【典型题】高中必修二数学下期末模拟试题(附答案)(1)

本小题主要考查三角函数降次公式和辅助角公式，考查三角函数图象变换的知识，属于基
础题
.

8．C
解析：
C

【解析】

【分析】

画出函数图像，根据图像得到
?2?a≤0
，
b c?1
，得到答案
.

【详解】

?
1
?
x?1,x?0
f
?
x
?
?
?
2
，画出函数图像，如图所示：

?
log
2019
x,x?0
?
根据图像知：
?2?a≤0
，
?log
2019
b?l og
2019
c
，故
bc?1
，故
?2?abc?0
.

故选：
C
.


【点睛】

本题考查了分段函数的零点问题，画出函数图像是解题的关键
.

9
．
C
解析：
C

【解析】

由题意可得：
sin
?
?
?
?
?
?
???
?
?
?
?
1
?
?
?
?s in
?
?
?
?
?
?
?
?cos
?
?
?
?
?
，

?
3
??
?
?
6
?
4
?
2
?
6
17
?
?
??
?
??
2
?
?
cos?2?
?cos2?
?
?2cos?
?
?1?2??1??
.

则
??????
168
?
3
??
6< br>??
6
?
本题选择
C
选项
.

10．D
解析：
D

【解析】

【分析】

分析函数
y?f
?
x
?
的定义域、奇偶性及其在
?
0,1
?
上的函数值符号，可得出结论< br>.

【详解】

函数
f
?
x
??xlgx
的定义域为
xx?0
，定义域关于原点对称，

??
f
?
?x
?
??xlg?x??xlgx??f
?
x
?
，函数
y?f
?
x
?
为奇函数，排除
A
、
C
选项；

当
0?x?1
时，
lgx ?0
，此时
f
?
x
?
?xlgx?0
，排除
B
选项
.

故选：
D.

【点睛】
< br>本题考查由函数的解析式选择函数图象，一般分析函数的定义域、奇偶性、单调性、零点
以及函数 值符号，考查推理能力，属于中等题
.

11．C
解析：
C

【解析】

【分析】

用面面 平行的性质判断①的正确性.利用线面相交来判断②③的正确性，利用线线平行来判
断④的正确性.
【详解】

对于①，连接
AC
如图所示，由于
MNA C,NPBC
，根据面面平行的性质定理可知
平面
MNP
平面
ACB
，所以
AB
平面
MNP
.


对于②，连 接
BC
交
MP
于
D
，由于
N
是
A C
的中点，
D
不是
BC
的中点，所以在平面
ABC
内
AB
与
DN
相交，所以直线
AB
与平面
MNP< br>相交.


对于③，连接
CD
，则
ABCD
，而
CD
与
PN
相交，即
CD
与平面
PMN
相交，所以
AB
与平面
MNP
相交.

对于④，连接
CD
，则
ABCDNP
，由线面平行的判定定理可知< br>AB
平面
MNP
.


综上所述，能得出
AB
平面
MNP
的图形的序号是①④.

故选：
C

【点睛】

本小题主要考查线面平行的判定，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于基础题
.

12
．
A
解析：
A

【解析】

【分析】

由题意首先确定函数
g(x)
的解析式，然后结合函数的 解析式即可确定函数的图像
.

【详解】

∵函数
f(x) ?(k?1)a?a
∴
f(0)=0
，∴
k=2
，

经检验
k=2
满足题意，

又函数为减函数，

所以
0?a?1
，

所以
g(x)=log
a
(x+2)

定义域为
x>?2
，且单调递减，

故选
A.

【点睛】

本题主要考查对数函数的图像，指数函数的性质，函数的单调性和奇偶性的 应用等知识，
意在考查学生的转化能力和计算求解能力
.

x?x
(a>0,a≠1)
在
R
上是奇函数，

二、填空题

13．【解析】分析：令得当时由此推导出数列是首项为1公差为的等 差数列从而

得到从而得到详解：令得解得当时由）得两式相减得整理得且∴数列是首项为 1
公差为的等差数列可得所以点睛：本题考查数列的通项公式的求法是中
n*
解析：
S
n
?n2(n?N)

【解析】

a
n?1
}

是首分析：令
n ?1
，得
a
1
?2
，当
n?2

时，S
n?1
?2a
n?1
?2
，由此推导出数列
{
n
2
n
项为
1
公差为
1
n?1
的等差数 列，从而得到
a
n
＝
?
n?1
?
2
，从而 得到
S
n
.

2
1
详解：令
n?1
，得
a
1
?2a
1
?2
，解得
a
1?2
，

当
n?2
时，

nn?1
由
S
n
?2a
n
?2
），得
S
n?1< br>?2a
n?1
?2
，

两式相减得
a
n?S
n
?S
n?1
?2a
n
?2
?
n
?
?
?
2a
n?1
?2
n?1
,
整理得
?
a
n
a
n?1
1
a
1
? ??1,


，且
nn?11
2222
1
a
}
∴数列
{
n
是首项为1公差为 的等差数列，

2< br>n
2
?
a
n
1
n?1
a?n?12,


?1?n?1,
可得
??
??
n
n
22
nn?1nn
?
?2?n?2.


?
所以
S
n
?2a
n
?2?2
?
?
?
n ?1
?
2
理运用．

点睛：本题考查数列的通项公式的求法，是中档 题，解题时要认真审题，注意构造法的合
14．【解析】【分析】由题意将代入进行恒等变形和拆项后再 利用基本不等式
求出它的最小值根据不等式恒成立求出m的范围【详解】由题意知两个正数xy
满足则当时取等号；的最小值是不等式恒成立故答案为【点睛】本题考查
解析：
m?
【解析】

【分析】

由题意将
x?y?4
代入
9

4
14
?< br>进行恒等变形和拆项后，再利用基本不等式求出它的最小
xy
值，根据不等式恒成立求出
m
的范围．

【详解】

由题意知两个正数
x，
y
满足
x?y?4
，

14x?yx?y5yx59
yx
????????1?
?
则，当时取等号；

xy4x y44xy44
4xy
14
9
??
的最小值是，

xy
4

不等式
14
9
??m
恒成立，
?m?
．

xy
4
9
．

4
故答案为
m?
【点睛】

本题考查了利用基本不等式求最 值和恒成立问题，利用条件进行整体代换和合理拆项再用
基本不等式求最值，注意一正二定三相等的验证 ．

15．【解析】【分析】把已知式用正弦定理化边为角由两角和的正弦公式和诱
导 公式化简可求得即角从而得角的范围注意由余弦定理可得结论【详解】因为
所以所以即又所以则因为所以 而故故答案为：【点睛】本题考查正弦与余弦
解析：
?3,0
【解析】

【分析】

把已知式用正弦定理化边为角，由两角和的正弦公式和诱导公式化简，可求 得
cosC
，即
??
?
0,2
?

C
角，从而得
B
角的范围，注意
B?
【详解】

因为
?
2
，由余弦定理可得结论．

2a?3b3c
，所以
2a?3bcosC?3c?cosB
?
cosBcosC?0
?< br>，

?
cosBcosC
??
所以
2sinA?3s inBcosC?3sinCcosB
，

即
2sinAcosC?3sin
?
C?B
?
?3sinA
，又
sinA?0
，所以
cosC?
则
C?
??
3
，

2
?
6
，因为
cosB?0
，所以
B?
?
0,
?
?
?
??
?
5
?
?
??
,< br>?
，

2
??
26
?
a
2
?c
2
?b
2
a
2
?c
2
?b
2
而
?2cosB
，故
??3,0
acac
??
?< br>0,2
?
.

故答案为：
?3,0
【点睛】

??
?
0,2
?
．

本题考查正弦与余弦定理的应 用，考查运算求解能力
.
本题是一个易错题，学生容易忽略
cosB
不能等于
0.

16
．【解析】【分析】根据诱导公式将三角函数式化简可得再由诱导 公式及余
弦的二倍角公式化简即可得解【详解】因为化简可得即由诱导公式化简得而由
余弦的二 倍角公式可知故答案为
:
【点睛】本题考查了诱导公式在三角函数

解析：
7

8
【解析】

【分析】

根据诱导公式
,
将三角函数式
c os
?
?
?
余弦的二倍角公式
,
化简
sin
?
2
?
?
【详解】

因为
cos
??
?
?
?
2
?
3
?
?
1?
?
1
?sin
?
?
化简可得
?
??
?
,
再由诱导公式及
4
6
?
??
4
?
?
?
?
?
即可得解
.

6
?
?
?
2
?
3
?
1
?
?

?
4
化简可得
cos
?
?
??
?
1
?
?
?
?
?
?1
?
??
??
,
即
cos
?
?
?
?
?
?
?
?

6
?
?
4
62
?
4
?
?
2
?
?
?
1
?
sin?
?
由诱导公式化简得
??
?

6
?
4
?
而
sin
?
2
?
?
?
??
?
?

6
?
?
??
?
?c os
?
?2
?
?
?

6
??
2< br>?
??
?
??
?cos
?
?2
?
?
?cos
?
2
?
?
?

3
??< br>3
??
?
??
?cos2
?
?
?
?

6
??
由余弦的二倍角公式可知
cos2
?
?< br>?
??
?
?

6
??
?
??
?1?2sin
2
?
?
?
?

6
??< br>?
1
?
7
?1?2?
??
?

?
4
?
8
故答案为
:
【点睛】

本题考查了诱导公式在三角函数化简中的应用
,
余弦二倍角公式的简单应用
,
属于中档题.

2
7

8
17．【解析】设正方体边长为 则外接球直径为【考点】球【名师点睛】求多面
体的外接球的面积和体积问题常用方法有（1）三条棱两 两互相垂直时可恢复为
长方体利用长方体的体对角线为外接球的直径求出球的半径；（2）直棱
解析：
9
?

2
【解析】

设正方体边长为
a
，则
6a
2
?18?a
2
?3
，

外接球直径为
2R?3a?3,V?
【考点】 球

【名师点睛】求 多面体的外接球的面积和体积问题常用方法有（1）三条棱两两互相垂直
时，可恢复为长方体，利用长方 体的体对角线为外接球的直径，求出球的半径；（2）直棱
柱的外接球可利用棱柱的上下底面平行，借助 球的对称性，球心为上下底面外接圆的圆心
连线的中点，再根据勾股定理求球的半径；（3）如果设计几 何体有两个面相交，可过两个
面的外心分别作两个面的垂线，垂线的交点为几何体的球心，本题就是第三 种方法.

4
3
4279
πR?π??π
.
3382
18．【解析】【分析】连接可得出证明出四边形为平行四边形可得可得出异面
直 线与所成角为或其补角分析的形状即可得出的大小即可得出答案【详解】连
接在正方体中所以四边形为平 行四边形所以异面直线与所成的角为易知为等
解析：
60

【解析】

【分析】

连接
CD
1
，可得 出
EFCD
1
，证明出四边形
A
1
BCD
1
为平行四边形，可得
A
1
BCD
1
，可得
出异面直线EF
与
A
1
C
1
所成角为
?BA
1< br>C
1
或其补角，分析
?A
1
BC
1
的形状， 即可得出
?BA
1
C
1
的大小，即可得出答案
.

【详解】

连接
CD
1
、
A
1
B
、
BC
1
，
DEDF1
??
，
?EFCD
1
，

DD
1
DC3
在正方体
ABCD? A
1
B
1
C
1
D
1
中，
A
1
D
1
AD
，
ADBC
，
?A
1
D
1
BC
，

所以，四边形
A
1
BCD
1
为平行四边形，
?A
1
BCD
1
，
< br>所以，异面直线
EF
与
A
1
C
1
所成的角为
?BA
1
C
1
.

易知
?A
1< br>BC
1
为等边三角形，
??BA
1
C
1
?6 0
.


故答案为：
60
.

【点睛】

本题考查异面直线所成角的计算，一般利用平移直线法，选 择合适的三角形求解，考查计
算能力，属于中等题
.

19
．
-1
或
2
【解析】【分析】根据函数值的正负由可得求出再对分类讨论代入
解析式即可求解【详解】当时当当所以或故答案为
:
或【点睛】本题考查求复合
函数值 认真审题理解分段函数的解析式考查分类讨论思想属于中档题

解析：-1
或
2

【解析】

【分析】

根据函数值的正负，由
f[f(a)]??
论，代入解析式，即可求解
.
【详解】

当
x?0
时，
f(x)?0,
f [f(a)]??
1
?0
，可得
f(a)?0
，求出
f(a )
，再对
a
分类讨
2
1
?0
，

2
11
?f[f(a)]?log
4
(f(a))??,?f(a)?
，

22
当
a?0,f(a)?log
4
a?
当
a?0,f(a)?2?
所以
a??1
或
a?2
.

故答案为
:
?1
或
2
.

【点睛】

本题考查求复合函数值，认真审题理解分段函数的解析式，考查分类讨论思 想，属于中档
题
.

a
1
,?a?2
，

2
1
,?a??1
，

2
20
．
5
【解析】

解析：
5

【解析】

21
??a
10
?a
5
,m?5

22
三、解答题


21．（1）
【解析】

【分析】

【详解】

（1）因为
M
是线段
CE
的中点，

4
75
；（2）
?

3
4

所以
AM?
1111
AC?AE?AD?AB?AE

2222??
?
112151
AB??AB?AD?AB?AD
，

223262
故
m?n?
514
??
.

623
1
AB

3
（2）
CA??AB?AD,C E?CB?BE??AD?
22
14
??
1
CA?CE?(?AB? AD)?
?
?AD?AB
?
?AB?AB?AD?AD

33
??
3
?
2
1
AB?AD
2

3
222
11
AB?AD??9
2
?AD?43

33
|AD|?4,? AD?BC?4

故
CE?5
；

设
ME?t
，则
MC?5 ?t
?
0?t?5
?
，

?
MA?2MB
?
?MC?
?
ME?EA?2ME?2EM
?
?MC
?3ME?MC??3t
?
5?t
?
?3t
?
t?5< br>?

为二次函数开口向上，故最小值在对称轴处取得，即
t?
所以MA?2MB?MC
的最小值为
?
22
．（
1
）
a?3,c?2
；（
2
）
【解析】

试题分析：（
1
）由
BA?BC?2
和
cosB?
575
时，
MA?2MB?MC??
.

24
??
??
75
.

4
23

27
1
，得
ac=6.
由余弦定理，得
a
2
?c
2
?13
.

3
解，即可求出
a
，
c
；（
2
）

在
?ABC
中，利用同角基本关系得
sinB?
22
.
3
c42
，又因为
a?b?c
，所以
C
为锐 角，因此
sinB?
b9
由正弦定理，得
sinC?
cosC?1? sin
2
C?
7
，利用
cos(B?C)?cosBcosC?si nBsinC
，即可求出结果
.

9

（
1< br>）由
BA?BC?2
得，，又
cosB?
1
，所以
a c=6.

3
由余弦定理，得
a
2
?c
2
?b
2
?2accosB
.

又
b=3
，所以a
2
?c
2
?9?2?2?13
.

解，得< br>a=2
，
c=3
或
a=3
，
c=2.

因为
a>c,
∴
a=3
，
c=2.

（
2
）在
?ABC
中，
sinB?1?cos
2
B? 1?()
2
?
由正弦定理，得
sinC?
1
3
22
.

3
c22242
，又因为
a?b?c
，所以< br>C
为锐角，因
sinB???
b339
此
cosC?1?si n
2
C?1?(
42
2
7
.
)?

99
17224223
.

???
393927
于 是
cos(B?C)?cosBcosC?sinBsinC
=
?
考点：1.
解三角形；
2.
三角恒等变换
.

23．（
Ⅰ
）
【解析】

【分析】

56
164

或
.

；（
Ⅱ
）
?
65
565
分析：（Ⅰ）先根据三角函数定义得
sin
?
，再根据诱导公式得结果，（Ⅱ）先根据三角函
数定义得
cos
?
， 再根据同角三角函数关系得
cos
?
?
?
?
?
，最 后根据
?
?
?
?
?
?
?
?
?，
利用两角差的余弦公式求结果
.

【详解】

详解： （Ⅰ）由角
?
的终边过点
P
?
?,?
所以
sin< br>?
?
?π
?
??sin
?
?
?
3< br>?
5
4
?
4
sin
?
??
得，
?
5
?
5
4
.

5
（Ⅱ） 由角
?
的终边过点
P
?
?,?
由
sin
?
?
?
?
?
?
?
3
?
5
4
?
3
cos
?
??
得，

?
5
?
5
512
.

得
cos< br>?
?
?
?
?
??
1313
由
??
?
?
?
?
?
?
?
得
cos
?
?cos
?
?
?
?
?
cos
?
?sin
?
?
?
?
?
sin
?
，

5616
.

或
cos
?
?
6 565
点睛：三角函数求值的两种类型

所以
cos
?
??

(1)
给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊 角的三角函数
.

(2)
给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异
.

①一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用；

②变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的
.

2 4．（
1
）
29
人；（
2
）
【解析】

【分析】

（
1
）根据频率分布直方图，良好即第二三两组，计算出 第二三两组的频率即可算出人数；

3
．

5
17,18< br>两组的人数，
m?n?1
即两位同学来（
2
）结合频率分布直方图，计 算出
13,14
?
，
自不同的两组，利用古典概型求解概率即可
.< br>
【详解】

（
1
）由直方图知，成绩在
[14,1 6)
内的人数为：
50?0.20?50?0.38?29
（人），

所以该班成绩良好的人数为
29
人；

（
2
）由直 方图知，成绩在
[13,14)
的人数为
50?0.06?3
人；

成绩在
[17,18]
的人数为
50?0.04?2
人；
.

事件
“
m?n?1
”
发生即这两位同学来自不同的两组，

此题相当于从这五人中任取
2
人，求这两人来自不同组的概率

11
C
2
C
3
63
??
.
其概率为
P?
2
C
5
105
???
P(m?n ?1)?
【点睛】

3

5
此题考查用样本的频率分布估计 总体分布；利用频率直方图求相关数据；古典概型及其概
率的计算．

25．(
Ⅰ
)
y?1
；（Ⅱ）最大值
1
；最小值
?
【解析 】

试题分析：（Ⅰ）根据导数的几何意义，先求斜率，再代入切线方程公式
?
.

2
yf0f0x0
中即可；（Ⅱ）设
h
?
x
??f
?
?
x
?
，求
h
?
?
x
?
，根据
h
?
?
x
?
?0
确定函数
h
?
x
?
的单调性，根据单调性求函数的最大值为
h
?
0
?
?0
，从而可以知道
h
?
x< br>?
?f
?
?
x
?
?0
恒成立，所以函数x
f
?
x
?
是单调递减函数，再根据单调性求最值.

x
试题解析：（Ⅰ）因为
f
?
x
?
?ecosx? x
，所以
f
?
?
x
?
?e
?
co sx?sinx
?
?1,f
?
?
0
?
?0
.

又因为
f
?
0
?
?1
，所以曲线y?f
?
x
?
在点
0,f
?
0
?处的切线方程为
y?1
.

（Ⅱ）设
h
?
x< br>?
?e
x
??
?
cosx?sinx
?
?1
，则

h
?
?
x
?
?e
x< br>?
cosx?sinx?sinx?cosx
?
??2e
x
s inx
.

当
x?
?
0,
?
?
π
?
?
时，
h
?
?
x
?
?0
，

2
?
?
π
?
hx
所以
??
在区间
?
0,
?
上单调递减.

?
2?
所以对任意
x?
?
0,
?
?
π
?< br>有
h
?
x
?
?h
?
0
?
? 0
，即
f
?
?
x
?
?0
.
?
2
?
?
?
π
?
?
所以函数
f
?
x
?
在区间
?
0,
?
上单调递减.< br>
2
因此
f
?
x
?
在区间
?
0,
?
上的最大值为
f
?
0
?
?1
，最 小值为
f
??
??
.

2
?
2
?
?
2
?
【名师点睛】这道导数题并不难，比一般意义上的压轴题要简单很多， 第二问比较有特点
的是需要两次求导数，因为通过
f
?
?
x
?
不能直接判断函数的单调性，所以需要再求一次导
数，设
h
?
x< br>?
?f
?
?
x
?
，再求
h
?
?
x
?
，一般这时就可求得函数
h
?
?
x
?
的零点，或是
?
π
?
?
?
?
?
h
?
?
x
?
?0
(
h
?
?x
?
?0
)恒成立，这样就能知道函数
h
?
x
?
的单调性，再根据单调性求其最
值，从而判断
y?f
?
x
?
的单调性，最后求得结果.

26．（1）2，25；（2）
0.012< br>；（3）
0.7
.

【解析】

【分析】

(
1
)
先由频率分布直方图求出
?
50,60
?< br>的频率，结合茎叶图中得分在
?
50,60
?
的人数即可
求得 本次考试的总人数；
(
2
)
根据茎叶图的数据，利用
(
1< br>)
中的总人数减去
50,80
?
外的
人数，即可得到
50,80
?
内的人数，从而可计算频率分布直方图中
80,90
?
间矩形的高；
?
??
(
3
)
用列举法列举出所有的基本事件 ，找出符合题意得基本事件个数，利用古典概型概率
计算公式即可求出结果．

【详解】

(
1
)
分数在
?
50,60< br>?
的频率为
0.008?10?0.08
，

由茎叶图知：

分数在
50,60
?
之间的频数为2，

?
?
全班人数为
2
?25
．

0.08
3
?10?0.012
．

25
(
2
)
分数在
?
80,90
?
之间的频数为
25? 22?3
；

频率分布直方图中
80,90
?
间的矩形的高 为
?
(
3
)
将
?
80,90
?
之 间的3个分数编号为
a
1
，
a
2
，
a
3< br>，
?
90,100
?
之间的2个分数编号为

b
1
，
b
2
，

在
80,100
?
之间的试卷中任取两份的基本事件为：

?
?
a
1
,a
2
?
，
?
a
1
,a
3
?
，
?
a
1
,b
1< br>?
，
?
a
1
,b
2
?
，
?
a
2
,a
3
?
，
?
a
2
,b
1
?
，
?
a
2
,b
2
?，
?
a
3
,b
1
?
，
?
a< br>3
,b
2
?
，
?
b
1
,b
2
?
共10个，

其中，至少有一个在
?
90,100?
之间的基本事件有7个，

故至少有一份分数在
90,100
?
之间的概率是
【点睛】

本题考查了茎叶图和频率分布直方图的性质，以及古典概型概率计算公式的应用，此题是
基础题 ．对于古典概型，要求事件总数是可数的，满足条件的事件个数可数，使得满足条
件的事件个数除以总的 事件个数即可
.

?
7
?0.7
．

10