 )＝5－2a．
2
a＜－2，
?
5＋2a，
?
??
a
2
综上可知，f(x)的最小值为
?
3－，

－2≤a≤2，
2
?
?
5－2a， a＞2．
?
?
20．参考答案：(1)∵函数f(x)为R上的奇函数，
－2
x
＋1
－1＋b
∴ f(0)＝0，即＝0，解得b＝1，a≠－2， 从而有f(x)＝
x＋1
． 2＋a
2＋a
1
－＋1
－2＋1
又由f(1)＝－f(－1)知 ＝－
2
，解得a＝2．
1＋a
4＋a
(2)先讨论函数f(x)＝
－2
x
＋1
2
x＋1
＋2
＝－
1
1
＋
x
的增减性．任取x
1
，x
2
∈R，且x1
＜x
2
，f(x
2
)－f(x
1
)
2
2＋1
＝
1
2＋1
x
2
－
1
2 ＋1
x
1
＝
2
x
1
－2
x
2(2＋1)(2＋1)
x
2
x
1
，
∵指数函数2x
为增函数，∴
2
x
1
－2
x
2
＜0 ，∴ f(x
2
)＜f(x
1
)，
∴函数f(x)＝
－2
x
＋1
2
x＋1
＋2
是定义域R上的减函数．
由 f(t
2
－2t)＋f(2t
2
－
k
)＜0得f(t
2
－2t)＜－f(2t
2
－
k
)，
第 17 页 共 26 页

∴ f(t
2
－2t)＜f(－2t
2
＋
k
)，∴ t
2
－2t＞－2t
2
＋
k
(
?
)．
由(
?
)式得
k
＜3t
2
－2t．
1
?
111
1
?
又3t
2
－2t＝3(t－)
2
－≥－，∴只需
k
＜－，即得
k
的取值范围是
?
－∞， －
?
．
3
?
3
333
?

第二章 初等函数
一、选择题
1．A 解析：log
2－3(2＋
3
)＝log
2－3
(2－
3
)
1，故选A．
－
－
2．A 解析：当a＞1时，y＝log
a
x单调递增，y＝a
x
单调递减，故选A．
1
3．A 解析：取特殊值a＝，可立否选项B，C，D，所以正确选项是A．
2
4．B 解析 ：画出直线y＝1与四个函数图象的交点，它们的横坐标的值，分别为a，b，c，d
的值，由图形可得 正确结果为B．
5．D 解析：解法一：8＝(
2
)
6
，∴ f(
2
6
)＝ log
2
2
＝
解法二：f(x
6
)＝log
2
x，∴ f(x)＝log
2
6
x
＝
1
．
2
1
11
log
2
x，f(8)＝log
2
8＝．
66
2
a－1
?
1
?
6．D 解析：由函数f(x)在
?
，
≥1，解得a≥3．
1
?
上是减函数，于是有
2
2
??
1
??
1
?
7．C 解析：函数f(x)＝2－1＝
?
??
－1的图象是函数g(x)＝< br>??
图象向下平移一个单位
?
2
??
2
?
－
x
xx
1
?
所得，据函数g(x)＝
?
??
定义域和值域，不难得到函数f(x)定义域是R，值域是(－1，＋
∞
)．
?
2
?
?
1
?
8．B 解析：由－1＜a ＜0，得0＜2
a
＜1，0.2
a
＞1，
??
＞1，知A， D不正确．
?
2
?
a
x
1
?
1
?
当a＝－时，
??
2
?
2
?
－
1
2
＝
1
0.5
＜
1
0.2
＝
0.2－
1
2
?
1
?
，知C不正确． ∴ 2＜
??
＜0.2
a
．
?
2
?
a
a
9．C 解析：由f(x)在R上是减函数，∴ f(x)在(1，＋∞)上单减，由对数函数单调性，即0
1
＜a＜1 ①，又由f(x)在(－∞，1]上单减，∴ 3a－1＜0，∴ a
＜
②，又由于由f(x )在R上是减函
3
数，为了满足单调区间的定义，f(x)在(－∞，1］上的最小值7a－1 要大于等于f(x)在［1，＋∞)上
的最大值0，才能保证f(x)在R上是减函数．
∴ 7a－1≥0，即a≥
1
11
③．由①②③可得≤a＜，故选C．
77
3
第 18 页 共 26 页

10．B 解析 ：先求函数的定义域，由2－ax＞0，有ax＜2，因为a是对数的底，故有a＞0且
a≠1，于是得 函数的定义域x＜
从而0＜a＜2且a≠1．
若0＜a＜1，当x在［0，1］上增大时，2 －ax减小，从而log
a
(2－ax)增大，即函数
y＝log
a
(2－ax)在［0，1］上是单调递增的，这与题意不符.
若1＜a＜2，当x在［0，1］上增大时，2－ax减小，从而log
a
(2－ax)减小， 即函数
y＝log
a
(2－ax)在［0，1］上是单调递减的．
所以a的取值范围应是(1，2)，故选择B．
二、填空题
11．参考答案：(－∞，0)． 解析：∵ －x＞x，∴ x＜0．
12．参考答案：f(3)＜f(4)． 解析：∵ f(3)＝log
0
.
5
8，f(4)＝log
0
.
5
5，∴ f(3)＜f(4)．
13．参考答案：

14．参考答案：
lg2
lg27
lo g
3
2
131
． 解析：＝·＝＝．
lg3
log
27
64
lg64
262
22
．又函数的递减区间［0，1 ］必须在函数的定义域内，故有1＜，
aa
1
． 解析：
4
1< br>?
1
?
f
??
＝log
3
＝－2，
9
?
9
?
?
f
?
?
?
1
?
1
?
?
－
2
f
??
?
＝f(－ 2)＝2＝．
?
9
4
??
?
3
?
x＞
?
4

?
?
4x－3≤1
?
?
?
4x－3＞0
3
??
?
15．参考答案：
?
， 1
?
． 解析：由题意，得
?
4
?
≥ 0
??
?
log
0.5(4x－3)
3
?
∴ 所求函数的定义域为
?
1
?
．
?
，
?
4
?
16．参考答案：a＝
1
． 解析：∵ f(x)为奇函数，
2
2
x
＋1
1
1
∴ f(x)＋f(－x)＝2a －
x
－
?x
＝2a－
x
＝2a－1＝0，
2＋1
1
2＋1
2＋
∴ a＝
1
．
2
三、解答题
17．参考答案：a＝100，b＝10． 解析：由f(－1)＝－2，得1－lga＋lg b＝0 ①，由f(x)≥2x，
得x
2
＋xlg a＋lg b≥0
(x∈R)．∴
Δ
＝(lg a)
2
－4lg b≤0 ②．
联立①②，得(1－lg b)
2
≤0，∴ lg b＝1，即b＝10，代入①，即得a＝100．
18．参考答案：(1) a的取值范围是(1，＋∞) ，(2) a的取值范围是[0，1]．
第 19 页 共 26 页

?
a＞0
解析：(1)欲使函数f(x)的定义域为R，只须ax＋2 x＋1＞0对x∈R恒成立，所以有
?
，
4
－
4a＜ 0
?
2
解得a＞1，即得a 的取值范围是(1，＋∞)；
(2)欲使函数 f (x)的值域为R，即要ax
2
＋2x＋1 能够取到(0，＋∞) 的所有值．
①当a＝0时，a x
2
＋2x＋1＝2x＋1，当x∈(－
1
，＋∞)时满足要求；
2
②当a≠0时，应有
?
?
a＞0
? 0＜a≤1．当x∈ (－∞，x
1
)∪(x
2
，＋∞)时满足要求(其中x
1
，
Δ
＝4
－
4a≥ 0
?
x
2
是方程ax
2
＋2x＋1＝0的二根)．
综上，a的取值范围是[0，1]．
19．参考答案：(1)定义域为R．令t＝2
x
(t＞0)，y＝t
2
＋2t＋1＝(t＋1)
2
＞1，
∴ 值域为{y | y＞1}．
t＝2
x
的底数2＞1，故t＝2
x
在x∈R上单调递增；而 y＝ t
2
＋2t＋1在t∈(0，＋∞)上单调递增，
故函数y＝4
x
＋ 2
x
1
＋1在(－∞，＋∞)上单调递增．
＋
1
?
3
??
?
1
?
?
t∈
－
，＋∞
(2)定义域为R．令t＝x－3x＋2＝
?
x
－
?
－
?< br>?
?
?
4
?
．
4
?
2
??
??
??
2
2
∴ 值域为(0，
4
3
]．
?
1
?
∵ y＝
??
在t∈R时为减函数，
?
3
?
?
1
?
∴ y＝
??
?< br>3
?
x
2
－3x＋2
t
?
3
??< br>3
在
?
－∞，上单调增函数，在
??
，＋∞
?
2
??
2
?
?
?
?
为单调减函数．
?
20．参考答案：(1){x |－1＜x＜1}；
(2)奇函数；
(3)当0＜a＜1时，－1＜x＜0；当a＞1时，0＜x＜1．
x＋1＞0
解 析：(1)f(x)－g(x)＝log
a
(x＋1)－log
a
(1－x) ，若要式子有意义，则 即－1＜x＜1，
1－x＞0
所以定义域为{x |－1＜x＜1}．
(2)设F(x)＝f(x)－g(x)，其定义域为(－1，1)，且
F(－x)＝f(－ x)－g(－x)＝log
a
(－x＋1)－log
a
(1＋x)＝－［lo g
a
(1＋x)－log
a
(1－x)］＝－F(x)，
所以f(x )－g(x)是奇函数．
(3)f(x)－g(x)＞0即log
a
(x＋1)－l og
a
(1－x)＞0有log
a
(x＋1)＞log
a
( 1－x)．

x＋1＞0
1－x＞0
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x＋1＜1－x

当0＜a＜1时，上述不等式 解得－1＜x＜0；


x＋1＞0
＞0
当a＞1时，上述不等式
1

－

x
解得0＜x＜1．
x＋1＞1－x
第三章 函数的应用 参考答案
一、选择题
1．C 解析：易知A，B，D选项对应的函数在区间(0，1)内的函数值恒为负或恒为正，当x 是
接近0的正数时，
11
x＋lnx＜0；当x接近1时，x＋lnx＞0. 所以选C．
22
2．D 解析：因为函数f(x)是定义在R上的偶函数且一个零点是2 ，则另一个零点为－2，又在
(－∞，0］上是减函数，则f(x)＜0的x的取值范围是(－2，2) ．
3．A 解析：设函数y＝a
x
(a＞0，且a≠1)和函数y＝x＋a，则 函数f(x)＝a
x
－x－a(a>0且a
?
1)
有两个零点， 就 是函数y＝a
x
(a＞0，且a≠1)与函数y＝x＋a的图象有两个交点，由图象可知当0＜ a
＜1时两函数只有一个交点，不符合，当a＞1时，因为函数y＝a
x
(a＞1)的 图象过点(0，1)，而直线y
＝x＋a所过的点(0，a)一定在点(0，1)的上方，所以一定有两 个交点.所以实数a的取值范围是{a|a
＞1}.
4．D 解析：因为f(0)＞0， f(1)f(2)f(4)＜0，则f(1)，f(2)，f(4)恰有一负两正或三个都是负
的，函数 的图象与x轴相交有多种可能．例如，


(第4题)


所以函数f(x)必在区间(0，4)内有零点，正确选项为D．
5. C 解析：当x≤0时，令x
2
＋2x－3＝0解得x＝－3；
当x＞0时，令－2＋ln x＝0，得x＝100，所以已知函数有两个零点，选C．
第 21 页 共 26 页

还可以作出f(x)的图象，依图判断．
6. B 解析：取特殊值x＝1，由图象知y＝f(1)＝
＝f(0)＝0，据此否C，故正确选项是B.
或者勾画选项B的函数图象亦可判断．
7．B 解析：当x∈(2，4)时，x
2
∈(4，16)，2
x
∈(4，16)，log
2
x∈(1，2)，
3
，据此否定A，D，在取x＝0， 由图象知y
2
1
?
11
?
∈
?
，
?
，显
x
?
42
?
然C、D不正确，但对于选项A，若x ＝3时，x
2
＝9＞2
3
＝8，故A也不正确，只有选项B正确．
8．A 解析：由题意知100＝alog
2
(1＋1)，得a＝100，则当x＝7时，y＝100 log
2
(7＋1)＝100
×3＝300．
9．D 解析：设每件降价0.1x元，则每件获利(4－0.1x)元，每天卖出商品件数为(1 000＋100x)．
经济效益：y＝(4－0.1x)(1 000＋100x)
＝－10x
2
＋300x＋4 000
＝－10(x
2
－30x＋225－225)＋4 000
＝－10(x－15)
2
＋6 250．
x＝15时，y
max
＝6 250．
每件单价降低1.5元，可获得最好的经济效益．
10．B 解析：若设每天从报社买进 x(250≤x≤400，x∈N)份，则每月共可销售(20x＋10×250)
份，每份可获利润0 .10元，退回报社10(x－250)份，每份亏损0.15元，建立月纯利润函数f(x)，再
求f (x)的最大值，可得一个月的最大利润．
设每天从报社买进x份报纸，每月获得的总利润为y元，则依题意，得
y＝0.10(20x ＋10×250)－0.15×10(x－250)＝0.5x＋625，x∈［250，400］．
∵ 函数y在［250，400］上单调递增，∴ x＝400时，y
max
＝825(元)．
即摊主每天从报社买进400份时，每月所获得的利润最大，最大利润为825元．
二、填空题
11．参考答案：(－∞，－1)．
解析：函数f(x)＝x
2
＋ax＋a－1的两个零点一个大于2，一个小于2，即f(2)＜0，可求实数a的
取值范 围是(－∞，－1)．
12．参考答案：长宽分别为25米．
解析：设矩形长x米，则宽为
1
(100－2x)＝(50－x)米，所以矩形面积y＝x(50－x)＝－x
2< br>＋50 x
2
＝－(x－25)
2
＋625，矩形长宽都为25米时， 矩形羊圈面积最大．
第 22 页 共 26 页

(0＜x≤ 20)
?
80
13．参考答案：f(x)＝
?

160 (20＜x≤ 40)
?
解析：在信件不超过20克重时，付邮资 80分，应视为自变量在0＜x≤20范围内，函数值是80
分；在信件超过20克重而不超过40克重 时，付邮资160分，应视为自变量在20＜x≤40范围内，函
数值是160分，遂得分段函数．
(0≤ t≤ 0.1)
?
10t
t?0.1
?
14．参考答案：(1) y＝
?
?
1
?
； (2)0.6．
(t＞0.1)
??
?
?
16
?
?
解析：(1)据图象0≤t≤0 .1时，正比例函数y＝
k
t图象过点(0.1，1)，所以，
k
＝10，
?
1
?
即y＝10t；当t＞0.1时，y与t的函数y＝
???
16
?
t?a
(a为常数)的图像过点(0.1，1)，即得
?
1
?
1＝
??
?
16
?
0.1?a< br>?
1
?
，所以a＝0.1，即y＝
??
?
16
?
t?0.1
t?0.1
．
?
1
?
(2)依题 意得
??
?
16
?
≤0.25，再由y＝lg x是增函数，得(t－0.1)lg
111
≤lg，∵ lg＜0，即得
1644
t－0.1≥0.5，所以，t≥0.6．
15．参考答案：－1＜m＜
5
．
4
x
2
－1，x≥1
解析：由f(x)＝(x＋1)｜x－1｜＝
1－x
2
，x＜1
得函数y＝f(x)的图象(如图)．
按题意 ，直线y＝x＋m与曲线y＝(x＋1)|x－1|有三个
公共点，求直线y＝x＋m在y轴上的截距m 的取值范围．
y＝1－x
2
，
由 得x
2
＋x＋m－1＝0．
y＝x＋m
不同的
(第15题)

Δ
＝1－4(m－1)＝5－4m，由
Δ
＝0，得m＝，易得实数m的取值范围是－1＜m＜．
?
3
2
x (
0
＜x
≤
a)
?
?
2
16．参考答案：y＝
?

3
?
－x
2
＋23ax－3a
2


(a＜x≤ 2a)
?
?
2
5
4
5
4< br>解析：当直线l平移过程中，分过AB中点前、后两段建立y与x的函数表达式．
(1)当0＜x≤a时，y＝
1
3
2
x·
3
x＝ x；
2
2
第 23 页 共 26 页

(2)当a＜x≤ 2a时，y＝
11
3
2
·2a·
3
a－(2a－x)·3
(2a－x)＝－x＋2
3
ax－
3
a
2
．
2
22
?
3
2
x (
0
＜x
≤
a)
?
?
2
所以，y＝
?

?
－
3
x
2
＋23ax－3a
2


(a＜x≤ 2a)
?
?
2
三、解答题
17．参考答案：每间客房日租金提高到40元．
解析：设客房日租金每间提高2x元，则每天客房出租数为300－10x，
由x＞0，且300－10x＞0，得0＜x＜30．
设客房租金总收入y元，y＝(20＋2x)(300－10x)＝－20(x－10)
2
＋8 000(0＜x＜30)，
当x＝10时，y
max
＝8 000．即当每间客房日租金提高到20＋10×2＝40元时，客房租金总收入最
高，为每天8 000元.
18．参考答案：设从B市调运x(0≤x≤6)台到C市，则总运费
y＝300x＋500(6－x)＋400(10－x)＋800［8－(6－x)］＝200x＋8 600(0≤x≤6)．
(1)若200x＋8 600≤9 000，则x≤2．
所以x＝0，1，2，故共有三种调运方案．
(2)由y＝200x＋8 600(0≤x≤6)可知，当x＝0时，总运费最低，最低费用是8 600元．
19．参考答案： (1)根据表中数据，表述西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系的函数决不是
单调函数，这与函数 Q＝at＋b，Q＝a·b
t
，Q＝a·log
b
t均具有单调性不符，所 以，在a≠0的前提下，
可选取二次函数Q＝at
2
＋bt＋c进行描述．
把表格提供的三对数据代入该解析式得到：
2 500a?50b?c?150
12 100a?110b?c?108
解得a＝
62 500a?250b?c?150
1
200
，b＝－
3
2
，c＝
425
2
1
．
所以，西红柿种植成本Q与上市时间t的函数关系是Q＝
－
3
200
t
2
－
3
2
t＋
425
2
．
(2)当t＝－
2?
2
＝150天时，西红柿种植成本Q最低为
1
200
13
425
Q＝×150
2
－×150＋＝10 0(元100 kg)．
2002
2
20．参考答案：高为88 cm，宽为55 cm．
解析：设画面高为x cm，宽为λx cm，λx
2
＝4 840，设纸张面积为S，有
S＝(x＋16)( λx＋10)＝λx
2
＋(16 λ＋10)x＋160，
第 24 页 共 26 页

将λ＝
88
2
16?484
4 840
x
代入上式可得，S＝10(x＋)＋5 000＝10(－)＋6 760，
x
2
x
x
所以，
x
＝

88
x
，即x＝88 cm时，宽为λx＝55 cm，所用纸张面积最小．
期末测试 参考答案
一、选择题
1．B 解析：
U
B＝{x|x≤1}，因此A∩
U
B＝{x|0＜x≤1}．
2．C 3．C 4．C 5． A 6．B 7．C 8．D
?
1
?
9．D 解析：由log
2
a＜0，得0＜a＜1，由
??
＞1，得b＜0，所以选D项．
?
2
?
b

x
10．C解析：∵ 4
x
＞0，∴0≤16－ 4
x
＜16，∴
16－4
∈[0，4)．
11．A 解析：依题意可得函数应在(0，＋∞)上单调递减，故由选项可得A正确．
12．A13．D 14．B
解析：当x＝x
1
从1的右侧足够接近1时，
f(x
1< br>)＜0；当x＝x
2
足够大时，
二、填空题
15．参考答案：(－∞，－2)． 16．参考答案：(－∞，0)．
17．参考答案：[4，＋∞)．18．参考答案：(－8，＋∞)．
三、解答题
?
3＋x＞0
19．参考答案：(1)由
?
，得－3＜x＜3，
?
3－x＞0
1
是一个绝对值很大的负数，从而保证
1－x
1
可以是一个接近0的负数，从而保证f(x
2
)＞0．故正确选项是B．
1－x
∴ 函数f(x)的定义域为(－3，3)．
(2)函数f(x)是偶函数，理由如下：
由(1)知，函数f(x)的定义域关于原点对称，
且f(－x)＝lg(3－x)＋lg(3＋x)＝f(x)，
∴ 函数f(x)为偶函数．
(a＋2)x＋2，x≥ －1
?
20．参考答案：(1)证明：化简f(x)＝
?

(a－2)x－2，x＜－1
?
第 25 页 共 26 页

因为a＞2，
所以，y
1
＝(a＋2)x＋2

(x≥－1)是增函数，且y
1
≥f(－1)＝－a；
另外，y
2
＝(a－2)x－2

(x＜－1)也是增函数，且y
2
＜f(－1)＝－a．
所以，当a＞2时，函数f(x)在R上是增函数．
(2)若函数f(x)存在两个零点，则 函数f(x)在R上不单调，且点(－1，－a)在x轴下方，所以a
?
(a＋2)(a－2) ＜0
的取值应满足
?
解得a的取值范围是(0，2)．
－a＜0
?
21．参考答案：(1)当每辆车的月租金定为3 600元时，未租出的车辆数为
以这时租出了100－12＝88辆车．
(2)设每辆车的月租金定为x元，则租赁公司的月收益为
3 600－3 000
＝12，所
50
1
x－3 000
?
x－3 000
?
f(x)＝
?
100－
×50＝－(x－4 050)
2
＋307 050．
?
(x－150)－
50
?
50
50
?
所以，当x＝4 050 时，f(x)最大，其最大值为f(4 050)＝307 050．
当每辆车的月租金定为4 050元时，月收益最大，其值为307 050元．


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