美国高中数学核心概念图

美国高中数学核心概念图

美国高中数学核心概念图
人民教育出版社 宋莉莉 章建跃（通讯作者）
王 嵘 华东师范大学数学系 周 丹
摘 要：数学核心概念的确立、组织和呈现方
式反映了一个国家数学课程、教材的主要特点。< br>从美国数学课程标准中析出高中核心概念集，结
合课程标准的解释性文件，以教科书内容结构为< br>线索绘制核心概念图，探讨了美国数学课程、教
材在构建核心概念体系上的主要特点，并对我国< br>高中数学课程、教材建设提出建议。

关键词：核心概念，概念图，高中数学，美国

目前，数学核心概念在数学课程中的重要性已
引起国际数学教育界的关注。围绕核 心概念的研
究有三个基本问题：（1）怎样的概念具有“核
心”地位；（2）哪些是核心概念； （3）核心概
念是如何组织和呈现的。对于问题（1），国际
上已有许多研究成果，人民教育出 版社中学数学
室牵头的“中学数学核心概念、思想方法结构体
系及教学设计的理论与实践”课题 也进行了较深

入的探讨。本文将以美国高中数学课程为例，讨
论问题（2）和问 题（3）。

美国国家数学教师理事会（NCTM）2000年
发布的《学校数学 教育的原则和标准》
[1]
（下文
简称《原则和标准》）明确提出了“数与运算”“代数”“几何”“度量”和“数据分析与概率”
五个领域的内容标准，旨在设立面向所有学生的< br>课程核心
[2]
。2009年，NCTM又出版了《高中
数学的焦点：推理和数 学意识》（Focus in High
School Mathematics : Reasoning and Sense
Making
[3]
），探讨了《原则和 标准》中高中阶段
内容的焦点，将推理和数学意识作为高中数学课
程的核心，希望以此来贯穿高 中阶段所有内容的
学习和教学。本文在研究《原则和标准》中9～
12年级的内容标准，参考《 高中数学的焦点：
推理和数学意识》（下文简称《高中焦点》）以
及美国芝加哥大学编写的UC SMP（University of
Chicago School Mathematics P roject）系列教科
书（此套教科书体现了《原则和标准》的各项标
准和教育理念）的基础 上，试图析出一个美国高
中数学的“核心概念图”，并探讨美国数学课程、

教材 在处理核心概念上的特点，以期为我国高中
数学的课程设置、教材建设提供有益的参考。

一、美国高中数学核心概念集

核心概念集是由核心概念及其生长出的子概
念组成的知识体系
[4]
，为了获得各领域的核心概
念及其子概念，我们先对《原则 和标准》中9～
12年级五个领域的内容标准分别绘制了概念图，
以明确概念之间的层次和联系 。

概念图（Concept Map）是20世纪60年代美
国康奈尔大学的诺瓦克(Joseph )教授等
根据奥苏贝尔(David P. Ausubel)的有意义学习
理论提出的一种教 学策略，其基本思路是用节点
代表概念，用连线表示概念间的联系。这样就实
现了以科学命题的 形式显示概念之间的意义联
系，从而把所有的基本概念有机地联系起来（梁
竹，2010）。我 们按照下面的步骤绘制概念图：

1.列举知识点。这里选取各领域中的基本知识
作为绘制概念图的节点。（注：这里所说的“基

本知识”内容很广泛，包括概念、技能和 思想方
法等，基本知识的维度也不同，如“复数”与“整
数间的关系”两个维度的知识可能同时 被析出。
用于描述基本知识的关键词是标准当下界定的
具体知识点，如“度量”标准中“应用‘ 逐次逼
近’‘上下界’‘极限’等概念”，说明本学段
的重点不在于认识这些概念本身，而是在 度量情
境中使用它们。）

2.确定知识等级。根据知识的概括性和包容性
确定知识的等级，按照从上位到下位逐渐分化的
原则对知识进行分层。（注：每个知识点在概念
图中只能出现一次。）

3.建立层级连接。用线条将相关概念连接起
来，这种 连接可以是建立在同一模块间的连接，
也可以是建立在不同模块间的交叉连接。连线类
型一般为 单向，表示同一模块概念间的上下位从
属关系或概念间的相关关系，必要时在连线上用
连接词标 明概念之间的关系。

在概念图中，我们规定领域名称（如图1中的
“代数”）为“根”概念，属于第0层，与根概
念直接连接的概念为第1层的概念。由于第1层
的概念在概括性和包容性上是最高的，我们将其
作为该领域的核心概念；与核心概念直接连接的
概念，则看成由核心概念生长出的子概念。表1
是完成上述步骤1、2而析出的五个领域的核心
概念及其子概念集，我们将其作为美国高中数学
核心概念集，它呈现了美国高中数学核心概念的
纵向发展脉络。

表1 美国高中数学核心概念集
领核心概念
域
数
与
运
算
数系
数 很大的数，很小的数，数的表
征
有理数，无理数，复数，向量
（注：作为系统），矩阵（注：
作为系统）
运算的意义 乘、除、幂、求方根运算对数
值的影响，矩阵的加法和乘法
的性质与表征 ，向量的加法和
子概念

乘法的性质与表征，排列、组
合的意义
运算与估算 实数的运算，矩阵的运算，向
量的运算，数字计算和答案的
合理性
代
数
函数 关系和函数，函数的各种表征
形式，函数的变换，函数的性
质
代数符号 用符号代数 表征和解释数学
关系，代数表达式、方程、不
等式及关系的等价形式和意
义，评价和识 别符号运算的结
果、意义、作用及合理性，解
方程、不等式和方程组
数学模型 用函数建模，用迭代和递归符
号表征关系，解释模型化的问
题情境
各种情境中用图象和数字形式的数字逼
的变化关系 近和理解变化率
几二维和三维二维和三维空间中物体的性
何 几何图形 质和特点，二维和三维空间中
不同几何物体之间的关系，用

三角关系式确定长度和角
关于二维和提出假设，用演绎支持假设的
三维空间中 可靠性，解决有关问题，判断
几何关系的他人的论据
数学推理
坐标系 笛卡尔坐标系，其他坐标系
变换 平移变换，旋转变换，反射变
换，伸缩变换，简单变换及其
复合，用草图、坐标、向量、
函数记号以及矩阵理解和表
示
描绘几何物二维和三维空间中几何物体
体和 的表示，使用几何模型，使用
几何模型 几何思想
度理解度量 选择单位和比例尺度
量
实施度量 分析精密度、准确度和 近似误
差，运用面积公式、表面积公
式和体积公式，应用“逐次逼
近”“上下界”“极 限”等概
念，单位分析
数提出用数据理解各种研究之间的差别，明
据表达的问题 确研究的推论，了解经过良好

分
析
设计的研究的特点
度量数 据、分类数据、单变量
与
收集、组织、数据、多变量数据、变量，直
概
展示数 据 方图、平行框图、散点图，基
率
本统计量
单变量数据，双变量数据，至
分析数据 少一个变量是分类变量的双
变量数据
模拟样本统计量的变异性，用
样本统计量反映总体参数，以
推理、预测 样本分布作为非正式推断的
基础，评价研究报告，理解基
本统计在质量监督中的应用
样本空间，概率分布，模拟经
验概率的分布，随机变量的期
概率的概念
望值，条件概率，独立事件的
概率，复合事件的概率

二、美国高中数学核心概念图

核心概念的强大生长力和深刻的思想性，决
定了它必然具有内容的丰富性、联系的广泛性、

表现方式的多样性和育人功能的全面性 等特点
[4]
。为了进一步了解美国高中数学核心概念的发
展脉络和联系通道，我们以 《高中焦点》确定的
《原则和标准》中的关键元素（key elements）
为依据，并以 UCSMP系列教科书内容结构为线
索，重点探究了三个领域中概念的纵向发展主线
和横向联系 点，希望从中析出核心概念的关系网
络，并绘出三个领域的核心概念图。由于“数与
运算”和“ 度量”领域的内容不是美国高中数学
的重点内容，我们重点对“代数”“几何”和“数
据统计与 概率”三个领域进行了分析，与此相关
的教科书是Advanced Algebra
[5]
，Geometry
[6]
和
Functi ons
，
Statistics
，
and Trigonometry
[7]
。

（一）代数领域核心概念图

图1是美国高中代数领域的核心概念图。由
图可见，整个代数领域的概念构成了一 张纵横交
错的网，这张网中有4个明显的节点——“代数
符号”“函数”“数学模型”和“各种 情境中的
变化关系”，其中“函数”处于整张网的核心位
置。由函数生成了4个子概念，这些子 概念通过

各种通道与其他核心概念及其子概念，以及其他
领域产生联系。具体表 现为：

1. 关系和函数这个子概念说明美国高中数
学将函数定位为一种特殊的 关系，而由其中的
“二次关系”出发讨论二次曲线和二次曲线的分
类
[5]
， 体现了代数与几何的联系。

2. 函数的各种表征形式显示函数主要包括
三种表 征形式——符号、表格和图象，美国课程
关注的用显示方式或递归方式定义的函数归纳
模式属于 函数的符号表征。而函数的符号表征与
代数表达式和方程具有等价形式，这表明了函数
与代数符 号的联系。这种等价形式也使得解方
程成为“已知函数值求相应的自变量的值”的过
程，并且为 借助函数图象求解部分方程、方程组
和不等式组等成为可能。函数的图象表征还可以
用于理解逼 近和变化率等概念，为分析变化关系
提供了手段，而各种情境中的变化关系中主要
涉及两种变化 关系，直接变化和反向变化
[5]
，它
们都是函数关系，其中的反向变化关系是构建逆
变化模型的基础。在函数的各种表征形式中
①
②
⑤
⑥
[5]
②

还特别关注了二次函数的各种表征，其中涉及的
二次函数知识被应用 于构建二次模型，体现了函
数与数学模型
⑦
的联系。

3. 函 数的变换主要包括算术合成、复合和求
逆，函数符号的使用使得这些变换的形式表示成
为可能。 例如，函数的四则运算可以表示为f±g，
f·g和f g，从而体现了函数与代数符号的联
系。

4. 函数的性质包括多项式函 数、有理函数、
对数函数、周期函数、一次函数和指数函数的性
质，其中一次函数、周期函数和 指数函数的知识
分别为构建线性模型和指数模型提供了基础，体
现了函数与数学模型的联系。

此外，美国高中阶段代数领域概念的发展中
还反映出两条主线：一是“代数表达式 →作为关
系的函数→作为对象的函数
[8]
”，这条主线蕴含
于用符号代数表 征和解释数学关系
⑧
、关系和函
数、函数的变换等概念中；二是运算贯穿整个
代数领域，算术的运算法则和运算性质也是进行
③
⑤
④
⑦
①③

符号运算，以及方程、不等式和函数运算的依据，
主要体现于用符号代数表征和解释数 学关系，
代数不等式、方程、不等式及关系的等价形式和
意义，评价和识别符号运算的结果、意 义、作
用及合理性，解方程、不等式和方程组
③⑤
⑩
⑨
⑧
1 1
，以
及函数的变换等概念中。在代数符号这个核心
概念的子概念中，则体现了代数与 几何的一个联
系点：评价和识别符号运算的结果、意义、作用
及合理性包含了“几何情境代数化 ，代数情境
几何化，利用代数和几何的联系解决问题
[3]
”的
推理。例如， 利用面积模型解方程x
2
+10x=144
[3]
。

⑩

图1 美国高中代数领域核心概念图

（二）几何领域核心概念图

图2是 美国高中几何领域的核心概念图。可
以发现，美国高中阶段的几何内容具有以“二维
和三维几何 图形”为对象，通过直观描绘、数学
推理、坐标方法、变换等多种手段研究几何对象

的特点。在核心概念的组织上，则呈现出两条明
显的主线和三个联系点。

1．几何领域核心概念的发展主线

主线1：提出假设→用演绎支持假设的可靠
性
②


提出 假设的过程是“通过分析平面或空间中
的构造和对几何关系进行归纳性推理
[3]
”， 提出
的假设包括二维和三维空间中物体的性质和特
点，以及不同几何物体之间的关系。

用演绎支持假设的可靠性指的是“构建和评
价关于图形及其性质的推理式命题（正 式的和非
正式的），帮助理解几何情境”
[3]
，用演绎推理
支持的结论同样 包括二维和三维空间中物体的
性质和特点以及不同几何物体之间的关系；用演
绎支持假设的可靠 性还包含用坐标检验对二维
和三维空间中物体的假设
③
，如推出两点间距离
公 式、圆的方程、线段中点公式
[6]
等。

①
①
②②

提出假设包含了归纳推理过程，用演绎支
持假设的可靠性包含了演绎推理 过程，
Geometry
[6]
中还强调公理化体系
⑥
内的演绎， 例
如引入欧氏几何中的公设，指出“好的定义”的
条件，以及“数学推理的基础是使用定义、公 设
和定理证明结论”
[6]
。因此本条主线中隐含了由
归纳推理
④< br>到演绎推理
⑤
再到构建公理化体系
⑥
的
过程。

主线2：用变换
⑦
理解和证明图形的性质和关
系

②⑤
①④

变换包括平移变换、旋转变换、反射变换、伸
缩变换和简 单变换及其复合，其中平移、反射、
旋转和滑动反射（平移和反射的复合）是等距变
换。在美国 高中几何课程中，变换被作为理解和
证明图形性质和关系的有效手段。具体表现为以
下三个方面 ：

（1）等距变换可以用来定义全等图形——“当
且仅当两个图形由等距变换（ 平移、反射、旋转、
滑动反射）联系起来时，它们是全等图形”，证

明两个图形 全等，还可以用来证明图形的性质，
例如可以用反射变换证明线段的垂直平分线的
性质
[6]
。

（2）等距变换可以用来定义对称图形——“当
且仅当存在一 条直线m使得r
m
(F)=F时，平面
图形F是反射对称图形”，“当且仅当存在一个
旋转度数在0°和360°之间的旋转变换R使得
R(F)=F时，平面图形F是旋转对称图形 ”，证
明一个图形是对称图形（例如等腰三角形、筝形、
等腰梯形、平行四边形），从而推出图 形的性质
[6]
。

（3）伸缩变换和反射变换的组合可以用来定
义和证明相似图形。

2．几何领域核心概念与其它领域的联系点

从图2可以看到，美国高中几何课程 、教材不
仅注重数学内部概念之间的联系性，而且注重几
何与其它学科、现实世界的联系，具体 联系点有
如下三个：

（1）用坐标检验对二维和三维空间中物体 的
假设
③
体现了代数与几何的联系；

（2）使用几何模型解决 其他数学领域、学科
和现实世界的问题体现了几何与数学领域、学科
和现实世界的联系；

（3）用草图、坐标、向量、函数记号以及矩
阵理解和表示
⑨
平 面上物体的变换，体现了变换
与坐标、向量、函数和矩阵的联系。

⑧

图2
美国高中几何领域核心概念
图

（三）数据分析与概率领域核心概念图

图3是美国 高中数据分析与概率领域的核心
概念图。图中显示了数据分析是由4个要素组成
的过程，即提出 用数据表达的问题
①
→收集、组
织、展示数据→分析数据→推理、预测。《高
中焦点》认为，贯穿这个过程的主线是对数据变
异（variation in data）的推理和数 学意识。
具体说来，提出用数据表达的问题
①
是用对一个
或多个变量的观察或 测量的数据表达问题，数据
的变异性表现在对同一个变量的不同观测可能
取不同的值；收集、组 织、展示数据
②
要用对表
述问题有意义的方式收集和总结数据；分析数据
③< br>②③④
指的是总结和描述变异性中的模式和关系，并
[3]
估计模式的误差；最 后，推理、预测
④
要以承认
随机变异性的方式推断结论。

此外 ，数据分析与概率领域的核心概念图中还
反映了两个联系点。一是概率的概念
⑤
为数据 分
析提供了理论依据，具体体现在收集、组织、展
示数据中，“通过在数据收集中植入随机性，
概率为分析从一个样本到另一个样本的变异性
提供了一种途径”；在分析数据中，“一个
样本统计量的样本分布（例如样本的均值、众数、
②
[3]
③

样本中事件发生的频数或频率）总结了统计量在
反复随机抽样中的长期行为”
[3]
；在推理、预测
④
中，“样本分布提供了一种描述样本统计量的
预期变异性，以及决定 一个观察数据是否从机会
变异性的角度是合理的，或者更可能受到其他因
素的影响的结构”[3]
。二是用直线、指数模型、
二次模型、多项式，直接变化和反向变化模型模
拟双变量情形中的趋势，表明函数在数据处理
中的应用。

⑥

图3 美国高中数据分析与概率领域核心概念图

三、结论与启示

以上我们得到了美国高中数学代数、几何、数
据分析与概率等三个领域的核心概念 图。概念图
中既呈现了每个核心概念的纵向发展主线，又显
示了概念间的横向联系。可以说，每 个概念图都
是一个主线明确、联系通道顺畅的网状体系,而
且不同领域的概念图也通过一些联系 点表明相
互之间的联系。由此可见，美国高中数学的三个
领域在核心概念的处理上都有鲜明的特 色，值得
我国在高中数学课程、教材的研究、编写中参考。

1.美国高中数学在 构建代数领域的知识体系
时，选取“函数”为核，将整个领域的知识组织
成以“函数”为核心的 辐射状的网络体系，并以
“函数”的某些子概念与其他领域知识的联系为
载体，发展不同领域间 的联系；同时，以运算贯
穿整个代数领域，用由算术的运算法则和运算性
质发展而来的代数性质 统辖符号运算、方程和不
等式以及函数的运算。这样的知识体系，充分发

挥了核 心概念的强大组织功能，借助核心概念的
自我生长能力和有力的联系纽带作用，把数学知
识组织 成为纵向综合贯通、横向紧密联系的网络
结构，知识之间的逻辑关系比较清晰，不同领域
知识的 联系也比较明确，非常有利于学生了解知
识的发展脉络，有利于学生自主学习。相比之下，
我国 目前高中数学课程采取“模块化”方式组织，
对概念的逻辑组织和不同领域知识的联系都有
不利 影响。借鉴美国的经验，以及我国高中数学
课程标准及其教材在十年实施中发现的问题，我
们应 该对“模块化”的课程结构进行实事求是的
调整。

⒉众所周知，在几何领域，美 国“新数运动”
后的数学课程似乎走了“欧几里得滚蛋”的路线，
给人的印象是美国中学数学课 程不注重公理化
思想，不强调逻辑推理，甚至连欧氏几何都不要
了。我国世纪之交开始的数学课 程改革，也呈现
出降低平面几何、立体几何的要求，强调合情推
理、降低演绎推理要求的倾向， 强调逻辑推理、
双基等几乎成了落后的代名词。但上述研究发
现，美国课程以“变换”为核心概 念，贯穿图形

的性质和关系的学习，在推理能力的培养中构建
了由归纳推理到演 绎推理再到公理化体系的发
展主线，说明美国的数学课程不是不要欧氏几
何，而是注重了用现代 化的数学方法（特别是变
换的思想和方法）处理传统内容，在推理能力、
公理化思想这样一些涉 及“数学的命脉”
[9]
的问
题上，丝毫没有放松、降低要求的倾向。这样的
做法值得我们警醒。

⒊ 统计与概率一直是我国中学数学课程、教
材的“弱项” ，因此也成为我国近年来中学数学
课程改革的重点，主要特点是新增了大量数据分
析的内容，也 增加了一些概率模型的知识。美国
的概率统计课程已有多年的历史，在该领域的课
程设置和教育 教学研究上都处于世界领先水平。
从美国高中阶段对概率统计内容的编排上可以
看出，概率的概 念作为数据分析的理论依据，贯
穿数据分析的整个过程，是数据分析各阶段的思
想基础，这就突 出了这一内容的“数学味”。因
此，在高中阶段的数学课程中，我们应特别关注
如何加强统计思 想、数据分析观念，使学生掌握
基本的数据收集、整理、分析的技能的同时，加

强统计与概率的综合，使学生掌握用概率知识研
究随机现象的基本方法，并能用于解决一些实际
问题等的研究。某种意义上说，在整个中学数学
课程中，统计与概率更多地扮演了“联系”、“综
合”、“问题解决”、“实际应用”等角色，这
样的特点需要关注。可以说，我们在概率统计课
程建设上与美国的差距较大，需要作出更大的努
力。

注：本文系国家社会科学 基金“十一五”规划
2010年度教育学重点课题“主要国家高中数学
教材比较研究”（课题批 准号：AKA100009）
子课题“主要国家高中数学教材核心概念、技能
及重要思想方法的 比较研究” （主持人：章建
跃）的阶段性成果。

参考文献：
< br>1.全美数学教师理事会（NCTM）.美国学校数学
教育的原则和标准.蔡金法，等译.北京： 人民教
育出版社，2004.

2.聂必凯，郑庭曜，孙伟，蔡金 法.美国现代数
学教育改革.北京：人民教育出版社，2010.

in High School Mathematics:
Reasoning and Sense Making. Reston：NCTM，
2009.

4.王嵘，章建跃，宋 莉莉，周丹.高中数学核心
概念教材编写的国际比较——以函数为例.复印
中

ed o：The
McGraw Hill Companies，2010.

o：The McGraw Hill
Companies，2009.

ons，Statistics，and
Trigonometry. Chicago：The McGraw Hill
Companies，2010.

n Zalman.中学数学课程发展的九条主
线——美国Usiskin教授 在泰国APEC会议上的
报告.鲁小莉，编译.数学教学，2010(9).

9．伍鸿熙.凤凰涅磐.赵洁，译。数学通报，2012
（4）。