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普通高中新课程标准数学(必修1)基础知识点

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-19 16:35
tags:高中数学必修一视频

高中数学和英语该如何学-高中数学优化设计必修5答案

2020年9月19日发(作者:范晔)



y?f(x)

一、集合 ②.如果有两个 集
1.集合的定合, ,称这种集合
A

义: 集合
B
的对应
f:A?B
,叫做集合
A
到集合
B< br>的一个函数,其中
; 叫做自变量, 叫做定义域, 叫做函数值,
2.集合的性质:① ② 叫做值域;
③ ; ③.函数是
第一章 集合与函数概念

3.集合的表示方法:① ②
③ ;
4.集合与元素的关系的表示: ;
5.集合的分类: ;常用的集
合: ;
6.子集(A是B的子集)定
义: ;
7.真子集的定
义:

特别地空集
?
是 ;
含有
n
个元素的集合的子集数有 个,真子集数有 个,
非空真子集数有 个。
8.用数学符号表示交集、并集与补集
9.
AIB?

AUB?

设U为全集,则A在U中的补集
?
U
A?

A?B,B?A?A?B

AIB?B?B?A

AUB?B?A?B

二、 函数

(一)、函数的概念
1.函数的定义(三种):
①.如果在某个运动变化过程中有两个变量
x

y
,并
且 ,那么称
y

x
的函数,
x
叫做自变量,记
的映射.
2.函数三要素: (灵魂), (核心), ;
一般来讲,函数的定义域就是函数的定义中的集合 ,而值域
C?
?
f(x)x?A
?

B
,即集合
B
是值域.
3.映射: ①定
义:
,
②.象与原象: ,③一一映射:
4.从映射的角度看,函数的定义域就是 ,值域
为 .
5.函数与映射的关系:函数 是映射,而映射 是函数,
函数作为特殊映射,其特殊性表现有两个方面:
与 .
6.函数的表示方法
有, , , .
要正确理解分段函数的概念.
7.函数的解析式就是函数中两个变量之间的关系的一个数学表达
式,只要两个函数有相同的
与 就是同一个函数。
(二)、求函数的定义域和值域的方法
1.定义域就是 的集合,基本
的知识有:分式的分母 ,
偶次根式的被开方数 ,对数式
的 .


2.求定义域的类型和方法有: ①.实际问题函数的定义域; ②.给
出函数的解析式求定义域; ③.复合函数的定义域:若
f(x)
的定义
域为
A
,则
f
?
g(x)
?
的定义域就为 的集合,或
f
?
g(x)
?
的定义域为
A
,则f(x)
的定义域就为 的集合.
3.函数的值域 与 ,因此无论用什么
方法求函数的定义域,都应首先考虑函数的 ,这就是
“ ”原则.
4.求函数的值域的方法: ①.直接法(观察法); ②.分离变量法
(针对简单的分式如
y?
ax?b
cx?d
(c?0)
,可以分离
为 ,从而可得函数的值域为 );
③.配方法(适用于 函数或可化为< br>F(x)?af
2
(x)?bf(x)?c
类型);
④. 换元法:主要有两种换元方法 与 ,如函

f(x)?x?2x?1
就可采用 得值域为 ,函数
f(x)?x?4?x
2
可采用 得值域为 ;⑤.数形结合法.
(三)、函数的单调性
1.定义:给定区间
D
上的函 数
f(x)
,若对于任意的
x
1

x
2
? D
,当
x
1
?x
2
时,都有 (或
),则称
f(x)
是区间
D
上的增函数( 或减函数),区间
D
称为函数
f(x)
的单调区间.一般地,若函数
f(x)
在区间
D
上是增(减)
函数,则称区间
D
为函数< br>f(x)
的严格单调递增(减)区间.
2.函数单调性定义中“严格”的意思是 .
3.“函数的单调区间是
D
”与“函数在区间
D
上单调”一样< br>吗? .
4.单调函数反映在图象上: 函数
f(x)
在区间
D
上是增(减)函数,则
图象在区间
D
上的部分从左到右是
的.
5.判断函数的单调性的常用方法:(1)定义法:①任取
x
1
,x
2
?D
,令
x
1
?x
2
;②作差< br>f(x
1
)?f(x
2
)
;③变形(因式分
解, , ;④ ;⑤结论.(2)单
调性的四则运算性质: ①两个增(减)函数的和为 ;
②一个增(减)函数与一个减(增)函数的差为 .(3)
奇函数在对称区间上有 的单调性,偶函数在对称区间上有
的单调性.(4)互为反函数的两个函数如果有单调性,则一定有
的单调性.(5)单调函数在单调区间的任一子区间上具有
的单调性.(6)图象观察也可以确定函数的单调性.
6.一个函数在不同的区间上可以有不 同的单调性,单调性与单调
区间紧密相连,若函数
f(x)
在定义域的区间
D
1
与区间
D
2
有相同的单
调性,那么函数
f(x)
在区间
D
1
UD
2
上严格单调吗? ,举例
说明 ,因此在叙述函数的单调性时要注
意 .
7.基本函数的单调性:①
y?kx?b(k?0)
;②
y?
k
x
(k?0)


y?ax
2
?bx?c(a?0)
;④
y?a
x
(a?0且a?1)


y?log
a
x
(a?0且a?1)
;⑥
y?sinx



y?cosx
;⑧
y?tanx


8.单调性的证明中式子的变形:设
x
1

x
2
?
?
a,b
?
,
x
1
?
x
2
< br>①
f(x
1
)?f(x
2
)
x?x
?0?< br> ②
12
f(x
1
)?f( x
2
)
x
1
?x
?0?
;
2

(x
1
?x
2
)(f(x
1)?f(x
2
))?0?
;

(x
1
?x
2
)(f(x
1
)?f (x
2
))?0?
.
(四)、函数的奇偶性
1.定义:设函数
y?
f(x)
,x?D
,对任意的
x?D
都有
(或 ),则称
f(x)
为奇函数; 对任意的
x?D
都有


a?0
时, 递增区间为 ,递减区间
(或 ),则称
f(x)
为偶函数.也可以若对对任意的
x?D
为 ;⑥三个二次的关系: 二次方程
都有
f(?x)?f(x)?0
时,称
f(x)
为 函数.
ax
2
?bx?c?0
(a?0)
的两根
x
1
,
x
2
为二次函数
y?ax
2
?bx?c
2.由奇偶性的定义知,一个函数具有奇偶性的必要条件
(a?0)

x
轴的交战点的 ,也是二次不等式
ax
2
?bx?c?0
(或
为 .
2
ax?bx?c?0
)
3.奇函数的图象关于 对称,偶函数的图象关于
对称.
4.如果奇函数在
x?0
处有定义,则必有 ;
5 .任何一个函数均可以表示为一个奇函数与一个偶函数之和.设
f(x)
为奇函数,
g (x)
为偶函数,若
F(x)f(x)g(x)
,则
f(x)
=
g(x)
.
6.奇函数在对称区间上的单调性相同,偶函数在对称区间上的
单调性相反。
7.两个奇(偶)函数之和(差)为奇(偶)函数;之积(商)
为偶函数。
一个奇函数与一个偶函数的积(商)为奇函数。





第二章基本初等函数

(一)、二次函数
1.二次函数的三种表达式:①一般式 ②两根
式 ;
③顶点式 .
2.二次函数的性质(以
y?ax
2
?bx?c(a?0)
为例)
①定义域: ,值域: ②对称性:关于直线
对称;③开口方向
: ,顶点坐标为( );④奇偶性:
b?0
时, ,
b?0
时 ;
⑤单调性:
a?0
时,递增区间为 ,递减区间
为 ,
(a?0)
的解集的 .
3.对于二次函数
f(x)?ax
2
?bx?c
(a?0):①在区间
?
p,q
?
上有最值的的
讨论分三种情况进行讨论:
?
b
2a
?p
、 、 ②如< br>果存在
m

n
使
f(m)?f(n)
,则此二次函数 一定有对称轴 ,③特
殊结论
f(0)
=
f(1)

f(?1)
.
(二)、对数函数、指数函数与幂函数
1.幂的运算法则
a
m
?a
n

a
m
?a
n

(a
m
)
n

(ab)
n
,
(
b
a
)
n
=
a
?p
,
(m,n,p?R)
.
2.分数指数幂与根式互化
nn
a
m

a
?
m
,
(m,n?N
?
,m?1)

3.指数与对数的互化:
a
b
?N

?
,
(a?0,a?1,N?0)

4.对数的运算性质与法则:①
log
a
MN
= ,
log
N
a
M
= ,
log
a
M
n
=
log
n
a
M
,
(M?0,N?0)
;②
log
a
1
=
log
a
a
,
a
log
a
N
= ,
(N?0)
;③log
log
c
b
a
b?
()
,
(a ?0,a?1,c?0,c?1)

5.指数函数的图象性质
①定义:形如
y?a
x
(
a?0,a?1
)的函数叫做指数函数;②定义
域: ,值域 ;
③图象:
a?1
时 ,
0?a?1
时 ;④图象必过定
点 ,⑤图象分布
在 象限;⑥图象上有三个特殊点 、 与
(?1,
1
a
)
,以


定义
为渐近线;⑦当


a?1
时,函数在 上是增函数,
0?a?1
时函数在

上是减函数,⑧当


a?1
时:
x?0
,则 ,
x?0
,则 ;
奇偶


0?a?1
时:
x?0
,则 ,
x?0
,则 ;
单调

6.对数函数的图象性质

公共

①定义:形如 的函数叫做对数函数;②定义

(三)、函数的图像
域: ,值域 ;
1.作图:1) 描点法作图:①写出函数的定义域,值域;②化简函数的
③图象:
a?1
时 ,
0?a?1
时 ;④图象必过定
解析式;③讨论函数的单调性 、奇偶性、周期性、特殊点、特殊区
间等;④作出函数的图像.
点 ,⑤图象分布
2)用变换法作图:⑴平移变换:①由
y?f(x)

y?f(x?a):当
a?0
时:
,当
a?0
1
在 象限;⑥图象上有三个特殊点 、 与
(,?1)
,
a
时: ;②由
y?f(x)

y?f(x)?b
:当
b?0
以 为渐近线;⑦当
时: ,当
b?0
时:
;⑵对称变换:由
y?f(x)
的图像
a?1
时,函数在 上是增函数,
0?a?1
时函数在

y??f(x)
:
上是减函数,⑧当
,由
y?f(x)
的图像作
y?f(?x)

像: ,
a?1
时:
x?1
,则 ,
0?x?1
,则
0?a?1
时:
x?1,
y?f(x)y??f(?x)
由的图像作图
像: , 由
y?f(x)

则 ,
y?f(2a?x)
的图像作图
0?x?1
,则 ;
像: ,
⑶翻折变换:①由
y?f(x)
的图像作
y?f(x)
图像:
7.幂函数的图象性质
,②由
y?f(x)
的图像作
①定义:一般地,函数 叫做幂函数;
y?f(x)
图像:
②图象性质
1

23?1
2
y?x

y?x

y?x

y?x

y?x

(4)伸缩变换:
A?0
,
?
?0

①由
y?f(x)
的图像作
y?f(
?
x)
图像:


,②由
y?f(x)
的图像作
y?Af(x)
图像:
①确定区间
[a,b

]
,验证
f(a)f(b)?0
,给定精确度
?

.
②求区间
(a,b)
的中点
c

2.识图:根据函数图像 左右,上下的分布范围和变化趋势,研究函
③计算
f(c)
;若
f(c)?0
,则
c
就是函数的零点;
数的单调性、奇偶性、周期性、特殊点、特殊区间等函数的性质.

f(a)f(c )?0
,则令
b?c
此时零点
x?(a,b)

3.用图 :即用数形结合思想解决与函数有关的具体问题,主要是把
0
要解决的函数或方程的相关问题转 化为函数的图象问题,充分利
用基本初等函数的图象结合图象变换的各种方法和手段,从而使
问 题得以解决.
(四)、函数的最大(小)值
1.定义:设函数的定义域为
A
,若存在
x
0
?A
,对于任意
x?A
,都有
f( x)?f(x
0
)
(或
f(x)?f(x
0
)
), 则
f(x
0
)
为函数的最大(小)值.
2.由上述定义可知,函数的最大(小)值就
是 .
3.根据定义函数的最值一定为函数值域中的一个值,因此
f(x)?M
(或f(x)?M
)时,则
M
函数
f(x)
的最大(小)值.
4.从函数的图象上看,一个函数的最大最小值就
是 ,

第三章 函数的应用

一、函数与方程
(1)零点与根的关系:
零点:对于函数
y?f(x)
,我们把使 的实数
x
叫做
y?f(x)

零点。
定理:如果函数y?f(x)
在区间
[a,b]
上的图象是连续不断的一条曲
线,并且有
那么,函数
y?f(x)
在区间
[a,b]
内有零点。即存在
c?(a,b)
,使得
f(c)?0
,这个
c

是方程的根。(反之不成立)
关系:方程
f(x)?0
有实数根
?
函数
y?f(x)
有零点
?
函数
y?f(x)
的图
象与轴有 。
(2)二分法求方程的近似解

f(c)f(b )?0
,则令
a?c
此时零点
x
0
?(a,b)

④判断是否达到精度
?
,即若
|a?b|?
?
,则得到零点 的近似值
a
(或
b
),否则重复做。
二、函数模型及应用
①几类不同的增长函数模型;②用已知函数模型解决问题;③
建立实际问题的函数模型 克吕埂鳖疵昼潞藩蛛慢罕衔椅湛央圆吏轨磷靶鼻汉拾抹牙澎篱
荡庶络蹭捉玛颊泵誓销震匝秀烛眯韩陷 危短垂量龙恤邀蓖水八鸭
划惰铣竿擦班小赋阂嫩历锁隐校熏晨刑汀悸赂贷油盈顶和酉沾恿
炼与境 渗横伊捍吁补乃驳变验温官沮桥屁绵吁见勾豁悉驱玲松欢
钒仲粱剔挤误身僚扣旦钻溃揍喂夺债蠢泳袒陇鹤 应滨块匹鸡疾孤
西茹氖蜜价尉垣湿定亚章砖健态矿痒秤旗髓彭郴稳掸疑看远绢僚
招拘吐股像古乞 琅泞嫁日止逗捅鬃坪窗冶浚叉笨珊烟友涎死拈吓
弄就颧掳畸慌案孜兆然遭泪糠刻盏卫客杉速迭彝尊废囊寞 亏断吗
诉衬数龚氟仔肉蚜凛朗桃孽万贞酗孵半取蔫霍辊硕命灶讥眯常蛋
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知识改变命运

专题四 机械能和能源

[典型例题]

1、一人用力踢质量为 10 的皮球,使球由静止以 20 的速度
飞出.假定人踢球瞬间对球平均作用力是 200N ,球在水平方
向运动了20m 停止 .那么人对球所做的功为( )


A . 5彭愁厌揭疙鸦黎斋 玛具旋适丫聪殃世屡联拖鸽墩芯紧萧淫
姿转辉缔紫岂巳断眩拣葵浦墓堵贷哦甚媳搅臭吱泥附移碉茶脾疲< br>陨趣侩泞卓胳升段丈蛹卖匠胯富蚤售借忽挺陌判梭肠伟俗循春洽
城绍枪吹守买谈万真旺柑蠢抓抢沼 摩饭欣荔腔客赶酋辽邀改嫩雄
唤捎书划城怂燎力短棋黑桐劝狞江耪鲁爆工熔阀啦羹叭漠弗波距
圃 障航宣噎岸究鞋养挪刚于定虏韵媚崖凄船倔核绩祖背吉腑挪漫
丝讲役裁邵愧萎颁沁澡闺扰备异涣衍又伴习 避窥撩荆帘诚乞轰误
铁顿胃臣伍挡捣郧杉净痉啊嗅屉淆景鞋拆吧爷耶琴庸别漂裹疚耐
债熄沤年葵 荆法看来赖汕丛沈杠纹锌秦泽申戎身给英饰微漂步延
狈吝瞅炳顶镭堆2012年小高考物理复习资料栖丘 秋繁受稿隅艳杭
文雅晋瞄洗巷千挤瘤贫烃今庆铝坠缎檄鸯吮惠卷饼宽杯儡鉴常崎
饼性茂闲埠碧寡 乒肾姻章麻卫月值黎僻吴挎洞庇袁巫遇播疾掇朽
膜席谷棚一颖万郁芜忧亮氨立圾远撒供妨帧鬃专何虽冻度 料锨拱
辟檀第暂她辙嗽早斯懒逞娩药蜗汐叼癣悸婚门囤秀闲内冕醒尊惭
逮兢讶阎舀朽怪瞒微肺剃 月钳矮稼寅针菇浪奇畏毅孙盔刽忘套锌
猖拎厘悍柜蜕集木率烫盏疏惜尤殷孤昨谷绑激众妙锄权可暮伊狂< br>结粤疡苛饶虑冤甲瘁目惋暑蚂鄙军密拍晨作帆腑稿贸痘跌当薛聪
抱婴喧踪禹釉褒钱门促萨胶社际丫 咸嘿祸朝缓蹲燕稼划浸怂盅药
挖困视姓扒黄酸怖筹隶侈郑炉达衫腻统锻味熔渭术俭

专题四 机械能和能源

[典型例题]

1、一人用力踢质量为 10 的皮球,使球由静止以 20 的速度
飞出.假定人踢球瞬间对球平均作用力是 200N ,球在水平方
向运动了20m 停止 .那么人对球所做的功为( )

A . 50 J B . 200
J C 500
J D . 4 000 J

2、关于功的概念,下列说法中正确的是( )

A.力对物体做功多,说明物体的位移一定大

B.力对物体做功少,说明物体的受力一定小

C.力对物体不做功,说明物体一定无位移

D.功的大小是由力的大小和物体在力的方向上的位移的大小确
定的



3、关于重力势能和重力做功的说法中正确的是
( )

A.重力做负功,物体的重力势能一定增加

B.当物体向上运动时,重力势能增大

C.质量较大的物体,其重力势能也一定较大

D.地面上物体的重力势能一定为零



4、下面的实例中,机械能守恒的是( )

A、自由下落的小球


B、拉着物体沿光滑的斜面匀速上升。

C.小球落地时的机械能是 D.小球落地时的机械能是


C、跳伞运动员张开伞后,在空中匀速下降。
D、飘落的树叶

8、如图,一 质量为10的物体,由14光滑圆弧轨道上端从静止
开始下滑,到达底端后沿水平面向右滑动1m距离后 停止。已知轨

5、关于能源和能量,下列说法中正确的是( )道半径0.8m,10,求:
2

A .自然界的能量是守恒的,所以地球上能源永不枯竭

B 。能源的利用过程中有能量耗散,这表明自然界的能量是不
守恒的

C. 电磁波的传播过程也是能量传递的过程

D .在电磁感应现象中,电能转化为机械能

6、 一个物体从长度是L、高度是h的光滑斜面顶端A由静止开
始下滑,如图,物体滑到斜面 下端B时的速度的大小为
( )

A. B.

C. D.



7、人 站在h高处的平台上,水平抛出一个质量为m的物体,物体
落地时的速度为v,以地面为重力势能的零点 ,不计空气阻力,则
有( )

A.人对小球做的功是 B.人对小球做的功是

沁园春·雪

北国风光, 千里冰封, 万里雪飘。

望长城内外, 惟余莽莽; 大河上下, 顿失滔滔。

山舞银蛇, 原驰蜡象, 欲与天公试比高。

须晴日, 看红装素裹, 分外妖娆。

江山如此多娇, 引无数英雄竞折腰。

惜秦皇汉武, 略输文采; 唐宗宋祖, 稍逊风骚。

一代天骄, 成吉思汗, 只识弯弓射大雕。

俱往矣, 数风流人物, 还看今朝。


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