【典型题】高中必修二数学下期末模拟试题带答案

___________

B，C
的对边分别为
a，b，c
，已知15．△
ABC
的内角
A，
bsinC?csinB?4asinBsinC
，
b
2
?c
2
?a
2
?8
，则△
ABC
的面积为
__ ______
．

16．关于函数
f
?
x
?
?sinx?sinx
有如下四个结论：

①
f
?
x?
是偶函数；②
f
?
x
?
在区间
?
?
π
?
,
π
?
上单调递增；③
f
?
x
?
最大值为
2
；④
f
?
x
?
2
??
在
?
?
?
,
?
?
上有四个零 点，其中正确命题的序号是
_______
．

17．直线
l
与圆
x?y?2x?4y?a?0(a?3)
相交于两点
A
，
B< br>，弦
AB
的中点为
22
(0,1)
，则直线
l
的方程为
__________
．

18．在圆x＋y＋2x＋4y－3＝ 0上且到直线x＋y＋1＝0的距离为
2
的点共有
________
个．
22
2x?y?1?0,
19．设
x,y
满足约束条件
{x?y?0,
若目标函数
z?ax?by
?
a?0,b?0
?< br>的最大值为
x?0,y?0,
14
1
,
则
?
的最小值为
_________
．

ab
20．如图，在正方体ABCD?A
1
B
1
C
1
D
1
中，点
E
是棱
CC
1
上的一个动点，平面
BED
1
交棱
AA
1
于点
F
．下列命题正确的为
________ _______
.


①存在点
E
，使得
A1
C
1
平面
BED
1
F
；

②对于任意的点
E
，平面
AC
11
D?
平面
BED
1
F
；

③存在点
E
，使得
B
1
D?
平面
BED
1
F
；

④对于任意的点
E
，四棱锥
B
1
?BED
1
F
的体积均不 变．

三、解答题

21．如图，四面体ABCD中，O、E分别是B D、BC的中点，
AB?AD?2
，
CA?CB?CD?BD?2
.

（1）求证：
AO?
平面BCD；

（2）求异面直线AB与CD所成角的余弦值；

（3）求点E到平面ACD的距离．


22．已知函数
f(x)
=│x+1│–│x–2│.

（
1
）求不等式
f(x)
≥1
的解集；

（
2
）若不等式
f(x)
≥x
2
–x +m
的解集非空，求实数
m
的取值范围
.

23．如图，在 四棱锥
P?ABCD
中，
PA?
平面
ABCD
，底部
ABCD
为菱形，
E
为
CD
的中点.


（1）求证：
BD
⊥平面
PAC
；

（2）若∠< br>ABC
=60°，求证：平面
PAB
⊥平面
PAE
；

24．某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益
1
f
?
x
?
与投资额
x
成正比，且投资
1
万元时的收益为万元，投资股票等风险型产品的收
8
益
g
?
x
?
与投资额
x
的算术平方根成正比，且投资
1
万元时的收益为0.5
万元，

（
1
）分别写出两种产品的收益与投资额的函数关系；

（
2
）该家庭现有
20
万元资金，全部用于理财投资，问：怎样分配资金能使投资获得最 大
收益，其最大收益为多少万元？

25．已知函数
g
?
x
?
?ax?2ax?1+b
?
a?0
?
在区间
[2 ,3]
上有最大值
4
和最小值
1.

2
(1)
求
a
、
b
的值；

(2)
设
f
?
x
?
?
围．
g
?
x
?
，若不等式
f
?
x
?
?k?0
在
x
∈
?
2,5
?
上恒成立，求实数< br>k
的取值范
x?2

26．如图所示，为美化环境，拟在四边形< br>ABCD
空地上修建两条道路
EA
和
ED
，将四边
形 分成三个区域，种植不同品种的花草，其中点
E
在边
BC
的三等分点处（靠近
B
点），
BC?3
百米，
BC?CD
，
?ABC? 120
o
，
EA?21
百米，
?AED?60
o
.

（
1
）求
△ABE
区域的面积；

（< br>2
）为便于花草种植，现拟过
C
点铺设一条水管
CH
至道路< br>ED
上，求水管
CH
最短时
的长．



【参考答案】
***
试卷处理标记，请不要删除



一、选择题


1
．
C
解析：
C

【解析】

，2，4
?
，B?x|x?4x?m?0
，
A?B?
?
1
?

∵

集合
A?
?
1
2
??

∴
x?1
是方程
x
2
?4x?m?0
的解，即1?4?m?0


∴
m?3

，

∴
B?x|x?4x?m?0?x|x?4x?3?0?
?
13
?
，故选
C

22
????
2．A
解析：
A

【解析】

fx?4）?f
?
x
?
得：
T
由
（
（010]，
时，函数的图象如图：
?4
，当
x?

f
?
2
?
?f
?
6
?
?f
?
10
?
?2
，再由关于
x
的方程
f
?
x
?
?log
a
x
有六个不 同的根，则关于
?
log
a
6?2
x
的方程
f?
x
?
?log
a
x
有三个不同的根，可得

，解得
a?
，故选
（6，10）
?
log10?2
?
a
A.

点睛：本题主要考查了函数的周期性，奇偶性，函数的零点等基本 性质，函数的图象特
征，体现了数形结合的数学思想，属于中档题；首先求出
f
?x
?
的周期是
4
，画出函数的
图象，将方程根的个数转化为函数 图象交点的个数，得到关于
a
的不等式，解得即可
.

3
．
C
解析：
C

【解析】

【分析】

利用
f(x)
是定义域为
(??,??)
的奇函数可得：
f(?x)??f(x)
且
f
?
0
??0
，结合
f(1?x)=f(1+x)
可得：函数
f
?
x
?
的周期为
4
；再利用赋值法可求得：
f
?
2
?
?0
，
f
?
3
?
??2
，f
?
4
?
?0
，问题得解
.

【详解】

因为
f(x)
是定义域为
(??,??)
的奇函数，
所以
f(?x)??f(x)
且
f
?
0
?
?0

又
f(1?x)=f(1+x)

所以
f
?x?2
?
?f
?
?
?
x?1
?
?1< br>?
?
?f
?
?
1?
?
x?1
??
?
?f
?
?x
?
??f
?
x
?

所以
f
?
x?4
?
?f
?
?
?
x?2
?
?2
?
?
??f
?
x?2
?
??
?
?
?f
?
x
?
?
?
?f
?
x
?

所以函数
f
?
x
?
的周期为
4
，


在
f(1?x)=f(1+x)
中，令
x?1
，可得：< br>f
?
2
?
?f
?
0
?
?0

在
f(1?x)=f(1+x)
中，令
x?2
，可得：
f< br>?
3
?
?f
?
?1
?
??f
?1
?
??2

在
f(1?x)=f(1+x)
中，令< br>x?3
，可得：
f
?
4
?
?f
?
? 2
?
??f
?
2
?
?0

所以
f (1)+f(2)
?f(3)?
L
?f(2020)?
2020
?< br>?
?
f
?
1
?
?f
?
2
?
?f
?
3
?
?f
?
4
?
?
?

4
?505?0?0

故选
C

【点睛】

本题主要考查了奇函数的性质及函数的周期性应用，还考查了赋值法及计算 能力、分析能
力，属于中档题．

4．A
解析：
A

【解析】

试题分析：因为样本数据
x
1
, x
2
,L,x
10
的平均数是
1
,
所以
y
1
,y
2
,...y
10
的平均数是
y
1
?y
2
?...?y
10
x
1
?a?x
2
?a?...?x
10
?ax
1
?x
2
?...? x
10
???a?1?a
；根据
101010
y
i
?x
i
?a
（
a
为非零常数，
i?1,2,L,10
），以及数据
x
1
,x
2
,L,x
10
的方差为
4
可知数
据
y
1
,y
2
,L,y
10
的方差为
1
2
?4?4
，综上故选
A.

考点：样本数据的方差和平均数．

5
．
C
解析：
C

【解析】

当
k?0
时，不等 式
kx
2
?kx?1?0
可化为
1?0
，显然恒成立；当< br>k?0
时，若不等式
?
k?0
x

kx?kx?1? 0
恒成立，则对应函数的图象开口朝上且与轴无交点，则
?
2
?
V< br>?k?4k?0
2
解得：
0?k?4
，综上
k
的取值 范围是
0,4
?
，故选
C.

?
6．D
解析：
D

【解析】

【分析】

先利用 等差数列的求和公式得出
本性质得出
后利用基本不等式可求出
【详解】

由等差数列的前项和公式可得
，

由等差数列的基本性质可得，

，所以，
，再将代数式
的最小值
.

和
，再利用等差数列的基
相乘，展开
，

所以，
因此，
【点睛】

本题考查的等差数列求和公式以及等差数列 下标性质的应用，考查利用基本不等式求最
，当且仅当
的最小值为，故选：
D.

，即当时，等号成立，

值，解题时要充分利用定值条件，并对所 求代数式进行配凑，考查计算能力，属于中等
题。

7．C
解析：
C

【解析】

x
?
1
时
,f(x)=?(x?1)
2
+1
?
1
，

aa
?1,f?
?
x
?
?1?
2
…0
在
(1,+∞)
恒成立，

xx
故
a
?
x< br>2
在
(1,+∞)
恒成立，

故
a
?
1
，

而
1+a+1
?< br>1
，即
a
?
?1
，

综上
,a
∈
[?1,1]
，

本题选择
C
选项
.

x>1
时
,
f
?
x
?
?x?
点睛：利用单调性求参数的一般方法：一是求出函数 的单调区间，然后使所给区间是这个
单调区间的子区间，建立关于参数的不等式组即可求得参数范围；二 是直接利用函数单调
性的定义：作差、变形，由
f(x
1
)
－
f(x
2
)
的符号确定参数的范围，另外也可分离参数转化为
不等式恒成立 问题．

8．D
解析：
D

【解析】

f(x)?sin(2x?)?cos(2x?)?2sin(2x?)?2cos2x
,
< br>442
由
0?2x?
?
,
得
0?x?
???
?
2
，再由
2x?
?
?k
?
,k?Z,
所以
x?
?
2
?
k
?
,k?Z.

2
所以
y=f(x)
在
y?f(x)
在< br>(0,
?
2
)
单调递减
,
其图象关于直线
x ?
?
2
对称
,
故选
D.

9
．
A
解析：
A

【解析】

【分析】

将f(x)化简，求得
ω，φ
，再进行判断即可.

【详解】

π
?
2π
?
f
?
x< br>?
?2sin
?
ωx?φ?
?
,
∵最小正周期为π,
??
π,
得
ω?2
，

4
?ω
?
又
f（?x）
为偶函数，所以
φ
?
?f（ x）
∵
φ
?
ππ
?
kπ
?
,
k?Z

42
πππ
?
π
?
,
?
k=-1,
φ
??
,
?
f
?
x
?
?
2sin
?
2x
??
?
??
2cos2x
,

444
?
2
?

当
2kπ?2 x?2kπ?π
,即
kπ?x?kπ?
故选A.

【点睛】

π
,f(x)单调递增，结合选项k=0合题意，

2
本题考查三角 函数性质，两角差的正弦逆用，熟记三角函数性质，熟练计算f(x)解析式是
关键，是中档题.

10．A
解析：
A

【解析】

【分析】

由题意设棱长为
a
，补正三棱柱
ABC-A2
B
2
C
2
，构造直角三角形
A
2
B M
，解直角三角形求出
BM
，利用勾股定理求出
A
2
M，从而求解．

【详解】

设棱长为a，补正三棱柱ABC-A
2
B
2
C
2
（如图）．

平移AB
1至A
2
B，连接A
2
M，∠MBA
2
即为AB
1
与BM所成的角，

在△A
2
BM中，
A
2
B?
a5


2a，BM?a
2
?()
2
?a，
22
A
2
M?a
2
?(
故选A．

【点睛】

?
3a
2
13
?A
2
B
2
?BM
2
?A
2
M
2
，??MBA
2
?,
．

)?a，
2
22
本题主要考查了异面直线及其所成的角和勾 股定理的应用，计算比较复杂，要仔细的做．

11．A
解析：
A

【解析】

【分析】

根据题意，结合函数的解析式以及奇偶性分析 可得
f
?
x
?
的图象，据此分析可得答案
.

【详解】

解：因为
f
?
x
?
是定义在< br>R
上的奇函数，

所以它的图象关于原点对称，且
f
?
0
?
?0
，

已知当
x?0
时，
f?
x
?
?3?2x
，

作出函数图象如图所示，

从图象知：
f
?
?
3
??
3
?
?f
??
?
?
?0
，

2
???
2
?
?
?
3
??
3
?
?
?
?
0,
?
.
< br>2
??
2
?
则不等式
f
?
x
??0
的解集为
?
??,?
故选：A.


【点睛】

本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，以及函数的解析式，考查数形结合思想
.

12．D
解析：
D

【解析】

【分析】

根据三角形解的个数的判断条件得出各选项中对应的
?ABC解的个数，于此可得出正确选
项
.

【详解】

对于< br>A
选项，
asinB?7?
17
?
，
?asinB? b
，此时，
?ABC
无解；

22
2
?5
，
?csinB?b?c
，此时，
?ABC
有两解；

2< br>对于
B
选项，
csinB?52?
对于
C
选项，Q
A?120
o
，则
A
为最大角，由于
a?b
，此时，
?ABC
无解；

对于
D
选项，
Q
C?60
o
，且
c?b
，此时，
?ABC
有且只有一解< br>.
故选
D.

【点睛】

本题考查三角形解的个数的 判断，解题时要熟悉三角形个数的判断条件，考查推理能力，
属于中等题
.

二、填空题

13．18【解析】应从丙种型号的产品中抽取件故答案为18点睛: 在分层抽样的过
程中为了保证每个个体被抽到的可能性是相同的这就要求各层所抽取的个体数
与 该层所包含的个体数之比等于样本容量与总体的个体数之比即ni
解析：18

【解析】

应从丙种型号的产品中抽取
60?
300
?18
件，故答案为
18
．

1000
点睛
:
在分层抽样的过程中，为了保证每个个体被抽到的可能性是相同的，这就要求各层所
抽取的 个体数与该层所包含的个体数之比等于样本容量与总体的个体数之比，即
n
i
∶
N
i
＝
n
∶
N
．

14．【解析】【分 析】先还原几何体再根据柱体体积公式求解【详解】空间几
何体为一个棱柱如图底面为边长为的直角三角 形高为的棱柱所以体积为【点
睛】本题考查三视图以及柱体体积公式考查基本分析求解能力属基础题
解析：
3

2
【解析】

【分析】

先还原几何体，再根据柱体体积公式求解

【详解】

空间几何体为 一个棱柱，如图，底面为边长为
1,3
的直角三角形，高为
3
的棱柱，所以< br>体积为
13
?1?3?3?

22

【点睛】

本题考查三视图以及柱体体积公式，考查基本分析求解能力，属基础题

15．【解析 】【分析】首先利用正弦定理将题中的式子化为化简求得利用余弦
定理结合题中的条件可以得到可以断定 为锐角从而求得进一步求得利用三角形
面积公式求得结果【详解】因为结合正弦定理可得可得因为结合余 弦定理可
23
.

3
【解析】

解析：
【分析】

首先利用正弦定理将题中的式子化为
sinBsi nC?sinCsinB?4sinAsinBsinC
，化简求得
sinA?
1，利用余弦定理，结合题中的条件，可以得到
2bccosA?8
，可以断定
A< br>为锐
2
3
83
，进一步求得
bc?
，利用三角形面积 公式求得结果
.

2
3
角，从而求得
cosA?

【详解】

因为
bsinC?csinB?4asinBsinC
，

结合正弦 定理可得
sinBsinC?sinCsinB?4sinAsinBsinC
，
< br>可得
sinA?
1
，因为
b
2
?c
2
?a
2
?8
，

2
3
83
，从而求得
bc?
，

2
3
结合余弦定理
a
2
?b
2
?c
2
?2 bccosA
，可得
2bccosA?8
，

所以
A
为锐角，且
cosA?
所以
?ABC
的面积为
S?
【点睛 】

本题主要考查余弦定理及正弦定理的应用，属于中档题
.
对余弦定理一定 要熟记两种形式：
118312323
.

，故答案是
bcsinA ????
223233
b
2
?c
2
?a
2
（
1
）
a?b?c?2bccosA
；（
2
）
co sA?
，同时还要熟练掌握运用两种
2bc
222
形式的条件
.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住
30
o
、
45
o
、
60
o
等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用
.

16．①③【解析】【分析】利用奇偶性的定义判定函数的奇偶性可判断出命
题① 的正误；在时去绝对值化简函数的解析式可判断函数在区间上的单调性可
判断命题②的正误；由以及可判 断出命题③的正误；化简函数在区间上的解
析
解析：①③

【解析】

【分析】

?
?
?
x?
y?fx
利用奇偶性的定义判定函数
??
的奇偶性，可判断出命题①的正误；在?
2
,
?
?
??
?
π
?
y? fxy?fx
时，去绝对值，化简函数
??
的解析式，可判断函数
??
在区间
?
2
,
π
?
上的
??
单调性，可 判断命题②的正误；由
f
?
?
?
?
?
?2
以及
f
?
x
?
?2
可判断出命题③的正误；化简
2
??
函数
y?f
?
x
?
在区间
?
?
?
,
?
?
上的解析式，求出该函数的零点，即可判断命题④的正误
.

【详解】

对于命题①，函数
f
?
x
?
?sinx?sinx
的定义域为
R
，关于原点对称，

且
f
?
?x
?
?sin?x?sin
?
? x
?
?sinx??sinx?sinx?sinx?f
?
x
?，该函数为偶函
数，命题①正确；

对于命题②，当
?
2
?x?
?
时，
sinx?0
，则
f
?
x
?
?sinx?sinx?2sinx
，则函数

y?f
?x
?
在
?
,
π
?
上单调递减，命题②错误；< br>
2
对于命题③，
?sinx?1
，
sinx?1
，
?f
?
x
?
?2
，又
Q
f
??
π
?
?
?
?
?
?
?
?2< br>，所以，函数
?
2
?
y?f
?
x
?
的最大值为
2
，命题③正确；

对于命题④，当
0?x?π
时，
sinx?0
，
f
?
x
?
?sinx?sin x?2sinx?0
，

由于该函数为偶函数，当
?
?
?x ?0
时，
f
?
x
?
?0
，

又< br>Qf
?
?
?
?f
?
?
?
?
?f
?
0
?
?0
，所以，该函数在区间
?
?
?
,
?
?
上有且只有三个零点
.

因此，正确命题的序号为①③
.

故答案为：①③
.

【点睛】

本题考查与三角函数相关命题真假的判断，涉及三角函数的奇偶性、单调性 、最值以及零
点的判断，解题的关键就是将三角函数的解析式化简，考查推理能力，属于中等题
.

17
．【解析】【分析】【详解】设圆心直线的斜率为弦
AB
的 中点为的斜率为
则所以由点斜式得

解析：
x?y?1?0
.

【解析】

【分析】

【详解】

设圆心
O
，直线
l
的斜率为
k
，弦
AB
的中点为
P
，
PO< br>的斜率为
k
op
，
k
op
?
2?1
则
?1?0
l?PO
，所以
k
?k
op
?k?(? 1)??1?k?1
由点斜式得
y?x?1
．

18．3【解析】【 分析】圆方程化为标准方程找出圆心坐标与半径求出圆心到已
知直线的距离判断即可得到距离【详解】圆 方程变形得：（x+1）2+（y+2）2＝
8即圆心（﹣1-2）半径r＝2∴圆心到直线x+y+1 ＝
解析：3

【解析】

【分析】

圆方程化为 标准方程，找出圆心坐标与半径，求出圆心到已知直线的距离，判断即可得到
距离．

【详解】

圆方程变形得：（
x+1
）
2
+
（
y
+
2
）
2
＝
8
，即圆心（﹣
1
，-
2
），半径
r
＝
2
2
，

∴圆心到直线
x+y+1
＝
0
的距离
d
?
∴
r
﹣
d
?
?1?2?1
2
?2
，

2
，

则到圆上到直线
x+y+1
＝< br>0
的距离为
2
的点得到个数为
3
个，

故答案为
3.

【点睛】

本题考查了直线与圆的位置关系，解题时注意点到直线的距离公式的合理运用
.
19．【解析】【分析】【详解】试题分析：试题分析：由得平移直线由图象可
知当过时目标函数的 最大值为即则当且仅当即时取等号故的最小值为考点：1利
用可行域求线性目标函数的最值；2利用基本 不等式求最值【方法点晴】
解析：
9

【解析】

【分析】

【详解】

试题分析：试题分析：

由
z?ax?by
?
a?0,b?0
?
得
y??
az
x?
，平移直线
bb
y??
azaz
x?,
由图象 可知，当
y??x?
过
A
?
1,1
?
时目标函数的 最大值为
1
，即
bbbb
14
?
14
?
z ?a?b?1
，则
??
?
?
?
(a?b)

ab
?
ab
?
?1?4?
号，故
1
b4a
b4ab4a
，即
b?2a?
时，取等
??5?2??5?4?9
，当且仅当
?
ab
2
abab
14
?
的最小值为< br>9
．

ab

考点：
1
、利用可行域求线性 目标函数的最值；
2
、利用基本不等式求最值．

【方法点晴】
< br>本题主要考查可行域、含参数目标函数最优解和均值不等式求最值，属于难题．含参变量
的线性规 划问题是近年来高考命题的热点，由于参数的引入，提高了思维的技巧、增加了
解题的难度，

此类问题的存在增加了探索问题的动态性和开放性，此类问题一般从目标函
数的结论入手，对目 标函数变化过程进行详细分析，对变化过程中的相关量的准确定位，
是求最优解的关键．
20．①②④【解析】【分析】根据线面平行和线面垂直的判定定理以及面面垂
直的判定定理和性质 分别进行判断即可【详解】①当为棱上的一中点时此时也
为棱上的一个中点此时满足平面故①正确；②连 结则平面因为平面
解析：①②④

【解析】

【分析】

根据线面平行和线面垂直的判定定理，以及面面垂直的判定定理和性质分别 进行判断即
可．

【详解】

①当
E
为棱
CC
1
上的一中点时，此时
F
也为棱
AA
1
上的一 个中点，此时
A
1
C
1

EF
，满
足
A
1
C
1
平面
BED
1
F
，故①正确；

②连结
BD
1
，则
B
1
D?
平 面
AC
11
D
，因为
BD
1
?
平面
BED
1
F
，所以平面
A
1
C
1
D?< br>平面
BED
1
F
，故②正确；

③
BD1
?
平面
BED
1
F
，不可能存在点
E
，使得
B
1
D?
平面
BED
1
F
，故③ 错误；

④四棱锥
B
1
?BED
1
F
的体 积等于
V
D
1
?BB
1
F
?V
D
1
?BB
1
E
，设正方体的棱长为1.

∵无论
E
、
F
在何点，三角形
BB
1
E
的面积为
1 1
?1?1?
为定值，三棱锥
D
1
?BB
1
E的
22
11
?1?1?
为定值，三棱锥
D
1
? BB
1
F
的
22
高
D
1
C
1?1
，保持不变，三角形
BB
1
F
的面积为
高为
D
1
A
1
?1
，保持不变
.

∴四棱锥
B
1
?BED
1
F
的体积为定值，故④正确.

故答案为①②④.

【点睛】

本题主要考查空间直线和平面平行或 垂直的位置关系的判断，解答本题的关键正确利用分
割法求空间几何体的体积的方法，综合性较强，难度 较大．

三、解答题

21．（
1
）见解析（
2
）
【解析】

【分析】

（
1
）连接
OC
，由
BO＝
DO
，
AB
＝
AD
，知
AO
⊥BD
，由
BO
＝
DO
，
BC
＝
CD< br>，知
CO
⊥
BD
．在△
AOC
中，由题设知
AO?1，CO?3
，
AC
＝
2
，故
AO
2
+CO
2
＝
AC
2
，由
此能够证明
AO
⊥平面
BCD
；

（
2
）取
AC
的中点< br>M
，连接
OM
、
ME
、
OE
，由
E
为
BC
的中点，知
ME
∥
AB
，
OE∥
DC
，故直线
OE
与
EM
所成的锐角就是异面直线< br>AB
与
CD
所成的角．在△
OME
中，
EM?
余弦；

（
3
）设点
E
到平面
ACD
的 距离为
h
．在△
ACD
中，
CA?CD?2，AD?
21< br>2
（
3
）

7
4
121
AB?，O E?DC?1
，由此能求出异面直线
AB
与
CD
所成角大小的
222
2
，故

?
2
?
13
23
17
AO1
，由＝，知，由此能
S???2?
S
V< br>ACD
??2?4?
?
?
?
V
CDE
??< br>242
22
?
2
?
求出点
E
到平面
ACD
的距离．

【详解】

（
1
）证明：连接< br>OC
，∵
BO
＝
DO
，
AB
＝
AD
，∴
AO
⊥
BD
，

∵
BO
＝< br>DO
，
BC
＝
CD
，∴
CO
⊥
BD
．

在△
AOC
中，由题设知
AO?1，CO?3
，
AC
＝
2
，

∴
AO
2
+CO
2
＝
AC
2
，

∴∠
AOC
＝< br>90
°，即
AO
⊥
OC
．

∵
AO
⊥
BD
，
BD
∩
OC
＝
O
，
∴
AO
⊥平面
BCD
．

（
2）解：取
AC
的中点
M
，连接
OM
、
ME、
OE
，由
E
为
BC
的中点，

知< br>ME
∥
AB
，
OE
∥
DC
，
∴直线
OE
与
EM
所成的锐角就是异面直线
AB
与CD
所成的角．

在△
OME
中，
EM?
2< br>121
AB?，OE?DC?1
，


222
∵OM
是直角△
AOC
斜边
AC
上的中线，∴
OM?1
AC?1
，


2
1
?1
2
2
?
∴
cos?OEM?
，

4
2
2? 1?
2
1?
∴异面直线
AB
与
CD
所成角大小的余 弦为
2

4
（
3
）解：设点
E
到平面ACD
的距离为
h
．

QV
E?ACD
?V
A?CDE
，

11
?h．S
V
ACD
?．AO．S
V
CDE
，
33
在△
ACD
中，
CA?CD?2，AD?
2
2，

∴
S
V
ACD
?
2
?
1 7
，

??2?4?
?
?
?
??
22?
2
?
13
2
3
，

??2?
242
∵
AO
＝
1
，
S
V
CDE
?
∴
h?
AO?S
V
CDE
?
S
VACD
1?
3
2
?
21
，

7
7
2

∴点
E
到平面
ACD
的距离为
21
．

7

【点睛】

本题考查点、线、面间 的距离的计算，考查空间想象力和等价转化能力，解题时要认真审
题，仔细解答，注意化立体几何问题为 平面几何问题．

22．（
1
）
1,??
?
；（< br>2
）
?
??,
?
.

4
?
?
?
5
?
?
【解析】

【分析】

?
?3，x＜?1
?
?1?x?2
，解 不等式
f
（
x
）≥
1
可分﹣
1
≤
x
≤
2
（
1
）由于
f
（
x
）＝< br>|x+1|
﹣
|x
﹣
2|
?
?
2x?1，< br>?
3，x＞2
?
与
x
＞
2
两类讨论即可解得 不等式
f
（
x
）≥
1
的解集；

（
2
）依题意可得
m
≤
[f
（
x
）﹣
x< br>2
+x]
max
，设
g
（
x
）＝
f
（
x
）﹣
x
2
+x
，分
x
≤1
、﹣
1
＜
x
＜
2
、
x
≥< br>2
三类讨论，可求得
g
（
x
）
max
?【详解】

5
，从而可得
m
的取值范围．

4
?
?3，x＜?1
?
?1?x?2
，
f
（
x
）≥
1
，

解：（
1
）∵
f
（
x
）＝
|x+1|
﹣
|x
﹣
2|
?
?
2x?1，
?
3，x＞2
?
∴当﹣
1
≤
x
≤
2
时，
2x
﹣
1
≥
1
，解 得
1
≤
x
≤
2
；

当
x
＞
2
时，
3
≥
1
恒成立，故
x
＞
2
；

综上，不等式
f
（
x
）≥
1
的解集为
{x|x
≥
1}
．

（
2
）原 式等价于存在
x
∈
R
使得
f
（
x
）﹣x
2
+x
≥
m
成立，

即
m
≤
[f
（
x
）﹣
x
2
+x]
max
，设
g
（
x
）＝
f
（
x
）﹣
x
2
+x
．

?
?x
2
?x?3，x??1
?
2
?1＜x＜2
，

由（
1
）知，g
（
x
）
?
?
?x?3x?1，
?
? x
2
?x?3，x?2
?
当
x
≤﹣
1
时，
g
（
x
）＝﹣
x
2
+x
﹣
3，其开口向下，对称轴方程为
x
?
∴
g
（
x
） ≤
g
（﹣
1
）＝﹣
1
﹣
1
﹣
3< br>＝﹣
5
；

1
＞?
1
，

2

当﹣
1
＜
x
＜
2
时，
g
（
x
）＝﹣
x
2
+3x
﹣
1
，其 开口向下，对称轴方程为
x
?
∴
g
（
x
）≤
g
（
3
∈（﹣
1
，
2
），

2
3995
）
????
1
?
；

2424
当
x
≥
2
时，
g
（
x
） ＝﹣
x
2
+x+3
，其开口向下，对称轴方程为
x
?
∴
g
（
x
）≤
g
（
2
）＝﹣
4 +2+3
＝
1
；

综上，
g
（
x
）
max
?
1
＜
2
，

2
5
，

4
5
]
．

4
∴
m
的取值范围为（﹣∞，
【点睛】

本题考查 绝对值不等式的解法，去掉绝对值符号是解决问题的关键，突出考查分类讨论思
想与等价转化思想、函数 与方程思想的综合运用，属于难题．

23．（1）见解析；（2）见解析；

【解析】

【分析】

（
1
）要证BD⊥平面PA C，只需在平面PAC上找到两条直线跟BD垂直即证，显然
AC?BD
，从
PA?< br>平面
ABCD
中可证
PA?BD
，即证.

(2)
要证明平面PAB⊥平面PAE,可证
AE?
平面
PAB
即可.

【详解】

（1）证明 ：因为
PA?
平面
ABCD
,所以
PA?BD
；

因为底面
ABCD
是菱形，所以
AC?BD
;

因 为
PA?AC?A
,
PA,AC?
平面
PAC
,

所以
BD?
平面
PAC
.

（2）证明：因为底面
ABCD
是菱形且
?ABC?60?
，所以
?ACD
为正三 角形，所以
AE?CD
,

因为
ABCD
,所以
AE?AB
；

因为
PA?
平面
ABCD
，
AE?
平面
ABCD
,
所以
AE?PA
；

因为
PA?AB?A

所以
AE?
平面
PAB
，

AE?
平面< br>PAE
,所以平面
PAB?
平面
PAE
.

【点睛】

本题主要考查线面垂直的判定定理，面面垂直的判定定理，立体几何中的探 索问题等知
识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

24．（
1）
f
?
x
?
?
11
x,g(x)?x,(x? 0)
；（
2
）投资债券等稳健型产品为
16
万元，投
82< br>资股票等风险型产品为
4
万元，投资收益最大为
3
万元
.

【解析】

【分析】

（1）投资债券等稳健 型产品的收益
f
?
x
?
与投资额
x
成正比，投资股 票等风险型产品的收
益
g
?
x
?
与投资额
x
的算术平方根成正比，用待定系数法求这两种产品的收益和投资的函数
关系；

（2 ）由（1）的结论，设投资股票等风险型产品为
x
万元，则投资债券等稳健型产品为
2 0?x
万元，这时可构造出一个关于收益
y
的函数，然后利用求函数最大值的方法进行 求
解.

【详解】

（
1
）依题意设
f< br>?
x
?
?k
1
x,g(x)?k
2
x
，

11
f(1)?k
1
?,g(1)?k
2
?
，

82
11
f
?
x
?
?x,g (x)?x,(x?0)
；

82
（
2
）设投资股票等风险型产品为
x
万元，

则投资债券等稳健型产品为
20?x
万元，

11
y?f(20?x)?g(x)?(20?x)?x

82
1
??(x?2)
2
?3,Q0?x?20
，

8
当
x?2,x?4
万元时，收益最大
y
max
? 3
万元，

20
万元资金，投资债券等稳健型产品为
16
万元，

投资股票等风险型产品为
4
万元，投资收益最大为3万元.

【点睛】

本题考查函数应用题，考查正比例函数、二次函数的最值、待定系数法等基 础知识与基本
方法，属于中档题
.

25．（1）
a?1,b?0< br>；（
2
）
k?4
.

【解析】

【分析】

（
1
）函数
g
?
x
?
的对称轴方程为
x?1
，开口向上，则在
?
2,3
?
上单调递增，则可根据最值
列出方程，可解得
a,b
的值.

(2 )
由题意只需
k?f
?
x
?
min
，则只需要求出
f
?
x
?
在
?
2,5
?
上的最小 值，然后运用基本不等
式求最值即可
.

【详解】

解：（1）
Qg
?
x
?
开口方向向上，且对称轴方程为
x?1
，

?g
?
x
?
在
?2,3
?
上单调递增

?
g
?
x
?
min
?g
?
2
?
?4a?4a?1?b?1
?
?
?
.

gx?g3?9a?6a?1?b?4
??
?
?
??
max
解得
a?1
且
b?0
.

（2）
Qf
?< br>x
?
?k?0
在
x?
?
2,5
?
上 恒成立

所以只需
k?f
?
x
?
min
.

x
2
?2x?111
有（1）知
f
?
x
?
??x??x?2??2?2
x?2x?2x?2
当且仅当
x?2?
?x?2
?
?
1
?2?4

x?2
1
，即
x?3
时等号成立.

x?2
?k?4
.

【点睛】

本题考查二次函数 的最值的求法，注意讨论对称轴和区间的位置关系，考查不等式恒成立
问题的解法，注意运用参数分离和 基本不等式的应用，属于中档题
.

26．（
1
）
3
平方百米；（
2
）
【解析】

【分析】

（1
）由余弦定理求出
AB?4
百米，由此能求出
VABE
区域的 面积；（
2
）记
57
百米
.

7
?AEB ?
?
，在
VABE
中，利用正弦定理求出
sin
?
和
cos
?
的值，当
CH?DE
时，水
管长最短，由此能求 出当水管
CH
最短时的长
.

【详解】

（
1
）由题知
BE?1,?ABC?120
o
,EA?21
，

222
在
VABE
中，由余弦定理得
AE?AB?BE?2AB ?BEcos?ABE
，即
21?AB
2
?1?AB
，所以
AB?4
百米

所以
S
V
ABE
?
113
AB?BE?sin?ABE??4?1??3
（平方百米）
.

2 22
421
ABAE
?
?
（
2
）记
?AE B?
?
，在
VABE
中，，即
sin
?
3
，

sin
?
sin?ABE
2
所以
sin
?
?
2721
，

,cos
?
?1?sin2
?
?
77
当
CH?DE
时，水管
CH
最短，

在
RtVECH
中，
2π2π
?
2π< br>?
CH?CEsin?HEC?2sin
?
?
?
?
? 2sincos
?
?2cossin
?
=
57
百米
.

33
?
3
?
7
【点睛】