【常考题】高中必修二数学下期末第一次模拟试题(含答案)

【常考题】高中必修二数学下期末第一次模拟试题(含答案)

一、选择题
1．设
m
，
n
为两条不同的直线，
?
，
?
为两个不同的平面，则（ ）

A
．若
m
?
，
n
?
，则
mn

C
．若
mn
，< br>n?
?
，则
m?
?

B
．若
m?
，
m
?
，则
?

?

D．若
m
?
，
?
?
?
，则
m?
?

2．已知
?ABC
是边长为
4
的等边三角形，
P
为平面
ABC
内一点，则
PA?(PB?PC)
的
最小值 是（）

A
．
?6
B
．
?3
C
．
?4
D
．
?2

3．(2015
新 课标全国
I
理科
)
《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有 如
下问题
:“
今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺
.
问
:
积及为米几何
?”
其意思为
:“
在屋内墙角
处堆放米
(
如图，米堆为一个圆锥的四分之一
)
，米堆底部的弧长为
8
尺， 米堆的高为
5
尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少
?”
已知
1斛米的体积约为
1.62
立方尺，圆周率约为
3
，估算出堆放的米约有< br>

A
．
14
斛

C
．
36
斛

4．若
?
,
?均为锐角，
sin
?
?
A
．
25

5
B
．
22
斛

D
．
66
斛

3
25
，
sin< br>?
?
?
?
?
?
，则
cos
?
?

5
5
C
．
B
．
25

25
25
25

或
5
25
D
．
?
25

25
5．阅 读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入
N
的值为
20
，则输出T
的值为

A
．
1
B
．
2
C
．
3
D
．
4
6．设函数
f
(
x
)=
cos
(
x
+
?
)，则下列结论错误的是

3
B
．y=f(x)的图像关于直线x=
?

6
A
．f(x)的一个周期为?2π

C
．f(x+π)的一个零点为x=
8
?
对称

3
D
．f(x)在(
?
,π)单调递减

2
?
1
?
x?1,x?0
7．已知
f
?
x
?
?
?
2
，若存在三个不同实数
a
，
b
，
c
使得
?
log
2019
x,x?0
?
f
?
a
?
?f
?
b
?
?f
?
c
?
，则
abc
的取值范围是（

）

A
．
(0,1)
B
．
[-2,0)
C
．
?
?2,0
?
D
．（
0,1
）

?
??
?
8．若函数< br>f(x)?sin
?
x?cos
?
x
(
?
? 0)
在
?
?,
?
上单调递增，则
?
的取值不可能为
?
22
?
（

）

A
．
1

4
22
B
．
1

5
22
C
．
1

2
22
D
．
3

4
9．与直线
x ?y?4?0
和圆
x?y?2x?2y?0
都相切的半径最小的圆的方程是

A
．
?
x?1
?
?
?
y?1
?< br>?2

C
．
?
x?1
?
?
?
y?1
?
?2

22
B
．
?
x?1?
?
?
y?1
?
?4

D
．
?
x?1
?
?
?
y?1
?
?4

22

10．如图，点
N
为正方形
ABCD
的中心，< br>?ECD
为正三角形，平面
ECD?
平面
ABCD,M
是线段
ED
的中点，则（ ）


A
．
BM?EN
，且直线
BM,EN
是相交直线

B
．
BM?EN
，且直线
BM,EN
是相交直线

C
．
BM?EN
，且直线
BM,EN
是异面直线

D
．
BM?EN
，且直线
BM,EN
是异面直线

11．若函数
f(x)?(k?1)a?a(a?0
且
a?1
）在< br>R
上既是奇函数
,
又是减函数
,
则
x?x
g (x)?log
a
(x?k)
的图象是（

）

A
．
B
．

C
．
D
．

??????
2
???
1
12．如图，在△
ABC
中,
AN?NC
,
P
是
BN
上的 一点,若
AP?mAB?AC
,则实
3
9
数
m
的值 为( )

A
．
B
．
C
．
1

9
D
．

二、填空题

14
x,y
13．已知两个正数满足
x?y?4
,
则使不等 式
??m
恒成立的实数
m
的范围是
xy
_________ _

14．已知
ABC
，
?B?135
，
AB?2 2,BC?4
，求
AB?AC?
______
．

11b< br>??1
，则
3a?2b?
的最小值等于
______
．

aba
B，C
的对边分别为
a，b，c
，已知16．△
ABC
的内角
A，
15．已知
a?0
，
b?0
，且
bsinC?csinB?4asinBsinC
，
b
2
?c
2
?a
2
?8
，则△
ABC
的面积为
_____ ___
．

17．直线
l
与圆
x?y?2x?4y?a?0 (a?3)
相交于两点
A
，
B
，弦
AB
的中点为< br>22
(0,1)
，则直线
l
的方程为
__________< br>．

18
．设
a
1
?2
，
a
n?1
?
2
a
n
?2
，
b
n
?
，
n?N
*
，则数列
?
b
n
?
的 通项公式
a
n
?1
a
n
?1
b
n
=
．

19．设
?
为锐角，若
co s(
?
?
?
6
)?
4
?
，则
si n(2
?
?)
的值为
______
.

51220．如图，在正方体
ABCD?A
1
B
1
C
1
D
1
中，点
E
是棱
CC
1
上的一个动点，平面< br>BED
1
交棱
AA
1
于点
F
．下列命题正确 的为
_______________
.


①存在点
E
，使得
A
1
C
1
平面
BED
1
F
；

②对于任意的点
E
，平面
AC
11
D ?
平面
BED
1
F
；

③存在点
E
，使得
B
1
D?
平面
BED
1
F
；
④对于任意的点
E
，四棱锥
B
1
?BED
1
F
的体积均不变．

三、解答题
21
．某 市为了考核甲，乙两部门的工作情况，随机访问了
50
位市民，根据这
50
位 市民对
这两部门的评分（评分越高表明市民的评价越高），绘制茎叶图如下：


（
1
）分别估计该市的市民对甲，乙两部门评分的中位数；

（2
）分别估计该市的市民对甲，乙两部门的评分高于
90
的概率；

（
3
）根据茎叶图分析该市的市民对甲，乙两部门的评价．

22．
a
b
c
分别为
?ABC
内角
A
、
B
、
C
的对边，已知
atanB?3bsinA
.

（
1
）求
cosB
；

（
2
）若
a?3
，
b?17
，求
?ABC
的面积
.

23．
?ABC
是边长为
3
的等边三角形，
BE?2
?
BA
,
BF?
?
BC(
1
?
?
?1)
,
过点
F
作
2
DF?BC
交
AC
边于点
D
，交
BA
的延长线于点
E
．


（
1
）当
?
?
2
时，设
BA? a,BC?b
，用向量
a,b
表示
EF
；

3（
2
）当
?
为何值时，
AE?FC
取得最大值，并求出 最大值．

24．已知平面向量
a
，
b
满足
a?b ?1
.

（
1
）
a?b?1
，求
a
与
b
的夹角；

（
2
）若对一切实数
x
，不等式
a?xb?a?b
恒成立，求
a
与
b
的夹角
?
.

25．如图所示，为美化环境，拟在四边形
ABCD
空地上 修建两条道路
EA
和
ED
，将四边
形分成三个区域，种植不同品种的 花草，其中点
E
在边
BC
的三等分点处（靠近
B
点），

BC?3
百米，
BC?CD
，
?ABC?120
，
EA?21
百米，
?AED?60
.

（
1
）求
△ABE
区域的面积；

（
2< br>）为便于花草种植，现拟过
C
点铺设一条水管
CH
至道路
ED
上，求水管
CH
最短时
的长．


26．已知?ABC
中，内角
A,B,C
所对边分别为
a,b,c
，若?
2a?c
?
cosB?bcosC?0
.

(1)
求角
B
的大小；

(2)
若
b?2
，求
a?c
的取值范围
.


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一、选择题

1．C
解析：
C

【解析】

【分析】

根据空间线面关系、面面关系及其平行、垂直的性质定理进行判断．

【详解】

对于
A
选项，若
m
?
，
n
?
，则
m
与
n
平行、相交、异面都可以，位置关系不确 定；

?
?l
，且
ml
，
m?
?
，
m?
?
，根据直线与平面平行的判定定理
知，
m
?
，
m
?
，但
?
与
?
不平行；

对于
C
选项，若
mn
，
n?
?
，在平面
?
内可找到两条相交直线
a
、
b
使得
n?a
，
对于
B
选项，若
?
n?b
，于是可得出
m?a
，
m?b
，根据直线与平面垂直的判定定理可得
m?
?
；
< br>对于
D
选项，若
?
?
?
，在平面
?
内可找到一条直线
a
与两平面的交线垂直，根据平面与
平面垂直的性质定理得知
a?
?
，只有当
ma
时，
m
才与平面
?
垂直．

故选
C
．

【点睛】

本题考查 空间线面关系以及面面关系有关命题的判断，判断时要根据空间线面、面面平行
与垂直的判定与性质定理 来进行，考查逻辑推理能力，属于中等题．

2．A
解析：
A

【解析】

【分析】

建立平 面直角坐标系，表示出点的坐标，利用向量坐标运算和平面向量的数量积的运算，
求得最小值，即可求解
.

【详解】

由题意，以
BC
中点为坐标原点，建立如图所示的坐标系，

则
A(0,23),B(?2,0),C(2,0)
，

设
P(x,y)
，则
PA?(?x,23?y),PB?(?2?x,?y),PC?(2?x, ?y)
，

所以
PA?(PB?PC)??x?(?2x)?(23?y)? (?2y)?2x
2
?43y?2y
2

?2[x
2
?(y?3)
2
?3]
，

所 以当
x?0,y?3
时，
PA?(PB?PC)
取得最小值为
2?( ?3)??6
，

故选
A.

【点睛】

本题主要考查了平面向量数量积的应用问题，根据条件建立坐标系，利用坐标法是解答的
关键，着重考查 了推理与运算能力，属于基础题
.

3．B
解析：
B

【解析】

试题分析：设圆锥底面半径为
r
，则
16
1
?2?3r?8
，所以
r?
，所以米堆的体积为
4
3< br>320320
1116
??3?()
2
?5
=÷1.62≈2 2
，故选
B.

，故堆放的米约为
433
99
考点：圆锥的性质与圆锥的体积公式

4
．
B
解析：
B

【解析】

【分析】

利用角的等量代换，β
=α+β-
α，只要求出α的余弦 ，α
+
β的余弦，利用复合角余弦公
式展开求之．

【详解】

∵α为锐角，
sin
?
?
∵
sin
?
?
?
?
?
?
5
25 2
s，∴α＞45°且
cos
?
?
，

＞
52
5
?
3
132
，且
＜＜
，
?＜
?
?
?
＜
?
，


2
5
252
4
，

5
（
??
?
）??
∴
cos
则cosβ=cos[（α+β）-α]= cos（α+β）cosα+sin（α+β）
sinα
??
故选
B.

【点睛】

本题考查两角和与差的正弦、余弦函数公式，以及同角三角函数间的基 本关系，熟练掌握
公式是解本题的关键．

4532525


????．
555525
5．B
解析：
B

【解析】

分析：由题意结合流程图运行程序即可求得输出的数值
.

详解：结合流程图运行程序如下：

首先初始化数据：
N?20,i?2,T?0
，

N20
? ?10
，结果为整数，执行
T?T?1?1
，
i?i?1?3
，此时 不满足
i?5
；

i2
N20
?
，结果不为整数， 执行
i?i?1?4
，此时不满足
i?5
；

i3
N20
??5
，结果为整数，执行
T?T?1?2
，
i?i?1?5
，此时满足
i?5
；

i4
跳出循环，输出
T?2
.

本题选择
B
选项
.

点睛：识别、运行程序框图和完善程序框图的思路：

(1)
要明确程序框图的顺序结构、条件结构和循环结构．

(2)
要识别、运行程序框图，理解框图所解决的实际问题．

(3)
按照题目的要求完成解答并验证．

6．D
解析：
D

【解析】

f(x)
的最小正周期为
2π
，易知
A
正确；
< br>f
?
?
8π
??
8ππ
?
cos
＝
??
?
?
＝
cos3π
＝－
1
，为
f(x)
的最小值，故
B
正确；

3
???
33
?

∵
f(x
＋
π)
＝
cos
?
x?
π
?
0
，故
C
正确；

由于
f
?
?
?
π
?
π
?
?
??
π
??
ππ
?
x??
π
?
cosf coscos
＝－，∴＝－＝－＝
?
??????
3
?
36 63
2
??????
?
2π
??
?
?
?< br>2ππ
?
?
coscosπ1f(x)f(x)
＝＝＝－，为的最小值 ，故在
??
,
?
?
上不单调，
??
3
33
???
2
?
??
故
D
错误．

故选
D.

7．C
解析：
C

【解析】

【分析】

画出函数图像，根据图像得到
?2? a≤0
，
bc?1
，得到答案
.

【详解】
?
1
?
x?1,x?0
f
?
x
?
?< br>?
2
，画出函数图像，如图所示：

?
log
201 9
x,x?0
?
根据图像知：
?2?a≤0
，
?log2019
b?log
2019
c
，故
bc?1
，故?2?abc?0
.

故选：
C
.


【点睛】

本题考查了分段函数的零点问题，画出函数图像是解题的关键
.

8
．
D
解析：
D

【解析】

∵
f
?
x
?
?sin
?
x?cos
?x?
∴令
?
?
??
2sin
?
?
x?
?
(
?
?0)

4
??
?
2?2k
?
?
?
x?
?
4
?2k
??
?
2
,k?Z
，即
?
?
2k
?3
?
2k
?
??x??,k?Z

4
??4
??

∵
f
?
x
?
?sin< br>?
x?cos
?
x(
?
?0)
在
?
?
?
??
?
,
?
上单调递增

22
??
??
3
??
??
且
?

4
?
24
?
2
1
∴
0?
?
≤

2
故选
D.

9．C
解析：
C

【解析】

∴
?
圆
x ?y?2x?2y?0
的圆心坐标为
?
?1,1
?
，半径为
2
，过圆心
?
?1,1
?
与直线
22
x?y?4? 0
垂直的直线方程为
x?y?0
，所求圆的圆心在此直线上，又圆心
?
?1,1
?
到直
线
x?y?4?0
的距离为
6
? 32
，则所求圆的半径为
2
，设所求圆的圆心为
2
?
a,b
?
，且圆心在直线
x?y?4?0
的左上方，则
?
x?1< br>?
?
?
y?1
?
故选
C
．

22
a?b?4
2
?2
，且
a?b?0
，解得
a ?1,b??1
（
a?3,b??3
不符合题意，舍去

），故所求圆的方程为
?2
.

【名师点睛】本题主要考查直线与圆 的位置关系，考查了数形结合的思想，考查了计算能
力，属于中档题．

10．B
解析：
B

【解析】

【分析】

利用垂直关系，再结合勾股定理进而解决问题．

【详解】

如图所示，

作
EO?CD
于
O
，连接
O N
，过
M
作
MF?OD
于
F
．

连
BF
，平面
CDE?
平面
ABCD
．

EO?CD,EO?
平面
CDE
，
?EO?
平面
A BCD
，
MF?
平面
ABCD
，

??MFB与
?EON
均为直角三角形．设正方形边长为
2
，易知
EO?3 ,ON?1EN?2
，

MF?
35
,BF?,?BM?7
．
?BM?EN
，故选
B
．

22

【点睛】

本题考查空间想象能力和计算能力，

解答本题的关键是构造直角三角性．

11．A
解析：
A

【解析】

【分析】

由题意首先确定函数
g(x)
的解析式，然后结合函数的解析式即可确定函数的图像
.

【详解】
∵函数
f(x)?(k?1)a?a
∴
f(0)=0
，∴
k=2
，

经检验
k=2
满足题意，

又函数为减函数，

所以
0?a?1
，

所以
g(x)=log
a
(x+2)

定义域为
x>?2
，且单调递减，

故选
A.

【点睛】

本题主要考查对数函数的图像，指数函数的性质，函数的单调性和奇偶性的 应用等知识，
意在考查学生的转化能力和计算求解能力
.

x?x
(a>0,a≠1)
在
R
上是奇函数，

12．C
解析：
C

【解析】

【分析】

先根据共线关系用基底
的值.

【详解】

如下图，∵
B,P,N
三点共线，∴
,

，∴，即
AB，AC
??
表示
AP
?
，再根据平面 向量基本定理得方程组解得实数
m

∴
????
①,又∵
AN?
?
1
NC
，∴
3
，
∴
AP?mA B?
2
AC=mAB?
8
AC
②，

99
对比①，②，由平面向量基本定理可得：．


【点睛】

本题考查向量表示以及平面向量基本定理，考查基本分析求解能力
.

二、填空题

13．【解析】【分析】由题意将代入进行恒等变形和拆项后再利用基 本不等式
求出它的最小值根据不等式恒成立求出m的范围【详解】由题意知两个正数xy
满足则 当时取等号；的最小值是不等式恒成立故答案为【点睛】本题考查
解析：
m?
【解析】

【分析】

由题意将
x?y?4
代入
9

4
14
?< br>进行恒等变形和拆项后，再利用基本不等式求出它的最小
xy
值，根据不等式恒成立求出
m
的范围．

【详解】

由题意知两个正数
x，
y
满足
x?y?4
，

14x?yx?y5yx59
yx
????????1?
?
则，当时取等号；

xy4x y44xy44
4xy
14
9
??
的最小值是，

xy
4
14
9
不等式
??m
恒成立，
?m?
．

xy
4

故答案为
m?
【点睛】

9
．

4
本题考查了利用基本不等式求最值和恒成立问题，利用条件 进行整体代换和合理拆项再用
基本不等式求最值，注意一正二定三相等的验证．

14 ．16【解析】【分析】由正余弦定理可得由平面向量的数量积公式有：得解
【详解】由余弦定理可得： 所以由正弦定理得：所以所以即故答案为16【点
睛】本题考查了余弦定理正弦定理及向量的数量积属简 单题
解析：16

【解析】

【分析】

由正余 弦定理可得
cos?A
由平面向量的数量积公式有：
，
AB?AC?ABAC cos?A?22?210?
【详解】

25
?16
，得解．

5
由余弦定理可得：
AC< br>2
?AB
2
?BC
2
?2AB?BCcos135?40，

所以
AC?210
，

由正弦定理得：
所 以
sin?A?
所以
cos?A?
BCAC
?
，

sin?Asin135
5
，

5
25
，

5
25
?16
，

5
即
AB?AC?AB ACcos?A?22?210?
故答案为16

【点睛】

本题考查了余弦定理、正弦定理及向量的数量积，属简单题

15．11【解析】分析 ：构造基本不等式模型化简整理应用基本不等式即可得出
答案详解：当且仅当时取等号的最小值等于11 故答案为11点睛：本题考查基
本不等式的性质与应用同时考查了整体思想与转化思想的运用
解析：11

【解析】

分析：构造基本不等式模型
3a?2b?
等式，即可得出答案
.
< br>b11b
?(?)(3a?2b)?
，化简整理，应用基本不
aaba