【易错题】高中必修二数学下期末第一次模拟试题(及答案)(2)

【易错题】高中必修二数学下期末第一次模拟试题(及答案)(2)

一、选择题
1．已知扇形的周长是
12
，面积是
8
，则扇 形的中心角的弧度数是（ ）

A
．
1

下统计数据表：

收入
x
（万
元）

8.2

8.6

10.0

11.3

11.9

B
．
4
C
．
1
或
4
D
．
2
或
4

2．为了解某社区居民的家庭年收入所年支出 的关系，随机调查了该社区
5
户家庭，得到如

支出
y
（万
元）


6.2

7.5

8.0

8.5

9.8







?
?0.76,a
?
，据此估计，该社区一
?
?a
?
?y?bx
?< br>?bx
?
，其中
b
根据上表可得回归直线方程
y
户收 入为
15
万元家庭年支出为（

）

A
．
11.4
万元
B
．
11.8
万元
C
．
12.0
万元
D
．
12.2
万元

3．如图，圆
O
的半径为1，
A
是圆上的定点，
P
是圆上的动点，角
x
的始边为射线OA
，
终边为射线
OP
，过点
P
作直线
OA< br>的垂线，垂足为
M
，将点
M
到直线
OP
的距离表示< br>成
x
的函数
f(x)
，则
y?f(x)
在
[ 0,?]
上的图象大致为（ ）


A
．

B
．

C
．
D
．

4．已知函数y=f（x）定义域是[-2，3]，则y=f（2x-1）的定义域是（ ）

A
．
?
0,
?

2
?
5
?
??
B
．
?1,4
< br>??
C
．
?
?
?
1
?
,2
?

?
2
?
D
．
?5,5

??
5．(2015
新课标全国
I
理科
)
《九章算术》是我国古 代内容极为丰富的数学名著，书中有如
下问题
:“
今有委米依垣内角，下周八尺，高五 尺
.
问
:
积及为米几何
?”
其意思为
:“
在屋内墙角
处堆放米
(
如图，米堆为一个圆锥的四分之一
)
，米堆底 部的弧长为
8
尺，米堆的高为
5
尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少
?”
已知
1
斛米的体积约为
1.62
立方尺，圆周率约为
3
，估算出堆放的米约有


A
．
14
斛

C
．
36
斛

B
．
22
斛

D
．
66
斛

6．已知
?ABC
的内角< br>A
、
B
、
C
的对边分别为
a
、
b< br>、
c
，且
2b?cosC?2a?c
，若
b?3
，则
?ABC
的外接圆面积为（ ）

A
．
?

48
B
．
?
12
C
．
12
?
D
．
3
?

???
?
7．若函数
f(x)?sin
?
x?cos
?< br>x
(
?
?0)
在
?
?,
?
上单调递 增，则
?
的取值不可能为
?
22
?
（

）

A
．
1

4
B
．
1

5
C
．
1

2
D
．
3

4

8．函数
f (x)?(x?1)lg(x?1)?3x?5
的零点个数为（

）

A
．
3

点M，那么 ( )

A
．M一定在直线AC上

B
．M一定在直线BD上

C
．M可能在直线AC上，也可能在直线BD上

D
．M既不在直线AC上，也不在直线BD上

10．下列四个正方体图形中 ，
A
，
B
为正方体的两个顶点，
M
，
N
，
P
分别为其所在棱
的中点，能得出
AB
平面
MNP
的图形的序号是（

）

B
．
2
C
．
1
D
．
0

9．在空间四边形ABCD的边 AB，BC，CD，DA上分别取E，F，G，H四点，如EF与HG交于

A
．①③
B
．②③
C
．①④
D
．②④

11．如图，点
N
为正方形
ABCD
的 中心，
?ECD
为正三角形，平面
ECD?
平面
ABCD,M
是线段
ED
的中点，则（ ）


A
．
BM?EN
，且直线
BM,EN
是相交直线

B
．
BM?EN
，且直线
BM,EN
是相交直线

C
．
BM?EN
，且直线
BM,EN
是异面直线

D
．
BM?EN
，且直线
BM,EN
是异面直线

12．在
?ABC
中，
cos
( )

A
．直角三角形

C
．等腰直角三角形

B
．等腰三角形或直角三角形

D
．正三角形

2
Ab?c
?(a,b,c
分别为角
A,B,C
的对边)，则
?ABC
的形状是
22c
二、填空题

13．已知正方体ABCD?A
1
B
1
C
1
D
1
的棱长 为
1
，除面
ABCD
外，该正方体其余各面的中
心分别为点
E
，
F
，
G
，
H
，
M(
如图)
，则四棱锥
M?EFGH
的体积为
__________
.< br>

14．已知函数
y?sin
?
?
x?
?
?
?
?
?
?
?
?0
?
的最小正周 期为
?
，若将该函数的图像向左平移
3
?
m
?
m? 0
?
个单位后，所得图像关于原点对称，则
m
的最小值为
_____ ___
.

15
．如图，在矩形
的平面图形绕直线
中，为边 的中点，
AB?1
，
BC?2
，分别以
A
、
D为
所围成圆心，
1
为半径作圆弧
EB
、
EC
（ 在线段
AD
上）
.
由两圆弧
EB
、
EC
及 边
旋转一周，则所形成的几何体的体积为
.


16． 已知
f
（
x
）
是定义在
R
上的偶函数，且在区间（
?
?
，
0
）上单调递增
.
若实数
a
满足
f
（
2
|a-1|
）＞
f
（
?2< br>）
，则
a
的取值范围是
______.

17．若< br>x?
?
1,??
?
，则
y?3x?
18．设
?
为锐角，若
cos(
?
?
1
的最小值是
____ _
．

x?1
?
6
)?
4
?
，则
sin(2
?
?)
的值为
______
.

512
19
．某三棱锥的三视图如下图所示，正视图、侧视图均为直角三角形，则该三棱锥的 四个
面中，面积最大的面的面积是

．

uuuv
3
uuuv
A2,3,B4,?3
20．已知
?? ??
，点
P
在直线
AB
上，且
AP?PB
，则点< br>P
的坐标为
2
________

三、解答题
1? m
3
x
21．已知函数
f(x)?log
a
（
a? 0
，且
a?1
）的图象关于坐标原点对称．

x?1
（1）求实数
m
的值；

（2）比较
f?
2
?
与
f
?
3
?
的大小，并请说明 理由．

22．如图，四棱锥
P?ABC
中，
PA?
平面< br>ABCD
，
AD∥BC
，
AB?AD?AC?3
，
P A=BC=4
，
M
为线段
AD
上一点，
AM?2MD
，
N
为
PC
的中点．

（I）证明
MN
∥
平面
PAB
；

（II）求四面体
N?BCM
的体积
.


23．
VABC
的内角
A
，
B
，
C
的对边分别为
a
，
b
，
c
.已知
2cosC(acosB?bc osA)?c
.

33
，求
?ABC
的周长.
< br>2
v
vv
vv
vv
a?3,4b?9,xc?4,y
24．已知平面向量
??
，
??
，
??
，且
ab< br>，
a?c
.

v
v
（
1
）求
b
和
c
；

uv
v
vv
v
vvv
（
2
）若
m ?2a?b
，
n?a?c
，求向量
m
与向量
n
的夹 角的大小
.

（1）求角C；（2）若
c?7
，
S
?ABC
?
25．如图所示，为美化环境，拟在四边形
ABCD
空地上修建两 条道路
EA
和
ED
，将四边
形分成三个区域，种植不同品种的花草， 其中点
E
在边
BC
的三等分点处（靠近
B
点），
B C?3
百米，
BC?CD
，
?ABC?120
o
，
EA?21
百米，
?AED?60
o
.

（
1
）求
△ABE
区域的面积；

（
2< br>）为便于花草种植，现拟过
C
点铺设一条水管
CH
至道路
ED
上，求水管
CH
最短时
的长．

?
??
26．已知函数
f
?
x
?
?sin
?
?
x?
?
?
?
?
?0,
?
?< br>?
的部分图象如图所示.

2
??
(1)求函数
f< br>?
x
?
的解析式，并写出
f
?
x
?
的最小正周期；

π
??
1
x?
?
，若在
x?
?
0,
?
?
内，方程
a
?
1?2g< br>2
?
x
?
?
?3ag
?
x
?
?2?0
有
??
212
??
且仅有两解，求
a
的 取值范围.

(2)令
g
?
x
?
?f
?


【参考答案】
***
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一、选择题


1
．
C
解析：
C

【解析】

设扇形的半径为
r
，弧长为
l
，则
l?2r?12，S?
∴解得
r?2，l?8
或
r?4，l?4
?
?
故选
C
．

1
lr?8，


2
l
?4或1，


r
2．B
解析：
B

【解析】

试题分析：由题
，所以
，
．

试题解析：由已知，

?
?a
?
?0.76,a
?

?
?bx< br>?
，
b
?
?y?bx
又因为
y
所以
考点：线性回归与变量间的关系．

，即该家庭支出为万元．

3
．
B
解析：
B

【解析】

【分析】

计算函数
y?f(x)
的表达式，对比图像得到答案
.

【详解】

根据题意知：

OM?OPcosx?cosx

M
到直线
OP
的距离为：
OMsinx?cosxsinx


f(x)?cosxsinx?
对应图像为
B

故答案选
B

【点睛】

本题考查了三角函数的应用，意在考查学生的应用能力
.

1
sin2x

2
4．C
解析：
C

【解析】

∵函数
y=f(x)
定义域是
[?2,3]
，

∴由
?2
?
2x?1
?
3
，

解得
?
1
?
x
?
2
，

2
?
1
?
即函数的定义域为
?
?,2
?
，

?
2
?
本题选择
C
选项
.

5．B
解析：
B

【解析】

试 题分析：设圆锥底面半径为
r
，则
16
1
?2?3r?8
， 所以
r?
，所以米堆的体积为
4
3
320320
1116< br>??3?()
2
?5
=÷1.62≈22
，故选
B.

，故堆放的米约为
433
99
考点：圆锥的性质与圆锥的体积公式

6
．
D
解析：
D

【解析】

【分析】

先化简得
B?
【详解】

2
?
，再利用正弦定理求出外接圆的半径，即得
?ABC
的外接圆面积.

3
a
2
?b
2
?c
2
由题得
2b??2 a?c
，

2ab
所以
a
2
?b
2
?c
2
?2a
2
?ac
，

所以
a2
?b
2
?c
2
??ac
，

所以< br>2accosB??ac,?cosB??
所以
B?
1
,

2
2
?
.

3
3
=2R,?R?3
,

由正弦定理得
3
2
所以
?ABC
的外接圆面积为
?
?3=3
?
.

故选D

【点睛】

本题主要考查正弦定理余弦定理解三 角形，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分
析推理能力
.

2
7．D
解析：
D

【解析】

∵f
?
x
?
?sin
?
x?cos
?
x ?
∴令
?
?
??
2sin
?
?
x?
?
(
?
?0)

4
??
?
2
? 2k
?
?
?
x?
?
4
?2k
?
?
?
2
,k?Z
，即
?
?
2k
?
3
?
2k
?
??x??,k?Z

4
??
4
??

∵
f
?
x
?
?sin
?
x?cos
?
x(
?
?0)
在
?
??
??
?
,
?
上单调递增

22
??
??
3
??
??
且
?

4
?
24
?
2
1
∴
0?
?
≤

2
故选
D.

8．B
解析：
B

【解析】

【分析】

∴?
可采用构造函数形式，令
h
?
x
?
?lg
?
x?1
?
,g
?
x
?
?
【详解】

由题可知，
x??1
，当
x?1
时，
f
?
x
?
??8?0
，

令
f(x)?(x?1)lg(x?1 )?3x?5?0?lg(x?1)?
令
h
?
x
?
?lg< br>?
x?1
?
,g
?
x
?
?
3x?5
，采用数形结合法即可求解

x?1
3x?58
?3?
，

x?1x?1
3x?5
，画出函数图像，如图：

x?1

则两函数图像有两交点，故函数
f(x)?(x?1)lg(x?1)?3x?5
的零 点个数为2个

故选：B

【点睛】

本题考查函数零点个数的求解，数形结合思想，属于中档题

9．A
解析：
A

【解析】

如图，因为EF∩HG=M，

所以M∈EF，M∈HG，

又EF?平面ABC，HG?平面ADC，

故M∈平面ABC，M∈平面ADC，

所以M∈平面ABC∩平面ADC=AC.

选A.

点睛：证明点在线上常用方法

先找出两个平面，然后确定点是这两个平面的公共点，再确定直线是这两个平面的交线．

10．C
解析：
C

【解析】

【分析】

用面面平行的性质判断①的正确性.利用线面相交来判断②③的正确性，利 用线线平行来判
断④的正确性.

【详解】

对于①，连接
AC
如图所示，由于
MNAC,NPBC
，根据面面平行的性质定理可知
平面
MNP
平面
ACB
，所以
AB
平面
MNP
.


对于②，连接
BC
交
MP
于
D，由于
N
是
AC
的中点，
D
不是
BC
的中点，所以在平面
ABC
内
AB
与
DN
相交，所以直线< br>AB
与平面
MNP
相交.


对于③，连接
CD
，则
ABCD
，而
CD
与
PN
相交，即
CD
与平面
PMN
相交，所以
AB
与平面
MNP
相交.

对于④，连接
CD
，则
ABCD NP
，由线面平行的判定定理可知
AB
平面
MNP
.


综上所述，能得出
AB
平面
MNP
的图形的序号是①④.

故选：
C

【点睛】

本小题主要考查线面平行的判定，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于基础题
.

11
．
B
解析：
B

【解析】

【分析】

利用垂直关系，再结合勾股定理进而解决问题．

【详解】

如图所示，

作
EO?CD
于
O
，连接
ON
，过
M
作
MF?OD
于
F< br>．

连
BF
，
Q
平面
CDE?
平面
ABCD
．

EO?CD,EO?
平面
CDE
，< br>?EO?
平面
ABCD
，
MF?
平面
ABCD
，

??MFB
与
?EON
均为直角三角形．设正方形边长为2
，易知
EO?3,ON?1EN?2
，

MF?
35
,BF?,?BM?7
．
?BM?EN
，故选
B
．

22
【点睛】

本题考查空间想象能力和计算能力，

解答本题的关键是构造直角三角性．

12．A
解析：
A

【解析】

【分析】

根据正弦定理得到
到答案
.

【详解】

1?co sAsinB?sinC
?
?
，化简得到
sinAcosC?0
，得 到
C?
，得
22sinC2
cos
2
Ab?c1?cosA sinB?sinC
??
，则，

22c22sinC
即
s inC?cosAsinC?sinAcosC?cosAsinC?sinC
，即
sinAc osC?0
，

sinA?0
，故
cosC?0
，
C?
故选：
A
.

【点睛】

?
2
.

本题考查了正弦定理判断三角形形状，意在考查学生的计算能力和转化能力
.

二、填空题

13．【解析】【分析】由题意首先求解底面积然后结合四棱锥的高即 可求得四
棱锥的体积【详解】由题意可得底面四边形为边长为的正方形其面积顶点到底
面四边形 的距离为由四棱锥的体积公式可得：【点睛】本题主要考查四棱锥
1
解析：

12
【解析】

【分析】

由题意首先求解底面积，然后结合四棱锥的高即可求得四棱锥的体积
.

【详解】

由题意可得，底面四边形
EFGH
为边长为
2< br>2
的正方形，其面积
S
EFGH
2
?
2
?< br>1
?
?
?
，

?
?
2
?< br>2
??
顶点
M
到底面四边形
EFGH
的距离为
d?
由四棱锥的体积公式可得：
V
M?EFGH
?
【点睛】

1
，

2
1111
???
.

32212
本题主要考查四棱锥的体积计算，空间想象能力等知识，意在考查学生的转化能力和计算< br>求解能力
.

14．【解析】【分析】先利用周期公式求出再利用平移法则得到 新的函数表达
式依据函数为奇函数求出的表达式即可求出的最小值【详解】由得所以向左平
移个 单位后得到因为其图像关于原点对称所以函数为奇函数有则故的最小值
解析：

?
3

【解析】

【分析】

先利用 周期公式求出
?
，再利用平移法则得到新的函数表达式，依据函数为奇函数，求出
m< br>的表达式，即可求出
m
的最小值．

【详解】

由< br>T?
2
?
?
??
?
?
得
?
?2
，所以
y?sin
?
2x?
?
，向左平移
m< br>?
m?0
?
个单位后，得到
3
?
?
?
y?sin[2(x?m)?]?sin(2x?2m?)
，因为其图像关于原点对称，所以函数为奇 函
33
数，有
2m?
【点睛】

本题主要考查三角函数的性 质以及图像变换，以及
y?Asin(
?
x?
?
)

型的函数奇偶性判断
条件．一般地
y?Asin(
?
x?
?
)
为奇函数，则
?
?k
?
；为偶函数，则
?
?< br>??
?
3
?k
?
,k?Z
，则
m??
?
6
?
k
?
?
，故
m
的最小值为．
3
2
?
2
?k
?
；
y?Acos(
?
x?
?
)
为奇函数，则
?
?
?
2
?k
?
；为偶函数，则
?
?k
?
．
< br>15．【解析】由题意可得所得到的几何体是由一个圆柱挖去两个半球而成；其
中圆柱的底面半径 为1母线长为2；体积为；两个半球的半径都为1则两个半
球的体积为；则所求几何体的体积为考点：旋 转体的组合体
解析：
【解析】

由题意，可得所得到的几何体是由一个圆柱 挖去两个半球而成；其中，圆柱的底面半径为
1
，母线长为
2
；体积为；两个 半球的半径都为
1
，则两个半球的体积为

；则所求几何体的体积为

.

考点：旋转体的组合体
.

16
．【解析】【 分析】【详解】由题意在上单调递减又是偶函数则不等式可化
为则解得

13
解析：
(,)

22
【解析】

【分析】

【详解】

由题意
f(x)
在
(0,??)
上单调递减，又
f(x)
是偶函数，

则不等式
f(2
a?1
)?f(?2)
可化为
f(2
a?1
)?f(2)
，则
2
a?1
?2
，
a?1?
1
，解得
2
13
?a?
．

22
17． 【解析】【分析】由已知可知然后利用基本不等式即可求解【详解】解：
（当且仅当取等号）故答案为【 点睛】本题主要考查了利用基本不等式求最值
解题的关键是配凑积为定值属于基础试题
解析：
3?23

【解析】

【分析】

由已知可知
y?3x?
【详解】

解：
Qx?1
，
?y?3x?
11
?3
?
x?1
?
??3
，然后利用基本不等式即可求解．

x?1x?1
11
?3
?
x?1
?
??3

x?1x?1
?23
?
x?1
?
?
1
3< br>取等号）

?3?23?3
，（当且仅当
x
?1?
x ?1
3
故答案为
23?3
．

【点睛】

本题主要考查了利用基本不等式求最值，解题的关键是配凑积为定值，属于基础试题．

18．【解析】试题分析：所以考点：三角恒等变形诱导公式二倍角公式同角三
角函数关系【思路点晴 】本题主要考查二倍角公式两角和与差的正弦公式题目
的已知条件是单倍角并且加了我们考虑它的二倍角 的情况即同时求出其正弦
解析：
172

50
【解析】

?
24
7
?
4
?
试题分析：
cos(2< br>?
?)?2?
??
?1?
，
sin(2
?
? )?
，所以
325
325
?
5
?
?
2sin(2
?
?
?
12
)?sin(2
?
?< br>?
?)

34
?
?
2
?
247?
172
.

?
?
?
?
2
?
2525
?
50
考点：三角恒等变形、诱导公式、二倍角公式、同角三角函数 关系．

【思路点晴】本题主要考查二倍角公式，两角和与差的正弦公式
.
题 目的已知条件是单倍
2
?
?
4
?
7
?
角， 并且加了，我们考虑它的二倍角的情况，即
cos(2
?
?)?2?
???1?
，同
6
325
?
5
?

2 4
???
，而要求的角
sin(2
?
?)?sin(2
?< br>??)
，再利
3251234
用两角差的正弦公式，就能求出结果
.< br>在求解过程中要注意正负号
.

时求出其正弦值
sin(2
?
?
?
)?
19
．【解析】试题分析：该三棱锥底面是边长为
2
的正三角形面积为有两个侧
面是底边为
2
高为
2
的直角三 角形面积为
2
另一个侧面是底边为
2
腰为的等腰
三角形面积为所以面 积最大的面的面积是考点：三视图

解析：
7

【解析】

试题分析：该三棱锥底面是边长为
2
的正三角形，面积为
3
，有两个 侧面是底边为
2
，高
为
2
的直角三角形，面积为
2
，另一个侧面是底边为
2
，腰为
22
的等腰三角形，面积为
7
，所以面积最大的面的面积是
7
．

考点：三视图．

2 0
．【解析】【分析】设点得出向量代入坐标运算即得的坐标得到关于的方程
从而可得结果【详 解】设点因为点在直线且或即或解得或
;
即点的坐标是【点
睛】本题考查了平面向量的 线性运算的坐标表示以及平面向量的共线问题意

解析：
(8,-15)
，
?
【解析】

【分析】

?
163
?
,?
?

55
??
u uur
3
uuuruuurr
3
uuu
设点
P
?< br>x,y
?
,
得出向量
AP?BP,AP??BP
,
代 入坐标运算即得
P
的坐标，得到关于
22
x,y
的方程，从而可得结 果
.

【详解】

设点
P
?
x,y
?
,

uuur
3
uuur
因为点
P
在直线
,
且
|AP|?|PB |
,

2
uuur
3
uuuruuurr
3
uuu
?AP?BP,AP??BP
,

22
33
?(x?2,y?3)?(x?4,y?3)
或
,
?(x?2,y?3)??(x?4,y?3)
，

22
即
?
?
2x?4?3x?12
?
2x?4??3x?12
,

或
?
?
2y?6?3y?9
?
2y?6??3y?9
16
?
x?
?
?
x?8
?
5
;

解得
?
或
?
3
y??15
?
?
y ??
?
5
?

即点
P
的坐标是
(8, -15)
，
?
【点睛】

?
163
?
,?
?
.

55
??
本题考查了平面向量的线性运算的坐标表示以及平面向量的共线问题
,
意在考查对基础 知识
的掌握与应用，是基础题
.

三、解答题

21．（1）
m??1
；（2）当
a?1
时，
f
?
2
?
?f
?
3
?
；当
0?a?1
时，
f
?
2
?
?f
?
3
?
，
理由见解析

【解析】

【分析】

（
1
）将图象关于坐标原点对称转化为函数为奇函数，从而有
f
?
?x
?
??f
?
x
?
在函数的定
义域内恒成立，进而求得
m
的值，再进行检验；

（
2
）根所在（
1
）中求 得的
m
值，得到
f(x)?log
a
x?1
，再求得
f
?
2
?
,f
?
3
?
的值，对

x?1
a
分两种情况讨论，从而得到
f
?
2
?,f
?
3
?
的大小关系
.

【详解】

1?m
3
x1?m
3
?(?x)
解：（
1
）
Q
f(x)?log
a
，
?f(?x)?log
a
．

x?1?x?1
又
Q
函数
f
?
x< br>?
的图象关于坐标原点对称，
?f(x)
为奇函数，

?f< br>?
?x
?
?
?f
?
x
?
在函数的定 义域内恒成立，

1?m
3
?(?x)1?m
3
x
，

?l og
a
??log
a
?x?1x?1
1?m
3
?( ?x)1?m
3
x
???1
，

?x?1x?1
?
?
m
6
?1
?
x
2
?0
在函数的 定义域内恒成立，

?m??1
或
m?1
．

当
m?1
时，函数的真数为
?1
，不成立，

?m??1
．

（
2
）据（
1
）求解知，
f(x)?log
a
x?1
，

x?1
?f(2) ?log
a
3
，
f(3)?log
a
2
．

当
a?1
时，函数
g(x)?log
a
x
在
(0,??)
上单调递增，

Q2?3
，
?log
a2?log
a
3?f(3)?f(2)
；

当
0?a? 1
时，函数
g(x)?log
a
x
在
(0,??)
上单调递减，

Q2?3
，
?log
a
2? log
a
3?f(3)?f(2)
．

【点睛】

本题考查利用函数的奇偶性求解析式中参数值、对数函数的单调性比较大小，考查数形结
合思想、分类讨 论思想的运用，在比较大小时，注意对
a
分
a?1
和
0?a?1两种情况讨论
.

22．(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ)
【解析】

试题分析：（Ⅰ）取
PB
的中点
T
，然后结合条件中的数据证明四边 形
AMNT
为平行四边
形，从而得到
MNPAT
，由此结合线面平行 的判断定理可证；（Ⅱ）由条件可知四面体
N-BCM
的高，即点
N
到底面的 距离为棱
PA
的一半，由此可顺利求得结果．

试题解析：（Ⅰ）由已知得< br>中点知
又
因为
，故
平面
，
平行且等于
，平面
.

，四边形
AMNT
为平行四边形，于是
，所以平面
.

.

，取的中点
T
，连接，由
N
为
45
.

3

（Ⅱ）因为
所以
N
到平面
取
由
所以四面体
的中点
平面，
N
为
.
的中点，

的距离为
，连结
.
由
的距离为< br>得
，故
S
V
BCM
?
，
.

得到
1
?4?5?25
.

2
的体积
V
N?BCM
?
1PA45
.

?S
V
BCM
??
323
【考点】直线与平面间的平行与垂 直关系、三棱锥的体积

【技巧点拨】（
1
）证明立体几何中的平行关系，常 常是通过线线平行来实现，而线线平行
常常利用三角形的中位线、平行四边形与梯形的平行关系来推证； （
2
）求三棱锥的体积关
键是确定其高，而高的确定关键又找出顶点在底面上的射影位 置，当然有时也采取割补
法、体积转换法求解．

23．（1）
C?
【解析】

【分析】

?
3
（2）
5?7

【详解】
< br>试题分析：（
1
）根据正弦定理把
2cosC(acosB?bcosA)?c
化成
2cosC(sinAcosB?sinBcosA)?sinC
，利用和角公式 可得
cosC?
1
,
从而求得角
C
；
2
（
2
）根据三角形的面积和角
C
的值求得
ab?6
，由余弦定 理求得边
a
得到
?ABC
的周长
.

试题解析：（
1
）由已知可得
2cosC(sinAcosB?sinBcosA)?sinC
?2cosCsin(A?B)?sinC?cosC?
（
2
）
S
?ABC
?
1
?
?C?

23
1313
absinC?3?ab??ab?6

2222又
Qa
2
?b
2
?2abcosC?c
2
< br>2
?a
2
?b
2
?13
，
?(a?b)?2 5?a?b?5

∴?ABC
的周长为
5?7

考点：正余弦定理解三角形
.

v
3?
v
.

24．（
1
）
b?
?
9,12
?
，
c?
?
4,?3
?
；（
2
）
4
【解析】

【分析】

（< br>1
）利用共线向量的坐标表示和垂直向量的坐标表示并结合条件
ab
，
a?c
，列方程
rr
rr
r
r
y
x
求出、 的值，可得出向量
b
和
c
的坐标；

ur
r
ur
r
2
（）求出
m
、
n
的坐标，利用向量数量 积的坐标运算计算出向量
m
与向量
n
夹角的余弦
值，由夹角的取值范 围可求出这两个向量夹角的值
.

【详解】

rrr
rr< br>rr
?
3x?4?9
（
1
）
Q
a?
?
3,4
?
，
b?
?
9,x
?
，
c?
?
4,y
?
，且
ab
，
a?c
，?
?
，

?
3?4?4y?0
rr
?
x?12
解得
?
，因此，
b?
?
9,12
?
，
c?
?
4,?3
?
；

?
y??3< br>urrrrrr
（
2
）
Q
m?2a?b?2?
?3,4
?
?
?
9,12
?
?
?
?3, ?4
?
，
n?a?c?
?
3,4
?
?
?< br>4,?3
?
?
?
7,1
?
，

r< br>ur
urr
22
22
则
m?n??3?7?4?1??25< br>，
?m?
?
?3
?
?
?
?4
??5
，
n?7?1?52
，

urr
urr
m ?n?252
ur
r
?cosm,n????
urr
设
m< br>与
n
的夹角为
?
，，
Q0?
?
?
?
，则
2
m?n
5?52
?
?
3
?
.

4
因此，向量
m
与向量
n
的夹角为
u r
r
3?
.

4

【点睛】

本题考查平面向量的坐标运算，涉及共线向量、向量垂直以及利用坐标计算向量的夹角，
解题的关键就 是将问题转化为向量的坐标运算，考查计算能力，属于中等题
.

25．（
1
）
3
平方百米；（
2
）
【解析】

【分析】

（
1
）由余弦定理求出
AB?4
百米， 由此能求出
VABE
区域的面积；（
2
）记
57
百米
.

7
?AEB?
?
，在
VABE
中，利用正弦 定理求出
sin
?
和
cos
?
的值，当
CH?DE
时，水
管长最短，由此能求出当水管
CH
最短时的长
.

【详解】

（
1
）由题知
BE?1,?ABC?120o
,EA?21
，

222
在
VABE
中，由 余弦定理得
AE?AB?BE?2AB?BEcos?ABE
，即
21?AB
2
?1?AB
，所以
AB?4
百米

所以
S
V
ABE
?
113
AB?BE?sin?ABE??4?1??3
（平方百米）
.

222
421
ABAE
?
?（
2
）记
?AEB?
?
，在
VABE
中，，即
sin
?
3
，

sin
?
sin?ABE
2
所以
sin
?
?
2721
，

,cos
?
?1?sin
2
?
?
77
当
C H?DE
时，水管
CH
最短，

在
RtVECH
中 ，
2π2π
?
2π
?
CH?CEsin?HEC?2sin
?
?
?
?
?2sincos
?
?2cossin
?
=
57
百米
.

33
?
3
?
7
【点睛】

本题考查了正弦 定理、余弦定理以及三角形面积公式的综合应用，利用同角三角函数关系
式求三角函数值，并求三角形面 积，属于基础题
.
（
1
）根据余弦定理，可直接求得
AB
的 长
度，由三角形面积公式即可求得
S
V
ABE
的面积；（
2
）根据最短距离为垂直距离，可求得
CH
的长
.

26．(1)
f
?
x
?
?sin
?
2x ?
【解析】

【试题分析】（
1
）借助题设提供的图形信息与数据信 息可求出周期
T?
?
，再借助
?
?
?
?
6
?
?
，最小正周期
T?
?
；(2)
?
a1?a?2或a?
?
?
16
?
?

17
?
T＝
?
?
?
?
?
?；（2）先将原方程可，求出
?
?2
，再借助点
?
,1
?
在
f
?
x
?
图象上求出
?
?
6
?
6
?

2173
??
化为
a
?
1?3sinx?2sinx
?
?2
，分离参数
??2sin< br>2
x?3sinx?1??2
?
sinx?
?
，
a8 4
??
2
2
2
17
?
3
?
再换元
t?sinx
，将其转化为函数
f
?
t
?
??2< br>?
t?
?
及
y?
图问题来处理：

a
8
?
4
?
解：(1)由图象可知：
又∵点
?
2< br>T2
???
?
???
，∴
T?
?
，又
T＝
，∴
?
?2
.

2362
?
??< br>?
?
?
?
?
?
,1
?
在
f
?
x
?
图象上，∴
sin
?
2??
??
?1
，∴
?
?
?2k
?
?
，

6
32
??
?
6
?
∴
?
?2 k
?
?
?
6
?
?
，
k?Z
，又∵
?
?
?
2
，∴
?
?
?
6
.

∴
f
?
x
?
?sin
?
2x ?
(2)∵
g
?
x
?
?f
?
?
?
?
，最小正周期
T?
?
.

6
?
?
??
1
x?
?
?sinx
，

12??
2
∴原方程可化为
a1?3sinx?2sinx?2
，则
a?0
.

∵
x?0,
?
，
sinx?0,1，∴
1?3sinx?2sin
2
x?0
，

?
2
?
????
2173
??
∴
??2sin
2< br>x?3sinx?1??2
?
sinx?
?
，

a8 4
??
17
?
3
?
及
y?
2
图象 ，令
t?sinx
，则
t?
?
0,1
?
，作出f
?
t
?
?

?2
?
t?
?
a
8
?
4
?
当
1?
2
2
2217

?2
或
?
时，两图象在
?
0,1
?
内有且仅有一解，

aa8
2
2173
??
即 方程
??2
?
sinx?
?
在
?
0,
?< br>?
内有且仅有两解，

a84
??
此时
a
的 取值范围为
?
a1?a?2或a?
?
?
16
?
?< br>.

17
?
点睛：求出函数的解析式后，求解第二问时先将原方程可化 为
a1?3sinx?2sinx?2
，
则
a?0
，然后借助
x?0,
?
，
sinx?0,1
，得到
1?3sinx?2sin
2
x?0
，进而分离参数
?
2
?
????
2173
??
??2sin
2
x?3sinx?1??2
?
sinx?
?
，再换元
t?sinx
，则
t?
?
0 ,1
?
，从而将问题
a84
??
2
17
?
3
?
化为函数
f
?
t
?
??2
?
t?
?
及
y?
图象的交点的个数问题，然后结合图像求出参数
a8
?
4
?
的取值范围。

2
2