【常考题】高中必修二数学下期末试题(附答案)

【常考题】高中必修二数学下期末试题(附答案)

一、选择题
1 ．为了解某社区居民的家庭年收入所年支出的关系，随机调查了该社区
5
户家庭，得到如
下统计数据表：

收入
x
（万
元）

8.2

8.6

10.0

11.3

11.9


支出
y
（万
元）


6.2

7.5

8.0

8.5

9.8







?
?0.76,a
?
，据此估计，该社区一
?
?a
?
?y?bx
?
?bx
?
，其中
b
根据上表可得回归直线方 程
y
户收入为
15
万元家庭年支出为（

）

A
．
11.4
万元
B
．
11.8
万元
C
．
12.0
万元
D
．
12.2
万元

，
f
?
x
?
是奇函数，直线
?
＜
2．已知
f
?
x
?< br>?sin
?
?
x?
?
?
?cos
?
?
x?
?
?
,
?
＞0，
?
2
y? 2
与函数
f
?
x
?
的图象的两个相邻交点的横坐标之差的绝 对值为
?
，则（ ）

2
A
．
f
?< br>x
?
在
?
?
?3?
?
,
?
上单调递减

88
??
B
．
f
?
x
?
在
?
0,
D
．
f
?
x
?在
?
?
?
?
?
上单调递减

4
??
?
?3?
?
,
?
上单调递增

?< br>88
?
1
是较小的两份之和，
7
C
．
f?
x
?
在
?
0,
?
?
?
?< br>上单调递增

?
4
?
3．《莱茵德纸草书》是世界上最古老的 数学著作之一．书中有这样一道题目：把
100
个面
包分给
5
个人， 使每个人所得成等差数列，且使较大的三份之和的
则最小的一份为（

）

A
．
5

3
?
5
?
??
B
．
10

3
C
．
5

6
?
1
?
,2
?

2
??
D
．
11

6
4．已知函数y=f（x）定义域是[-2，3]，则y=f（2x-1）的定义域是（ ）

A
．
?
0,
?

2
B
．
?1,4

??
C
．
?
?
D
．
?5,5
< br>??
5．已知
f(x)
是定义域为
(??,??)
的奇函数， 满足
f(1?x)=f(1+x)
，若
f(1)?2
，则
f(1)+ f(2)?f(3)?L?f(2020)?
（ ）

A
．50
B
．2
C
．0
D
．
?50

6．设正项等差数列
A
．
1

的前
n
项和为
B
．

，若
C
．

，则的最小值为

D
．

?
1
?
x?1,x?0
7．已知< br>f
?
x
?
?
?
2
，若存在三个不同实数a
，
b
，
c
使得
?
log
2019< br>x,x?0
?
f
?
a
?
?f
?
b< br>?
?f
?
c
?
，则
abc
的取值范围是（< br>
）

A
．
(0,1)
B
．
[-2,0)
C
．
?
?2,0
?
D
．（
0,1
）

?
??
?
8．若函数< br>f(x)?sin
?
x?cos
?
x
(
?
? 0)
在
?
?,
?
上单调递增，则
?
的取值不可能为
?
22
?
（

）

A
．
1

4
B
．
1

5
C
．
1

2
D
．
3

4
?
a
?
x??1(x?1)
9．已知函数
f(x )?
?
x
2
?
?
?x?2x(x?1)
A
．
?
0,1
?
B
．
?
0,1
?

在
R
上单调递增，则实数
a
的取值范围是

C
．
?
?1,1
?
D
．
?
?1,1
?

10．如图，已知三棱柱
AB C?A
1
B
1
C
1
的各条棱长都相等，且
CC1
?
底面
ABC
，
M
是侧
棱
CC1
的中点，则异面直线
AB
1
和
BM
所成的角为( )


A
．
?

2
B
．
n
C
．
D
．
?

3
1
??
11．已知二项式
?< br>2x?
?
(n?N*)
的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2︰x
??
5，则
x
3
的系数为（ ）

A
．14
B
．
?14
C
．240
D
．
?240

?
a
x
,x?1
?
12．若函数
f
?
x
?
?
?
是
R
上的减函数，则实数
a
的取值范围是( )

2?3ax?1,x? 1
?
?
?
?
A
．
?
?
2
?
,1
?

?
3
?
B
．
?
,1
?

?
3
?
?
4
?
C
．
?
?
23
?
,
?

?
34
?
D
．?
?
2
?
,??
?

?
3
?

二、填空题

13．在直角
?ABC
中，三条边恰好为三个连续的自然数，以三个顶点为圆心的扇形的半径
为1，若在?ABC
中随机地选取
m
个点，其中有
n
个点正好在扇形里面， 则用随机模拟的
方法得到的圆周率
?
的近似值为
__________
．（答案用
m
，
n
表示）

14．已知函数
y? sin
?
?
x?
?
?
?
?
?
?< br>?
?0
?
的最小正周期为
?
，若将该函数的图像向左平移3
?
m
?
m?0
?
个单位后，所得图像关于原点对称， 则
m
的最小值为
________
.

x1
时，1 5．奇函数
f(x)
对任意实数
x
都有
f(x?2)??f(x)< br>成立，且
0剟
f(x)?2
x
?1
，则
f
?
log
2
11
?
?
______
.
?
?x?6,x?2
16．若函数
f
?
x
?
?
?
（
a?0
且
a?1
）的值域是
?
4,? ?
?
，则实数
a
的取
3?logx,x?2
a
?< br>值范围是
__________
．

17．如图是抛物线形拱桥，当水 面在
l
时，拱顶离水面
2
米，水面宽
4
米，水位下降
1
米
后，水面宽

米
.


1 8．已知
a?R
，命题
p
：
?x?
?
1,2
?
，
x
2
?a?0
，命题
q
：
?x?R
，
x
2
?2ax?2?a?0
，若命题
p?q
为真 命题，则实数
a
的取值范围是
_____
．

19．设x?0
，
y?0
，
x?2y?4
，则
(x?1)(2y ?1)
的最小值为
__________
.

xy
20．某三棱锥的三视图如下图所示，正视图、侧视图均为直角三角形，则该三棱锥的四个
面中，面积最 大的面的面积是

．


三、解答题

2 1．已知关于
x
的不等式
2kx?kx?
2
3
?0,k?0

8

（
1
）若不等式的解集为
?
? ,1
?
，求
k
的值．

（
2
）若不等式的 解集为
R
，求
k
的取值范围．

?
3
?< br>?
2
?
r
r
r
22．已知向量
a?(?3, 2)
，
b?(2,1)
，
c?(3,?1)
，
m,t?R< br>.

rr
（
1
）求
|a?tb|
的最小值及 相应的
t
的值；

（
2
）若
a?mb
与< br>c
共线，求实数
m.

23．如图，在正方体
ABCD?A< br>1
B
1
C
1
D
1
中，
S
是
B
1
D
1
的中点，
E
，
F
，G
分别是
BC
，
rrr
DC
，
SC
的 中点
.
求证：


（
1
）直线
EG
平面
BDD
1
B
1
；

（
2
） 平面
EFG
平面
BDD
1
B
1
.

24．已知等差数列
{a
n
}
的前
n
项和为
S< br>n
，且
S
2
?8
，
a
3
?a
8
?2a
5
?2
．

（1）求
a
n
；

（2）设数列
{
1}
的前
n
项和为
T
n
，求证：
T
n< br>?
3
．

S
n
4
25．在
?ABC
中，角
A
，
B
，
C
的对边分别为
a
，
b
，
c
，已知
cosA??
10
，
1 0
b?2
，
c?5
．

（1）求
a
；

（2）求
cos(B?A)
的值．

26．已知以点
C(t,)
（
t
∈
R
，
t
≠
0
）为圆心的圆与
x
轴交于点
O
和点
A
，与
y
轴交于点
O
和点
B
，其中
O
为原点．

（
1
）求证：△
OAB
的面积为定值；

（
2
）设直线
y
＝－
2x
＋
4
与圆
C交于点
M
，
N
，若
OM
＝
ON
，求圆
C
的方程．

2
t

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一、选择题

1．B
解析：
B

【解析】

试题分析：由题
，所以
．

试题解析：由已知，
，

?
?a
?
?0.76,a
?

?
?bx< br>?
，
b
?
?y?bx
又因为
y
所以
考点：线性回归与变量间的关系．

，即该家庭支出为万元．

2
．
A
解析：
A

【解析】

【分析】

首先整理函数的解析式为
f
?
x
??
?
?
?
?
2sin
?
?
x?
?
?
?
，由函数为奇函数可得
?
??
，
4
?
4
?
由最小正周期公式可得
?
?4
，结合三角函数的性 质考查函数在给定区间的单调性即可
.

【详解】

?
??
fx?2sin
?
x?
?
?
由函数的解析式可得：
??
??
，

4
??
函数为奇函数，则当
x?0< br>时：
?
?
?
4
?k
?
?
k?Z?
.
令
k?0
可得
?
??
?
4
.

因为直线
y?2
与函数
f
?
x
?< br>的图像的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为
结合最小正周期公式可得：
2
?
?
?

2
?
2
?
，解得：
?
?4
.
< br>故函数的解析式为：
f
?
x
?
?2sin4x
.
当
x?
?
?
?
3
?
,
88
?
??
?
3
?
4x?
时，
??
,
??
22
?
?
，函数在所给区间内单调递减；

?
当
x?
?
0,
?
?
?
?
?
时，
4x?
?
0,
?
?
，函数在所给区间内不具有单调性 ；

4
?
据此可知，只有选项
A
的说法正确
.

故选
A.

【点睛】

本题主要考查辅助角 公式的应用，考查了三角函数的周期性、单调性，三角函数解析式的
求解等知识，意在考查学生的转化能 力和计算求解能力
.

3．A
解析：
A

【解析】

【分析】

设
5
人分到的面包数量从小 到大记为
{a
n
}
，设公差为
d
，可得
a
3
?a
4
?a
5
?7(a
1
?a
2
)
，
S
5
?100
，求出
a
3
，根据等 差数列的通项公式，得到关于
d
关系式，即可求出结论
.

【详解】

设
5
人分到的面包数量从小到大记为
{a
n
}
，设公差为
d
，

依题意可得，
S
5
?
5(a
1
?a
5
)
?5a
3
?100
，

2
55
，

6
?a
3
?20,a
3
?a
4
?a
5
?7(a
1
?a
2
)
，

?60?3d?7(40?3d)
， 解得
d?
?a
1
?a
3
?2d?20?
故选
:A.

【点睛】

555
?
.

33
本题以数学文化为背景，考查等差数列的前
n
项和、通项公式基本量的计算，等差数列 的
性质应用是解题的关键，属于中档题
.

4
．
C
解析：
C

【解析】

∵函数
y=f(x)
定义域是
[?2,3]
，

∴由
?2
?
2x?1
?
3
，

解得
?
1
?
x
?
2
，

2
?
1
?
?
?
即函数的定义域为
?
?,2
?
，

2
本题选择
C
选项
.

5．C
解析：
C

【解析】

【分析】

利用
f(x)
是定义域为
(??,??)
的奇函数可 得：
f(?x)??f(x)
且
f
?
0
?
?0，结合
f(1?x)=f(1+x)
可得：函数
f
?
x
?
的周期为
4
；再利用赋值法可求得：
f
?
2
?< br>?0
，
f
?
3
?
??2
，
f
?
4
?
?0
，问题得解
.

【详解】

因为
f(x)
是定义域为
(??,??)
的奇函数，
所以
f(?x)??f(x)
且
f
?
0
?
?0

又
f(1?x)=f(1+x)

所以
f
?x?2
?
?f
?
?
?
x?1
?
?1< br>?
?
?f
?
?
1?
?
x?1
??
?
?f
?
?x
?
??f
?
x
?

所以
f
?
x?4
?
?f
?
?
?
x?2
?
?2
?
?
??f
?
x?2
?
??
?
?
?f
?
x
?
?
?
?f
?
x
?

所以函数
f
?
x
?
的周期为
4
，


在
f(1?x)=f(1+x)
中，令
x?1
，可得：< br>f
?
2
?
?f
?
0
?
?0

在
f(1?x)=f(1+x)
中，令
x?2
，可得：
f< br>?
3
?
?f
?
?1
?
??f
?1
?
??2

在
f(1?x)=f(1+x)
中，令< br>x?3
，可得：
f
?
4
?
?f
?
? 2
?
??f
?
2
?
?0

所以
f (1)+f(2)
?f(3)?
L
?f(2020)?
2020
?< br>?
f
?
1
?
?f
?
2
?
? f
?
3
?
?f
?
4
?
?

??
4
?505?0?0

故选
C

【点睛】

本题主要考查了奇函数的性质及函数的周期性应用，还考查了赋值法及计算 能力、分析能
力，属于中档题．

6．D
解析：
D

【解析】

【分析】

先利用等差数列的求和公式得出
本性 质得出
后利用基本不等式可求出
【详解】

由等差数列的前项和公式可得
，

由等差数列的基本性质可得，

，所以，
，再将代数式
的最小值
.

和
，再利用等差数列的基
相乘，展开

，

所以，
因此，
【点睛】

本题考查的等差数列求和公式以及等差数列 下标性质的应用，考查利用基本不等式求最
值，解题时要充分利用定值条件，并对所求代数式进行配凑， 考查计算能力，属于中等
题。

，当且仅当
的最小值为，故选：
D.

，即当时，等号成立，

7．C
解析：
C

【解析】

【分析】

画出函数图像，根据图像得到
?2? a≤0
，
bc?1
，得到答案
.

【详解】
?
1
?
x?1,x?0
f
?
x
?
?< br>?
2
，画出函数图像，如图所示：

?
log
201 9
x,x?0
?
根据图像知：
?2?a≤0
，
?log2019
b?log
2019
c
，故
bc?1
，故?2?abc?0
.

故选：
C
.


【点睛】

本题考查了分段函数的零点问题，画出函数图像是解题的关键
.

8
．
D
解析：
D

【解析】

∵
f
?
x
?
? sin
?
x?cos
?
x?
∴令
?
?
??
2sin
?
?
x?
?
(
?
?0)

4
??
?
2
?2k
?
?
?
x?< br>?
4
?2k
?
?
?
2
,k?Z
，即
?
?
2k
?
3
?
2k
?
??x? ?,k?Z

4
??
4
??
∵
f
?
x
?
?sin
?
x?cos
?
x(
?
? 0)
在
?
?
?
??
?
,
?
上单调 递增

22
??
??
3
??
??
且
?

4
?
24
?
2
1
∴
0?
?
≤

2
故选
D.

9．C
解析：
C

【解析】

x
?
1
时
,f(x)=?(x?1)
2
+1
?
1
，

∴
?
aa
?1,f?
?
x
?
?1?
2< br>…0
在
(1,+∞)
恒成立，

xx
故
a< br>?
x
2
在
(1,+∞)
恒成立，

故
a
?
1
，

而
1+a+1
?< br>1
，即
a
?
?1
，

综上
,a
∈
[?1,1]
，

本题选择
C
选项
.

x>1
时
,
f
?
x
?
?x?
点睛：利用单调性求参数的一般方法：一是求出函数 的单调区间，然后使所给区间是这个
单调区间的子区间，建立关于参数的不等式组即可求得参数范围；二 是直接利用函数单调
性的定义：作差、变形，由
f(x
1
)
－
f(x
2
)
的符号确定参数的范围，另外也可分离参数转化为
不等式恒成立 问题．

10．A
解析：
A

【解析】

【分析】

由题意设棱长为
a
，补正三棱柱
ABC-A2
B
2
C
2
，构造直角三角形
A
2
B M
，解直角三角形求出
BM
，利用勾股定理求出
A
2
M，从而求解．

【详解】

设棱长为a，补正三棱柱AB C-A
2
B
2
C
2
（如图）．

平移AB
1
至A
2
B，连接A
2
M，∠MBA
2
即 为AB
1
与BM所成的角，

在△A
2
BM中，
A
2
B?
a5


2a，BM?a
2
?()
2
?a，
22
A
2
M?a
2
?(
故选A．

【点睛】

?
3a
2
13
?A
2
B
2
?BM
2
?A
2
M
2
，??MBA
2
?,
．

)?a，
2
22
本题主要考查了异面直线及其所成的角和勾 股定理的应用，计算比较复杂，要仔细的做．

11．C
解析：
C

【解析】

【分析】

r
?
1
?
由二项展开式的通项公式为
T
r?1
?C
?
2x
?
?
?
?
及展开式中第2项与第3项的二项
x
??
式系数之比 是2︰5可得：
n?6
，令展开式通项中
x
的指数为
3
，即 可求得
r=2
，问题
r
n
n?r
得解．

【详解】

二项展开式的第
r?1
项的通项公式为
T
r?1
?C
r
n
r
?
2x
?
n?r?
1
?
?
?
?

x
??
12
由展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2︰5，可得：
C
n
:Cn
?2:5
.

解得：
n?6
.

r
所以
T
r?1
?C
n
?
2x
?
n ?r
3
r
6?r
?
1
?
r6?r
2

?
?
?
?C
6
2
?
?1
?< br>x
x
??
r
令
6?
3
r?3
，解得 ：
r=2
，

2
2
26?2
所以
x
3
的系数为
C
6
2
?
?1
?
?240< br>
故选C

【点睛】

本题主要考查了二项式定理及其展开式 ，考查了方程思想及计算能力，还考查了分析能
力，属于中档题．

12．C

解析：
C

【解析】

【分析】

由题意结合分段函数的解析式分类讨论即可求得实数
a
的取值范围
.

【详解】

当
x?1
时，
a
x
为减函数， 则
0?a?1
，

当
x?1
时，一次函数
?
2?3a
?
x?1
为减函数，则
2?3a?0
，解得：
a ?
且在
x?1
处，有：
?
2?3a
?
?1?1?a
，解得：
a?
1
2
，

3
3
，

4
综上可得，实数
a
的取值范围 是
?
本题选择
C
选项
.

【点睛】

?
23
?
,
?
.

3
?
4
?
对于分段函数的单调性，有两种基本的判断方法：一保证各段上同增
(
减
)
时，要注意上、
下段间端点值间的大小关系；二是画出这个分段函数的图象，结合函 数图象、性质进行直
观的判断．

二、填空题

13．【解析】【 分析】【详解】由题意得的三边分别为则由可得所以三角数三
边分别为因为所以三个半径为的扇形面积之 和为由几何体概型概率计算公式可
知故答案为【方法点睛】本题題主要考查面积型的几何概型属于中档题 解决
解析：
12n

m
【解析】

【分析】

【详解】

由题意得
?ABC
的三边分别为
x,x?1,x?2

则由
?
x?2
?
?
?
x?1
?
?x
2

可得
n?3

，所
以，三角数三边分别为
3,4 ,5
，因为
?A??B??C?
?

，所以三个半径为
1

的扇形面积
22
之和为
n1 2n
1
?
?,?
?
?
?
?
?1
2
=

，由几何体概型概率计算公式可知，故答
1
mm
22< br>?3?4
2
1
?
2
案为
12n
.

m
【方法点睛】

本题題主要考查“面积型”的几何概型，属于中档题
.
解决几何概型问题常见类型有 ：长度
型、角度型、面积型、体积型，求与面积有关的几何概型问题关鍵是计算问题的总面积以