高中数学必修1-5公式总结

高中数学必修1-5常用公式及结论 天龙中学数学组编制

高中数学必修课本常用公式及结论
1．集合
{ann
1
,a
2
,?,a
n
}
的子集个数共有< br>2
个；真子集有
2?1
个；非空子集有
2
n
?1< br>个；非空的
真子集有
2
n
?2
个
2、二次函数的解析式的三种形式
(1)一般式
f(x)?ax
2
?bx?c(a?0)
;
(2)顶点式
f(x)?a(x?h)
2
?k(a?0)
;（当已知抛物线的 顶点坐标
(h,k)
时，设为此式）
(3)零点式
f(x)?a(x?x< br>1
)(x?x
2
)(a?0)
；（当已知抛物线与
x
轴的交点坐标为
(x
1
,0),(

x
2
,0)
时，设为此式）
3、方程
f(x)?0
在区间
(m,n)
内有根的充要条件为
f(m)f(n)?0
；

4、则复合函数
y?f[g(x)]
满足同则增异则减
5、奇偶函数的图象 特征：奇函数
f(?x)??f(x)
；偶函数
f(?x)?f(x)
奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称;反过来，如果一个函数的图象关于
原点对 称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数是偶函数
6常见函数的图像：
y
y
y
y
y
k<0k>0< br>a<0
2
x
y=log
a
x
y=x+
1y=a
o
x
o
x
x
0-1
o
1
x
0a>1
a>0
o
-2
1< br>1
x
y=kx+b
y=ax
2
+bx+c
o
x
a>1

6、多项式函数
P(x)?a
nn?1
n
x?a
n?1
x???a
0
的奇偶性
多项式函数
P(x )
是奇函数
?
P(x)
的偶次项(即奇数项)的系数全为零
多项式 函数
P(x)
是偶函数
?
P(x)
的奇次项(即偶数项)的系数全为 零
7、若将函数
y?f(x)
的图象右移
a
、上移
b个单位，得到函数
y?f(x?a)?b
的图象；若将曲
线
f(x,y) ?0
的图象右移
a
、上移
b
个单位，得到曲线
f(x?a, y?b)?0
的图象
8、几个函数方程的周期(约定a>0)
（1）
f(x)?f(x?a)
，则
f(x)
的周期T=a； （2）
f(x?a)?
1
f(x)
(f(x)?0)
，或
f(x?a)??
1
f(x)
(f(x)?0)
,则
f(x)的周期T=2a；
9、分数指数幂
m
(1)
a
n
?
1
,n?N
?
n
a
m
（
a?0,m，且
n?1
）
(2)
a
?
m
n
?< br>1
m
（
a?0,m,n?N
?
，且
n?1
）
a
n
10、根式的性质
（1）
(
n
a)
n
?a

（2）当
n
为奇数时，
n
a
n
?a
； < br>当
n
为偶数时，
n
a
n
?|a|?
?
?
a,a?0
a,a?0

?
?
11、有理指数幂的运算性质
(1)
a
r
?a
s
?a
r?s
(a?0,r,s?Q)

(2) < br>(a
r
)
s
?a
rs
(a?0,r,s?Q)

(3)
(ab)
r
?a
r
b
r
(a? 0,b?0,r?Q)

12、指数式与对数式的互化式:

log
b
a
N?b?a?N
(a?0,a?1,N?0)

13、对数的换底公式 :
log
log
m
N
a
N?
log
(< br>a?0
,且
a?1
,
m?0
,且
m?1
,< br>
N?0
)
m
a
对数恒等式：
a
log
a
N
?N
(
a?0
,且
a?1
,

N?0
)
推论
log
n
n
a
m
b?
m
log
a
b
(
a?0
,且
a?1
,

N?0
)
14、对数的四则运算法则:若a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，则
(1)
log
M
a
(MN)?log
a
M?log
a
N
; (2)
log
a
N
?log
a
M?log
a
N
;
(3)
log
n
?R)
; (4)
log
n
n
a
M?nlog
a
M(n
a< br>m
N?
m
log
a
N(n,m?R)

15 、设函数
f(x)?log(ax
2
?bx?c)(a?0)
,记
? ?b
2
m
?4ac
若
f(x)
的定义域为
R
,则
a?0
且
??0
;若
f(x)
的值域为
R< br>,则
a?0
，且
??0

16、平均增长率的问题（负增长时
p?0
）
如果原来产值的基础数为N，平均增长率为
p
，则对于 时间
x
的总产值
y
，有
y?N(1?p)
x
17、数列的通项公式与前n项的和的关系：
a
n
?
?
?
s
1
,n?1
ss
( 数列
{a
n
}
的 前n项的和为
?
n
?
n?1
,n?2
s
n
?a
1
?a
2
???a
n
)
18、等差数列的通 项公式：
a
n
?a
*
1
?(n?1)d?dn?a
1
?d(n?N)
；
其前n项和公式为：
s
n(a
1?a
n
)
?na
n(n?1)d
2
1
n
?
2
1
?
2
d?
2
n?(a
1
?
2
d)n

19、等比数列的通项公式：
aa
n?1a
n*
n
?
1
q?
1
q
?q(n?N )
；
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高中数学必修1-5常用公式及结论 天龙中学数学组编制

?
a
1
(1?q
n
)
?
a
1
?a
n
q
其前n项的和公式为
s
?
,q?1
?
,q?1
n
?
?
1?q
或
s
n
?
?
1?q

?
?
na< br>1
,q?1
?
?
na
1
,q?1
20、等比 差数列
?
a
n
?
:
a
n?1
?qa
n
?d,a
1
?b(q?0)
的通项公式为
?
b?(n ?1)d,q?
a
?
1
n
?
?
?
bqn
?(d?b)q
n?1
?d
?
q?1
,q?1
；
?
nb?n(n?1)d,(q?1)
其前n项和公式为：
s
?
n
?
?
(b?
d
)
1?q
n
d

?
?
1?qq?1
?
1?q
n,(q?1)21、同角三角函数的基本关系式 ：
sin
2
?
?cos
2< br>?
?1
，
tan
?
=
sin
?
co s
?
，
22、正弦、余弦的诱导公式（奇变偶不变，符号看象限）
sin (
n
?
?
n
n
2
?
(?1)
2< br>cos
2
?
?
)?
?
?
(?1)sin?
,(n为偶数)
n
?
?
?
,(n为偶数)
?
n?1
，
cos(?
?
)?
?
n?1
< br>?
(?1)
2
cos
?
,(n为奇数)
2
?
?
(?1)
2
sin
?
,(n为奇数)
23、和角 与差角公式

sin(
?
?
?
)?sin
?
cos
?
?cos
?
sin
?
;
cos (
?
?
?
)?cos
?
cos
?
?sin
?
sin
?
;
tan(
?
?
?
)?
tan
?
?tan
?
1
?
tan
?< br>tan
?

asin
?
?bcos
?
=a
2
?b
2
sin(
?
?
?
)
(辅助角
?
所在象限由点
(a,b)
的象限决
定,
tan
?
?
b
a
)
24、二倍角公式及降幂公式
sin2
?
?sin
?
cos
?
?
2tan?
1?tan
2
?

1?tan
2
cos2< br>?
?cos
2
?
?sin
2
?
?2cos< br>2
?
?1?1?2sin
2
?
?
?
1?ta n
2
?

tan2
?
?
2tan
?
1?tan
2
?

sin
2
?
?
1?c os2
?
1?cos2
?
2
,cos
2
?
?
2

25、三角函数的周期公式
函数
y?sin(
?
x?
?
)
，x∈R及函数
y?cos(
?
x??
)
，x∈R(A,ω,
?
为常数，且A≠0)的周期
T?2
?
|
?
|
；函数
y?tan(
?
x ?
?
)
，
x?k
?
?
?
?
2,k?Z
(A,ω,
?
为常数，且A≠0)的周期
T?
|
?
|
26、正弦定理 ：
a
sinA
?
b
sin B
?
c
sinC
?2R
（R为
?ABC
外接圆的半 径）
?a?2RsinA,b?2RsinB,c?2RsinC
?a:b:c?sinA: sinB:sinC

27、余弦定理
a
2
?b
2
?c
2
?2bccosA
;
b
2
?c
2
?a
2
?2cacosB
;
c
2
?a
2
? b
2
?2abcosC

28、面积定理
（1）
S?1
2
ah
11
a
?
2
bh
b
?
2
ch
c
（
h
a
、h
b
、h< br>c
分别表示a、b、c边上的高）
（2）
S?
1
2
absinC?
1
2
bcsinA?
1
2
casinB
29、实数与向量的积的运算律:设λ、μ为实数，那么
(1) 结合律：λ(μ
a
?
)=(λμ)
a
?

(2)第一分配律：(λ+μ)
a
?
=λ
a
?
;
+μ
a
?
;
(3)第二分配律：λ(
a
?
+
b
?
)=λ
a
?
+λ
b
?

不共线的向量
e
?
?
1
、
e
2
叫 做表示这一平面内所有向量的一组基底．
30、向量平行的坐标表示
设
a
?
=
(x
?
x
?
?
?
??< br>?
1
,y
1
)
,
b
=
(
2
,y
2
)
，且
b
?
0
，则
a?
b
(
b
?
0
)
?x
1
y
2
?x
2
y
31、
a
与
b
?的数量积(或内积)：
a
·
b
?
=|
a
?||
b
?
1
?0

??
|
cos
?

32、
a
?
·
b
?
的几何意义：
数量积
a
?
·
b
?
等于
a
?
的长度|< br>a
?
|与
b
?
在
a
?
的方向上的投 影|
b
?
|
cos
?
的乘积．
33、平面向量的 坐标运算
(1)设
a
?
=
(x
b
?
=
(x
?
?
1
,y
1
)
,
2
,y
2
)
，则
a
+
b
=
(x1
?x
2
,y
1
?y
2
)

(2)设
a
?
=
(x)
,
b
?
=
(x
?
?
1
,y
1
2
,y
2
)< br>，则
a
-
b
=
(x
1
?x
2
,y
1
?y
2
)

(3)设A
(x
1
,y
(x
???
1
)
?
，B
???? ????
2
,y
2
)
,则
AB?OB?OA?(x
2
?x
1
,y
2
?y
1
(4)设
a
?
=
(x,y),
?
?R
，则
?
a
?< br>)

=
(
?
x,
?
y)

(5)设
a
?
=
(x
?
?
·
b
?
1
,y
1
)
,
b
=
(x
2
,y
2
)
，则
a
=
(x
1
x
2
?y
1
y
2
)

34、两向量的夹角公式
cos
?
?
a
?
?b
?
x
1
x
2
?y
1
y
2
|a
?
|?|b
?
|
?
=
x
2
(
a
?
=
? y
2
?x
2
?y
2
(x
?
1
,y
1
)
,
b
(x
2
,y
2
)
)
1122
35、平面两点间的距离公式

d
???????????

?
22
A,B
=|AB|?AB?AB
?(x
2
?x
1
)?(y
2?y
1
)
(A
(x
1
,y
1
)
，B
(x
2
,y
2
)
)
36、向量的平行与垂直 ：设
a
?
=
(x
??
?
1
,y
1
)
,
b
=
(x
2
,y
2
)
，且
b
?
0
，则
a
?
||
b
?
?
b
?
=λ
a
?
?x
1
y
2
?x
2
y
1
? 0

a
?
?
b
?
(
a
?
?
?
0
)
?

a
?
·
b
?
=0
?x
1
x
2
?y< br>1
y
2
?0

37、设
O
为
?AB C
所在平面上一点，角
A,B,C
所对边长分别为
a,b,c
，则
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高中数学必修1-5常用公式及结论

（1）
O
为
?ABC
的外心
?
???
天龙中学数学组编制
OA
?
2
????
2
????
2
（2）
O
为
?ABC
的重心
?
???
O A
?
?
???
OB
????
?
?
OC?

????
?
???
OB?OC?0

（3 ）
O
为
?ABC
的垂心
?OA?OB
?
?
???
OB
?
?
???
OC
?????????
（ 4）
O
为
?ABC
的内心
?aOA
????
?bO B
????
?cOC
????
?OC
?
?
?OA< br>
0

38、常用不等式：
（1）
a,b?R
?< br>a
2
?b
2
?2ab
(当且仅当a＝b时取“=”号)． < br>（2）
a,b?R
?
?
a?b
2
?ab
(当 且仅当a＝b时取“=”号)．
39、斜率公式
k?
y
2
?y
1
（
P
1
(x
1
,y
1
)
、
P
2
(x
2
,y
2
xx
)
）
2
?
1
40、直线的五种方程
（1）点斜式
y?y
1
?k(x?x
1
)
(直线
l
过 点
P
1
(x
1
,y
1
)
，且斜率为
k
)．
（2）斜截式
y?kx?b
(b为直线
l
在y轴上的截距)
（3）两点式 y?y
1
y
?
x?x
1
?x
(
y1
?y
2
)(
P
1
(x
1
,y
1
)
、
P
2
(x
2
,y
2
)< br> (
x
1
?x
2
,y
1
?y
2
))
2
?y
1
x
21
两点式的推广：
(x
2
?x
1
)(y?y
1
)?(y
2
?y
1< br>)(x?x
1
)?0
（无任何限制条件！）
(4)截距式
x
a
?
y
b
?1
(
a、b
分别为直线的 横、纵截距，
a?0、b?0
)
（5）一般式
Ax?By?C?0
(其中A、B不同时为0)
41、两条直线的平行和垂直 < br>(1)若
l
1
:y?k
1
x?b
1
，
l
2
:y?k
2
x?b
2

①
l
1
||l
2
?k
1
?k
2
,b
1
?b
2
;

②
l
1
?l
2
? k
1
k
2
??1

(2)若
l
1
:A
1
x?B
1
y?C
1
?0
,
l
2
:A
2
x?B
2
y?C
2
?0
,且A
1
、A
2
、B
1
、B
2
都不为零, ①
l?
A
1
A
?
B
1
B
?< br>C
1
1
||l
2
；②
l
1
?l2
?A
1
A
2
?B
1
B
2
? 0
；
22
C
2
42、点到直线的距离 ：
d?
| Ax
0
?By
0
?C|
(点
P(x
0
,y
0
)
,直线
l
：
Ax?
A
2
?B
2
By?C?0
)
43、 圆的四种方程
（1）圆的标准方程
(x?a)
2
?(y?b)
2
?r
2

（2）圆的一般方程
x
2
?y
2
?Dx?Ey?F?0< br>(
D
2
?E
2
?4F
＞0)
44、直线与圆的位置关系
直线
Ax?By?C?0
与圆
(x?a )
2
?(y?b)
2
?r
2
的位置关系有三种(
d ?
Aa?Bb?C
A
2
?B
2
):
d?r?相离 ???0
;
d?r?相切???0
;
d?r?相交???0

45、证明直线与直线的平行的思考途径
（1）转化为判定共面二直线无交点；
（2）转化为二直线同与第三条直线平行；
（3）转化为线面平行；（4）转化为线面垂直；（5）转化为面面平行
46、证明直线与平面的平行的思考途径
（1）转化为直线与平面无公共点；
（2）转化为线线平行；
（3）转化为面面平行
47、证明平面与平面平行的思考途径
（1）转化为判定二平面无公共点；
（2）转化为线面平行；
48、证明直线与直线的垂直的思考途径
（1）转化为相交垂直；
（2）转化为线面垂直；
49、证明直线与平面垂直的思考途径
（1）转化为该直线与平面内任一直线垂直；
（2）转化为该直线与平面内相交二直线垂直；
（3）转化为该直线与平面的一条垂线平行；
（4）转化为该直线垂直于另一个平行平面
50、证明平面与平面的垂直的思考途径
（1）转化为判断二面角是直二面角；
（2）转化为线面垂直；
51、空间两点间的距离公式
若A
(xz
????????????222
1
,y
1
,z
1
)
，B
(x< br>2
,y
2
,
2
)
，则
d
A,B=
|AB|?AB?AB
?(x
2
?x
1
)?(y2
?y
1
)?(z
2
?z
1
)

52、棱锥的平行截面的性质
如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么所得的截面与底面相似 ，截面面积与底面面积的比等
于顶点到截面距离与棱锥高的平方比（对应角相等，对应边对应成比例的多 边形是相似多边形，
相似多边形面积的比等于对应边的比的平方）；相应小棱锥的体积与原棱锥的体积的 比等于顶
点到截面距离与棱锥高的立方比；相应小棱锥的的侧面积与原棱锥的的侧面积的比等于顶点到< br>截面距离与棱锥高的平方比．
53、球的半径是R，则其体积
V?
4
3
?
R
3
,其表面积
S?4
?
R
2
．
54、球的组合体
(1)球与长方体的组合体: 长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长
(2)球与正方体的组合体:正方体的内切球的直径是正方体的棱长, 正方体的棱切球的直径是正
方体的面对角线长, 正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长
55、柱体、锥体的体积
VSh
（
S
是柱体底面积、h
是柱体高）
V
1
柱体
?
锥体
?
3< br>Sh
（
S
是锥体底面积、
h
是锥体高）
56、等可能性事件的概率：
P(A)?
m
n

57、互斥事件A，B分别发生的概率的和：P(A＋B)=P(A)＋P(B)．
58、
n
个互斥事件分别发生的概率的和：
P(A
1
＋A
2
＋?＋A
n
)=P(A
1
)＋P(A
2
)＋?＋P(A
n
)．
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高中数学必修1-5常用公式及结论 天龙中学数学组编制

59、独立事件A，B同时发生的概率：P(A·B)= P(A)·P(B)
2011山东数学会考模拟试题
一选择题
1．已知集合A?{?1,0,1,2,3}
，
B?{x|
1
x
?0}
，则
A?B
等于
A
?1
B
?
?1
?
C
(??,0)
D
?
?1,0
?

2．已知等差数列
{a
n< br>}
中，
a
7
?a
9
?16,
，则
a
8
的值是
A 5 B 6 C 7 D 8
3．一条直线若同时平行于两个相交平面，则这条直线与这两个相交平面的位置关系是
A 异面 B相交 C平行 D平行或相交
4．若向量|a|=1,| b|=2, c= a+ b且c⊥a，则向量a与
b
的夹角为
A
30
?
B
60
?
C
120
?
D
150
?

5．已知正方体的外接球的体积是
32
3
?
，那么正方体的棱长等于
A
22
B
23
3
C
4243
3
D
3

6．函数
y?cos2x
在下列哪个区间是减函数
A
?
?
?
?
?
4
,
?
?
4
?
?
B
?
?
?
?
?
4
,< br>3
?
?
4
?
?
C
?
?
?
0,
?
?
2
?
?
D
?
?
?
?
?
2
,
?
?
?

7．在下列函数中，函数的图象关于y轴对称的是
A
y?x
3
B
y?log
x
1
x
C
y?cosx
D
y?2

2
8．将
y?cosx
的图象上的所有点的纵坐标不变，横坐标缩小到原来的一半，然后 再将图象沿x轴
负方向平移
?
4
个单位，则所得图象的解析式为
A
y?sinx
B
y??sin2x
C
y?cos(2x?
?
4
)
D
y?cos(
x
?
2
?
4
)

9．设我方每枚地对空导弹独立地击中敌机的概率为
0?8
，如果要以99%的把握击中来犯敌 机，则
至少要同时发射导弹
A 2枚 B 3 枚 C 4枚 D 5枚
10.建造一个容积为8
cm
3
，深为2
m
的长方体无盖水池，如果 池底和池壁的造价每平方米分别为
120元和80元，那么水池的最低总造价为
A 1700元 B 1720元 C 1740元 D 1760元
二、填空题
11、已知函数
f(x)?
?
?< br>2
x
,(x?4)
?1),(x?4)
，
?
f(x
那么f(5)的值为____________
12、在[-π, π]内，函数
y?sin(x?
?
3
)
为增函数的区间是_____ _______
13、设┃a┃=12，┃b┃=9，a
?
b=-54
2
，
则a和 b的夹角θ为____________
三、解答题
14、已知a =（2，1）b=（λ，-2），若a⊥ b，求λ的值






15、已知
?
a< br>n
?
是各项为正数的等比数列，且a
1
=1，a
2
+ a
3
=6，求该数列前10项的和S
n






16、已知函数
f(x)?
3
2
sinx?< br>1
2
cosx,x?R

求f(x)的最大值，并求使f(x)取得最大值时x 的集合

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